Curso Inteligência Artificial - Parte 2 -

1
Inteligência Artificial
(parte II)
Ronaldo F. Ramos, Dr
ronaldo@cefet-ce.br
Adaptado de : aima.cs.berkeley.edu

3
Roteiro
! Agentes Baseados em Conhecimento
! O mundo de Wumpus
! Lógica em Geral – Modelos e implicações
! Lógica proposicional (booleana).
! Equivalência, validade e satisfatibilidade
! Regras de Inferência e prova de teoremas
! Encadeamento para frente
! Encadeamento para trás
! Resolução

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Bases de conhecimento.
Máquina de Inferência
Base de conhecimento
(KB)
Algoritmo independente de
domínio
Conteúdo dependente do
domínio
! Base de conhecimento = conjunto de sentenças em uma
linguagem formal.
! Abordagem declarativa para construção de agentes (ou outra
coisa)
! Informar ao mesmo apenas o que ele precisa saber
! Então ele pode perguntar sozinho o que ele fazer. As respostas
virão da base de conhecimento
! Agentes podem ser visualizados ao nível do conhecimento i. e.,
o que eles sabem não importando como foram implementados,
ou ao nivel de implementação, i. e., estruturas de dados na KB
e os algoritmos que os manipulam.

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Um agente baseado em conhecimento
função KB-AGENT (percepção) retorna uma ação
variáveis estáticas: KB, a base de conhecimento
t, um contador inicialmente 0 indicando tempo
TELL(KB,CRIAR-SENTENÇA-DE-PERCEPÇÃO(percepção,t))
ação <-- ASK(KB, CRIAR-CONSULTA-DE-AÇÃO(t))
TELL(KB,CRIAR-SENTENÇA-DE-AÇÃO(ação,t))
t <-- t + 1
retorna ação
! O agente deve ser capaz de:
! Representar estados, ações, etc
! Incorporar novas percepções
! Atualizar a representação interna do mundo
! Deduzir propriedades ocultas do mundo
! Deduzir ações apropriadas.

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Mundo de Wumpus - Descrição PEAS
! Medida de desempenho
! +1000 se pegar ouro, -1000 se cair no poço ou for devorado pelo
wumpus
! -1 ação executada, -10 uso da flecha
! Ambiente
! Malha de 4 x 4 o começa em 1,1
! Quadrados adjacentes ao wumpus
fedem
! Quadrados adjacentes a um poço têm
brisa
! Brilho sse tem o ouro
! Um tiro pode matar o wumpus se vc está lutando com ele.
! O agente só possui uma flecha
! Agente pode AGARRAR o ouro se estiver no mesmo quadrado
! Agente pode SOLTAR o ouro no quadrado atual
! Sensores: Fedor, Brisa, Brilho, Impacto, Grito de Morte
! Efetuadores: Esquerda, Direita, Em frente, Baixo, Agarra,
Solta, Atira

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Caracterização do mundo
! Completamente observável: Não – somente
percepção local.
! Determinístico: Sim – As conseqüências são
perfeitamente especificadas.
! Episódico: Não – Seqüencial ao nível das
ações.
! Estático: Sim – Wumpus e os poços não
movem.
! Discreto: Sim
! Único Agente: Sim – Wumpus é
essencialmente uma criatura natural

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Explorando o mundo de Wumpus

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Lógica em geral
! Lógica é uma linguagem formal para representar informações a
partir das quais podem ser retiradas conclusões.
! Regras de sintaxe definem as sentenças na linguagem
! A Semântica define o significado das sentenças
! i. e., define a verdade de uma sentença em um mundo.
! E.g., a linguagem da aritmética
! x+2 ≥ y é uma sentença; x2+y > {} não é uma sentença
! x+2 ≥ y é verdade sse o número x+2 não é menor que o número y
! x+2 ≥ y é verdade em um mundo onde x = 7, y = 1
! x+2 ≥ y é falso em um mundo onde x = 0, y = 6

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Consequência Lógica
! Consequência lógica significa que uma coisa segue,
decorre logicamente de outra.
KB ╞ α
! Uma base de conhecimento KB tem como
consequência lógica uma sentença α sse α é
verdade em todos os mundos onde KB é verdade
! E.g., A base de conhecimento KB contendo “Os gigantes
ganharam” e “Os Vermelhos Ganharam” tem como
conseqüência lógica “Ou os gigantes ganharam ou os
Vermelhos Ganharam”
! E.g., x+y = 4 tem como conseqüência 4 = x+y
! Conseqüência lógica é um relacionamento entre sentenças
(sintaxe) baseada na semântica.

Modelos
! Lógicos normalmente raciocinam em termos de modelos, os
quais são mundos formalmente estruturados com relação a qual
verdade pode ser avaliada.
! Dizemos que m é um modelo de α se α é verdade em m
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! M(α) é o conjunto de todos os modelos de α
! Consequentemente KB ╞ α
sse M(KB) ⊆ M(α)
! E.g. KB = Gigantes ganharam
e Vermelhos ganharam
α = Gigantes ganharam

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Conseqüência lógica no mundo de wumpus
Situação depois de detectar
nada em [1,1], mover para
direita, brisa em [2,1]
Considerar possíveis modelos
para a KB assumindo
somente a existência de
poços.
3 escolhas booleanas ⇒ 8
modelos possíveis

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Modelos Wumpus
! KB = Regras do mundo wumpus +
observações

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Modelos Wumpus
! KB = Regras do Mundo Wumpus + observações
! α1 = "[1,2] é seguro", KB ╞ α1, provado por checagem do
modelo

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Modelos Wumpus
! KB = Regras do Mundo Wumpus +
observações

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Modelos Wumpus
! KB = Regras do Mundo Wumpus +
observações
! α2 = "[2,2] é seguro", KB ╞ α2

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Inferência
! KB ├i α = Sentença α pode ser derivada de KB pelo
procedimento i
! Consistência: i é consistente se sempre que KB ├i α,
é também verdade que KB╞ α
! Completeza: i é completo se sempre que KB╞ α,
também é verdade que KB ├i α
! A “Lógica de Primeira Ordem” é expressiva o
suficiente para expressar o que for de interesse e
para isto sempre existe um procedimento consistente
e completo.
! Ou seja, o procedimento reponderá qualquer questão
cuja resposta decorre do que é conhecido pela KB.

Lógica proposicional : Sintaxe
! A lógica proposicional é a “lógica” mais simples – Ilustra idéias
básicas
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! Símbolos proposicionais P1, P2 etc são sentenças
! Se S é uma setença , ¬S é uma sentença (negação)
! Se S1 e S2 são sentenças, S1 ∧ S2 é uma sentença(conjunção)
! Se S1 e S2 são sentenças, S1 ∨ S2 é uma sentença(disjunção)
! Se S1 e S2 são sentenças, S1 ⇒ S2 é uma sentença(implicação)
! Se S1 e S2 são sentenças, S1 ⇔ S2 é uma sentença(bicondicional)

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Lógica Proposicional: Semântica
Cada modelo especifica a verdade ou falsidade para cada proposição.
Ex. P1,2 P2,2 P3,1
falso verdade falso
Com estes símbolos podem ser enumerados automaticamente 8 modelos
possíveis.
Regras para a avaliação de verdade com relação a um modelo m:
¬S é verdade sse S is falso
S1 ∧ S2 é verdade sse S1 é verdade e S2 é verdade
S1 ∨ S2 é verdade sse S1 é verdade ou S2 é verdade
S1 ⇒ S2 é verdade sse S1 é falso ou S2 é verdade
i.e., é falso sse S1 is verdade e S2 is falso
S1 ⇔ S2 é verdade sse S1⇒S2 é verdade e S2⇒S1 é verdade
Um processo recursivo simples avalia uma sentença:
¬P1,2 ∧ (P2,2 ∨ P3,1) = verdade ∧ (verdade ∨ falso) = verdade ∧ verdade = verdade

Tabela de Verdade para Conectivos
P Q ~P P ^ Q P v Q P" Q P#Q
Falso Falso Verdade Falso Falso Verdade Verdade
Falso Verdade Verdade Falso Verdade Verdade Falso
Verdade Falso Falso Falso Verdade Falso Falso
Verdade Verdade Falso Verdade Verdade Verdade Verdade
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Sentenças no mundo Wumpus
Seja Pi,j verdade se existir um poço em [i, j].
Seja Bi,j verdade se existir uma brisa em [i, j].
- Não existe poço em [1,1]
R1: ¬ P1,1
- Poços ocasionam brisa em quadros adjacentes
R2: B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1)
R3: B2,1 ⇔ (P1,1 ∨ P2,2 ∨ P3,1)
- Não existe brisa em [1,1] porém existe em [2,1]
R4: ¬B1,1
R5: B2,1

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Tabela de Verdade p/ Inferência
B1,1 B2,1 P1,1 P1,2 P2,1 P2,2 P3,1 KB α1
F F F F F F F F V
F F F F F F V F V
... ... ... ... ... ... ... ... ...
F V F F F F F F V
F V F F F F V V V
F V F F F V F V V
F V F F F V V V V
F V F F V F F F V
... ... ... ... ... ... ... ... ...
V V V V F V V F F
Lembrete: KB = R1 ^ R2 ^ R3 ^ R4 ^ R5

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Inferência por enumeração
! Enumeração em profundidade preserva verdade e é completa
Função CONSEQUENCIA-LOGICA-TV?(KB,A) retorna V ou F
entradas : KB, a base de conhecimento, sentença em lógica proposicional
α, a consulta, uma sentença em lógica proposicional
simbolos <- uma lista de simbolos em Logica Proposicional
retornar VERIFICAR-TODOS-TV(KB,α,simbolos,[])
---------------------------------------------------------------------------------
Função VERIFICAR-TODOS-TV(KB, α,simbolos, modelo) retorna V ou F
se VAZIO(simbolos) então
se VERDADE-LP(BC,modelo) então retornar VERDADEIRO-LP(α,modelo)
senão retornar V
senão faça
P <- PRIMEIRO(simbolos); restante <- RESTO(simbolos)
retornar VERIFICAR-TODOS-TV(KB,α,restante,ESTENDER(P,V,modelo)) e
VERIFICAR-TODOS-TV(KB,α,restante,ESTENDER(P,F,modelo))
! Para n símbolos, complexidade de tempo é O(2n),
complexidade de espaço O(n)

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Equivalência Lógica
• Duas sentenças são logicamente equivalentes sse elas são
verdade nos mesmos modelos α ≡ ß sse α╞ β e β╞ α

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Validade e satisfatibilidade
Uma senteça é válida se ela é verdade em todos os modelos,
ex., Verdade, A ∨¬A, A ⇒ A, (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B
Validade é ligada a inferência via Teorema da dedução:
KB ╞ α sse (KB ⇒ α) é válida
Uma sentença é satisfatível se ela é verdade em algum modelo
ex, A ∨ B, C
Uma sentença é não satisfatível se ela não é verdade em nenhum
modelo
e.g., A∧¬A
Satisfatibilidade é conectada a inferência pelo seguinte:
KB ╞ α sse (KB ∧¬α) é não satisfatível

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Métodos de prova
! Grosso modo, métodos de prova são divididos em
dois tipos:
! Aplicação de regras de inferência
! Legitimar a geração de novas sentenças a partir das velhas
! Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência.
Pode usar regras de inferência como operadores em um
algoritmo padrão de busca
! Normalmente requer a transformação de sentenças em uma
forma normal
! Checagem de modelo
! Enumeração de tabelas de Verdade (exponencial em n)
! Backtraking aperfeiçoado
! Busca heurística no espaço de modelos (Preserva a verdade
porém é incompleto)

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Resolução
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Conjunção de Disjunções de cláusulas literais
Ex (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬C ∨ ¬D)
! Regra de Inferência da Resolução(para FNC):
li ∨… ∨ lk, m1 ∨ … ∨ mn
li ∨ … ∨ li-1 ∨ li+1 ∨ … ∨ lk ∨ m1 ∨ … ∨ mj-1 ∨ mj+1 ∨... ∨ mn
onde li e mj são literais complementares.
Ex., P1,1 ∨ P3,1, ¬P1,1 ∨ P2,2
P3,1 ∨ P2,2
! A resolução preserva a verdade (consistente) e é completa para lógica proposicional

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Conversão para FNC
(Forma normal conjuntiva)
B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1)
1.Eliminar ⇔, substituindo α ⇔ β por (α ⇒ β)∧(β ⇒ α).
(B1,1 ⇒ (P1,2 ∨ P2,1)) ∧ ((P1,2 ∨ P2,1) ⇒ B1,1)
2. Eliminar ⇒, Substituindo α ⇒ β por ¬α∨ β.
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬(P1,2 ∨ P2,1) ∨ B1,1)
3. Mover ¬ para dentro usando a lei De Morgan:
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ ((¬P1,2 ∧ ¬P2,1) ∨ B1,1)
4. Aplicando a regra da distributividade de ∧ sobre ∨:
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬P1,2 ∨ B1,1) ∧ (¬P2,1 ∨ B1,1)

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Algoritmo de Resolução
! Prova por contradição, i.e., mostra-se que KB∧¬α é não-satisfatível
Função Resolução-LP(KB,α) retorna V ou F
entradas: KB, a base de conhecimento (setença LP)
α, a consulta, uma consulta em LP
cláusulas <- conjunto de cláusulas FNC (KB ^ ~α)
nova <- {}
repita
para cada ci,cj em cláusulas faça
resolventes <- RESOLVER-LP(ci,cj)
se resolventes contém cláusula vazia então retornar V
nova <- nova U resolventes
se nova ⊆ cláusulas então retornar F
clausulas <- cláusulas U nova

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Exemplo
KB = (B1,1 ⇔ (P1,2∨ P2,1)) ∧¬ B1,1 α = ¬P1,2

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Encadeamento pra frente e pra trás
(Forward and backward chaining)
! Forma de Horn (restrita)
KB = conjunção de cláusulas de Horn
! Cláusula de Horn =
! Símbolo de proposição; ou
! (conjunção de simbolos ⇒ simbolo)
! De outra forma seria uma disjunção onde um dos disjuntos é
positivo(cabeça)
! Ex., C ∧ (B ⇒ A) ∧ (C ∧ D ⇒ B)
! Modus Ponens (para Forma de Horn): completo para Horn KBs
α1, … ,αn, α1 ∧ … ∧ αn ⇒ β
β
! Pode ser utilizada com encadeamento pra frente ou prá trás.
! Algoritmos naturais e rodam em tempo linear

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Encadeamento pra frente
! Idéia básica: executar todas as regras cujas
premissas são satisfeitas pela KB,
! Adicionar as conclusões à KB, até que a questão
seja encontrada

função PL-FC-CONSEQUENCIA-LOG(KB,q) retornar V ou F
variáveis locais: cont, tabela, indexada por cláusula, inicialmente o número de premissas
inferido, tabela, indexada por simbolo, todos inicialmente falsos
agenda, lista de simbolos, inicialmente todos verdade
41
Algoritmo de encadeamento pra frente
Enquanto agenda é não vazia faça
p $ POP(agenda)
a menos que inferido[p] faça
inferido[p] $ V
para cada cláusula c em cuja premisa p aparece faça
decremente cont[c]
se cont[c] == 0 então faça
se cabeça[c] == q então retornar V
push(cabeça[c],agenda)
retornar F
! Encadeamento pra frente é consistente e completo
para bases de conhecimento de Horn

50
Encadeamento pra frente
Completo e consistente

51
Encadeamento pra Trás(ET) (Backward chaining)
Idéia: como a análise a partir de uma questão
(q) colocada sobre a KB a fim de prová-la.
! Checa se q ja é conhecida, ou
! Prova por ET todas as premissas de qualquer regra
concluindo q
Para Evitar Loops: Checar se a nova sub-meta
já se encontra na pilha de metas
Evitar Trabalho Repetido: checa se cada nova sub-meta
1. Já foi provada verdadeira, ou
2. Já foi provada falsa (sem sucesso)

62
Comparação Inicial
! EF é orientado a dados, automático e “cego”.
! e.g., reconhecimento de objetos, decisões de rotina
! Pode acabar fazendo muito processamento
irrelevante para os objetivos.
! ET é orientado a meta, mais apropriado para solução
de problemas.
! e.g., Onde estão as chaves? Como se tornar um PhD?
! Complexidade da ET pode ser bem menor que linear
em relação ao tamanho da base de conhecimento

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Inferência proposicional efetiva
- Duas famílias de algoritmos para inferência
proposicional
! Algoritmos completo com retrocesso
! Algoritmo DPLL (Davis, Putnam, Logemann, Loveland)
! Algoritmo de busca local incompleta
! WalkSAT algorithm
OBS: Usam checagem de modelo

O algoritmo DPLL
Determina se uma sentença em lógica proposicional (FNC) é satisfatível.
Melhorias em relação à enumeração de tabelas de verdade.
64
1. Termino Prematuro
Uma cláusula é V se algum literal é V.
Uma senteça é F se alguma cláusula é F.
2. Heurística do Símbolo Puro
Símbolo Puro: Aparece sempre com o mesmo sinal em todas as cláusulas.
ex. Nas seguintes cláusulas (A ∨ ¬B), (¬B ∨ ¬C), (C ∨ A), A e B são puros, C é
impuro.
Fazer um símbolo literal puro V.
3. Cláusula Heurística Unitária
1. Apenas um literal na cláusula
2. Este literal deve ser verdadeiro

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O Algoritmo DPLL
função DPLL-Satisfatível?(s) retorna V ou F
entrada: s, uma sentença em LP
clausulas $ o conjunto de cláusulas na FNC de s
símbolos $ lista dos símbolos proposicionais em s
retornar DPLL(clausulas,símbolos,[])
------------------------------------------------------------------------
função DPLL(clausulas, simbolos, modelo) retorna V ou F
se toda cláusula em cláusulas é V no modelo então retornar V
se alguma cláusula em cláusulas é F no modelo então retornar F
P,valor $SIMBOLO-PURO(símbolos,cláusulas,modelo)
se P é não nulo então retorne DPLL(cláusulas,simbolos-P,[P=valor|modelo])
P,valor $ CLÁUSULA-UNITÁRIA(cláusula,modelo)
se P é não nulo então retorne DPLL(cláusulas, símbolos-P,[P=valor|modelo])
P $ PRIMEIRO(símbolos); resto $ RESTO(símbolos)
retornar DPLL(clásulas, resto, [P= V|modelo] ou
DPLL(cláusulas, resto, [P= falso|modelo]

O Algoritmo WalkSAT
! Algoritmo de busca local incompleto. Subida da
encosta no espaço de atribuições completas
! Em cada iteração o o algoritmo escolhe uma cláusula
não satisfeita e um símbolo dessa cláusula para
trocar. A forma de escolha do símbolo a trocar de
valor é ela própria aleatória, podendo ser:
! ⇒ Utilizando a heurística “min-conflitos”
minimizando o número de cláusulas insatisfeitas no
passo seguinte
! ⇒Escolha aleatória do símbolo a trocar na cláusula
66

67
O algortimo WalkSAT
função WALKSAT( cláusulas,p,inversoes_max) retorna modelo ou falha ....
entradas: cláusulas, um conjunto de cláusulas
p, probabilidade de optar por realizar um movimento aleatório
inversoes_max, número máximo de inversões permitidos antes de desistir
modelo $ atribuição aleatória de V/F aos símbolos nas cláusulas
para i= 1 to inversoes_max do
se modelo satisfaz cláusulas então retornar modelo
cláusula $ a uma cláusula falsa no modelo selecionada aleatoriamente
com probabilidade p inverter o valor de um símbolo selecionado
aleatoriamente da cláusula
senão inverter qualquer símbolo que maximize o número de cláusulas
satisfeitas
retornar falha

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Propriedades do WalkSAT
♦ Incompleto
♦ Se uma proposição é insatisfazível então o algoritmo
não termina: limita-se max flips...
♦ Algoritmos locais como o WalkSAT são mais eficazes
quando se espera que uma solução exista
♦ Logo, pesquisa local não serve em geral para resolver o
problema da conseqüência lógica
♦ Muito eficiente na prática...

69
Problema de difícil satisfatibilidade
! Considere as seguintes sentenças aleatórias
na 3a FNC:
(¬D ∨ ¬B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬A ∨ ¬C) ∧ (¬C ∨ ¬B
∨ E) ∧ (E ∨ ¬D ∨ B) ∧ (B ∨ E ∨ ¬C)
m = número de cláusulas
n = número de símbolos
! Problemas difíceis a partir de m/n = 4.3 (ponto
crítico)

70
Problemas de difícil satisfazibilidade

71
Problemas de difícil satisfazibilidade
! Tempo mediano para 100 sentenças
satisfatíveis aleatórias na 3a FNC, n = 50

72
Agentes de inferência no mundo Wumpus
Usando a lógica proposicional
¬P1,1
¬W1,1
Bx,y ⇔ (Px,y+1 ∨ Px,y-1 ∨ Px+1,y ∨ Px-1,y)
Sx,y ⇔ (Wx,y+1 ∨ Wx,y-1 ∨ Wx+1,y ∨ Wx-1,y)
W1,1 ∨ W1,2 ∨ … ∨ W4,4
¬W1,1 ∨ ¬W1,2 // o Wumpus não pode estar em dois quadrados ao mesmo
tempo
¬W1,1 ∨ ¬W1,3
…
⇒ 64 símbolos distintos % 155 sentenças

73
Inferência usando LP no mundo de Wumpus
função LP-Wumpus-Agent(percepções) retorna ação
entradas: percepções, uma lista, [fedor, brisa, resplendor]
variáveis estáticas :
BC, base de conhecimento contendo a física do mundo de Wumpus
x,y,orientação, posição do agente (inic [1,1] e orient (direita))
visitado, uma matriz indicando que quadrados foram visitados, inicialmente falso
ação, a ação mais recente do agente, inicialmente nula
plano, uma seqüência de ações, inicialmente vazia
atualizar x, y orientação, visitado com base em ação
se fedor então TELL(BC, Sx,y) senão TELL(BC, ¬Sx,y)
se brisa então TELL(BC, Bx,y) senão TELL(BC, ¬Bx,y)
se resplendor então ação $ agarrar
senão se plano é não-vazio então ação $ DESEMPILHA(plano)
senão se para algum quadrado de borda[i,j], ASK(BC,(¬PIJ ٧۷ ¬WIJ)) é V ou
para algum quadrado de borda[i,j], ASK(BC,(Pij٧۷Wij)) é falsa então faça
plano $ BUSCA-GRAFO-A*(PROB-ROTEAMENTO[x,y], orientação, [i,j],visitados))
ação $ DESEMPILHA(plano)
senão ação $ um movimento escolhido aleatoriamente
retornar ação

74
Limitações da Lógica Proposicional
! KB deve conter sentenças sobre a situação
física de todas as posições.
! Para cada tempo t e cada posição [x,y],
Lx,t
y ∧ OlhandoDireitat ∧ PraFrentet ⇒ Lx+1,y
! Proliferação de cláusulas
t
t + 1

75
Sumário
! Agentes Lógicos realizam inferência em uma base de conhecimento
para derivar novas sentenças e tomar decisões.
! Conceitos básicos de lógica:
! sintaxe: estrutura formal das sentenças declarativas
! semântica: valor de verdade relativamente aos modelos
! Conclusão: verdade necessária de uma sentença dado outra
! inferência: derivação de sentenças a partir de outras sentenças
! Consistência: derivações produzem apenas frases que são consequência
lógica
! completude/completeza: derivações conseguem produzir todas as frases
que são consequências lógicas da KB
! O mundo do Wumpus requer a capacidade de lidar com informação
parcial e negativa, raciocínio por casos, etc.
! Encadeamento para a frente e para trás têm complexidade temporal
linear na dimensão da KB, são completos para cláusulas de Horn.
! Resolução é completa para a lógica proposicional

77
Roteiro
! Porque LPO?
! Sintaxe e semântica
! Usando LPO
! O mundo de Wumpus em LPO
! Engenharia do Conhecimento em LPO

78
Pros e cons da lógica proposicional
☺ Lógica Propositional é declarativa
☺ Lógica Proposicional permite informação parcial/disjuntiva/negada
! (contrariamente as bases de dados e estruturas de dados)
☺ Lógica Proposicional é composicional:
! Significado de B1,1 ∧ P1,2 é derivado do significado de B1,1 e deP1,2
☺ Significado em LP é independente de contexto
! (Na linguagem natural o significado depende do contexto)
' A lógica proposicional tem poder de expressão muito limitado
! (contrariamente à linguagem natural)
! Ex.., Não se pode dizer “Poços ocasionam brisas em quadrados
adjacentes” sem ter que escrever uma setença pra cada quadrado.

79
Lógica de primeira ordem
! Enquanto a lógica proposicional assume que
o mundo contém apenas fatos,
! a lógica de primeira ordem (como a
linguagem natural) assume que o mundo
contém:
! Objetos: pessoa, casa, números, cores, jogos,
guerras, …
! Relações: vermelho, redondo, primo, irmão de ,
maior do que, parte de , vem entre ….
! Funções: Pai de , melhor amigo , um mais que,
mais, …

81
Sintaxe da LPO
! Constantes KingJohn, 2, NUS,...
! Predicados Brother, >,...
! Funções Sqrt, LeftLegOf,...
! Variáveis x, y, a, b,...
! Conectivos ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔
! Igualdade =
! Quantificadores ∀, ∃

82
Sentenças atômicas
Sentença atômica = predicado (termo1,...,termon)
ou termo1 = termo2
Termo = função (termo1,...,termon)
ou constante ou variável
! Ex., Brother(KingJohn,RichardTheLionheart)
! >(Length(LeftLegOf(Richard)),
Length(LeftLegOf(KingJohn)))
( A perna esquerda de Richard é maior do que a de King John)

83
Sentenças complexas
! Sentenças complexas são feitas a partir de
sentenças atômicas usando conectivos
¬S, S1 ∧ S2, S1 ∨ S2, S1 ⇒ S2, S1 ⇔ S2,
Ex. Irmão(KingJohn,Richard) ⇒ Irmão(Richard,KingJohn)
>(1,2) ∨ ≤ (1,2)
>(1,2) ∧ ¬ >(1,2)

Verdade em Lógica de 1a Ordem
84
! Setenças são verdadeiras em relação a um modelo e uma
interpretação.
! Modelos contêm objetos (elementos do domínio) e relações
entre eles
! Uma interpretação especifica referentes para:
Símbolos de constantes → objetos
Símbolo de Predicados → relações
Símbolos de funções → relações funcionais
! Uma sentença atômica predicate(termo1,...,termon) é verdade
sse os objetos referenciados por termo1,...,termon
estão na relação referenciada por predicate

85
Modelos para a LPO: Exemplo
Como representar esse modelo em sentenças???

86
Modelos para a LPO: Exemplo
Para alguns casos restritos, podemos tentar enumerar os modelos para um
dado vocabulário de uma KB:
Para cada número de elementos no domínio n de 1 até ∞
Para cada predicado k-ário Pk no vocabulário
Para cada relação k-ária possível com n objetos
Para cada símbolo de constante C no vocabulário
Para cada escolha de referente para C em n objetos
A obtenção das conclusões lógicas por enumeração não vai ser nada fácil!

87
Quantificação Universal
! ∀<variáveis> <sentenças>
Todo mundo no CEFET é inteligente
∀x Em(x,CEFET) ⇒ Inteligente(x)
! ∀x P é verdade em um modelo m sse P é verdade com x sendo
cada possível objeto no modelo
! Grosso modo, equivale a uma conjunção de instanciações de P
Em(Petrônio,CEFET) ⇒ Inteligente(Petrônio)
∧ Em(Marcília, CEFET) ⇒ Inteligente(Marcília)
∧ Em(Assunção, CEFET) ⇒ Inteligente(Assunção)
∧ ...

88
Um erro comum a evitar
! Normalmente, ⇒ é o principal conectivo com ∀
! Erro comum: usar ∧ como o principal conectivo com ∀:
∀x Em(x,CEFET) ∧ Inteligente(x) significa:
“Todo mundo está no CEFET e todo mundo é inteligente”

89
Quantificação Existencial
! ∃<variáveis> <sentenças>
! Alguém no CEFET é inteligente:
! ∃x Em(x,CEFET) ∧ Inteligente(x)
! ∃x P é verdade em um modelo m sse P é verdade sendo x
algum objeto possível no modelo
! Grosso modo, equivale a uma disjunção de instanciações de P
Em(Petrônio, CEFET) ∧ Inteligente(Petrônio)
∨ Em(Marcília, CEFET) ∧ Inteligente(Marcília)
∨ Em(Assunção, CEFET) ∧ Inteligente(Assunção)
∨ ...

90
Outro erro comum a evitar
! Normalmente, ∧ é o principal conectivo com ∃
! Erro comum: usar ⇒ como o principal conectivo
com ∃:
∃x Em(x,CEFET) ⇒ Inteligente(x)
é verdade se existe alguém que não está no
CEFET.

91
Propriedades dos Quantificadores
! ∀x ∀y é o mesmo que ∀y ∀x
! ∃x ∃y é o mesmo que ∃y ∃x
! ∃x ∀y não é o mesmo que ∀y ∃x
! ∃x ∀y Ama(x,y)
! “Existe uma pessoa que ama todo mundo”
! ∀y ∃x Ama(x,y)
! “Todo mundo é amado por pelo menos uma pessoa”
! Dualidade dos quantificadores: cada um pode ser expressado
usando o outro
! ∀x Gosta(x,IceCream) ¬∃x ¬Gosta(x,IceCream)
(Τοdos gostam de sorvete) (não existe ninguém que não goste de sorvete)
! ∃x Gosta(x,Brócolis) ¬∀x ¬Gosta(x,Brócolis)
(Alguém gosta de brócolis) (Não é o caso que ninguém goste de brócolis)

92
Igualdade
! termo1 = termo2 é verdade sob uma dada interpretação sse
termo1 and termo2 referem-se ao mesmo objeto
! Ex., irmão a partir de Progenitor:
∀x,y Irmão(x,y) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m Progenitor(m,x) ∧
Progenitor(m,y) ]

93
Alguns exemplos
! Irmãos são amigos
∀ x,y Irmão(x,y) "Amigo(x,y).
! A Amizade é simétrica
! ∀ x,y Amigo(x,y) ↔ Amigo(y,x).
! A mãe de alguém é o seu progenitor feminino
! ∀ x,y Mãe(x,y) ↔ (Feminino(x) ^ Progenitor(x,y)).
! Um primo é um filho de um dos irmãos dos pais
! ∀ x,y Primo(x,y) ↔ ∃ p,ps Progenitor(p,x) ^ Irmão(ps,p)^ Progenitor(ps,y)

94
Usando a LPO
Domínio dos conjuntos:
! ∀s Conjunto(s) ⇔ (s = {} ) ∨ (∃x,s2 Conjunto(s2) ∧ s = {x|s2})
! ¬∃x,s {x|s} = {}
! ∀x,s x ∈ s ⇔ s = {x|s}
! ∀x,s x ∈ s ⇔ [ ∃y,s2} (s = {y|s2} ∧ (x = y ∨ x ∈ s2))]
! ∀s1,s2 s1 ⊆ s2 ⇔ (∀x x ∈ s1 ⇒ x ∈ s2)
! ∀s1,s2 (s1 = s2) ⇔ (s1 ⊆ s2 ∧ s2 ⊆ s1)
! ∀x,s1,s2 x ∈ (s1 ∩ s2) ⇔ (x ∈ s1 ∧ x ∈ s2)
! ∀x,s1,s2 x ∈ (s1 ∪ s2) ⇔ (x ∈ s1 ∨ x ∈ s2)

95
Interagindo com KBs em LPO
! Suponhamos um agente no mundo de Wumpus usando uma KB em LPO que
percebe um cheiro e uma brisa mas não cintilação em t=5
Tell(KB,Percepção([Cheiro, Brisa,Nada],5))
Ask(KB,∃a MelhorAção(a,5))
! I.e., a KB conclui a melhor ação particular para t=5?
Resposta: Sim, {a/Atirar} ← substituição (binding list)
! Dada uma sentença S e uma substituição σ
! Given a sentence S and a substitution σ,
! Sσ denota o resultado da substituição de σ em S. Ex.
S = MaisInteligente(x,y)
σ = {x/Marcília,y/Petrônio}
Sσ = MaisInteligente(Marcília,Petrônio)
! Ask(KB,S) retorna algum ou todas σ tais que KB╞ Sσ

96
Base de Conhecimento para o Mundo Wumpus
! Percepção
! ∀t,s,b Percebe([s,b,Cintilação],t) ⇒ Cintilação(t)
! Reflexo
! ∀t Cintilação(t) ⇒ MelhorAção(Segurar,t)
! Reflexo com estado interno
! ∀t EmOuro(t) ^ ~Segurando(Ouro,t) " MelhorAção(Segurar,t)

97
Deduzindo propriedades Ocultas
! ∀x,y,a,b Adjacente([x,y],[a,b]) ⇔
[a,b] ∈ {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]}
Propriedades dos Quadrados:
! ∀s,t At(Agente,s,t) ∧ Brisa(t) ⇒ Brisa(s)
Quadrados próximos a poços possuem brisa:
! Regra de Diagnóstico --- infere causa a partir de efeito
∀s Brisa(s) ⇒ ∃{r} Adjacente(r,s) ∧ Poço(r)
! Regra Causal --- infere efeito a partir da causa
∀r Poço(r) ⇒ [∀s Adjacente(r,s) ⇒ Brisa(s) ]

98
Engenharia do conhecimento
1. Identifique a tarefa
2. Reuna o conhecimento relevante
3. Decida sobre o vocabulário dos predicados
funções e constantes
4. Codifique o conhecimento geral sobre o
domínio
5. Codifique a descrição de uma instância
específica do problema
6. Coloque algumas questões para a máquina
de inferência e pegue as respostas
7. Debug a base de conhecimento

99
Domínio dos circuitos eletrônicos
Somador de 1 bit

100
1. Identifique a tarefa
! O circuito soma corretamente? (verificação do circuito)
2. Reunir o conhecimento relevante
! Composto de fios e portas; Tipos de portas(AND, OR,
XOR, NOT)
! Irrelevante: tamanho, desenho, cor e custo das portas
3. Definir o vocabulário
! Alternativas:
Type(X1) = XOR
Type(X1, XOR)
XOR(X1)

101
1. Codificar o conhecimento geral do problema
! ∀t1,t2 Connectados(t1, t2) ⇒ Sinal(t1) = Sinal(t2)
! ∀t Sinal(t) = 1 ∨ Sinal(t) = 0
! 1 ≠ 0
! ∀t1,t2 Conectados(t1, t2) ⇒ Conectados(t2, t1)
! ∀g Tipo(g) = OR ⇒ Sinal(Saida(1,g)) = 1 ⇔ ∃n
Sinal(Entrada(n,g)) = 1
! ∀g Tipo(g) = AND ⇒ Sinal(Saida(1,g)) = 0 ⇔ ∃n
Sinal(Entrada(n,g)) = 0
! ∀g Tipo(g) = XOR ⇒ Sinal(Saida(1,g)) = 1 ⇔
Sinal(Entrada(1,g)) ≠ Sinal(Entrada(2,g))
! ∀g Tipo(g) = NOT ⇒ Sinal(Saida(1,g)) ≠
Sinal(Entrada(1,g))

102
1. Codificar uma instância específica do problema
Tipo(X1) = XOR Tipo(X2) = XOR
Tipo(A1) = AND Tipo(A2) = AND
Tipo(O1) = OR
Conectados(Saída(1,X1),Entrada(1,X2)) Conectados(Entrada(1,C1), Entrada(1,X1))
Conectados(Saída(1,X1), Entrada(2,A2)) Conectados(Entrada(1,C1), Entrada(1,A1))
Conectados(Saída(1,A2), Entrada(1,O1)) Conectados(Entrada(2,C1), Entrada(2,X1))
Conectados(Saída(1,A1), Entrada(2,O1)) Conectados(Entrada(2,C1), Entrada(2,A1))
Conectados(Saída(1,X2),Saída(1,C1)) Conectados(Entrada(3,C1), Entrada(2,X2))
Conectados(Saída(1,O1),Saída(2,C1)) Conectados(Entrada(3,C1),Entrada(1,A2))

103
1. Coloque questões para o procedimento de
inferência
Quais são os possíveis conjuntos de valores para
todos os terminais no circuito somador?
∃i1,i2,i3,o1,o2 Sinal(Entrada(1,C1)) = i1 ∧ Sinal(Entrada(2,C1)) =
i2 ∧ Sinal(Entrada(3,C1)) = i3 ∧ Sinal(Saída(1,C1)) = o1 ∧
Sinal(Saída(2,C1)) = o2
1. Debug a base de conhecimento
Poderíamos ter omitido assertivas como 1 ≠ 0

104
Sumário
! Lógica de Primeira Ordem
! Objetos e relação são primitivos semânticos
! syntaxe: constantes, funções, predicados,
igualdade, quantificadores
! Aumenta o poder de expressão:
suficiente para definir o mundo wumpus

106
Roteiro
! Reduzindo inferência em LPO para
inferência em LP
! Unificação
! Modus Ponens Generalizado
! Encadeamento Pra Frente
! Encadeamento pra Trás
! Resolução

107
Instanciação Universal (UI)
! Toda instância de uma senteça universalmente quantificada é
consequência lógica da mesma.
∀v α
Subst({v/g}, α)
Para toda variável v e termo básico g
! Ex., ∀x Rei(x) ∧ Guloso(x) ⇒ Mau(x) leva a:
Rei(John) ∧ Guloso(John) ⇒ Mau(John)
Rei(Richard) ∧ Guloso(Richard) ⇒ Mau(Richard)
Rei(Pai(John)) ∧ Guloso(Pai(John)) ⇒ Mau(Pai(John))
.

108
Instanciação Existencial
! Para toda senteça α, variável v e símbolo de
constante k que não apareça em outro lugar na
based de conhecimento:
∃v α
Subst({v/k}, α)
! Ex., ∃x Coroa(x) ∧ NaCabeça(x,John) leva a:
Coroa(C1) ∧ NaCabeça(C1,John)
C1 is uma nova constante chamada constante de
Skolem

109
Redução à inferência Proposicional
Suponha que a KB contenha o seguinte:
∀x Rei(x) ∧ Guloso(x) ⇒ Mau(x)
Rei(John)
Guloso(John)
Irmao(Richard,John)
! Instanciando a setença universal em todas as formas possíveis
teremos:
Rei(John) ∧ Guloso(John) ⇒ Mau(John)
Rei(Richard) ∧ Guloso(Richard) ⇒ Mau(Richard)
Rei(John)
Guloso(John)
Irmao(Richard,John)
! A nova base de conhecimento “proposicionalizada” será:
Rei(John), Guloso(John), Mau(John), etc.

110
Redução cont.
! Toda KB em LPO pode ser “proposicionalizada” de
forma a preservar a conseqüência lógica.
! (Uma sentença básica (ground) é conseqüência
lógica da nova KB sse ela é conseqüência da KB
original)
! Idéia: “proposicionalizar” a KB e aplicar as
perguntas, aplicar a resolução e retornar os
resultados
! Problema: com funções existem infinitos termos
básicos.
! Ex., Father(Father(Father(John)))

111
Redução cont.
Teorema de Herbrand (1930). Se uma setença α é conseqüência
de uma KB em LPO, ela é conseqüência de um subconjunto
finito da KB proposicionalizada.
Idéia: For n = 0 to ∞ do
Criar uma KB proposicional instanciando com profundidade de “n”
termos
verificar se α is conseqüência desta KB
Problema: Funciona se α is conseqüência, fica em loop se α não é
conseqüência
Teorema de Turing (1936), Church (1936) Conseqüência lógica
para a LPO é semidecidível (Existem algoritmos que
dizem sim para toda sentença dedutível, mas
nenhum algoritmo existe que diga não para toda
sentença não dedutível)

112
Problemas com proposicionalização
! Geração de sentenças irrelevantes
! Ex. A partir de :
∀x Rei(x) ∧ Guloso(x) ⇒ Mau(x)
Rei(John)
∀y Guloso(y)
Irmao(Richard,John)
! É óbvio que Mau(john), mas proposicionalização produz fatos como
Guloso(Ricardo) que são irrelevantes
! Com p predicados de aridade k e n constants, teremos p·nk
instâncias.

113
Unificação
! Podemos obter uma inferência imediata se podemos encontrar uma
substituição θ tal que Rei(x) e Guloso(x) casa com Rei(John) e
Guloso(y)
θ = {x/John,y/John} funciona
! Unifica(α,β) = θ if αθ = βθ
p q θ
Conhece(John,x) Conhece(John,Jane) {x/jane}
Conhece(John,x) Conhece(y,Bill) {x/Bill, y/John}
Conhece(John,x) Conhece(y,Mae(y)) {y/John,x/Mae(John)}
Conhece(John,x) Conhece(x,OJ) = falha
! Padronização separada elimina sobreposição de variáveis, e.g.,
Conhece(z17,Bill)

Unificação
! Para unificar Conhece(John,x) e Conhece(y,z),
114
θ = {y/John, x/z } or θ = {y/John, x/John, z/John}
! O primeiro unificador é mais geral que o
segundo.
! Existe um único Unificador Mais Geral (UMG)
que é exclusivo para renomear variáveis.
UMG = { y/John, x/z }

115
O algoritmo de unificação

116
O algoritmo de unificação

117
Modus Ponens Generalizado(GMP)
p1', p2', … , pn', ( p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn ⇒q)
qθ
p1' é Rei(John) p1 é Rei(x)
p2' é Guloso(y) p2 é Guloso(x)
θ é {x/John,y/John} q é Mau(x)
q θ é Mau(John)
where pi'θ = pi θ for all i
! GMP é utilizado com KB de cláusulas definidas (exatamente um
literal positivo)
! Todas as variáveis são universalmente quantificadas

118
Exemplo de base de conhecimento
! A lei americana estabelece que é crime um
americano vender armas para nações hostis. O país
Nono, um inimigo dos EUA, tem alguns mísseis, e
todos estes mísseis foram vendidos pelo coronel
West, que é americano.
! Prove que o coronel West é um criminoso.

119
Exemplo de base de conhecimento. Cont.
... é um crime para um americano vender armar a nações hostis:
Americano(x) ∧ Arma(y) ∧ Vendeu(x,y,z) ∧ Hostil(z) ⇒ Criminoso(x)
Nono … tem alguns mísseis, i.e., ∃x Possui(Nono,x) ∧ Missil(x):
Possui(Nono,M1) ^ Missil(M1)
… todos os mísseis foram vendidos pelo coronel West
Missil(x) ∧ Possui(Nono,x) ⇒ Vendeu(West,x,Nono)
Misseis são armas:
Missil(x) ⇒ Arma(x)
Um inimigo dos EUA é "hostil“:
Inimigo(x,EUA) ⇒ Hostil(x)
West, que é um americano …
Americano(West)
O país Nono, um inimigo da America …
Inimigo(Nono,EUA)

120
Algoritmo de encadeamento pra frente

121
Prova de encadeamento pra frente

122

123

124
Propriedades do EF
! Consistente e completo para LPO com cláusulas
definidas
! Datalog = Cláusulas definidas em LPO + nenhuma
função
! EF conclui um Datalog em um número finito de
iterações
! Em geral não termina se α não é conseqüência
lógica
! Isto é inevitável : conseqüência lógica com cláusulas
definidas é semidecidível

125
Eficiência do EF
EF Incremental: não há necessidade de “casar” uma
regra na iteração k se uma premissa não foi
adicionada na iteração k-1
⇒ Casa-se cada regra cuja premissa contém um
literal positivo recentemente adicionado.
Casamento próprio pode ser expressivo:
Indexação de bases de dados permite O(1)
recuperação de fatos conhecidos
! e.x., a questão Missil(x) retorna Missil(M1)
EF é amplamente utilizada em bancos de dados
dedutivos.

Dif(wa,nt) ∧ Dif(wa,sa) ∧ Dif(nt,q) ∧
Dif(nt,sa) ∧ Dif(q,nsw) ∧ Dif(q,sa) ∧
Dif(nsw,v) ∧ Dif(nsw,sa) ∧ Dif(v,sa) ⇒
Coloravel()
Dif(Red,Blue) Dif (Red,Green)
Dif(Green,Red) Dif(Green,Blue)
Dif(Blue,Red) Dif(Blue,Green)
126
Exemplo de casamento difícil
! Coloravel() é inferido sse o PSR tem uma
solução
! O casamento é NP-Difícil

127
Algoritmo com encadeamento pra trás
SUBST(COMPOSE(θ1, θ2), p) = SUBST(θ2,
SUBST(θ1, p))

136
Propriedade do ET
! Busca recursiva em profundidade: espaço
linear no tamanho da prova
! Incompleta (loops infinitos)
! ⇒ corrige-se checando a meta atual em relação
com todas as metas na pilha
! Ineficiente devido a sub metas repetidas
! ⇒ Corrige-se colocando os resultados prévios em
uma cache (espaço extra)
! Muito usada em programação lógica

137
Programação Lógica: Prolog
! Algoritmo = Lógica + Controle
! Base: backward chaining (ET) com cláusulas de Horn
Muito usado na Europe e no japão (base do project 5ª geração)
! Programa = conjunto de cláusulas = head (cabeça) :- literal1, …
literaln.
Criminoso(X) :- americano(X), arma(Y), vendeu(X,Y,Z), hostil(Z).
! Busca em profundidade ET esquerda pra direita
! Predicados pre-prontos para aritmética:, ex, X is Y*Z+3
! Predicados pré-prontos possuem efeitos colaterais (ex. Entradas e saidas)
! Predicados do tipo assert/retract
! Pressuposto de um mundo fechado (negação como falha)
! ex., dada alive(X) :- not dead(X).
! alive(joe) obtém sucesso se dead(joe) falha

138
Prolog
! Acrescentando uma lista à outra
append([],Y,Y).
append([X|L],Y,[X|Z]) :- append(L,Y,Z).
! Pergunta (meta): append(A,B,[1,2]) ?
! resposta: A=[] B=[1,2]
A=[1] B=[2]
A=[1,2] B=[]

139
Resolução: breve sumário
! Versão em primeira ordem
l1 ∨ ··· ∨ lk, m1 ∨ ··· ∨ mn
(l1 ∨ ··· ∨ li-1 ∨ li+1 ∨ ··· ∨ lk ∨ m1 ∨ ··· ∨ mj-1 ∨ mj+1 ∨ ··· ∨ mn)θ
onde Unificar (li, ¬mj) = θ.
! Considera-se que as duas cláusulas foram padronizadas em separado
de forma que elas não compartilham variáveis
! Por exemplo,
¬Rico(x) ∨ Infeliz(x)
Rico(Ken)
Unhappy(Ken)
with θ = {x/Ken}
! Aplicar passos de resolução a FNC(KB ∧ ¬α); completo para LPO

Conversão para FNC
! Todo mundo que ama todos os animais é amado por
alguém:
140
∀x [∀y Animal(y) ⇒ Loves(x,y)] ⇒ [∃y Loves(y,x)]
! 1.Elimina-se bicondicionais e implicações
∀x [¬∀y ¬Animal(y) ∨ Loves(x,y)] ∨ [∃y Loves(y,x)]
! 2. Mover ¬ pra dentro: ¬∀x p ≡ ∃x ¬p, ¬ ∃x p ≡ ∀x
¬p
∀x [∃y ¬(¬Animal(y) ∨ Loves(x,y))] ∨ [∃y Loves(y,x)]
∀x [∃y ¬¬Animal(y) ∧ ¬Loves(x,y)] ∨ [∃y Loves(y,x)]
∀x [∃y Animal(y) ∧ ¬Loves(x,y)] ∨ [∃y Loves(y,x)]

141
Conversão para FNC cont.
1. Padronização de variáveis : cada quantificador usa uma
diferente
∀x [∃y Animal(y) ∧ ¬Loves(x,y)] ∨ [∃z Loves(z,x)]
2. Skolemizar: uma forma mais geral de instanciação
existencial.
Cada variável existential é substituída por uma função de Skolem of
das variáveis quantificadas universalmente.
∀x [Animal(F(x)) ∧ ¬Loves(x,F(x))] ∨ Loves(G(x),x)
3. Desprezar quantificadores Universais:
[Animal(F(x)) ∧ ¬Loves(x,F(x))] ∨ Loves(G(x),x)
4. Distribuir ∨ sobre ∧ :
[Animal(F(x)) ∨ Loves(G(x),x)] ∧ [¬Loves(x,F(x)) ∨ Loves(G(x),x)]

142
Prova por resolução de cláusulas definidas

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