Matemática Discreta - Funções

1. Matemática Discreta
Funções
RANILSON PAIVA
RANILSONPAIVA@IC.UFAL.BR

2. Funções | Conceitos Iniciais
 De forma simplificada: uma função é uma “regra” ou
“mecanismo” que transforma um valor em outro.
 Exemplo: a função f(x) = x2 + 3x, pode transformar o valor x = 5 em 40.
 As funções são tipos especiais de relações; e uma relação é um
conjunto de pares ordenados.
 Considerando o exemplo anterior, teríamos: f(1, 4), (2, 10), (3, 18), ...
 Expressamos claramente uma função, usando a notação:
 f = {(x, y): x, y  , y = x2} que representa a função f(x) = x2
 Condição:
 Para cada valor de x, deve haver um, e apenas um, valor de f(x)
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3. Funções | Domínio e Imagem
 Domínio
 Conjunto das possíveis entradas da função
 Primeiro valor do par ordenado
 Notação: dom f = {a: b, (a, b)  f}
 Imagem
 Conjunto das possíveis saídas, para cada entrada
 Segundo valor do par ordenado
 Notação: im f = {b: a, (a, b)  f}
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4. Funções | Domínio e Imagem
 Qual o domínio e imagem para a função: f = {(x, y): x, y  , y = x2}
 Domínio: todos os inteiros
 Imagem: todos os quadrados perfeitos
 Condição
 f: A  B se dom f = A e im f  B
 “f é uma função de A para B se o domínio de f é igual a A e a imagem de f está contida
em B, ou é igual a B.”
 Esquema de Prova
 Provar que f é uma função
 Provar que dom f = A
 Provar que im f  B
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5. Funções | Domínio e Imagem
 Exemplo 1
 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5} conjuntos finitos
 Seja a função f: A  B definida por: f = {(1 ,2), (2, 1), (3, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 2)}
 Ilustrar a função f: A  B (conjuntos)
 Definir o domínio e a imagem da função
 Definir se a função f: A  B é verdadeira, justificando a resposta
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6. Funções | Domínio e Imagem
 Exemplo 2
 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5} conjuntos finitos
 Seja a função f: A  B definida por: f = {(1 ,3), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (4, 4), (5, 5)}
 Ilustrar a função f: A  B (conjuntos)
 Definir o domínio e a imagem da função
 Definir se a função f: A  B é verdadeira, justificando a resposta
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7. Funções | Funções Inversas
 É uma relação formada mediante a inversão de todos os pares
ordenados de uma determinada função f.
 Por exemplo: se f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}, então f -1 = {(2, 1), (4, 3), (6, 5)}
 Reaproveitando o Exemplo 1
 Defina f -1
 Defina se f -1 : A  B é verdadeira, justificando a resposta
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8. Funções | Funções um para um (Injetora)
 É uma relação onde sempre que tivermos (x, b), (y, b) e f,
devemos ter x = y.
 Por exemplo: se f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}, então f -1 = {(2, 1), (4, 3), (6, 5)}
 Exemplo 3 (Prova Direta)
 Seja f:   , definida por f(x) = 3x + 4. Prove que esta é uma relação um para um.
 Exemplo 4 (Prova por Contraexemplo)
 Seja f:   , definida por f(x) = x2. Prove que esta não é uma relação um para um.
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9. Funções | Funções Sobre (Sobrejetora)
 É uma relação onde, para todo b  B, há um a  A.
 f(a) = b
 Im f = B
 b  B, a  A, f(a) = b
 b  B, a  A, f(a) ≠ b
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10. Funções | Funções Sobre (Sobrejeção)
 Exemplo 5
 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {7, 8, 9, 10}
 f = {(1, 7), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 9), (6, 10)}
 g = {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 9), (5, 9), (6, 10)}
 Definam:
 f -1 e g -1
 Se f e g são um para um
 Se f e g são sobrejetoras
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11. Funções | Funções Bijetoras
 É uma relação onde sempre que tivermos (x, b), (y, b) e f,
devemos ter x = y.
 Por exemplo
 Seja A = conjunto dos números pares e B = conjunto dos números ímpares
 f(x) = x + 1
 Defina se f é um para um
 Defina se f é sobrejetora
 A função é Bijetora?
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12. Funções | Função Identidade
 É uma relação onde
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13. Funções | Composição de Funções
 É uma relação onde a saída de uma função é usada como entrada
de uma outra.
 Notação
 (g o f)(a) = g(f(a)) = composição de g e f
 A saída de f(a), será usada como entrada de g(a)
 Resolver as funções “de dentro pra fora”
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14. Funções | Composição de Funções
 Exemplo 6
 Seja A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) e sejam f: A  A e g: A  A definidas por:
 f = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}
 g = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
 Defina:
 g o f
 f o g
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15. Funções | Composição de Funções
 Exemplo 7
 Seja f(x) = x² + 1 e g(x) = 2x – 3
 Defina:
 g o f(4)
 f o g(4)
 g o f(x)
 f o g(x)
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16. Exercícios
 Funções
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Páginas 242 a 245.
 Páginas 258 e 260.
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17. Recursos Online
 http://www.cengage.com.br/ls/matematica-discreta-uma-introducao/
 https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta
 https://www.slideshare.net/InesTeixeiraDuarte/definies-bsicas-da-matemtica
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18. Referências (Primárias)
SCHEINERMAN, E. R. Matemática
Discreta, uma Introdução.
Editora: Cengage Learning. 2016.
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19. Referências (Primárias)
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Matemática Discreta: Coleção
Schaum. Bookman Editora, 2013.
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20. Referências (Secundárias)
 GERSTING, J. L.. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5a edição.
Editora: LTC. ISBN 8521614225. 2004.
 MENEZES, P. B.. Matemática Discreta para Computação e Informática. 2a edição. Editora:
Bookman. 2008.
 ROSEN, K.. Discrete Mathematics and its Applications. 6th edition. Editora: McGraw-Hill.
2007.
 EVARISTO, Jaime. Introdução à Álgebra Abstrata. 2a edição. EDUFAL, Maceió, 2002.
 LOVÁSZ, J., PELIKÁN, J., VESZTERGOMBI, K.. Discrete Mathematics: Elementary and Beyond.
Editora: Springer. 2003.
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21. Dúvidas?
SLIDES DISPONÍVEIS EM: WWW.SLIDESHARE.NET/RANILSONPAIVA
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