Matematica discreta - estruturas algebricas

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Resumo sobre estrutura algébricas e exercícios propostos.

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Matematica discreta - estruturas algebricas

  1. 1. Questões propostas: 1) Mostrar que ( R, triangulo) é um grupo abeliano, quando triângulo é definida por x triangulo y = (x³+y³) raiz cúbica. 2) O grupo ({0,1,2,6 , + ) A={1,2,3} é subgrupo de (Z6 , +) 3) Seja F= { O,e,a,b } com as operações dadas pelos seguintes quadros. Mostrar que anel Assumindo a associatividade e distributividade e F é um corpo. 4) Prove que R é isomorfo ao anel de todas as matrizes 2X2 da forma , onde a ∊ R. 5) Seja A anel comutativo com identidade (1A ≠ 0A) cujos os único ideais são (0A) e A. Prove que, A é corpo.
  2. 2. 6) Use o pequeno teorema de Fermat para determinar os últimos algarismos dos números e escritos no sistema posicional com base .
  3. 3. Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:i. G e fechado para ∗2.Ii.Existe um e ∈ G tal que e ∗ g = g ∗ e = g para todo g ∈ G3. iii.g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 para quaisquer g1, g2 e g3iv. Para todo g ∈ G existe g-¹∈ G tal que g ∗ g-¹ = eSemigrupo : é um grupóide cuja operação interna é associativa. Portanto, é uma álgebra cujaoperação é fechada e associativa.Seja ⊕ : A x A→A : um grupóide. Se ( A , ⊕) for associativa, então (A, ⊕ )é um semigrupo.Se,adicionalmente, a operação for comutativa, então (A, ⊕ )é um Semigrupo Abeliano.Um monóide é um semigrupo cuja operação possui elemento neutro. Portanto,um semigrupo é, simultaneamente, fechado, associativo e possui elemento neutro.Seja (A,⊕) um semigrupo. Se ⊕ : A x A→A possui elemento neutro, então (A,⊕, e) é ummonóide. Se, adicionalmente, a operação for comutativa, então (A ,⊕,e) é um MonóideAbeliano .SubgrupoSeja G um grupo em relação a uma operação “*” (G , *) e cujo elemento seja um subconjuntoH de G . Se (H ,*) também é um grupo é dito um subgrupo de (G ,*).i. o elemento identidade e ∈ H;ii. H é fechado sob a operação de G, i.e.,a,b ∈ H então ab ∈ H;iii. H é fechado sob inversos, isto é, se a ∈ H, então a-¹ ∈ H.Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um isomorfismo do grupo[G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um homomorfismo dogrupo [G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .Define-se o conjunto Kerf ={ x ∈ G | f (x) = 1 H} denominado núcleo do homomorfismo f e oconjunto Im f = { y ∈ H | existe x ∈ G, f (x) = y} denominado imagem do homomorfismo.Um anel é uma estrutura algébrica (A;+; .) Com um conjunto não vazio A, com duasoperações + ( adição) . (multiplicação).As duas operações binárias: (x, y) → x + y e (x, y) → x.ySatisfazendo as seguintes propriedades: 1. A estrutura algébrica (A; +) é um grupo abeliano.(a) √ a; b; c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) (b) √ a; b ∈ A, a + b = b + a (comutativa)(c)Existe um elemento 0 ∈ A que é elemento neutro da operação +, ou seja, √ b ∈ A, b + 0 =0 b=b
  4. 4. (d) Para cada b ∈ A, existe um elemento simétrico aditivo (-b) ∈ A que é elemento oposto ouinverso aditivo de b, ou seja, + (-b) = (-b) + b = 02. A operação . é associativa, isto é, √ a; b; c ∈ A ,(a . b) . c = a . (b . c)3. A operação . é distributiva em relação à operação +, ou seja, √ a; b; c ∈ A, tem-se a . (b + c) =(a . b) + (a .c).SubanelSeja (A;+;.) um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um sub-anel deA se1. B é fechado nas operações + e . de A, ou seja, √ a,b ∊ B; tem-se a + b ∊ B e a . b ∊ B2. A estrutura algébrica (B;+; .), em que + e . São as restrições das operações de A aosubconjunto B, é um anelAnel idealSejam A um anel e I⊂ A um sub-conjunto não vazio. Dizemos que I é um ideal do anel A, se: 1. I é um sub-anel de A; 2. (√ x,y) (x,y ∊ I x -y ∊ I) 3. (√ a,y) (a ∊ A e x ∊ I ax ∊ I)Homomorfismo de anelSejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A → B) f de um anel A em um anel B é chamadohomomorfismo de A em B com as seguintes condições: 1. (√ x,y ) ( x,y ∈ A→f(x + y ) = f(x) + f (y) ) 2. (√ x,y ) ( x,y ∈ A → f(x y ) = f(x) .f (y) )Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A →B) f de um anel A em um anel B é chamadoisomorfismo de A em B com as seguintes condições:1. f é bijetora2. f é homomorfismo de anéis , isto é: f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) =f(x)f(y) , √x,y ∈ A.CorposUm anel A comutativo com unidade,definindo o corpo se todo elemento não nulo de Aadmite-se anti-simetrico multiplicativo. a ∊A ( a 0 → ∃ b ∊ A | ab =1 ) O B será inversode b = a-1Pequeno teorema de FermotRevisão da operação e mod.: Algoritmo da divisão a= b*q+ rA partir desse algoritmo podemos que definir :Mod como sendo o resto dessa divisão A mod b = r

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