1) O documento apresenta os conceitos básicos da lógica matemática, incluindo definições de argumento, proposição, princípios da lógica clássica e implicação. 2) A lógica sentencial estuda a validade de fórmulas construídas a partir de símbolos proposicionais usando operadores lógicos. As regras de construção de fórmulas e supressão de parênteses são explicadas.

1. L´OGICA MATEM´ATICA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Conceitos B´asicos
1.1 O Que ´E a L´ogica?
A palavra “l´ogica” tem sua origem etimol´ogica no grego logos, que sig-
nifica raz˜ao. Na filosofia ´e o discurso que busca a raz˜ao. A l´ogica estuda a
rela¸c˜ao de consequˆencia que regula a rela¸c˜ao entre as premissas e a conclus˜ao
de um argumento v´alido. A l´ogica matem´atica estuda a verdade ou falsidade
dos enunciados matem´aticos e a validade dos argumentos matem´aticos.
1.2 Argumento
Um argumento ´e um sistema de senten¸cas declarativas, uma das quais ´e
chamada de conclus˜ao e as outras de premissas. Um argumento ´e leg´ıtimo
(ou v´alido) quando a conclus˜ao decorre, ou ´e consequˆencia, de suas premissas.
A validade de um argumento ´e independente da verdade ou falsidade de
suas premissas e conclus˜ao.
EXEMPLOS
1.
Todos os homens s˜ao mortais;
Todos os gregos s˜ao homens;
Logo, todos os gregos s˜ao mortais
Este argumento ´e leg´ıtimo, possuindo premissas verdadeiras e conclus˜ao
verdadeira.
1

2. As premissas do argumento s˜ao:
1. “Todos os homens s˜ao mortais”
2. “Todos os gregos s˜ao homens”
e a conclus˜ao ´e “todos os gregos s˜ao mortais”.
Para verificar se o argumento ´e v´alido, basta ver se a conclus˜ao decorre das
premissas, independente de serem verdadeiras ou falsas, tanto as premissas,
quanto a conclus˜ao. Neste caso, podemos usar as propriedades dos conjuntos:
H conjunto dos homens
M conjunto dos mortais
G conjunto dos gregos
Isso significa que o argumento ´e
se H ⊆ M e G ⊆ H ent˜ao G ⊆ M
que ´e uma propriedade dos conjuntos. Isso prova que o argumento ´e leg´ıtimo.
2.
Todos os homens s˜ao mortais;
S´ocrates ´e homem;
Logo, S´ocrates ´e mortal.
Argumento leg´ıtimo, com premissas verdadeiras e conclus˜ao verdadeira.
Basta ver que, se s ´e S´ocrates, ent˜ao o argumento ´e
se H ⊆ M e s ∈ H ent˜ao s ∈ M
que ´e trivialmente verdadeiro pelas propriedades dos conjuntos.
3.
Todos os homens s˜ao h´abeis;
Todos os primatas s˜ao homens;
Logo, todos os primatas s˜ao h´abeis.
Argumento leg´ıtimo com premissas e conclus˜ao falsas.
2

3. 4.
Alguns homens s˜ao h´abeis;
Alguns primatas s˜ao homens;
Logo, alguns primatas s˜ao h´abeis.
Argumento ileg´ıtimo, com premissas e conclus˜ao verdadeiras.
H conjunto dos homens
E conjunto dos seres h´abeis
P conjunto dos primatas
Para verificar que este argumento n˜ao ´e v´alido, basta ver que o argumento,
em sua primeira premissa, n˜ao afirma que H ⊆ E, mas que H ∩ E n˜ao ´e um
conjunto vazio. Digamos que H ∩ E = A. Sua segunda premissa afirma que
P ∩ H = B e B ´e n˜ao-vazio. Como nada sabemos sobre os conjuntos A e B,
a n˜ao ser que s˜ao n˜ao-vazios, n˜ao podemos afirmar que A ∩ B ´e n˜ao-vazio,
exigˆencia para que P ∩E seja n˜ao-vazio. Assim, a conclus˜ao n˜ao decorre das
premissas e o argumento n˜ao ´e v´alido.
1.3 Proposi¸c˜ao ou Senten¸ca
Chama-se proposi¸c˜ao ou senten¸ca toda ora¸c˜ao declarativa que pode ser
classificada em verdadeira ou em falsa. Toda proposi¸c˜ao exprime um pensa-
mento de sentido completo, transmitindo um ju´ızo.
EXEMPLOS
1. “Recife ´e a capital de Pernambuco” ´e uma proposi¸c˜ao
2. 7 > 5 ´e uma proposi¸c˜ao
3. 10 + 5 = 3 ´e uma proposi¸c˜ao (neste caso falsa)
4. 5 × 3 + 10 n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao pois n˜ao denota um valor-verdade
(verdadeiro ou falso)
5. 2 ∈ R? n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao pois n˜ao ´e uma ora¸c˜ao declarativa, mas
uma frase interrogativa
3

4. 6. x+1 = 5 n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao, pois n˜ao exprime uma ideia completa,
j´a que n˜ao est´a especificado o valor da vari´avel x, sendo imposs´ıvel
determinar se a ora¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa
1.4 Os Dois Princ´ıpios Fundamentais da L´ogica Cl´as-
sica
Princ´ıpio da n˜ao-contradi¸c˜ao Uma proposi¸c˜ao n˜ao pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo
Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo Toda proposi¸c˜ao ´e verdadeira ou ´e falsa,
isto ´e, verifica-se sempre um destes dois casos e nunca um terceiro
1.5 Por Que N˜ao Podemos Permitir a Existˆencia das
Contradi¸c˜oes na L´ogica?
Podemos mostrar que qualquer absurdo pode ser deduzido a partir de
uma contradi¸c˜ao. Como exemplo disto, vamos demonstrar que a afirma¸c˜ao
“a bengala est´a no canto da sala” pode ser deduzida se afirmarmos “S´ocrates
morreu em 399 a.C. e S´ocrates n˜ao morreu em 399 a.C.”, que ´e uma con-
tradi¸c˜ao.
1. S´ocrates morreu em 399 a.C. e S´ocrates n˜ao morreu em 399 a.C. [Pre-
missa, o que ´e tomado como verdade a priori]
2. S´ocrates morreu em 399 a.C. [consequˆencia de 1, pois se duas coisas
s˜ao verdadeiras, cada uma delas ´e verdadeira por si mesma]
3. S´ocrates morreu em 399 a.C. ou a bengala est´a no canto da sala [decorre
de 2, pois basta que uma afirma¸c˜ao P seja verdade para que a afirma¸c˜ao
P ou Q seja verdade, para qualquer Q]
4. S´ocrates n˜ao morreu em 399 a.C. [consequˆencia de 1]
5. A bengala est´a no canto da sala [decorre de 3 e 4, j´a que para que P ou
Q ser verdade, pelo menos um deles deve ser verdade; como sabemos
que P ´e falso por 4, ent˜ao necessariamente Q deve ser verdadeiro]
6. Est´a provado.
4

5. 1.6 Condicional ou Implica¸c˜ao
Uma ora¸c˜ao declarativa do tipo “se P ent˜ao Q” ´e chamada de condici-
onal ou implica¸c˜ao. Um condicional declara que se P ´e verdadeiro ent˜ao,
necessariamente, Q deve ser verdadeiro.
EXEMPLOS
1. “Se ´e dia, ent˜ao h´a luz”
2. “Se todos os homens s˜ao mortais e todos os gregos s˜ao homens, ent˜ao
todos os gregos s˜ao mortais” (condicional equivalente ao argumento
apresentado anteriormente)
2 L´ogica Sentencial e C´alculo Proposicional
2.1 Defini¸c˜ao e Elementos
A l´ogica sentencial estuda a validade das proposi¸c˜oes ou f´ormulas, defi-
nidas a partir de uma nota¸c˜ao espec´ıfica, e a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica
entre f´ormulas. A linguagem, formada pela nota¸c˜ao da l´ogica sentencial e
regras de inferˆencia, constitui o que chamamos de c´alculo proposicional.
A l´ogica sentencial desconsidera a estrutura interna das f´ormulas. Assim,
Jo˜ao ´e amigo de Jos´e
P
e
∧
Pedro ´e amigo de Paulo
Q
ou
P ∧ Q
onde P e Q s˜ao as letras sentenciais ou s´ımbolos proposicionais. P, Q e
P ∧ Q s˜ao proposi¸c˜oes do c´alculo proposicional. Observe que P e Q tem
uma estrutura interna, que inclui os elementos “Jo˜ao”, “Jos´e”, “Pedro” e
“Paulo”, e o predicado “´e amigo de”. No entanto, no c´alculo proposicional,
estes elementos s˜ao desconsiderados.
Os elementos que formam a l´ogica sentencial (formando a sintaxe da
l´ogica sentencial) s˜ao os seguintes:
S´ımbolos proposicionais P, Q, R, S, . . . (letras mai´usculas do meio do
alfabeto)
5

6. Operadores S˜ao os seguintes os operadores do c´alculo proposicional:
¬ ou ˜ (nega¸c˜ao),
∧ (conjun¸c˜ao),
∨ (disjun¸c˜ao),
→ (implica¸c˜ao) e
≡ ou ↔ (bicondicional)
F´ormulas As f´ormulas da linguagem s˜ao constru´ıdas usando-se as seguintes
regras de constru¸c˜ao:
• Todo s´ımbolo proposicional P ´e f´ormula da linguagem (chamada
de f´ormula atˆomica)
• Sejam α e β f´ormulas. Ent˜ao, tamb´em s˜ao f´ormulas da linguagem
as seguintes express˜oes:
1. (¬α)
2. (α ∧ β)
3. (α ∨ β)
4. (α → β)
5. (α ≡ β)
EXEMPLOS
Provar que as seguintes express˜oes s˜ao f´ormulas do c´alculo proposicional:
1. (¬(P ∧ Q))
(a) P e Q s˜ao f´ormulas (f´ormulas atˆomicas)
(b) (P ∧Q) [pela defini¸c˜ao 2, com P e Q sendo f´ormulas, como provado
no passo anterior]
(c) (¬(P ∧ Q)) [pela defini¸c˜ao 1, com (P ∧ Q) sendo uma f´ormula,
como provado no passo anterior]
(d) Est´a provado
6

7. 2. ((¬P) ∧ Q)
(a) P e Q s˜ao f´ormulas
(b) (¬P) [pela defini¸c˜ao 1, com P sendo uma f´ormula por 2a]
(c) ((¬P) ∧ Q) [pela defini¸c˜ao 2, com (¬P) sendo uma f´ormula por
2b e Q sendo f´ormula por 2a]
(d) Est´a provado
3. ((P → Q) ∨ (P ≡ R))
(a) P, Q e R s˜ao f´ormulas atˆomicas
(b) (P → Q) [pela defini¸c˜ao 4]
(c) (P ≡ R) [pela defini¸c˜ao 5]
(d) ((P → Q) ∨ (P ≡ R)) [pela defini¸c˜ao 3, sendo f´ormulas (P → Q)
e (P ≡ R), como provado nas linhas anteriores]
(e) Est´a provado
4. ((P ∨ Q) → (Q ∧ P))
(a) P e Q s˜ao f´ormulas atˆomicas
(b) (P ∨ Q) [pela defini¸c˜ao 3]
(c) (Q ∧ P) [pela defini¸c˜ao 2]
(d) ((P ∨ Q) → (Q ∧ P)) [pela defini¸c˜ao 4]
(e) Est´a provado
5. (P → (Q → R))
(a) P, Q e R s˜ao f´ormulas atˆomicas
(b) (Q → R) [pela defini¸c˜ao 4]
(c) (P → (Q → R)) [pela defini¸c˜ao 4]
(d) Est´a provado
6. (P → QR) n˜ao ´e uma f´ormula v´alida pois falta um conectivo entre as
proposi¸c˜oes Q e R.
7. (P → ∨Q) n˜ao ´e uma f´ormula v´alida pois dois conectivos n˜ao podem
estar juntos sem uma proposi¸c˜ao entre eles.
7

8. REGRAS DE SUPRESS˜AO DE PARˆENTESES
1. Parˆenteses externos podem ser omitidos
2. A nega¸c˜ao aplica-se `a menor f´ormula poss´ıvel
3. A conjun¸c˜ao e a disjun¸c˜ao aplicam-se `as menores f´ormulas poss´ıveis
4. A associatividade ´e `a direita
EXEMPLOS
1. (¬(P ∧ Q)) ´e equivalente `a ¬(P ∧ Q) pela regra 1 (observe que os
parˆenteses que sobraram n˜ao podem ser eliminados devido `a regra 2)
2. ((¬P) ∧ Q) ´e equivalente `a ¬P ∧ Q pelas regras 1 e 2
3. ((P → Q) ∨ (P ≡ R)) ´e equivalente `a (P → Q) ∨ (P ≡ R) pela regra
1 (os parˆenteses remanescentes n˜ao podem ser omitidos pela regra 3)
4. ((P ∨ Q) → (Q ∧ P)) ´e equivalente `a P ∨ Q → Q ∧ P pelas regras 1 e 3
5. (P → (Q → R)) ´e equivalente `a P → Q → R pelas regras 1 e 4
PRECEDˆENCIA DE OPERADORES
Maior precedˆencia ¬
∧
∨
→
Menor precedˆencia ≡
EXEMPLO
A f´ormula P ∨ Q ∧ R deve ser entendida como P ∨ (Q ∧ R).
8

9. 2.2 Operadores L´ogicos e Tabelas-Verdade
2.2.1 Nega¸c˜ao (N˜ao)
A proposi¸c˜ao ¬P ou ˜P (leia-se “N˜ao P”) tem sempre o valor oposto de
P, ou seja, se P ´e V (verdade), ¬P ´e F (falsidade) e se P ´e F, ¬P ´e V.
A tabela a seguir, chamada de tabela-verdade, resume o crit´erio de ava-
lia¸c˜ao de ¬P,
P ¬P
V F
F V
2.2.2 Conjun¸c˜ao (E)
O conectivo ∧ pode ser lido como “E”. A conjun¸c˜ao P ∧ Q ´e V (verdade)
se P e Q s˜ao ambos V. Se ao menos uma das proposi¸c˜oes P ou Q for F
(falsidade), ent˜ao a conjun¸c˜ao ´e F.
P Q P ∧ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
2.2.3 Disjun¸c˜ao (Ou)
O conectivo ∨ pode ser lido como “OU”. A disjun¸c˜ao P ∨ Q ´e V se ao
menos uma das proposi¸c˜oes P ou Q for V. Se ambas as proposi¸c˜oes P e Q
forem F, ent˜ao a disjun¸c˜ao ´e F.
P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
9

10. 2.2.4 Condicional ou Implica¸c˜ao (Se . . . Ent˜ao . . . )
O condicional P → Q (leia-se “Se P Ent˜ao Q” ou “P Implica Q”) ´e
um conectivo l´ogico que ´e F somente quando P ´e V e Q ´e F. Isso significa
que a verdade nunca pode implicar em uma falsidade, mas a falsidade pode
implicar em qualquer coisa. Em P → Q, P ´e chamado de antecedente da
implica¸c˜ao e Q ´e chamado de consequente da implica¸c˜ao.
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
2.2.5 Bicondicional ou Equivalˆencia (Se e Somente Se)
O bicondicional P ≡ Q ou P ↔ Q (leia-se “P equivalente `a Q” ou “P se e
somente se Q”) ´e um conectivo l´ogico que ´e V sempre que os valores-verdade
de P e Q forem idˆenticos e F caso contr´ario.
P Q P ≡ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
2.3 Constru¸c˜ao de Tabelas-Verdade
O valor-verdade de uma proposi¸c˜ao depende dos valores-verdade das pro-
posi¸c˜oes simples (s´ımbolos proposicionais ou letras sentenciais) e dos conec-
tivos que unem estas proposi¸c˜oes. Assim, podemos definir estes valores por
meio de uma tabela chamada de tabela-verdade. Cada uma das linhas de
uma tabela-verdade corresponde a uma combina¸c˜ao de valores-verdade de
seus s´ımbolos proposicionais que ´e chamada de interpreta¸c˜ao.
Teorema 1 A tabela-verdade de uma proposi¸c˜ao composta por n s´ımbolos
proposicionais cont´em 2n
linhas.
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11. 2.3.1 Primeira Vers˜ao
Como estrat´egia para a contru¸c˜ao da tabela-verdade, iniciamos pelos ope-
radores mais internos (os que primeiro ser˜ao avaliados) e assim sucessiva-
mente em colunas da tabela.
EXEMPLOS
1. ¬(P ∧ ¬Q)
Como n = 2, a tabela tem 22
= 4 linhas.
P Q ¬Q P ∧ ¬Q ¬(P ∧ ¬Q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2. ¬(P ∧ Q) ∨ ¬(Q ≡ P)
P Q P ∧ Q Q ≡ P ¬(P ∧ Q) ¬(Q ≡ P) ¬(P ∧ Q) ∨ ¬(Q ≡ P)
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
3. ¬(P ∨ Q) → R
Neste caso, n = 3 e a tabela tem 23
= 8 linhas.
P Q R P ∨ Q ¬(P ∨ Q) ¬(P ∨ Q) → R
V V V V F V
V V F V F V
V F V V F V
V F F V F V
F V V V F V
F V F V F V
F F V F V V
F F F F V F
11

12. 2.3.2 Segunda Vers˜ao
Podemos construir uma tabela-verdade mais compacta se dividirmos a
f´ormula em seus s´ımbolos (letras sentenciais e operadores), atribuindo colunas
para cada s´ımbolo e preenchendo estas colunas com seus valores-verdade.
Marcamos a coluna que corresponde ao resultado final, que ´e aquela que
cont´em o operador mais externo da express˜ao (´ultimo a ser avaliado).
EXEMPLOS
1. ¬(P ∧ ¬Q)
P Q ¬ (P ∧ ¬ Q)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V V F F F V
F F V F F V F
2. (P → Q) ∧ (Q → P)
P Q (P → Q) ∧ (Q → P)
V V V V V V V V V
V F V F F F F V V
F V F V V F V F F
F F F V F V F V F
3. ¬(P ∨ Q) → R
P Q R ¬ (P ∨ Q) → R
V V V F V V V V V
V V F F V V V V F
V F V F V V F V V
V F F F V V F V F
F V V F F V V V V
F V F F F V V V F
F F V V F F F V V
F F F V F F F F F
12

13. 2.4 Tautologias, Contingˆencias e Contradi¸c˜oes
Uma tautologia ´e uma proposi¸c˜ao composta que ´e sempre verdadeira, ou
seja, aquela cuja tabela-verdade encerra apenas a letra V (verdade) em sua
´ultima coluna. Representamos as tautologias usando o s´ımbolo |=. Assim,
se a proposi¸c˜ao P ´e uma tautologia, dizemos que |= P. Importante enfatizar
que o s´ımbolo |= ´e uma nota¸c˜ao que representa um resultado semˆantico, ou
seja, obtido por meio de valores l´ogicos.
Uma contradi¸c˜ao ou proposi¸c˜ao logicamente falsa ´e uma proposi¸c˜ao com-
posta que ´e sempre falsa, ou seja, aquela cuja tabela-verdade encerra apenas
a letra F (falsidade) em sua ´ultima coluna.
Uma contingˆencia ´e uma proposi¸c˜ao composta que apresenta na ´ultima
coluna de sua tabela-verdade pelo menos um V e pelo menos um F.
O conjunto das tautologias e das contingˆencias constitui-se no conjunto
das proposi¸c˜oes que s˜ao satisfat´ıveis, ou seja, que s˜ao verdadeiras em pelo
menos uma interpreta¸c˜ao. As proposi¸c˜oes contradit´orias s˜ao as proposi¸c˜oes
insatisfat´ıveis, ou seja, aquelas que n˜ao s˜ao verdadeiras em nenhuma inter-
preta¸c˜ao.
EXEMPLOS
1. P ∨ ¬P
P ¬P P ∨ ¬P
V F V
F V V
Logo, P ∨ ¬P ´e uma tautologia. Ou seja, |= P ∨ ¬P.
2. P ∧ ¬P
P ¬P P ∧ ¬P
V F F
F V F
Logo, P ∧ ¬P ´e uma contradi¸c˜ao.
13

14. 3. P ∨ Q → P
P Q P ∨ Q P ∨ Q → P
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Logo, P ∨ Q → P ´e uma contingˆencia.
4. ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
P Q P ∧ Q ¬(P ∧ Q) ¬P ¬Q ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
Logo, ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q) ´e uma tautologia. Ou seja,
|= ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
2.5 Rela¸c˜ao de Consequˆencia L´ogica
Uma proposi¸c˜ao P ´e consequˆencia l´ogica de um conjunto qualquer de
proposi¸c˜oes A se, para cada interpreta¸c˜ao v (linha da tabela-verdade) que
satisfaz todas as f´ormulas do conjunto A, v tamb´em satisfaz a proposi¸c˜ao P.
Usamos a nota¸c˜ao A |= P para indicar que P ´e consequˆencia l´ogica de
A, ou A acarreta P, ou A implica logicamente P. Novamente ´e importante
enfatizar que, assim como na nota¸c˜ao para tautologias, |= ´e uma rela¸c˜ao
semˆantica, obtida por meio da an´alise de valores l´ogicos.
EXEMPLOS
1. Verificar se {P, P → Q} |= Q
P Q P P → Q Q
V V V○ V○ V○
V F V F F
F V F V V
F F F V F
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15. Logo, verifica-se a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica.
2. Verificar se {P ∨ Q, P → Q} |= P
P Q P ∨ Q P → Q P
V V V○ V○ V○
V F V F V
F V V○ V○ SSF
F F F V F
Logo, n˜ao verifica-se a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica.
3. Verificar se {P ∧ ¬P} |= Q
P Q P ∧ ¬P Q
V V F V
V F F F
F V F V
F F F F
Para concluir que a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica n˜ao verifica-se ´e
necess´ario encontrar uma linha em que P ∧¬P ´e V, e encontrar um F na
´ultima coluna desta linha. No entanto, como P ∧¬P ´e uma contradi¸c˜ao,
n˜ao h´a como provar que a consequˆencia n˜ao se verifica. Portanto,
por vacuidade, a rela¸c˜ao de consequˆencia l´ogica verifica-se neste caso.
Assim, podemos dizer que uma contradi¸c˜ao acarreta qualquer coisa.
2.6 Regra da Substitui¸c˜ao e Esquemas de Tautologias
Teorema 2 Seja α uma f´ormula contendo o s´ımbolo proposicional X e seja
α∗
o resultado da substitui¸c˜ao de todas as ocorrˆencias de X em α pela f´ormula
β. Logo, se |= α ent˜ao |= α∗
.
Chamamos α∗
de uma instˆancia de α e o processo de aplica¸c˜ao do Teo-
rema 2 de instancia¸c˜ao. Fica ´obvio que, por meio da regra da substitui¸c˜ao,
podemos obter infinitas instˆancias de uma f´ormula α qualquer.
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16. EXEMPLOS
1. Sejam α = (P → (Q → P)), X = P e β = P ∨ Q. Ent˜ao, α∗
= (P ∨
Q → (Q → P ∨ Q)). Assim, como |= (P → (Q → P)), pelo teorema
da substitui¸c˜ao, podemos afirmar que |= (P ∨ Q → (Q → P ∨ Q)).
2. Sejam α = (P → (Q → P)), X = P e β = Q → P. Ent˜ao, α∗
=
((Q → P) → (Q → (Q → P))). Assim, como |= (P → (Q → P)), pelo
teorema da substitui¸c˜ao, podemos afirmar que |= ((Q → P) → (Q →
(Q → P))).
3. Se |= ((P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))) ent˜ao, pelo
teorema da substitui¸c˜ao, |= ((P → (Q → (Q → P))) → ((P → Q) →
(P → (Q → P)))), onde substitui-se R por Q → P.
Um esquema de f´ormula representa uma infinidade de f´ormulas, obtidas
por instanciamento de seus s´ımbolos proposicionais. Qualquer f´ormula obtida
a partir de um esquema de tautologia, por meio de instancia¸c˜ao, tamb´em ´e
uma tautologia.
2.7 Algumas Leis da L´ogica
2.7.1 Introdu¸c˜oes e Elimina¸c˜oes de S´ımbolos L´ogicos
1. |= P → (Q → P)
2. |= (P → Q) → ((P → (Q → R)) → (P → R))
3. |= P → (Q → P ∧ Q)
4. |= P ∧ Q → P
5. |= P ∧ Q → Q
6. |= P → P ∨ Q
7. |= Q → P ∨ Q
8. |= (P → R) → ((Q → R) → (P ∨ Q → R))
9. |= (P → Q) → ((P → ¬Q) → ¬P)
10. |= ¬¬P → P
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17. 11. |= (P → Q) → ((Q → P) → (P ≡ Q))
12. |= (P ≡ Q) → (P → Q)
13. |= (P ≡ Q) → (Q → P)
2.7.2 Princ´ıpio da Identidade, Cadeia de Inferˆencias, Troca de
Premissas, Importa¸c˜ao e Exporta¸c˜ao
1. |= P → P
2. |= (P → Q) → ((Q → R) → (P → R))
3. |= P → (Q → R) ≡ Q → (P → R)
4. |= P → (Q → R) ≡ P ∧ Q → R
2.7.3 Nega¸c˜ao do Antecedente e Contraposi¸c˜ao
1. |= ¬P → (P → Q)
2. |= P → Q ≡ ¬Q → ¬P
2.7.4 Reflexividade, Simetria, e Transitividade da Equivalˆencia
1. |= P ≡ P
2. |= (P ≡ Q) ≡ (Q ≡ P)
3. |= (P ≡ Q) ∧ (Q ≡ R) → (P ≡ R)
2.7.5 Associatividade, Comutatividade, Distributividade, Idem-
potˆencia e Leis da Elimina¸c˜ao
1. |= (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R)
2. |= (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)
3. |= P ∧ Q ≡ Q ∧ P
4. |= P ∨ Q ≡ Q ∨ P
5. |= P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
17

18. 6. |= P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
7. |= P ∧ P ≡ P
8. |= P ∨ P ≡ P
9. |= P ∧ (P ∨ Q) ≡ P
10. |= P ∨ (P ∧ Q) ≡ P
2.7.6 Lei da Dupla Nega¸c˜ao, Nega¸c˜ao da Contradi¸c˜ao, Lei do Ter-
ceiro Exclu´ıdo
1. |= ¬¬P ≡ P
2. |= ¬(P ∧ ¬P)
3. |= P ∨ ¬P
2.7.7 Leis de De Morgan, Nega¸c˜ao de uma Implica¸c˜ao
1. |= ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
2. |= ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
3. |= ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q
2.7.8 Expressando Conectivos em Termos de Outros
1. |= P ∨ Q ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q)
2. |= P ∧ Q ≡ ¬(¬P ∨ ¬Q)
3. |= P → Q ≡ ¬(P ∧ ¬Q)
4. |= P → Q ≡ ¬P ∨ Q
5. |= P ∧ Q ≡ ¬(P → ¬Q)
6. |= P ∨ Q ≡ ¬P → Q
7. |= (P ≡ Q) ≡ (P → Q) ∧ (Q → P)
18

19. 2.8 M´etodo Dedutivo da L´ogica Sentencial
O c´alculo proposicional oferece um sistema de regras de inferˆencia que s˜ao
capazes de gerar todas as formas de argumentos v´alidas da l´ogica sentencial.
O sistema de inferˆencia trata apenas da manipula¸c˜ao de s´ımbolos, por meio de
um conjunto de regras, sem considerar os valores l´ogicos das express˜oes. Isso
significa que o sistema de inferˆencia do c´alculo proposicional ´e um sistema
puramente sint´atico. Para diferenciar este sistema do sistema semˆantico, que
usa o s´ımbolo |= e baseia-se em valores-verdade, o m´etodo dedutivo da l´ogica
sentencial usa o s´ımbolo para indicar as inferˆencias.
Teorema 3 A P se e somente se A |= P.
2.8.1 Regras N˜ao-Hipot´eticas
Premissa (P) Qualquer premissa fornecida no enunciado da prova pode ser
introduzida na prova.
Modus Ponens (MP) De α e α → β podemos deduzir β.
Elimina¸c˜ao de Nega¸c˜ao (¬E) De ¬¬α podemos deduzir α.
Introdu¸c˜ao de Conjun¸c˜ao (∧I) De α e β podemos deduzir α ∧ β.
Elimina¸c˜ao de Conjun¸c˜ao (∧E) De α ∧ β podemos deduzir α ou β.
Introdu¸c˜ao de Disjun¸c˜ao (∨I) De α podemos deduzir α∨β ou β∨α para
qualquer β.
Elimina¸c˜ao de Disjun¸c˜ao (∨E) De α ∨ β, α → γ e β → γ podemos
deduzir γ.
Introdu¸c˜ao de Bicondicional (≡I) De α → β e β → α podemos deduzir
α ≡ β.
Elimina¸c˜ao de Bicondicional (≡E) De α ≡ β podemos deduzir α → β
ou β → α.
19

20. EXEMPLOS
• (3.4, p. 102) Provar ¬P → (Q → R), ¬P, Q R
1 ¬P → (Q → R) [P]
2 ¬P [P]
3 Q [P]
4 Q → R [MP 2,1]
5 R [MP 3,4]
• (3.5, p. 104) Provar ¬P → ¬¬Q, ¬¬¬P Q
1 ¬P → ¬¬Q [P]
2 ¬¬¬P [P]
3 ¬P [¬E 2]
4 ¬¬Q [MP 3,1]
5 Q [¬E 4]
• (3.6, p. 105) Provar P → (Q ∧ R), P P ∧ Q
1 P → (Q ∧ R) [P]
2 P [P]
3 Q ∧ R [MP 2,1]
4 Q [∧E 3]
5 P ∧ Q [∧I 2,4]
• (3.7, p. 105) Provar P ∧ Q Q ∧ P
1 P ∧ Q [P]
2 P [∧E 1]
3 Q [∧E 1]
4 Q ∧ P [∧I 3,2]
• (3.9, p. 106) Provar P P ∧ P
1 P [P]
2 P ∧ P [∧I 1,1]
• (3.10, p. 107) Provar P (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
1 P [P]
2 P ∨ Q [∨I 1]
3 P ∨ R [∨I 1]
4 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) [∧I 2,3]
20

21. • (3.15, p. 110) Provar
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R), P → S, Q → S, P → T, R → T S ∧ T
1 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) [P]
2 P → S [P]
3 Q → S [P]
4 P → T [P]
5 R → T [P]
6 P ∨ Q [∧E 1]
7 S [∨E 6,2,3]
8 P ∨ R [∧E 1]
9 T [∨E 8,4,5]
10 S ∧ T [∧I 7,9]
• (3.17, p. 112) Provar F ≡ (S ∨ D), S F
1 F ≡ (S ∨ D) [P]
2 S [P]
3 (S ∨ D) → F [≡E 1]
4 S ∨ D [∨I 2]
5 F [MP 4,3]
• (3.19, p. 112) Provar P ≡ Q Q ≡ P
1 P ≡ Q [P]
2 P → Q [≡E 1]
3 Q → P [≡E 1]
4 Q ≡ P [≡I 3,2]
2.8.2 Regras Hipot´eticas
As regras hipot´eticas fazem uso de hip´oteses que s˜ao proposi¸c˜oes tomadas
como verdadeiras a priori e, ao final do uso da regra, descartadas.
Prova do Condicional (PC) Dada uma deriva¸c˜ao de β a partir da hip´o-
tese α, podemos descartar a hip´otese α e deduzir α → β.
Redu¸c˜ao ao Absurdo (RAA) Dada uma deriva¸c˜ao de uma contradi¸c˜ao
a partir de uma hip´otese α, podemos descartar a hip´otese α e deduzir
¬α.
21

22. Observe-se que, uma vez que a hip´otese foi descartada, todas as linhas que
dependem daquela hip´otese j´a n˜ao podem mais ser usadas na prova. Para
facilitar a visualiza¸c˜ao do que foi descartado, usaremos uma linha vertical
para marcar o escopo da hip´otese em uma regra hipot´etica.
Como estrat´egia de prova, devemos pensar que a regra PC serve para
provar implica¸c˜oes e a regra RAA serve para provar proposi¸c˜oes negadas.
EXEMPLOS
• (3.20, p. 116) Provar P → Q, Q → R P → R
1 P → Q [P]
2 Q → R [P]
3 P [H p/PC]
4 Q [MP 3,1]
5 R [MP 4,2]
6 P → R [PC 3-5]
• (3.22, p. 118) Provar (P ∧ Q) → R P → (Q → R)
1 (P ∧ Q) → R [P]
2 P [H p/PC]
3 Q [H p/PC]
4 P ∧ Q [∧I 2,3]
5 R [MP 4,1]
6 Q → R [PC 3-5]
7 P → (Q → R) [PC 2-6]
• (3.23, p. 119) Provar P ∨ Q Q ∨ P
1 P ∨ Q [P]
2 P [H p/PC]
3 Q ∨ P [∨I 2]
4 P → (Q ∨ P) [PC 2-3]
5 Q [H p/PC]
6 Q ∨ P [∨I 5]
7 Q → (Q ∨ P) [PC 5-6]
8 Q ∨ P [∨E 1,4,7]
22

23. • (3.25, p. 122) Provar P → Q, ¬Q ¬P
1 P → Q [P]
2 ¬Q [P]
3 P [H p/RAA]
4 Q [MP 3,1]
5 Q ∧ ¬Q [∧I 4,2]
6 ¬P [RAA 3-5]
Observa¸c˜ao: O argumento provado chama-se Modus Tollens.
• (3.27, p. 124) Provar ¬P → P P
1 ¬P → P [P]
2 ¬P [H p/RAA]
3 P [MP 2,1]
4 P ∧ ¬P [wedgeI 3,2]
5 ¬¬P [RAA 2-4]
6 P [¬E 5]
• (3.29, p. 125) Provar ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∧ Q)
1 ¬P ∨ ¬Q [P]
2 ¬P [H p/PC]
3 P ∧ Q H p/RAA]
4 P [∧E 3]
5 P ∧ ¬P [∧I 4,2]
6 ¬(P ∧ Q) [RAA 3-5]
7 ¬P → ¬(P ∧ Q) [PC 2-6]
8 ¬Q [H p/PC]
9 P ∧ Q [H p/RAA]
10 Q [∧E 9]
11 Q ∧ ¬Q [∧I 10,8]
12 ¬(P ∧ Q) [RAA 9-11]
13 ¬Q → ¬(P ∧ Q) [PC 8-12]
14 ¬(P ∧ Q) [∧E 1,7,13]
23

24. 2.8.3 Estrat´egias para a Constru¸c˜ao das Provas
Se a f´ormula for Ent˜ao fa¸ca
F´ormula atˆomica Se nenhuma estrat´egia ´e imediata (como por
exemplo um MP que tenha a f´ormula atˆomica
como consequente de uma implica¸c˜ao), coloca-se
como hip´otese a nega¸c˜ao da f´ormula para RAA.
Ap´os, usa-se ¬E.
F´ormula negada Coloca-se como hip´otese para RAA a f´ormula, sem
o s´ımbolo de nega¸c˜ao.
Conjun¸c˜ao Prove cada um dos conjunctos separadamente e
depois aplique a regra ∧I.
Disjun¸c˜ao
1. Caso trivial ocorre quando ´e poss´ıvel pro-
var diretamente um dos disjunctos e depois
aplicar a regra ∨I;
2. No caso em que existe uma premissa disjun-
tiva e queremos provar uma f´ormula qual-
quer, tenta-se provar os condicionais ne-
cess´arios para obter a conclus˜ao desejada
por ∨E;
3. Caso tenham falhado todas as op¸c˜oes ante-
riores, coloca-se como hip´otese para RAA a
disjun¸c˜ao que se quer provar negada. Ao fi-
nal, aplica-se ¬E.
Condicional Coloca-se como hip´otese para PC o antecedente
do condicional e deriva-se o consequente.
Bicondicional Usar PC duas vezes para obter os dois condicionais
necess´arios e obter o bicondicional com a regra ≡I.
24

25. EXEMPLO
(3.31, p. 128) Provar ¬(P ∧ Q) ¬P ∨ ¬Q
1 ¬(P ∧ Q) [P]
2 ¬(¬P ∨ ¬Q) [H p/RAA] ⇐ 1○
3 ¬P [H p/RAA] ⇐ 2○
4 ¬P ∨ ¬Q [∨I 3]
5 (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) [∧I 4,2]
6 ¬¬P [RAA 3-5]
7 P [¬E 6]
8 ¬Q [H p/RAA] ⇐ 3○
9 ¬P ∨ ¬Q [∨I 8]
10 (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) [∧I 9,2]
11 ¬¬Q [RAA 8-10]
12 Q [¬E 11]
13 P ∧ Q [∧I 7,12]
14 (P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ Q) [∧I 13,1]
15 ¬¬(¬P ∨ ¬Q) [RAA 2-14]
16 ¬P ∨ ¬Q [¬E 15]
Estrat´egias usadas na prova:
1○ N˜ao havendo estrat´egia trivial e n˜ao existindo premissa disjuntiva, resta
tentar provar a disjun¸c˜ao por RAA, lan¸cando como hip´otese a nega¸c˜ao
de ¬P ∨ ¬Q.
2○ Para provar o RAA de 1○ precisamos obter uma contradi¸c˜ao, e a ´unica
possibilidade para isso ´e obter a nega¸c˜ao da linha 1, ou seja P ∧ Q.
Para isso precisamos provar os disjunctos separadamente. Nesta linha
come¸ca a prova de P, que sendo uma f´ormula atˆomica, consiste em
lan¸car a f´ormula negada (¬P) para RAA. Neste caso, a ´unica possibi-
lidade de deduzir uma contradi¸c˜ao ´e com a linha 2, pois tentar com a
linha 1 seria uma volta ao problema inicial e sem sa´ıda.
3○ Aqui come¸ca a prova de Q por RAA, o segundo conjuncto necess´ario
para construir a contradi¸c˜ao com a linha 1 que foi citada em 2○.
25

26. 2.8.4 Teoremas
Algumas proposi¸c˜oes compostas podem ser provadas sem o uso de pre-
missas ou hip´oteses. Essas express˜oes s˜ao os teoremas ou leis do c´alculo
proposicional. Para indicar que uma f´ormula P ´e um teorema, usamos a
nota¸c˜ao P.
Teorema 4 P se e somente se |= P.
Devido a n˜ao haver premissas para a prova de um teorema, este tipo de
demonstra¸c˜ao sempre inicia pela aplica¸c˜ao de uma regra hipot´etica, PC ou
RAA.
EXEMPLOS
• (3.41, p. 138) Provar ¬(P ∧ ¬P)
1 P ∧ ¬P [H p/RAA]
2 ¬(P ∧ ¬P) [RAA 1-1]
• (3.42, p. 139) Provar P → (P ∨ Q)
1 P [H p/PC]
2 P ∨ Q [∨I 1]
3 P → (P ∨ Q) [PC 1-2]
• (3.43, p. 139) Provar P → ((P → Q) → Q)
1 P [H p/PC]
2 P → Q [H p/PC]
3 Q [MP 1,2]
4 (P → Q) → Q [PC 2-3]
5 P → ((P → Q) → Q) [PC 1-4]
26

27. • (3.44, p. 140) Provar P ≡ ¬¬P
1 P [H p/PC]
2 ¬P [H p/RAA]
3 P ∧ ¬P [∧I 1,2]
4 ¬¬P [RAA 2-3]
5 P → ¬¬P [PC 1-4]
6 ¬¬P [H p/PC]
7 P [¬E 6]
8 ¬¬P → P [PC 6-7]
9 P ≡ ¬¬P [≡I 5,8]
2.8.5 Equivalˆencias
Um bicondicional que ´e um teorema ´e chamado de equivalˆencia, ou seja,
P ≡ Q. Para provar equivalˆencias, devemos provar os dois condicionais
necess´arios, P → Q e Q → P, e aplicar a regra ≡I. O exemplo anterior
ilustra isso.
Vejamos mais exemplos de demonstra¸c˜oes de equivalˆencias.
EXEMPLOS
• (3.47, p. 142) Provar (P → Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q)
1 P → Q [H p/PC] ⇐ 1○
2 P ∧ ¬Q [H p/RAA] ⇐ 2○
3 P [∧E 2]
4 Q [MP 3,1]
5 ¬Q [∧E 2]
6 Q ∧ ¬Q [∧I 4,5]
7 ¬(P ∧ ¬Q) [RAA 2-6]
8 (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q) [PC 1-7]
9 ¬(P ∧ ¬Q) [H p/PC] ⇐ 3○
10 P [H p/PC] ⇐ 4○
11 ¬Q [H p/RAA]
12 P ∧ ¬Q [∧I 10,11]
13 (P ∧ ¬Q) ∧ ¬(P ∧ ¬Q) [∧I 12,9]
14 ¬¬Q [RAA 11-13]
15 Q [¬E 14]
16 P → Q [PC 10-15]
27

28. 17 ¬(P ∧ ¬Q) → (P → Q) [PC 9-16]
18 (P → Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q) [≡I 8,17]
Estrat´egias usadas na prova:
1○ Precisamos provar os dois condicionais (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q) e
¬(P ∧ ¬Q) → (P → Q) para, ao final, aplicar a regra ≡I. Ent˜ao,
lan¸camos P → Q como hip´otese para PC, para provar o primeiro
condicional.
2○ Para provar ¬(P ∧ ¬Q), lan¸camos a f´ormula, sem a nega¸c˜ao, como
hip´otese para RAA. A contradi¸c˜ao ´obvia para concluir este RAA
´e Q ∧ ¬Q, pois temos como obter Q por MP com a linha 1 e ¬Q
por ∧E na linha 2.
3○ Lan¸camos ¬(P ∧ ¬Q) como hip´otese para PC para deduzir o se-
gundo condicional.
4○ Usamos PC para deduzir P → Q. Para obter Q usamos RAA e a
contradi¸c˜ao deve ser obtida com a linha 9 (n˜ao h´a outra op¸c˜ao).
Portanto, precisamos deduzir P ∧ ¬Q, como foi feito na linha 12
usando ∧I.
• (VII, 2, p. 155) Provar (P ∨ Q) ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q)
1 P ∨ Q [H p/PC]
2 P [H p/PC]
3 ¬P ∧ ¬Q [H p/RAA]
4 ¬P [∧E 3]
5 P ∧ ¬P [∧I 2,4]
6 ¬(¬P ∧ ¬Q) [RAA 3-5]
7 P → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 2-6]
8 Q [H p/PC]
9 ¬P ∧ ¬Q [H p/RAA]
10 ¬Q [∧E 9]
11 Q ∧ ¬Q [∧I 8,10]
12 ¬(¬P ∧ ¬Q) [RAA 9-11]
13 Q → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 8-12]
14 ¬(¬P ∧ ¬Q) [∨E 1,7,13]
15 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 1-14]
28

29. 16 ¬(¬P ∧ ¬Q) [H p/PC]
17 ¬(P ∨ Q) [H p/RAA]
18 P [H p/RAA]
19 P ∨ Q [∨I 18]
20 ¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ Q) [∧I 17,19]
21 ¬P [RAA 18-20]
22 Q [H p/RAA]
23 P ∨ Q [∨I 22]
24 ¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ Q) [∧I 17,23]
25 ¬Q [RAA 22-24]
26 ¬P ∧ ¬Q [∧I 21,25]
27 ¬(¬P ∧ ¬Q) ∧ (¬P ∧ ¬Q) [∧I 16,26]
28 ¬¬(P ∨ Q) [RAA 17-27]
29 P ∨ Q [¬E 28]
30 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) [PC 16-29]
31 (P ∨ Q) ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q) [≡I 15,30]
3 C´alculo de Predicados
Uma vez que a l´ogica sentencial ´e uma simplifica¸c˜ao da l´ogica que descon-
sidera a estrutura interna das proposi¸c˜oes, ela n˜ao consegue expressar todos
os argumentos necess´arios para a l´ogica matem´atica. Um exemplo simples ´e
um argumento que envolvesse as senten¸cas “S´ocrates ´e um homem” e “todos
os homens s˜ao mortais”. A l´ogica sentencial n˜ao ´e capaz de fazer inferˆencias
em casos assim.
Para isso, ser´a necess´ario estender a linguagem da l´ogica matem´atica
pela adi¸c˜ao de predicados e quantificadores, introduzindo o que ´e chamado
de l´ogica de predicados.
O sistema formado por essa nota¸c˜ao, junto com o sistema de inferˆencia
do c´alculo proposicional e regras para tratar os quantificadores, ´e chamado
de c´alculo de predicados.
29

30. 3.1 Predicados e Quantificadores
Vamos considerar a senten¸ca “todos os homens s˜ao mortais”. Podemos
representar o conjunto dos seres humanos como H e o conjunto dos seres
mortais como M. Assim, a senten¸ca est´a afirmando que
Todo H ´e M
ou
H ⊆ M
Introduzimos uma vari´avel x para representar os objetos individuais deste
argumento, expressando o enunciado como
Para todo x, se x ´e H ent˜ao x ´e M
ou
Para todo x, x ∈ H → x ∈ M
Adotamos o s´ımbolo ∀, chamado de quantificador universal, para repre-
sentar “para todo” e representamos x ∈ H como H(x), significando que x
´e um elemento que satisfaz o predicado H. Assim, podemos reescrever a
express˜ao como
∀x(H(x) → M(x))
A mesma coisa pode ser feita com a senten¸ca “alguns primatas s˜ao ho-
mens”. Consideramos os conjuntos P, para representar os primatas, e H,
para representar os seres humanos. Assim,
Existe algum x tal que x ∈ P → x ∈ H
Adotamos o s´ımbolo ∃, chamado de quantificador existencial, para repre-
sentar “existe algum”. Assim, a senten¸ca pode ser representada como
∃x(x ∈ P → x ∈ H)
Substituindo-se x ∈ P e x ∈ H por predicados, obtemos
∃x(P(x) → H(x))
30

31. Um predicado ´e uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´e um conjunto arbitr´ario U,
chamado de universo, formado por indiv´ıduos de um contexto espec´ıfico
qualquer, e o codom´ınio ´e {V, F}. Para um a ∈ U, uma proposi¸c˜ao P(a) ´e V
se e somente se a satisfaz o predicado P, ou seja, se e somente se a ´e um dos
indiv´ıduos pertencentes ao conjunto associado ao predicado P. Chamamos
a de letra nominal.
Por exemplo, se considerarmos o predicado H, que ´e satisfeito por todos
os indiv´ıduos que s˜ao seres humanos, ent˜ao no conjunto
U = {Jo˜ao, Jos´e, Pedro, Paulo, Maria, Chimpanz´e, Mico-le˜ao-dourado},
os individuos de U que satisfazem o predicado H s˜ao os do subconjunto
{Jo˜ao, Jos´e, Pedro, Paulo, Maria}.
Podemos afirmar que
H(Jo˜ao) ≡ V e H(Chimpanz´e) ≡ F
Neste exemplo, H(Jo˜ao) ≡ V significa que “Jo˜ao ´e um ser humano”.
3.2 Semˆantica da L´ogica de Predicados
O significado do quantificador universal na f´ormula ∀xP(x) ´e que a f´or-
mula ´e verdadeira se e somente se todos os elementos a ∈ U satisfazem
o predicado P. Considerando o exemplo anterior, ∀xH(x) ´e falso pois os
indiv´ıduos do subconjunto {Chimpanz´e, Mico-le˜ao-dourado} n˜ao satisfazem
o predicado H.
O significado do quantificador existencial na f´ormula ∃xP(x) ´e que a
f´ormula ´e verdadeira se e somente se existe pelo menos um a ∈ U que satisfaz
P. No exemplo, ∃xH(x) ´e verdadeiro pois os indiv´ıduos do subconjunto
{Jo˜ao, Jos´e, Pedro, Paulo, Maria} satisfazem o predicado H.
O subconjunto de indiv´ıduos de U que satisfazem um predicado P ´e cha-
mado de extens˜ao de P. Assim, o conjunto {Jo˜ao, Jos´e, Pedro, Paulo, Maria}
´e a extens˜ao do predicado H. Para que o quantificador existencial seja ver-
dadeiro ´e necess´ario que o predicado possua extens˜ao n˜ao-vazia. Para que o
quantificador universal seja verdadeiro ´e necess´ario que sua extens˜ao coincida
com o conjunto U.
31

32. 3.3 Senten¸cas Abertas e Fechadas
Ao estudar as proposi¸c˜oes, vimos que a ora¸c˜ao declarativa x + 1 = 5 n˜ao
´e uma proposi¸c˜ao pois n˜ao podemos determinar se a ora¸c˜ao ´e verdadeira ou
falsa, j´a que n˜ao temos o valor da vari´avel x. Uma ora¸c˜ao declarativa deste
tipo ´e chamada de senten¸ca aberta, pois nela h´a a ocorrˆencia de pelo menos
uma vari´avel livre. Uma vari´avel livre ´e uma vari´avel a qual n˜ao podemos
determinar o valor. Para tornar x + 1 = 5 uma proposi¸c˜ao ou senten¸ca
fechada precisamos mudar a ocorrˆencia da vari´avel x, que est´a livre, para
uma ocorrˆencia de vari´avel amarrada. Para isso podemos:
• Atribuir um valor arbitr´ario `a vari´avel x, como em x = 10 ∧ x + 1 = 5,
que ´e uma proposi¸c˜ao falsa, ou x = 4∧x+1 = 5, que ´e uma proposi¸c˜ao
verdadeira
• Aplicar o quantificador universal, como em ∀x(x+1 = 5), para U = R,
que ´e obviamente uma proposi¸c˜ao falsa
• Aplicar o quantificador existencial, como em ∃x(x+1 = 5), para U = R,
que ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira
3.4 M´etodo Dedutivo da L´ogica de Predicados
Assim como no c´alculo proposicional, o c´alculo de predicados usa regras de
inferˆencia para fazer dedu¸c˜oes. O sistema dedutivo do c´alculo de predicados
inclui todas as regras do c´alculo proposicional, mais regras para tratar os
quantificadores.
3.4.1 Substitui¸c˜ao Uniforme
Definimos a substitui¸c˜ao uniforme da vari´avel x em α por β, α[x/β], como
sendo a f´ormula α∗
em que cada ocorrˆencia livre de x est´a substitu´ıda por β.
EXEMPLOS
1. (x + 1 = 5)[x/10] resulta em 10 + 1 = 5
2. (x ≤ 10 ∧ x = 0)[x/2] resulta em 2 ≤ 10 ∧ 2 = 0
3. (x + 1 10)[x/y + 3] resulta em (y + 3) + 1 10
32

33. 4. (H(x) → M(x))[x/s] resulta em H(s) → M(s)
5. (∀x(H(x) → M(x)))[x/s] resulta em ∀x(H(x) → M(x)) (nenhuma
substitui¸c˜ao ocorre pois a vari´avel n˜ao est´a livre)
6. (P(x)∧(∀xQ(x)))[x/a] resulta em P(a)∧(∀xQ(x)) (apenas a ocorrˆencia
livre da vari´avel ´e afetada pela substitui¸c˜ao)
Importante observar que, na substitui¸c˜ao uniforme, todas as ocorrˆencias
livres da vari´avel ser˜ao substitu´ıdas.
3.4.2 Regras de Inferˆencia
O sistema dedutivo do c´alculo de predicados possui quatro regras de in-
ferˆencia: Elimina¸c˜ao universal; introdu¸c˜ao universal; introdu¸c˜ao existencial;
e elimina¸c˜ao existencial. As regras de elimina¸c˜ao retiram de uma f´ormula um
quantificador e as de introdu¸c˜ao colocam um quantificador em uma f´ormula.
Elimina¸c˜ao universal (EU) A partir da f´ormula ∀xP(x) podemos deduzir
a f´ormula P(x)[x/a], onde a ´e uma letra nominal.
Vamos usar a elimina¸c˜ao universal para provar o seguinte argumento:
Todos os homens s˜ao mortais;
S´ocrates ´e um homem;
Logo, S´ocrates ´e mortal.
Usamos os predicados H para “´e um homem”, M para “´e mortal” e a
letra nominal s para S´ocrates. Assim, a formaliza¸c˜ao deste argumento
´e
∀x(H(x) → M(x)), H(s) M(s)
A prova ´e:
1 ∀x(H(x) → M(x)) [P]
2 H(s) [P]
3 H(s) → M(s) [EU 1]
4 M(s) [MP 2,3]
Importante observar que na regra EU, todas as ocorrˆencias de x, no es-
copo do quantificador, devem ser substitu´ıdas. Assim, estaria incorreto
deduzir H(s) → M(x) na linha 3.
33

34. Introdu¸c˜ao universal (IU) Dada uma f´ormula P(a) = P(x)[x/a], con-
tendo a letra nominal a que n˜ao ocorra em qualquer uma das premis-
sas ou hip´oteses da linha vigente, podemos deduzir a f´ormula ∀xP(x),
sendo x uma vari´avel que n˜ao ocorre em P(a).
Como exemplo de uso da introdu¸c˜ao universal, vamos deduzir
∀x(P(x) → Q(x)), ∀xP(x) ∀xQ(x)
1 ∀x(P(x) → Q(x)) [P]
2 ∀xP(x) [P]
3 P(a) → Q(a) [EU 1]
4 P(a) [EU 2]
5 Q(a) [MP 4,3]
6 ∀xQ(x) [IU 5]
Observe-se que podemos usar a regra IU, pois a linha 5, da qual ela ´e
deduzida, depende das premissas das linhas 1 e 2, cujas f´ormulas n˜ao
incluem a letra nominal a.
Vamos mostrar um contra-exemplo em que a regra IU n˜ao pode ser
usada:
1 ∀x(P(x) → Q(x)) [P]
2 P(a) → Q(a) [EU 1]
3 P(a) [H p/PC]
4 Q(a) [MP 3,2]
5 ∀xQ(x) [IU 4 (aplicado de forma incorreta!)]
6 P(a) → ∀xQ(x) [PC 3-5]
A raz˜ao para a aplica¸c˜ao da regra IU estar incorreta ´e que a linha 4,
da qual ela ´e deduzida, depende da hip´otese para PC na linha 3, que
cont´em a letra nominal a.
Introdu¸c˜ao existencial (IE) Dada uma f´ormula P(a), contendo pelo me-
nos uma ocorrˆencia da letra nominal a, podemos deduzir a f´ormula
∃xP(x) pela substitui¸c˜ao de uma ou mais ocorrˆencias de a por x, desde
que x n˜ao ocorra em P(a).
Vamos mostrar um exemplo de aplica¸c˜ao da regra IE:
1 P(a) ∧ Q(a) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [IE 1]
34

35. Em contraste com a regra IU, na aplica¸c˜ao desta regra n˜ao ´e usada
a substitui¸c˜ao uniforme, ou seja, n˜ao ´e necess´ario substituir todas as
ocorrˆencias da letra nominal a:
1 P(a) ∧ Q(a) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(a)) [IE 1]
Elimina¸c˜ao existencial (EE) Dada uma f´ormula ∃xP(x), lan¸camos como
hip´otese para EE a f´ormula P(x)[x/a] e deduzimos uma f´ormula α
qualquer. Podemos descartar a hip´otese e inferir α, desde que a letra
nominal a n˜ao ocorra na f´ormula ∃xP(x), nem em α, nem em qualquer
premissa ou hip´otese da linha vigente onde a regra EE ´e aplicada.
Vamos mostrar um exemplo de uso de elimina¸c˜ao existencial provando
∃x(P(x) ∧ Q(x)) ∃xP(x).
1 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [P]
2 P(a) ∧ Q(a) [H p/EE]
3 P(a) [∧E 2]
4 ∃xP(x) [IE 3]
5 ∃xP(x) [EE 1,2-4]
Devemos enfatizar que a aplica¸c˜ao desta regra tem as seguintes res-
tri¸c˜oes:
1. A letra nominal a n˜ao pode ocorrer em em ∃xP(x).
2. A letra nominal a n˜ao pode ocorrer em α.
3. A letra nominal a n˜ao pode ocorrer em nenhuma premissa ou
hip´otese da linha vigente onde se aplica a regra EE.
• No exemplo dado, a restri¸c˜ao 1 n˜ao ´e violada pois na linha 1 da
prova n˜ao ocorre a.
• A restri¸c˜ao 2 n˜ao ´e violada pois na linha 4 n˜ao ocorre a.
• Assim tamb´em, a restri¸c˜ao 3 n˜ao ´e violada, pois a linha 5, onde
se aplica a regra EE, depende apenas da premissa da linha 1, que
n˜ao cont´em a letra nominal a.
35

36. Um exemplo de mau uso da regra EE ´e o seguinte:
1 ∀x∃yP(y, x) [P]
2 ∃yP(y, a) [EU 1]
3 P(a, a) [H p/EE]
4 ∃xP(x, x) [IE 3]
5 ∃xP(x, x) [EE 2, 3-4 (aplicado de forma incor-
reta!)]
A raz˜ao do erro ´e que a regra EE foi aplicada violando a restri¸c˜ao 1,
pois a letra nominal a ocorre na linha 2.
EXEMPLOS
Vamos apresentar alguns exemplos de inferˆencias feitas usando-se o m´etodo
dedutivo da l´ogica sentencial.
• (6.7, p. 257) Provar ¬P(a) ¬∀xP(x)
1 ¬P(a) [P]
2 ∀xP(x) [H p/RAA]
3 P(a) [EU 2]
4 P(a) ∧ ¬P(a) [∧I 3,1]
5 ¬∀xP(x) [RAA 2-4]
• (6.8, p. 257) Provar ∀x∀yP(x, y) P(a, a)
1 ∀x∀yP(x, y) [P]
2 ∀yP(a, y) [EU 1]
3 P(a, a) [EU 2]
Observe-se que foram necess´arias duas aplica¸c˜oes da regra EU. N˜ao ´e
poss´ıvel eliminar dois quantificadores em uma ´unica aplica¸c˜ao de EU.
• (6.14, p. 265) Provar ∀xP(x) → ∀xQ(x), ¬Q(a) ¬∀xP(x)
1 ∀xP(x) → ∀xQ(x) [P]
2 ¬Q(a) [P]
3 ∀xP(x) [H p/RAA]
4 ∀xQ(x) [MP 3,1]
5 Q(a) [EU 4]
6 Q(a) ∧ ¬Q(a) [∧I 5,2]
7 ¬∀xP(x) [RAA 3-6]
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37. • (6.18, p. 271) Provar ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) ∀x(P(x) → Q(x))
1 ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [P]
2 P(a) [H p/PC]
3 ¬Q(a) [H p/RAA]
4 P(a) ∧ ¬Q(a) [∧I 2,3]
5 ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [IE 4]
6 ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) ∧ ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [∧I 5,1]
7 ¬¬Q(a) [RAA 3-6]
8 Q(a) [¬E 7]
9 P(a) → Q(a) [PC 2-8]
10 ∀x(P(x) → Q(x)) [IU 9]
• (6.20, p. 278) Provar ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
1 ∃x(P(x) ∨ Q(x)) [P]
2 P(a) ∨ Q(a) [H p/EE]
3 P(a) [H p/PC]
4 ∃xP(x) [IE 3]
5 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨I 4]
6 P(a) → (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) [PC 3-5]
7 Q(a) [H p/PC]
8 ∃xQ(x) [IE 7]
9 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨I 8]
10 Q(a) → (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) [PC 7-9]
11 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨E 2,6,10]
12 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [EE 1,2-11]
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38. • (6.23, p. 281) Provar
∀x(P(x) → ∃yR(x, y)), ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y))
1 ∀x(P(x) → ∃yR(x, y)) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [P]
3 P(a) ∧ Q(a) [H p/EE]
4 P(a) → ∃yR(a, y) [EU 1]
5 P(a) [∧E 3]
6 ∃yR(a, y) [MP 5,4]
7 R(a, b) [H p/EE]
8 Q(a) [∧E 3]
9 Q(a) ∧ R(a, b) [∧I 8,7]
10 ∃y(Q(a) ∧ R(a, y)) [IE 9]
11 ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [IE 10]
12 ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [EE 6,7-11]
13 ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [EE 2,3-12]
• (6.25, p. 285) Provar ∀x(P(x) → P(x))
Observe-se que esta prova ´e sem premissas, portanto trata-se da prova
de um teorema. Assim, a primeira linha sempre ser´a a aplica¸c˜ao de
uma regra hipot´etica.
1 P(a) [H p/PC]
2 P(a) → P(a) [PC 1-1]
3 ∀x(P(x) → P(x)) [IU 2]
A aplica¸c˜ao da regra IU na linha 3 ´e leg´ıtima pois, embora a ocorra na
hip´otese P(a), esta hip´otese foi descartada na linha 2.
• (6.26, p. 286) Provar (∀xP(x)) → P(a)
1 ∀xP(x) [H p/PC]
2 P(a) [EU 1]
3 (∀xP(x)) → P(a) [PC 1-2]
38

39. • (6.30, p. 290) Provar ¬∀x¬P(x) ≡ ∃xP(x)
1 ¬∀x¬P(x) [H p/PC]
2 ¬∃xP(x) [H p/RAA]
3 P(a) [H p/RAA]
4 ∃xP(x) [IE 3]
5 ∃xP(x) ∧ ¬∃xP(x) [∧I 4,2]
6 ¬P(a) [RAA 3-5]
7 ∀x¬P(x) [IU 6]
8 ∀x¬P(x) ∧ ¬∀x¬P(x) [∧I 7,1]
9 ¬¬∃xP(x) [RAA 2-8]
10 ∃xP(x) [¬E 9]
11 ¬∀x¬P(x) → ∃xP(x) [PC 1-10]
12 ∃xP(x) [H p/PC]
13 P(a) [H p/EE]
14 ∀x¬P(x) [H p/RAA]
15 ¬P(a) [EU 14]
16 P(a) ∧ ¬P(a) [∧I 13,15]
17 ¬∀x¬P(x) [RAA 14-16]
18 ¬∀x¬P(x) [EE 12,13-17]
19 ∃xP(x) → ¬∀x¬P(x) [PC 12-18]
20 ¬∀x¬P(x) ≡ ∃xP(x) [≡I 11,19]
Observe-se que a aplica¸c˜ao da regra IU na linha 7 ´e v´alida pois o P(a),
usado como hip´otese na linha 3 para deduzir ¬P(a), foi descartado e
a linha 6 s´o depende das hip´oteses das linhas 1 e 2, que n˜ao contˆem
a letra nominal a. O mesmo se pode dizer da aplica¸c˜ao da regra EE
na linha 18, que ´e v´alida pois a letra nominal a n˜ao ocorre na linha 12
nem na linha 17.
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