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Introdução às funções e à trigonometria
    Antes de dar prosseguimento ao estudo do movimento, a cinemática, precisamos rever alguns
conceitos muito importantes da matemática. Mais especificamente, vamos relembrar o que é uma função,
como representá-la no plano cartesiano, como trabalhar com ângulos, suas relações trigonométricas, os
ângulos notáveis e o círculo trigonométrico.

         1. Funções e sua representação no gráfico cartesiano
    O que é função?
    Uma função matemática (ou computacional) é um processo que gera um resultado a partir de uma ou
mais entradas (argumentos da função). Pode-se encará-la como uma transformação: é um processo que
“pega” o argumento inserido, segue uma regra de transformação, e fornece um resultado.
                                         x




                                                         função f




                                                             f ( x)



    Chama-se f(x) a resposta à entrada x, isto é, a entrada x transformada pela função f.

    Exemplo 2.1.1: Considere a função f ( x) = 3 x + 2 . Essa função “pega” uma entrada genérica x,
multiplica-a por 3 e, por fim, soma 2 ao resultado. Podemos então calcular alguns pares entrada-saída
dessa função:
     f (−2) = 3 × ( −2 ) + 2 = −4
     f (−1) = 3 × ( −1) + 2 = −1
     f (−0,5) = 3 × ( −0,5 ) + 2 = 0,5
     f (0) = 3 × 0 + 2 = 2
     f (0,5) = 3 × 0,5 + 2 = 3,5
     f (1) = 3 ×1 + 2 = 5
     f (2) = 3 × 2 + 2 = 8

    Podemos ainda descobrir, por exemplo, qual entrada gerou um determinado resultado. Por exemplo,
quanto vale a se f(a) é igual a 32?
                                               f (a ) = 32
                                              3a + 2 = 32
                                                   3a = 30
                                                   a = 10

    Observação importante: Em uma função, cada entrada gera uma e somente uma resposta da função.
Por exemplo, não é possível existir uma determinada função na qual temos f (a ) = 3 e f (a ) = 5 . Já o
contrário é possível, isto é, podemos ter um caso em duas entradas diferentes geram uma mesma saída.
Podemos citar como exemplo f ( x ) = x 2 . Se tivermos f (a ) = 25 , ou seja, a 2 = 25 , conclui-se que a = 5
ou a = −5 . E, para completar, há ainda funções nas quais é impossível gerar-se uma determinada saída,
ou seja, nenhuma entrada gera aquela saída. Ainda no mesmo exemplo, em que f ( x ) = x 2 , se tentarmos
calcular a tal que f (a ) = −25 , concluiremos que a não existe no conjunto dos números reais.
    As funções para as quais, dada qualquer saída, não existe mais de uma entrada capaz de gerá-la são
chamadas injetoras. Ou seja, para cada saída, há no máximo uma entrada que a gera, sendo possível
também não haver nenhuma entrada que a gera.
    As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe no mínimo uma entrada que a gera são
chamadas sobrejetoras. Ou seja, é impossível haver uma saída tal que nenhuma entrada a gere.
    As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe uma e somente uma entrada que a gera
são chamadas bijetoras. Tais funções são necessariamente sobrejetoras e injetoras ao mesmo tempo.
    Em linguagem matemática, podemos dizer que as funções injetoras são aquelas em que
                                              f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
    Analogamente, as funções sobrejetoras (definidas no conjunto dos números reais) são aquelas em que
                                           m ∈ » ⇒ ∃ x tal que f ( x) = m
    Traduzindo, se m pertence ao conjunto dos números reias, então existe x tal que x gera a saída m.

     Representação cartesiana de uma função real
     Como já vimos, um gráfico cartesiano corresponde a um conjunto de eixos orientados. Podemos
utilizá-lo para representar funções reais.
     Nos casos mais simples, aos quais vamos nos ater, em que trataremos de funções de uma variável e
respostas únicas, usamos apenas dois eixos cartesianos e, portanto, a representação dessas funções ocorre
em um plano.
                                                     y




                                                                              x
                                                   0




    Antes de mais nada, vamos definir o que é um par ordenado, e como representá-lo no plano. Um par
ordenado são dois números reais, dispostos em uma determinada ordem. Dizemos que (a, b) é um par
ordenado, em que a, b ∈ » .
    Um par ordenado, em um gráfico cartesiano, corresponde a um ponto no plano. Por padrão, esse
ponto é fixado de forma que sua projeção no eixo x (eixo das entradas) seja em a, e no eixo y (eixo das
saídas), em b. Veja abaixo:
                                                   y
                                                            ( a, b)
                                                   b



                                                                              x
                                                   0       a




     Repare que a e b são pontos dos eixos x e y, respectivamente, contados a partir da origem.
Convencionalmente, o eixo x é orientado para a direita, isto é, os valores tomados à direita da origem são
positivos; e à esquerda, negativos. Também por convenção, o eixo y é orientado para cima, ou seja, os
pontos localizados acima da origem são positivos; e abaixo, negativos.
     Dizemos que a e b são as coordenadas do ponto (a, b).
Quando representamos uma função no plano cartesiano, marcamos os pontos da forma (x, f(x)), ou
seja, os pontos tais cuja coordenada em y é a resposta da função f à coordenada em x como entrada.
     Isto significa que se, por exemplo, o ponto (a, b), representado acima, pertence à função f, podemos
dizer que f(a) = b.
     Exemplo 2.1.2: Vamos ver um exemplo de uma função f representada abaixo.

                                                          y



                                                  3

                                                  1,5
                                                          1
                                                                                        x
                                      −3,5 −2         0                4

                               −6                                           5


    A curva desenhada é a união de todos os pontos no gráfico que fazem parte da representação da
função f. Pelo que definimos, podemos ver no gráfico o ponto (4, 1,5), isto é, um ponto cuja projeção no
eixo x é 4, e no eixo y, 1,5. Isso quer dizer que a resposta da função f à entrada 4 é igual a 1,5. Em termos
matemáticos, f (4) = 1,5 .
    Podemos, a respeito da função f representada, propor algumas perguntas.
    P: Qual é a resposta da função f à entrada −2 ?
    R: Pelo gráfico, vemos o ponto ( −2 , 1), isto é, a resposta à entrada −2 é 1. f (−2) = 1

    P: Qual(ais) é (são) a(s) entrada(s) que geram a resposta 1?
    R: Identicamente, −2 , −3,5 e algum número entre 4 e 5 geram resposta 1. f (−2) = 1 , f ( −3,5) = 1 e
f ( x) = 1, em que, 4<x<5

    P: Quanto vale f (0) ?
    R: O único ponto do gráfico cuja projeção em x ocorre em 0 é (0, 3), portanto podemos concluir que
f (0) = 3 .

    P: Determine x tal que f ( x) = 0
    R: Os pontos cuja projeção em y ocorrem em 0 são ( −6 , 0) e (5, 0). Logo, x = 5 ou x = −6


       Exemplo 2.1.3: Vamos agora construir passo a passo o gráfico cartesiano de uma função. Seja
 f ( x ) = 2 x − 1 . Para termos uma noção de como será esse gráfico, vamos escolher alguns pontos próximos
da origem, calcular suas coordenadas e representá-los no gráfico. De forma mais sistemática,
construiremos a seguinte tabela:
                                               x                     f(x)
                                              –2          f (−2) = 2 × ( −2 ) − 1 = −5
                                           –1             f (−1) = 2 × ( −1) − 1 = −3
                                           0              f (0) = 2 × ( 0 ) − 1 = −1
                                           1              f (1) = 2 × (1) − 1 = 1
                                           2              f (2) = 2 × ( 2 ) − 1 = 3
                                           3              f (3) = 2 × ( 3) − 1 = 5
y



                                                  5


                                                  3


                                                  1                                x
                                         −2 −1
                                                   0     1   2   3
                                                       −1


                                                       −3


                                                       −5


    Parece que nessa função os pontos alinharam-se de forma colinear. Não devemos nos esquecer que
pegamos apenas uma amostra de alguns pontos. Mesmo entre um ponto e outro, existem infinitos pontos.
Por exemplo, entre (1, 1) e (2, 3), existe (1,5, 2), (1,2, 1,4) etc. De forma a unir esses infinitos pontos,
dizemos que a representação gráfica dessa função é uma reta.
                                                         y



                                                  5


                                                  3


                                                  1                                x
                                         −2 −1
                                                   0     1   2   3
                                                       −1


                                                       −3


                                                       −5



       Observação importante: Verifica-se que toda função da forma f ( x) = ax + b , isto é, que “pega” a
entrada, multiplica-a por um número qualquer e, ao resultado, soma um outro número, é representada
graficamente por uma reta. São as chamadas funções afins, ou de primeiro grau. A denominação
“primeiro grau” refere-se ao que chamamos de ordem da função. Isso quer dizer que o maior expoente
de x que “aparece” na função é 1. Em uma função do segundo grau, ou de ordem 2, temos algo da forma
 f ( x ) = ax 2 + bx + c , pois o maior expoente de x é 2. Essa função é também chamada de função
quadrática, e é representada por uma curva chamada parábola. Analogamente, em uma equação de
terceiro grau, ou ordem 3, temos f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Essa função é representada por uma
hipérbole. E assim ocorre sucessivamente.
2. Trigonometria
    Dado um triângulo qualquer, sabe-se que a soma de seus ângulos internos é 180º.

                             β
                                                            α + β + γ = 180º
                        α                       γ


    Denomina-se triângulo retângulo aquele que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90º.



                                                                  α + β + 90º = 180º
                             α
                                           h (Hipotenusa)            α + β = 90º
                  Cateto a


                                           β
                                     Cateto b
        ângulo de 90º


    A soma de α e β é 90º e, por isso, são chamados complementares. Cada triângulo retângulo é
formado por um ângulo de 90º e um par de ângulos complementares.
    Denominamos cateto adjacente a um ângulo como o lado do triângulo localizado entre o vértice
correspondente e o ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. O terceiro lado é o
chamado cateto oposto.
    O cateto a é adjacente a α e oposto a β.
    O cateto b é adjacente a β e oposto a α.

     Relação de Pitágoras
     Apesar de ser comprovado que os egípcios já trabalhavam com as relações entre os lados do triângulo
retângulo muitos séculos antes dos gregos, a fórmula mais notável é conhecida como a relação de
Pitágoras. Aliás, sabemos que sem vários conceitos de cálculo avançado, os quais a ciência ocidental só
desenvolveu nos últimos séculos, os egípcios não teriam capacidade de construir as pirâmides.
     Sendo h a hipotenusa do triângulo retângulo, a e b os seus catetos, temos que:
                                                 h2 = a 2 + b2
     Costuma-se dizer também que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.


    Triângulos semelhantes
    Dois triângulos são semelhantes se e somente se têm os mesmos ângulos. Isso equivale também dizer
que eles têm lados proporcionais. Por exemplo, vamos considerar dois triângulos semelhantes, com fator
de semelhança igual a k.



                    β            a                            β
          c                                                                        a’
                                                       c’
              α                        γ
                        b                              α                                γ

    Temos então que:                                                    b’
                                                    a' b' c'
                                                      = = =k
                                                    a b c

    Pode-se provar que a razão entre as áreas dos triângulos é k2.
Relações trigonométricas
    Em um triângulo retângulo, podemos definir as seguintes relações trigonométricas para um ângulo
qualquer θ:
                                                   cateto oposto a θ
                                           sen θ =
                                                      hipotenusa
                                                   cateto adjacente a θ
                                           cos θ =
                                                        hipotenusa
                                                   cateto oposto a θ
                                           tg θ =
                                                  cateto adjacente a θ
    Essas funções são chamadas seno, co-seno e tangente, respectivamente. A tangente de θ pode ser
reescrita como a razão entre seno e co-seno:
                           cateto oposto a θ       (cateto oposto a θ) ÷ ( hipotenusa)   sen θ
                   tg θ =                      =                                       =
                          cateto adjacente a θ (cateto adjacente a θ) ÷ ( hipotenusa) cos θ

      No exemplo inicial de triângulo retângulo, tínhamos:
                                                a
                                                   = cos α = sen β
                                                h
                                                b
                                                   = sen α = cos β
                                                h
                                                b             1
                                                   = tg α =
                                                a           tg β
                                                a            1
                                                   = tg β =
                                                b           tg α

      Dica: Para lembrar:
          • O seno de um ângulo é a razão entre o cateto separado e a hipotenusa.
          • O co-seno de um ângulo é a razão entre o cateto colado e a hipotenusa.
          • A tangente é a razão entre os dois anteriores.

     Repare que o seno de um ângulo é igual ao co-seno do ângulo complementar a ele. Além disso, a
tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do ângulo complementar a ele. Exprimimos essas
relações da seguinte forma:
                                                              sen θ = cos ( 90º −θ )
                                                                 cos θ = sen ( 90 − θ )
            α                                                                   1
                                                                                        = ( tg ( 90º −θ ) )
                                                                                                            −1
                                                                 tg θ =
                                                                          tg ( 90º −θ )

                                                        As funções seno, co-seno e tangente são associadas
                                                    unicamente ao ângulo, independentemente do triângulo
                                                    em que eles se encontram.
 b'                                 a’
            α
                                                         Vamos tomar como exemplo dois triângulos
                                                    retângulos semelhantes. Vamos colocá-los sobrepostos,
                                                    como mostra a figura ao lado:
                       a
            b
                                                        Chamando de k o fator de semelhança, temos:
                                                                            a ' = ka
                   c       β                β                               b ' = kb
                                                                                   c ' = kc

                               c'                       Para o triângulo menor temos:
c
                                                          sen α =
                                                                        a
    Para o triângulo maior temos:
                                                                  c ' k.c c
                                                  sen α =            =    =
                                                                  a ' k .a a

    Isso mostra que o seno é função exclusiva do ângulo. De forma análoga, pode-se mostrar o mesmo
para as funções co-seno e tangente.

     Outra relação importante pode ser mostrada a partir da equação de Pitágoras. Vamos considerar o
triângulo menor do exemplo acima:
                                                  b2 + c 2 = a2
     Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por 1 2 :
                                                               a

                                           ( b2 + c 2 ) × a 2 = a 2 × a12
                                                          1

     No segundo termo, ocorre o cancelamento. No primeiro, faremos a distribuição:
                                                b2 c2
                                                    +      =1
                                                a2 a2
                                                              2         2
                                                      b c
                                                        +  =1
                                                      a a
    E, portanto:
                                                      sen 2 β + cos 2 β = 1
    Isso vale para qualquer ângulo.


    O triângulo 90º - 45º - 45º
    Consideremos um quadrado de lado L, e sua diagonal d. A diagonal “corta” o ângulo de 90º em dois
pedaços iguais de 45º cada.
                                           L
                                                              45º
                                                                  45º
                               L                  d                         L

                                      45º
                                            45º
                                                      L

    Vamos “recortar” a metade do quadrado. Teremos:



                                                                    45º
                                                      d                         L


                                              45º
                                                          L

    Por Pitágoras, podemos calcular d em função de L:
                                            d 2 = L2 + L2 = 2.L2
                                           d=L 2
    Agora podemos calcular para o ângulo de 45º:
L       1        2
                                        sen 45º = cos 45º =           =       =
                                                           L 2            2       2
                                                 sen 45º
                                        tg 45º =         =1
                                                 cos 45º



    O triângulo 90º - 30º - 60º


                                         Consideremos um triângulo eqüilátero (lados iguais e ângulos de
              30º 30º               60º) de lado L, e a altura h, que “corta” o ângulo superior de 60º em
   L                          L     dois pedaços iguais de 30º cada, e que divide o lado oposto (a base do
                    h               triângulo) em dois segmentos iguais a L 2 cada.



  60º                         60º
        L 2             L 2


    Vamos recortar a metade do triângulo. Teremos:
                                       Por Pitágoras, podemos calcular a altura h:
                                                                                   2
                                                                         L               L2
                                                             L2 = h 2 +   ∴ L2 = h 2 +
                  30º                                                    2               4
        L                                                                L 2
                                                                               3L 2
                                                             h 2 = L2 −      =
                        h                                                 4     4
                                                                      3
                                                             h=L
                                                                     2
    60º                                    As relações trigonométricas para esse triângulo são as seguintes:
            L 2                                                                                   3
                                                                                              L
                                                                                           h     2 = 3
                                                                       sen 60º = cos 30º = =
                                                                                           L    L     2
                                                                                           L2 1
                                                                  h cos 60º = sen 30º = L = 2
                                             sen 60º = cos 30º = =
                                                                  L              sen 60º    h
                                                                        tg 60º =         =    = 3
                                                                                 cos 60º L 2
                                                                                         sen 30º    1     1     3
                                                                              tg 30º =           =      =    =
                                                                                         cos 30º tg 60º    3   3

    O triângulo limite 90º - 90º - 0º
    Vamos considerar um triângulo retângulo, como a seguir:


                                                      α

                                          a                   b


                                    β
                                          c
    Procuraremos diminuir a abertura de α e, ao mesmo tempo, estaremos aumentando β. Isso se dará
“fechando” o lado a, conforme indica a seta. Faremos isso, até que α fique bem próximo de 0º e,
obviamente, β fique bem próximo de 90º.
Repare que no caso limite, isto é, quando α estiver infinitamente próximo de 0º e,
                       portanto, β estiver infinitamente próximo de 90º, se mantivermos o lado b constante, o
                   α   lado c tenderá a valer zero, ao passo que o lado a tenderá a valer o mesmo que b.
                       Assim, temos:
       a                                                      c 0
                                               sen α = cos β = ≈ = 0 ∴ sen 0º = cos 90º = 0
               b                                              a a
 β
                                                              b b
                                               cos α = sen β = ≈ = 1∴ sen 90º = cos 0º = 1
                                                              a b
           c


     Relações trigonométricas dos ângulos notáveis
     Vamos ver agora uma forma simples de lembrar das funções trigonométricas dos ângulos notáveis
entre 0º e 90º (ângulos agudos, ou ângulos do 1º quadrante), como um resumo do que vimos até agora.
Construa a seguinte tabela:

                            0º               30º               45º               60º               90º
      sen
      cos
       tg
     Comece preenchendo-a, em todas as células das duas primeiras linhas, com o seguinte:               . Deixe
                                                                                                   2
um espaço dentro da raiz, ele será completado depois. Deve ficar assim:
                        0º                30º              45º                   60º               90º
     sen
                           2                2                 2                       2                 2
     cos
                           2                2                 2                       2                 2
      tg

     Agora, na linha dos senos, preencha as lacunas, da esquerda para a direita, com 0, 1, 2, 3 e 4. Na
linha dos co-senos, faça o mesmo, porém da direita para a esquerda.
     Teremos o seguinte:

                            0º               30º               45º               60º               90º
      sen                   0                 1                 2                 3                 4
                                2                 2                 2                 2                 2
      cos                   4                 3                 2                 1                 0
                                2                 2                 2                 2                 2
       tg

    Agora, simplifique as expressões e calcule a tangente de cada ângulo como a razão entre o seu seno e
o seu co-seno.
                        0º               30º                45º             60º                90º
       sen              0                 1                  2              3                   1
                                            2                  2              2
       cos              1                 3                  2              1                   0
                                            2                  2              2
        tg              0                                    1                3             ∃ tg 90º
                                     1    = 3
                                        3       3

     Repare que para calcular a tangente de 90º, precisamos realizar uma divisão por zero.
                                    x        indeterminado, se x = 0
                                      =
                                    0 indefinido (não existe), se x ≠ 0
Portanto, a tangente de 90º não existe. Você pode perceber, no entanto, através do triângulo limite de
90º - 90º - 0º, que conforme aumentamos o ângulo β e mais próximo ele fica de 90º, mais sua tangente
cresce, tendendo ao infinito.


     O círculo trigonométrico                                                     y
     Com os métodos dos quais dispomos
até agora, não nos seria possível calcular o
valor de qualquer uma das três relações                                           90º
trigonométricas principais para ângulos
maiores que 90º. Para isso, precisamos criar                                                     1º quadrante
um método mais genérico, capaz de
                                                               2º quadrante
englobar mais casos.                                                                     R=1
     Dessa forma, vamos construir um
círculo de raio 1, com centro na origem de           180º                                                       x
um par de eixos cartesianos, conforme a                                   0                          0º ≡ 360º
figura ao lado. Ao longo do círculo,
distribuiremos os ângulos de 0º a 360º.                        3º quadrante       4º quadrante
Teremos, portanto, a seguinte localização
dos ângulos:
          • Para 0º, x = 1 e y = 0
          • Para 90º, x = 0 e y = 1
                                                                                  270º
          • Para 180º, x = –1 e y = 0
          • Para 270º, x = 0 e y = –1
          • Para 360º, x = 1 e y = 0 (o que
              coincide com 0º)

     Vamos começar usando o círculo trigonométrico para calcular o seno e o co-seno de ângulos do
primeiro quadrante. Inicialmente, vamos construir uma abertura de ângulo α a partir do ponto definido
como 0º. Construímos também um triângulo retângulo com essa abertura, onde o raio é a hipotenusa (=
1). Repare que o ponto do círculo que representa α tem coordenadas x0 e y0 tais que:
         • x0 é equivalente à medida do cateto adjacente a α
         • y0 é equivalente à medida do cateto oposto a α.

                                    y
                                                                        Isolando o triângulo retângulo da
                                                                   figura, podemos obter as seguintes
                                    90º                            relações:
                                                 α
                               y0
                                                                              1
                                                                                         y0            y0
                                        1                                                      sen α =    = y0
                                                                              α                         1
        180º                                                   x                  x0                   x
                                    α                                                          cos α = 0 = x0
                                            x0                                                          1
                               0                       0º ≡ 360º                                      y0
                                                                                               tg α =
                                                                                                      x0

                                                                        Ou seja, ao inserirmos um ângulo
                                                                   qualquer no círculo trigonométrico,
                                   270º                            “abrindo” a hipotenusa do triângulo
                                                                   retângulo a partir do ponto 0º, teremos
                                                                   o seno (projeção em y) e o co-seno
                                                                   (projeção em x) do mesmo. Por isso,
chamamos o eixo y de eixo dos senos e o eixo x de eixo dos co-senos. Simplificando, para calcular o seno
e o co-seno de um ângulo α, basta fazer as projeções, como a seguir:
sen                                       Repare        que       quando
                                                                          “fechamos” α até fazer com que
                                                                          valha 0º, seu co-seno aumenta até
                                     90º                                  1 e seu seno diminui até zero.
                                                 α                             O       processo       inverso,
                           sen α                                          “abrindo” α até que valha 90º, faz
                                                                          com que seu seno aumente até
                                         1                                que valha 1 e seu co-seno
                                                                          diminua até que valha 0.
        180º                          α                         cos            Vamos       agora    continuar
                                                                          aumentando α de forma que ele
                                 0           cos α      0º ≡ 360º         seja maior que 90º. O seno volta a
                                                                          ser menor que 1 e, agora, a
                                                                          projeção sobre o eixo dos co-
                                                                          senos fica à esquerda da origem.
                                                                          Como          tomamos          como
                                                                          pressuposto que a reta está
                                     270º                                 orientada para a direita, os valores
                                                                          à direita de 0 são positivos e à sua
                                                                          esquerda são negativos. Por isso,
                                                                          quando α começa a ser maior que
                                     sen                                  90º, o co-seno começa a ficar
                                                                          negativo. Quando mais α se afasta
                                     90º                                  de 90º e, portanto, se aproxima de
                                                                          180º, mais o seno diminui,
                    α                                                     aproximando-se de 0, e mais
                                     sen α
                                                                          negativo      fica    o     co-seno,
                             1                                            aproximando-se de -1. Veja como
                                                                          isso fica representado na figura ao
                                                                          lado. Podemos, portanto, dizer
        180º                                                    cos
                                                                          que sen180º = 0 e cos180º = −1 .
                    cos α < 0        0                  0º ≡ 360º              Analogamente,         podemos
                                                                          fazer α > 180º. Para ângulos do
                                                                          terceiro quadrante, tanto os senos
                                                                          (abaixo da origem) quanto os co-
                                                                          senos (à esquerda da origem) são
                                                                          negativos. Assim, sen 270º = −1 e
                                     270º                                  cos 270º = 0 .
                                                                               No quarto quadrante, os
                                                                          senos continuam negativos e os
                                                                          co-senos voltam a ser positivos.

     Exercício 2.2.1: Determine o seno                                     sen
e o co-seno de 150º.
     Solução: Repare que “abrir” 150º a                                    90º
partir de 0º no sentido anti-horário
(convencional) é o mesmo que “abrir”
30º a partir de 180º no sentido horário.             150º                                   30º
Veja:
     Esse exemplo mostra claramente a
utilidade    do     uso    do     círculo        180º                                                   cos
                                                                    30º        30º
trigonométrico. Como não é possível
construir um triângulo retângulo com                                       0                   0º ≡ 360º
um ângulo de 150º, plotamos esse
ângulo no gráfico e vemos qual é sua
projeção sobre o 1º quadrante. Nesse
caso, o eixo dos senos serve como um
espelho. Os senos de 150º e 30º são
iguais e seus co-senos são simétricos.                                     270º
     Assim, temos:
sen150º = sen 30º = 1
                            2
    cos150º = − cos 30º = − 3
                             2
    Podemos tomar a seguinte regra geral:
    sen (180º −θ ) = sen θ
    cos (180º −θ ) = − cos θ


    Exercício 2.2.2: Determine o seno e o co-seno de 300º.
    Solução: Repare que “abrir” 300º a partir de 0º no sentido anti-horário (convencional) é o mesmo
que “abrir” 60º a partir de 360º no sentido horário. Veja:

                                sen
                                                                   Agora, temos um ângulo do 4º
                                                               quadrante, que novamente projetamos
                                90º
                                         60º                   para 1º. O eixo dos co-senos serviu
                                                               como espelho e, portanto, os ângulos
                                                               60º e 300º têm o mesmo co-seno, e
                                                               senos simétricos.
                                                                   Por isso, podemos escrever:
   180º                         60º                     cos         cos 300º = cos 60º = 1
                                                                                           2
                            0   60º            0º ≡ 360º            sen 300º = − sen 60º = − 3
                                                                                               2
                                                                   Podemos tomar a seguinte regra
                                                               geral:
                                                                    cos(360º −θ) = cos θ
                                                                    sen(360º −θ) = − sen θ
                                       300º
                                270º



    Exercício 2.2.3: Determine o seno e o co-seno de 225º.
    Este exercício será deixado para a prática do leitor.


          3. Conclusão
    Nesse capítulo, não prosseguimos com o estudo da física propriamente dito. Fomos obrigados a
concretizar alguns conceitos matemáticos essenciais para a continuidade da teoria do movimento. No
próximo capítulo, colocaremos em prática algumas das idéias expostas anteriormente, ao abordar a
cinemática escalar através dos gráficos cartesianos.

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Introdução à trigonometria e funções

  • 1. Introdução às funções e à trigonometria Antes de dar prosseguimento ao estudo do movimento, a cinemática, precisamos rever alguns conceitos muito importantes da matemática. Mais especificamente, vamos relembrar o que é uma função, como representá-la no plano cartesiano, como trabalhar com ângulos, suas relações trigonométricas, os ângulos notáveis e o círculo trigonométrico. 1. Funções e sua representação no gráfico cartesiano O que é função? Uma função matemática (ou computacional) é um processo que gera um resultado a partir de uma ou mais entradas (argumentos da função). Pode-se encará-la como uma transformação: é um processo que “pega” o argumento inserido, segue uma regra de transformação, e fornece um resultado. x função f f ( x) Chama-se f(x) a resposta à entrada x, isto é, a entrada x transformada pela função f. Exemplo 2.1.1: Considere a função f ( x) = 3 x + 2 . Essa função “pega” uma entrada genérica x, multiplica-a por 3 e, por fim, soma 2 ao resultado. Podemos então calcular alguns pares entrada-saída dessa função: f (−2) = 3 × ( −2 ) + 2 = −4 f (−1) = 3 × ( −1) + 2 = −1 f (−0,5) = 3 × ( −0,5 ) + 2 = 0,5 f (0) = 3 × 0 + 2 = 2 f (0,5) = 3 × 0,5 + 2 = 3,5 f (1) = 3 ×1 + 2 = 5 f (2) = 3 × 2 + 2 = 8 Podemos ainda descobrir, por exemplo, qual entrada gerou um determinado resultado. Por exemplo, quanto vale a se f(a) é igual a 32? f (a ) = 32 3a + 2 = 32 3a = 30 a = 10 Observação importante: Em uma função, cada entrada gera uma e somente uma resposta da função. Por exemplo, não é possível existir uma determinada função na qual temos f (a ) = 3 e f (a ) = 5 . Já o contrário é possível, isto é, podemos ter um caso em duas entradas diferentes geram uma mesma saída. Podemos citar como exemplo f ( x ) = x 2 . Se tivermos f (a ) = 25 , ou seja, a 2 = 25 , conclui-se que a = 5 ou a = −5 . E, para completar, há ainda funções nas quais é impossível gerar-se uma determinada saída,
  • 2. ou seja, nenhuma entrada gera aquela saída. Ainda no mesmo exemplo, em que f ( x ) = x 2 , se tentarmos calcular a tal que f (a ) = −25 , concluiremos que a não existe no conjunto dos números reais. As funções para as quais, dada qualquer saída, não existe mais de uma entrada capaz de gerá-la são chamadas injetoras. Ou seja, para cada saída, há no máximo uma entrada que a gera, sendo possível também não haver nenhuma entrada que a gera. As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe no mínimo uma entrada que a gera são chamadas sobrejetoras. Ou seja, é impossível haver uma saída tal que nenhuma entrada a gere. As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe uma e somente uma entrada que a gera são chamadas bijetoras. Tais funções são necessariamente sobrejetoras e injetoras ao mesmo tempo. Em linguagem matemática, podemos dizer que as funções injetoras são aquelas em que f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 Analogamente, as funções sobrejetoras (definidas no conjunto dos números reais) são aquelas em que m ∈ » ⇒ ∃ x tal que f ( x) = m Traduzindo, se m pertence ao conjunto dos números reias, então existe x tal que x gera a saída m. Representação cartesiana de uma função real Como já vimos, um gráfico cartesiano corresponde a um conjunto de eixos orientados. Podemos utilizá-lo para representar funções reais. Nos casos mais simples, aos quais vamos nos ater, em que trataremos de funções de uma variável e respostas únicas, usamos apenas dois eixos cartesianos e, portanto, a representação dessas funções ocorre em um plano. y x 0 Antes de mais nada, vamos definir o que é um par ordenado, e como representá-lo no plano. Um par ordenado são dois números reais, dispostos em uma determinada ordem. Dizemos que (a, b) é um par ordenado, em que a, b ∈ » . Um par ordenado, em um gráfico cartesiano, corresponde a um ponto no plano. Por padrão, esse ponto é fixado de forma que sua projeção no eixo x (eixo das entradas) seja em a, e no eixo y (eixo das saídas), em b. Veja abaixo: y ( a, b) b x 0 a Repare que a e b são pontos dos eixos x e y, respectivamente, contados a partir da origem. Convencionalmente, o eixo x é orientado para a direita, isto é, os valores tomados à direita da origem são positivos; e à esquerda, negativos. Também por convenção, o eixo y é orientado para cima, ou seja, os pontos localizados acima da origem são positivos; e abaixo, negativos. Dizemos que a e b são as coordenadas do ponto (a, b).
  • 3. Quando representamos uma função no plano cartesiano, marcamos os pontos da forma (x, f(x)), ou seja, os pontos tais cuja coordenada em y é a resposta da função f à coordenada em x como entrada. Isto significa que se, por exemplo, o ponto (a, b), representado acima, pertence à função f, podemos dizer que f(a) = b. Exemplo 2.1.2: Vamos ver um exemplo de uma função f representada abaixo. y 3 1,5 1 x −3,5 −2 0 4 −6 5 A curva desenhada é a união de todos os pontos no gráfico que fazem parte da representação da função f. Pelo que definimos, podemos ver no gráfico o ponto (4, 1,5), isto é, um ponto cuja projeção no eixo x é 4, e no eixo y, 1,5. Isso quer dizer que a resposta da função f à entrada 4 é igual a 1,5. Em termos matemáticos, f (4) = 1,5 . Podemos, a respeito da função f representada, propor algumas perguntas. P: Qual é a resposta da função f à entrada −2 ? R: Pelo gráfico, vemos o ponto ( −2 , 1), isto é, a resposta à entrada −2 é 1. f (−2) = 1 P: Qual(ais) é (são) a(s) entrada(s) que geram a resposta 1? R: Identicamente, −2 , −3,5 e algum número entre 4 e 5 geram resposta 1. f (−2) = 1 , f ( −3,5) = 1 e f ( x) = 1, em que, 4<x<5 P: Quanto vale f (0) ? R: O único ponto do gráfico cuja projeção em x ocorre em 0 é (0, 3), portanto podemos concluir que f (0) = 3 . P: Determine x tal que f ( x) = 0 R: Os pontos cuja projeção em y ocorrem em 0 são ( −6 , 0) e (5, 0). Logo, x = 5 ou x = −6 Exemplo 2.1.3: Vamos agora construir passo a passo o gráfico cartesiano de uma função. Seja f ( x ) = 2 x − 1 . Para termos uma noção de como será esse gráfico, vamos escolher alguns pontos próximos da origem, calcular suas coordenadas e representá-los no gráfico. De forma mais sistemática, construiremos a seguinte tabela: x f(x) –2 f (−2) = 2 × ( −2 ) − 1 = −5 –1 f (−1) = 2 × ( −1) − 1 = −3 0 f (0) = 2 × ( 0 ) − 1 = −1 1 f (1) = 2 × (1) − 1 = 1 2 f (2) = 2 × ( 2 ) − 1 = 3 3 f (3) = 2 × ( 3) − 1 = 5
  • 4. y 5 3 1 x −2 −1 0 1 2 3 −1 −3 −5 Parece que nessa função os pontos alinharam-se de forma colinear. Não devemos nos esquecer que pegamos apenas uma amostra de alguns pontos. Mesmo entre um ponto e outro, existem infinitos pontos. Por exemplo, entre (1, 1) e (2, 3), existe (1,5, 2), (1,2, 1,4) etc. De forma a unir esses infinitos pontos, dizemos que a representação gráfica dessa função é uma reta. y 5 3 1 x −2 −1 0 1 2 3 −1 −3 −5 Observação importante: Verifica-se que toda função da forma f ( x) = ax + b , isto é, que “pega” a entrada, multiplica-a por um número qualquer e, ao resultado, soma um outro número, é representada graficamente por uma reta. São as chamadas funções afins, ou de primeiro grau. A denominação “primeiro grau” refere-se ao que chamamos de ordem da função. Isso quer dizer que o maior expoente de x que “aparece” na função é 1. Em uma função do segundo grau, ou de ordem 2, temos algo da forma f ( x ) = ax 2 + bx + c , pois o maior expoente de x é 2. Essa função é também chamada de função quadrática, e é representada por uma curva chamada parábola. Analogamente, em uma equação de terceiro grau, ou ordem 3, temos f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Essa função é representada por uma hipérbole. E assim ocorre sucessivamente.
  • 5. 2. Trigonometria Dado um triângulo qualquer, sabe-se que a soma de seus ângulos internos é 180º. β α + β + γ = 180º α γ Denomina-se triângulo retângulo aquele que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90º. α + β + 90º = 180º α h (Hipotenusa) α + β = 90º Cateto a β Cateto b ângulo de 90º A soma de α e β é 90º e, por isso, são chamados complementares. Cada triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90º e um par de ângulos complementares. Denominamos cateto adjacente a um ângulo como o lado do triângulo localizado entre o vértice correspondente e o ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. O terceiro lado é o chamado cateto oposto. O cateto a é adjacente a α e oposto a β. O cateto b é adjacente a β e oposto a α. Relação de Pitágoras Apesar de ser comprovado que os egípcios já trabalhavam com as relações entre os lados do triângulo retângulo muitos séculos antes dos gregos, a fórmula mais notável é conhecida como a relação de Pitágoras. Aliás, sabemos que sem vários conceitos de cálculo avançado, os quais a ciência ocidental só desenvolveu nos últimos séculos, os egípcios não teriam capacidade de construir as pirâmides. Sendo h a hipotenusa do triângulo retângulo, a e b os seus catetos, temos que: h2 = a 2 + b2 Costuma-se dizer também que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Triângulos semelhantes Dois triângulos são semelhantes se e somente se têm os mesmos ângulos. Isso equivale também dizer que eles têm lados proporcionais. Por exemplo, vamos considerar dois triângulos semelhantes, com fator de semelhança igual a k. β a β c a’ c’ α γ b α γ Temos então que: b’ a' b' c' = = =k a b c Pode-se provar que a razão entre as áreas dos triângulos é k2.
  • 6. Relações trigonométricas Em um triângulo retângulo, podemos definir as seguintes relações trigonométricas para um ângulo qualquer θ: cateto oposto a θ sen θ = hipotenusa cateto adjacente a θ cos θ = hipotenusa cateto oposto a θ tg θ = cateto adjacente a θ Essas funções são chamadas seno, co-seno e tangente, respectivamente. A tangente de θ pode ser reescrita como a razão entre seno e co-seno: cateto oposto a θ (cateto oposto a θ) ÷ ( hipotenusa) sen θ tg θ = = = cateto adjacente a θ (cateto adjacente a θ) ÷ ( hipotenusa) cos θ No exemplo inicial de triângulo retângulo, tínhamos: a = cos α = sen β h b = sen α = cos β h b 1 = tg α = a tg β a 1 = tg β = b tg α Dica: Para lembrar: • O seno de um ângulo é a razão entre o cateto separado e a hipotenusa. • O co-seno de um ângulo é a razão entre o cateto colado e a hipotenusa. • A tangente é a razão entre os dois anteriores. Repare que o seno de um ângulo é igual ao co-seno do ângulo complementar a ele. Além disso, a tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do ângulo complementar a ele. Exprimimos essas relações da seguinte forma: sen θ = cos ( 90º −θ ) cos θ = sen ( 90 − θ ) α 1 = ( tg ( 90º −θ ) ) −1 tg θ = tg ( 90º −θ ) As funções seno, co-seno e tangente são associadas unicamente ao ângulo, independentemente do triângulo em que eles se encontram. b' a’ α Vamos tomar como exemplo dois triângulos retângulos semelhantes. Vamos colocá-los sobrepostos, como mostra a figura ao lado: a b Chamando de k o fator de semelhança, temos: a ' = ka c β β b ' = kb c ' = kc c' Para o triângulo menor temos:
  • 7. c sen α = a Para o triângulo maior temos: c ' k.c c sen α = = = a ' k .a a Isso mostra que o seno é função exclusiva do ângulo. De forma análoga, pode-se mostrar o mesmo para as funções co-seno e tangente. Outra relação importante pode ser mostrada a partir da equação de Pitágoras. Vamos considerar o triângulo menor do exemplo acima: b2 + c 2 = a2 Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por 1 2 : a ( b2 + c 2 ) × a 2 = a 2 × a12 1 No segundo termo, ocorre o cancelamento. No primeiro, faremos a distribuição: b2 c2 + =1 a2 a2 2 2 b c   +  =1 a a E, portanto: sen 2 β + cos 2 β = 1 Isso vale para qualquer ângulo. O triângulo 90º - 45º - 45º Consideremos um quadrado de lado L, e sua diagonal d. A diagonal “corta” o ângulo de 90º em dois pedaços iguais de 45º cada. L 45º 45º L d L 45º 45º L Vamos “recortar” a metade do quadrado. Teremos: 45º d L 45º L Por Pitágoras, podemos calcular d em função de L: d 2 = L2 + L2 = 2.L2 d=L 2 Agora podemos calcular para o ângulo de 45º:
  • 8. L 1 2 sen 45º = cos 45º = = = L 2 2 2 sen 45º tg 45º = =1 cos 45º O triângulo 90º - 30º - 60º Consideremos um triângulo eqüilátero (lados iguais e ângulos de 30º 30º 60º) de lado L, e a altura h, que “corta” o ângulo superior de 60º em L L dois pedaços iguais de 30º cada, e que divide o lado oposto (a base do h triângulo) em dois segmentos iguais a L 2 cada. 60º 60º L 2 L 2 Vamos recortar a metade do triângulo. Teremos: Por Pitágoras, podemos calcular a altura h: 2 L L2 L2 = h 2 +   ∴ L2 = h 2 + 30º 2 4 L L 2 3L 2 h 2 = L2 − = h 4 4 3 h=L 2 60º As relações trigonométricas para esse triângulo são as seguintes: L 2 3 L h 2 = 3 sen 60º = cos 30º = = L L 2 L2 1 h cos 60º = sen 30º = L = 2 sen 60º = cos 30º = = L sen 60º h tg 60º = = = 3 cos 60º L 2 sen 30º 1 1 3 tg 30º = = = = cos 30º tg 60º 3 3 O triângulo limite 90º - 90º - 0º Vamos considerar um triângulo retângulo, como a seguir: α a b β c Procuraremos diminuir a abertura de α e, ao mesmo tempo, estaremos aumentando β. Isso se dará “fechando” o lado a, conforme indica a seta. Faremos isso, até que α fique bem próximo de 0º e, obviamente, β fique bem próximo de 90º.
  • 9. Repare que no caso limite, isto é, quando α estiver infinitamente próximo de 0º e, portanto, β estiver infinitamente próximo de 90º, se mantivermos o lado b constante, o α lado c tenderá a valer zero, ao passo que o lado a tenderá a valer o mesmo que b. Assim, temos: a c 0 sen α = cos β = ≈ = 0 ∴ sen 0º = cos 90º = 0 b a a β b b cos α = sen β = ≈ = 1∴ sen 90º = cos 0º = 1 a b c Relações trigonométricas dos ângulos notáveis Vamos ver agora uma forma simples de lembrar das funções trigonométricas dos ângulos notáveis entre 0º e 90º (ângulos agudos, ou ângulos do 1º quadrante), como um resumo do que vimos até agora. Construa a seguinte tabela: 0º 30º 45º 60º 90º sen cos tg Comece preenchendo-a, em todas as células das duas primeiras linhas, com o seguinte: . Deixe 2 um espaço dentro da raiz, ele será completado depois. Deve ficar assim: 0º 30º 45º 60º 90º sen 2 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 tg Agora, na linha dos senos, preencha as lacunas, da esquerda para a direita, com 0, 1, 2, 3 e 4. Na linha dos co-senos, faça o mesmo, porém da direita para a esquerda. Teremos o seguinte: 0º 30º 45º 60º 90º sen 0 1 2 3 4 2 2 2 2 2 cos 4 3 2 1 0 2 2 2 2 2 tg Agora, simplifique as expressões e calcule a tangente de cada ângulo como a razão entre o seu seno e o seu co-seno. 0º 30º 45º 60º 90º sen 0 1 2 3 1 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 2 2 2 tg 0 1 3 ∃ tg 90º 1 = 3 3 3 Repare que para calcular a tangente de 90º, precisamos realizar uma divisão por zero. x  indeterminado, se x = 0 = 0 indefinido (não existe), se x ≠ 0
  • 10. Portanto, a tangente de 90º não existe. Você pode perceber, no entanto, através do triângulo limite de 90º - 90º - 0º, que conforme aumentamos o ângulo β e mais próximo ele fica de 90º, mais sua tangente cresce, tendendo ao infinito. O círculo trigonométrico y Com os métodos dos quais dispomos até agora, não nos seria possível calcular o valor de qualquer uma das três relações 90º trigonométricas principais para ângulos maiores que 90º. Para isso, precisamos criar 1º quadrante um método mais genérico, capaz de 2º quadrante englobar mais casos. R=1 Dessa forma, vamos construir um círculo de raio 1, com centro na origem de 180º x um par de eixos cartesianos, conforme a 0 0º ≡ 360º figura ao lado. Ao longo do círculo, distribuiremos os ângulos de 0º a 360º. 3º quadrante 4º quadrante Teremos, portanto, a seguinte localização dos ângulos: • Para 0º, x = 1 e y = 0 • Para 90º, x = 0 e y = 1 270º • Para 180º, x = –1 e y = 0 • Para 270º, x = 0 e y = –1 • Para 360º, x = 1 e y = 0 (o que coincide com 0º) Vamos começar usando o círculo trigonométrico para calcular o seno e o co-seno de ângulos do primeiro quadrante. Inicialmente, vamos construir uma abertura de ângulo α a partir do ponto definido como 0º. Construímos também um triângulo retângulo com essa abertura, onde o raio é a hipotenusa (= 1). Repare que o ponto do círculo que representa α tem coordenadas x0 e y0 tais que: • x0 é equivalente à medida do cateto adjacente a α • y0 é equivalente à medida do cateto oposto a α. y Isolando o triângulo retângulo da figura, podemos obter as seguintes 90º relações: α y0 1 y0 y0 1 sen α = = y0 α 1 180º x x0 x α cos α = 0 = x0 x0 1 0 0º ≡ 360º y0 tg α = x0 Ou seja, ao inserirmos um ângulo qualquer no círculo trigonométrico, 270º “abrindo” a hipotenusa do triângulo retângulo a partir do ponto 0º, teremos o seno (projeção em y) e o co-seno (projeção em x) do mesmo. Por isso, chamamos o eixo y de eixo dos senos e o eixo x de eixo dos co-senos. Simplificando, para calcular o seno e o co-seno de um ângulo α, basta fazer as projeções, como a seguir:
  • 11. sen Repare que quando “fechamos” α até fazer com que valha 0º, seu co-seno aumenta até 90º 1 e seu seno diminui até zero. α O processo inverso, sen α “abrindo” α até que valha 90º, faz com que seu seno aumente até 1 que valha 1 e seu co-seno diminua até que valha 0. 180º α cos Vamos agora continuar aumentando α de forma que ele 0 cos α 0º ≡ 360º seja maior que 90º. O seno volta a ser menor que 1 e, agora, a projeção sobre o eixo dos co- senos fica à esquerda da origem. Como tomamos como pressuposto que a reta está 270º orientada para a direita, os valores à direita de 0 são positivos e à sua esquerda são negativos. Por isso, quando α começa a ser maior que sen 90º, o co-seno começa a ficar negativo. Quando mais α se afasta 90º de 90º e, portanto, se aproxima de 180º, mais o seno diminui, α aproximando-se de 0, e mais sen α negativo fica o co-seno, 1 aproximando-se de -1. Veja como isso fica representado na figura ao lado. Podemos, portanto, dizer 180º cos que sen180º = 0 e cos180º = −1 . cos α < 0 0 0º ≡ 360º Analogamente, podemos fazer α > 180º. Para ângulos do terceiro quadrante, tanto os senos (abaixo da origem) quanto os co- senos (à esquerda da origem) são negativos. Assim, sen 270º = −1 e 270º cos 270º = 0 . No quarto quadrante, os senos continuam negativos e os co-senos voltam a ser positivos. Exercício 2.2.1: Determine o seno sen e o co-seno de 150º. Solução: Repare que “abrir” 150º a 90º partir de 0º no sentido anti-horário (convencional) é o mesmo que “abrir” 30º a partir de 180º no sentido horário. 150º 30º Veja: Esse exemplo mostra claramente a utilidade do uso do círculo 180º cos 30º 30º trigonométrico. Como não é possível construir um triângulo retângulo com 0 0º ≡ 360º um ângulo de 150º, plotamos esse ângulo no gráfico e vemos qual é sua projeção sobre o 1º quadrante. Nesse caso, o eixo dos senos serve como um espelho. Os senos de 150º e 30º são iguais e seus co-senos são simétricos. 270º Assim, temos:
  • 12. sen150º = sen 30º = 1 2 cos150º = − cos 30º = − 3 2 Podemos tomar a seguinte regra geral: sen (180º −θ ) = sen θ cos (180º −θ ) = − cos θ Exercício 2.2.2: Determine o seno e o co-seno de 300º. Solução: Repare que “abrir” 300º a partir de 0º no sentido anti-horário (convencional) é o mesmo que “abrir” 60º a partir de 360º no sentido horário. Veja: sen Agora, temos um ângulo do 4º quadrante, que novamente projetamos 90º 60º para 1º. O eixo dos co-senos serviu como espelho e, portanto, os ângulos 60º e 300º têm o mesmo co-seno, e senos simétricos. Por isso, podemos escrever: 180º 60º cos cos 300º = cos 60º = 1 2 0 60º 0º ≡ 360º sen 300º = − sen 60º = − 3 2 Podemos tomar a seguinte regra geral: cos(360º −θ) = cos θ sen(360º −θ) = − sen θ 300º 270º Exercício 2.2.3: Determine o seno e o co-seno de 225º. Este exercício será deixado para a prática do leitor. 3. Conclusão Nesse capítulo, não prosseguimos com o estudo da física propriamente dito. Fomos obrigados a concretizar alguns conceitos matemáticos essenciais para a continuidade da teoria do movimento. No próximo capítulo, colocaremos em prática algumas das idéias expostas anteriormente, ao abordar a cinemática escalar através dos gráficos cartesianos.