Logica proposicional convertido

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Ficha de trabalho Lógica - 11º ano

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Logica proposicional convertido

  1. 1. 1 A Professora Isabel Ribeiro Filosofia 11ºano Ano letivo 2013/2014 Lógica Proposicional O objetivo da lógica é estabelecer uma linguagem formal, onde se possa expressar com clareza, precisão e emitir um juízo de verdadeiro ou falso para determinadas frases (proposições). A Proposição: é o pensamento que a frase declarativa exprime literalmente. Só as frases declarativas podem exprimir proposições. Frases interrogativas, exclamativas, pedidos, ordens, promessas, não exprimem proposições, porque não têm um valor de verdade (verdadeiro ou falso). A proposição é uma frase declarativa (com sujeito e predicado) à qual pode ser atribuído um dos valores lógicos. Todos os enunciados a que não seja possível determinar com segurança nenhum destes valores de verdade, não podem ser considerados uma proposição. Proposições simples ou atómicas: não se podem decompor noutras proposições; não contêm nenhuma outra proposição como fazendo parte integrante de si mesma. No cálculo proposicional as proposições simples vão ser substituídas por símbolos (letras minúsculas: p, q, r, s…) designados de variáveis proposicionais (independentemente do conteúdo concreto). Chamam-se variáveis, porque o seu conteúdo varia pois, por definição podem representar qualquer enunciado declarativo do qual possa ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos (V/F). Proposições complexas ou moleculares: combinação de proposições simples ligadas entre si, não por verbos, mas por partículas de ligação chamadas conectivas. As proposições complexas são indicadas por letras maiúsculas: (P, Q, …). Definições conectivas: Negação, Conjunção, Disjunção, Condicionalização e Bicondicionalização: O Cálculo proposicional trabalha com proposições e com as relações que se estabelece entre essas proposições; essas relações designam-se por
  2. 2. 2 A Professora Isabel Ribeiro operadores ou conectores, exprimem-se através de símbolos e obedecem a regras lógicas. Conectivas lógicas ou operadores lógicos: são palavras ou expressões usadas para ligar entre si as proposições simples, formando, deste modo, novas proposições a partir da combinação daquelas. Estas palavras ou expressões traduzem os diferentes modos de relacionar as proposições, isto é, as diferentes operações lógicas. São símbolos que denotam operações lógicas, são também considerados as constantes lógicas. O cálculo proposicional implica, igualmente, que formalizemos as palavras e expressões usadas para ligar as proposições atómicas, isto é, as conectivas lógicas. Simbolização das conectivas lógicas: Negação: () não, não é verdade que…, é falso que…, nunca, sem, prefixos de negação; Conjunção: () e, porque, mas; Disjunção: () ou; Condicionalização: () se…então, sempre que p, q, …é suficiente para, …é necessário para; Bicondicionalização: () …se e só se, …é condição necessária e suficiente, …se e somente se. Conectores Símbolo Leitura Operação lógica Exemplos Simbolização  e Conjunção O João é alto e o Pedro é baixo. p  q  ou Disjunção O João estuda ou reprova de ano. p  q  não Negação O Sol não brilha no céu. p  se…então Condicionalização ou implicação material Se o João estudar, então terá boas notas. p  q  se e só se Bicondicionalização ou equivalência material O João terá boas notas se e só se estudar. p  q Parêntesis: ajudam na ordem das operações a realizar; são usados para indicar a ordem de avaliação das expressões. Os parêntesis devem envolver as proposições menos complexas que compõem as proposições mais complexas.
  3. 3. 3 A Professora Isabel Ribeiro Método das tabelas de verdade (regras de Verdade das conectivas lógicas). Tabela de verdade: é uma maneira prática de dispor organizadamente os valores lógicos envolvidos numa proposição complexa. É uma tabela que se pode formar para determinar mecanicamente a verdade ou a falsidade de uma fórmula (uma vez conhecidos os valores de verdade das fórmulas componentes), através da averiguação de todos os casos possíveis. Para cada proposição complexa, podemos dispor os valores lógicos(V/F) numa tabela de verdade, de modo a combinar todos os valores de verdade possíveis das proposições suas componentes. Modo de construção das tabelas de verdade: o número de linhas distintas de uma tabela de verdade é dado por 2n , onde n é o número de proposições simples componentes e 2 representa o número de valores lógicos possíveis(V/F) – dado que estamos perante uma lógica bivalente, isto é, considera dois valores de verdade(V/F). Construção da tabela de verdade da Negação: é a operação lógica que muda o valor de verdade de uma proposição. É a única operação que se aplica apenas a uma proposição. P  P V V F F Construção da tabela de verdade da Conjunção: operação lógica que, aplicada em relação a duas ou mais proposições, tem como resultado uma proposição que é verdadeira se todas as proposições componentes forem verdadeiras e é falsa desde que haja pelo menos uma falsa. Construção da tabela de verdade da Disjunção: operação lógica que é verdadeira em todos os casos, só será falsa quando ambas as proposições forem falsas. P Q P˄ Q V V V V F F F V F F F F
  4. 4. 4 A Professora Isabel Ribeiro P Q P ˅ Q V V V V F V F V V F F F Construção da tabela de verdade da Condicionalização: operação lógica que trata de uma relação antecedente – consequente, ou de uma relação causa – efeito. Se a causa se verificar, o efeito é inevitável. A condicionalização só será falsa se p (antecedente) for verdadeiro e q (consequente) for falso. Só é falsa quando o antecedente for verdadeiro e o consequente falso. P Q P  Q V V V V F F F V V F F V Construção da tabela da Bicondicionalização: operação lógica que é verdadeira se as proposições têm o mesmo valor e é falsa se tiver valores diferentes. P Q P  Q V V V V F F F V F F F V Exemplo 1: construção de uma tabela de verdade para a seguinte fórmula  ( P ˅ Q). P Q Q P ˅ Q  ( P ˅ Q) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F As duas primeiras colunas desta tabela listam todas as possibilidades de valores lógicos conjuntos de P e Q. Na coluna seguinte, analisamos o valor lógico de Q, o que se
  5. 5. 5 A Professora Isabel Ribeiro consegue simplesmente trocando os valores lógicos da coluna de Q. Na quarta coluna da tabela, encontramos os valores lógicos de P ˅ Q; para os determinar, consideram-se a primeira e a terceira colunas e aplicam-se as regras usuais de valores lógicos para a disjunção, tendo em conta a tabela de verdade deste conectivo. Por fim, na última coluna, indica-se o valor lógico de  ( P ˅ Q) para cada combinação, negando os valores lógicos da quarta coluna. Exemplo 2: Construção de uma tabela de verdade com a seguinte fórmula lógica:  ( P ˄ Q) ˅  R . Tautologia: Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor lógico é sempre a verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Fórmulas que são sempre verdadeiras qualquer que seja o valor de verdade dos enunciados que a compõem. As proposições tautológicas são verdadeiras em virtude da sua forma lógica, isto é, em virtude do modo como estão relacionadas as proposições que a constituem, por isso, o seu valor de verdade não depende da experiência. São proposições universais e necessárias. Os princípios lógicos da razão, sendo expressão de leis lógicas, são sempre verdadeiros e, por isso, são proposições tautológicas. Contradição: É uma fórmula lógica que é sempre falsa, seja qual for o valor lógico das proposições que a constituem. Assim, a contradição é sempre, universal e necessariamente uma falsidade: não se trata de uma falsidade empírica, mas de uma falsidade lógica, que não depende dos valores lógicos das variáveis, depende exclusivamente da sua forma lógica. P Q R P ˄ Q  ( P ˄ Q)  R  ( P ˄ Q) ˅  R V V V V F F F V V F V F V V V F V F V F V V F F F V V V F V V F V F V F V F F V V V F F V F V F V F F F F V V V
  6. 6. 6 A Professora Isabel Ribeiro Nota: Quer a Tautologia, quer a Contradição nada nos informam ou dizem acerca da realidade, por isso, pode afirmar-se que a primeira é verdadeira em todos os mundos possíveis e a segunda é falsa em todos os mundos possíveis. Quer uma, quer outra, tiram o seu valor lógico exclusivamente da sua forma. Contingência (ou enunciados sintéticos): São aqueles enunciados que podem ter o valor lógico de verdade ou falsidade. São as fórmulas que podem ser verdadeiras em certos casos e falsas noutros. O Cálculo Proposicional como uma forma de inferir dedutivamente: no processo dedutivo da inferência derivam-se certos enunciados de um modo puramente formal, isto é, apenas em virtude da forma (lógica) dos mesmos. Assim sendo, o que caracteriza a dedução é o facto de a conclusão já estar, de algum modo, contida nas premissas e a sua validade resultar do modo como se relacionam as proposições antecedentes, ou seja, da forma do raciocínio. Os argumentos dedutivos bem construídos são argumentos em que a verdade das premissas garante a verdade da conclusão. A dedução preserva, desta forma, a verdade (se as premissas forem verdadeiras ou consideradas como tais e se raciocinarmos corretamente, então a conclusão só pode ser verdadeira). O silogismo como a forma particular de inferência dedutiva: os silogismos são fórmulas de inferência dedutiva muito simples. Todo o silogismo é constituído por premissas e conclusão, a conclusão resulta logicamente das suas premissas. A operação lógica que lhe corresponde mais diretamente é a implicação. Para o Cálculo Proposicional todo o raciocínio se reduz a uma relação do tipo: Antecedente  Consequente (se… então…). Inspetor de Circunstâncias: método usado em Lógica para testar a validade de alguns tipos de argumentos (ou raciocínios). Trata-se de uma sequência encadeada de tabelas de verdade em que se analisam todas as combinações possíveis (circunstâncias) de verdade e falsidade das premissas e da conclusão,
  7. 7. 7 A Professora Isabel Ribeiro de modo a verificar-se se existe alguma circunstância em que, sendo todas as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Se existir, o argumento é inválido. Pelo contrário, se em todas as circunstâncias em que as premissas são verdadeiras a conclusão também é verdadeira, então o argumento é válido. Eis um exemplo: seja o raciocínio «Chove e está frio. Logo, está frio», no qual existe apenas uma premissa («Chove e está frio»). Se representarmos «chove» por «P», «está frio» por «Q», «e» por « » e «logo» por « », obtemos o seguinte inspetor de circunstâncias: P Q P Q Q V V V V V F F F F V F V F F F F Nas duas colunas mais à esquerda são apresentadas as quatro combinações possíveis dos valores de verdade de P e de Q. Na coluna mais à direita, são apresentados, por um lado, os valores de verdade da premissa (P Q), em função dos valores de verdade atribuídos a P e a Q em cada circunstância, e, por outro, os valores de verdade da conclusão (Q). Verificamos então que, em todas as circunstâncias (neste caso, apenas uma) em que a premissa é verdadeira, a conclusão é verdadeira. Portanto, o raciocínio é válido. Leis e regras de Inferência Válida: Modus Ponens, Modus Tollens, Silogismo Hipotético, Silogismo Disjuntivo, Leis De Morgan, Contraposição. Formas de inferência válida: As regras de inferência são tautologias que consistem em fórmulas vazias de conteúdo empírico e que permitem extrair determinada conclusão a partir de determinadas premissas. Existem formas válidas em que a conclusão é sempre verdadeira seja quais forem os valores de verdade das proposições simples que as compõem e, por isso, traduzem uma lei lógica ou tautologia, são implicações lógicas: Modus Ponens ou Afirmação do Antecedente (PQ)PQ Modus Tollens ou Negação do Consequente (PQ)QP. Ao verificarmos a validade das inferências através do método das Tabelas de Verdade, constatamos que se tratam de leis
  8. 8. 8 A Professora Isabel Ribeiro lógicas ou tautologias, portanto, de modos válidos da implicação lógica, pois é sempre verdadeira seja quais forem os valores de verdade de p e q . Silogismo hipotético PQ, QR PR (permite deduzir um enunciado condicional a partir de dois enunciados condicionais usados como premissas). Silogismo Disjuntivo PQ, P Q ou PQ, Q P (Se temos como premissas uma fórmula disjuntiva e a negação de um dos seus membros, podemos inferir como conclusão a afirmação do outro membro da disjunção.) Leis de De Morgan  (PQ) (P Q) ou (P Q) (PQ) (Quando movemos a negação para dentro ou para fora dos parêntesis, a conjunção transforma-se em disjunção e vice-versa.) Contraposição PQ (QP) (permite trocar os lugares do antecedente e do consequente de uma condicional na condição de que se negue cada um deles.) Falácias (São raciocínios errados com aparência de verdadeiros). Falácia da Afirmação do Consequente (PQ)QP Falácia da Negação do Antecedente (PQ)PQ : Estas são duas formas que conduzem a proposições contingentes que, por serem muito parecidas com as formas válidas, merecem especial atenção. As Tabelas de Verdade demonstram que estes raciocínios não são válidos para todos os valores de p e q, a proposição resultante é contingente (no 3º caso, as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa: a combinação de valores de verdade que nunca pode ocorrer num argumento válido). Formas válidas Modus Ponens PQ Se é homem, é mortal. P É homem. Q Logo, é mortal. Modus Tollens PQ Se é homem, é mortal. Q Não é mortal. P Logo, não é homem. Silogismo Hipotético PQ Se estudo, tenho boa nota. QR Se tenho boa nota, passo de ano. PR Logo, se estudo passo de ano. Silogismo Disjuntivo PQ A Joana estuda ou vai ao cinema. P A Joana não estuda. Q Logo, a Joana vai ao cinema. PQ A Joana estuda ou vai ao cinema. Q A Joana não vai ao cinema.
  9. 9. 9 A Professora Isabel Ribeiro P Logo, a Joana estuda. Leis de De Morgan  ( PQ) Não é verdade que Platão seja autor da Poética ou da Retórica. PQ Logo, Platão não é autor da poética e não é autor da Retórica.  (PQ) Não é verdade que os morcegos sejam aves e que as baleias sejam peixes PQ Logo, os morcegos não são aves ou as baleias não são peixes. Contraposição PQ Se estou doente, fico em casa.  Q P Logo, se não fico em casa, não estou doente. Falácias Falácia da Afirmação do Consequente PQ Se é homem, é mortal. Q É mortal. P Logo, é homem. Falácia da Negação do antecedente PQ Se é homem, é mortal. P Não é homem. Q Logo, não é mortal. Exercícios:

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