O documento apresenta conceitos iniciais sobre listas em Matemática Discreta, incluindo notação, igualdade, concatenação e contagem de listas. Explica o conceito de fatorial e como ele é usado para contar listas com elementos repetidos ou distintos.

1. Matemática Discreta
Listas e Fatorial
RANILSON PAIVA
RANILSONPAIVA@IC.UFAL.BR

2. Listas | Conceitos Iniciais
 Uma lista é uma sequência ordenada de objetos.
 Notação
 Elementos das lista delimitados por parênteses.
 (1, 2, Z): lista com 3 elementos, onde o primeiro elementos é o número 1, o
segundo é número 2 e o terceiro é o conjunto dos números inteiros, nesta
ordem.
 Lista vazia: ()
 Par ordenado = Lista com 2 elementos: (1, 2)
 Pontos em um plano cartesiano (x, y)
 Listas com os mesmos elementos, mas em ordem diferente geram listas
diferentes: (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1)
 Listas podem conter elementos repetidos: (1, 1, 2, 2, 3)
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3. Listas | Conceitos Iniciais
 Comprimento de listas
 Corresponde ao número de elementos que ela contém.
 (a, b, c, d, e, f): lista com comprimento 6.
 Igualdade de listas
 Quando as listas possuem o mesmo comprimento e os seus elementos, em
suas respectivas posições, forem iguais.
 As listas (a, b, c) e (x, y, z) serão iguais se e somente se: a =x, b = y e c = z.
 Concatenação de Listas
 A concatenação das listas A e B resulta em uma lista C, que é formada pelos
elementos de A, seguidos pelos elementos de B
 A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6) -> Concatenar A e B = C = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
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4. Listas | Conceitos Iniciais
 “Ver as coisas como listas”
 Um número
 2706 = (2, 7, 0, 6)
 Uma palavra
 Matemática = (M, a, t, e, m, á, t, i, c, a)
 * Case sensitive: (M, a, t, e, m, á, t, i, c, a) = (m, a, t, e, m, á, t, i, c, a)
 Uma frase/expressão
 Vá com Deus: (V, á, , c, o, m, , D, e, u, s)
 2 + (2 * 4) / 2: (2, +, (, 2, *, 4, ), /, 2)
 Atenção: como devemos proceder se precisamos adicionar parênteses (como elementos) a uma
lista??
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5. Listas | Contagem (2 Elementos)
 Quantas listas, com 2 elementos, podemos gerar com os valores 1, 2, 3
e 4?
 16 listas
 Escrevendo todas as possibilidades, temos:
 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
 Calculando, temos:
 n linhas para n listas, ou seja, n * n -> n² listas possíveis
 4 * 4 = 16 listas
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6. Listas | Contagem (2 Elementos)
 Quantas listas, com 2 elementos, podemos gerar quando queremos
listas com elementos distintos, para os valores 1, 2, 3 e 4?
 12 listas
 Escrevendo todas as possibilidades, temos:
 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
 Calculando, temos:
 n linhas para n – 1 listas, ou seja, n * n – 1
 4 * 3 = 12 listas
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7. Listas | Contagem (2 Elementos)
 EXEMPLOS
 De quantas formas podemos organizar 2 letras do alfabeto?
 Com repetição
 Sem repetição
 Um grupo de 10 pessoas desejam se eleger para os cargos de
presidente e vice-presidente de um órgão público. De quantas
formas podemos preencher os dois cargos?
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8. Listas | Contagem (* Elementos)
 E se tivéssemos 3 elementos?
 E se tivéssemos 4 elementos?
 E se tivéssemos k elementos?
 Com repetição: nk
 Sem repetição: n – (k – 1)*
 Um problema: Quantas listas com 6 elementos (k = 6) podemos formar
com os 4 algarismos (ou opções; n = 4) 1, 2, 3 e 4, sem repetição?
 4 * 3 * 2 * 1 * 0 * -1???
 O resultado é válido, mas o raciocínio não está apropriado
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9. Listas | Fatorial
 Notação
n! = 𝑘=1
𝑛
𝑘
 Sendo 1 <= k <= n
 : pi maiúsculo (produto)
 k = 1: limite inferior (inicia em 1)
 n: limite superior (termina em n)
 k: variável de referência
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10. Listas | Fatorial
 n! = 𝑘=1
6
𝑘
 Sendo 1 <= k <= 6
 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720
 n! = 𝑘=1
4
(3𝑘 − 1)
 Sendo 1 <= k <= 4
 (3 * 1 – 1) * (3 * 2 – 1) * (3 * 3 – 1) * ( 3 * 4 – 1) = ?
 n! = 𝑘=1
0
𝑘
 Sendo 1 <= k <= 0 (OPS!)
 0! = 1
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11. Exercícios
 Listas
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Páginas 38 e 39.
 Fatorial
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Páginas 57 e 58.
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12. Recursos Online
 http://www.cengage.com.br/ls/matematica-discreta-uma-introducao/
 https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta
 https://www.slideshare.net/InesTeixeiraDuarte/definies-bsicas-da-matemtica
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13. Referências (Primárias)
SCHEINERMAN, E. R. Matemática
Discreta, uma Introdução.
Editora: Cengage Learning. 2016.
MATEMÁTICA DISCRETA | LISTAS E FATORIAL 13

14. Referências (Primárias)
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Matemática Discreta: Coleção
Schaum. Bookman Editora, 2013.
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15. Referências (Secundárias)
 GERSTING, J. L.. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5a edição.
Editora: LTC. ISBN 8521614225. 2004.
 MENEZES, P. B.. Matemática Discreta para Computação e Informática. 2a edição. Editora:
Bookman. 2008.
 ROSEN, K.. Discrete Mathematics and its Applications. 6th edition. Editora: McGraw-Hill.
2007.
 EVARISTO, Jaime. Introdução à Álgebra Abstrata. 2a edição. EDUFAL, Maceió, 2002.
 LOVÁSZ, J., PELIKÁN, J., VESZTERGOMBI, K.. Discrete Mathematics: Elementary and Beyond.
Editora: Springer. 2003.
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16. Dúvidas?
SLIDES DISPONÍVEIS EM: WWW.SLIDESHARE.NET/RANILSONPAIVA
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