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07/08/2018 A integral definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 1/5
A integral definida
Índice
Problema Definição 1 Proposição
Exemplo 2:
Propriedades da
integral definida
Exemplo 3
Definição 2 Exemplo 4 Propriedade i)
Exemplo 5 Propriedade ii)
O Teorema da Média
Definição 3
- Valor médio
Propriedade iii)
Construção de uma primitiva
Exemplo 6
Propriedade iv)
O Teorema fundamental do cálculo
Exemplo 7 Exemplo 8
"Veremos o resultado mais importante do cálculo integral_ O teorema Fundamental do Cálculo".
"Não apresentaremos nenhuma demonstração para os resultados enunciados. Tais demonstrações são encontradas facilmente em livros sobre o
assunto. Veja, por exemplo, nos livros indicados nesse site".
Retornar
Seja y = f(x) uma função definida e limitada no
intervalo [a, b], e tal que f(x) ³ 0 para todo x Î [a,
b].
Problema: Calcular (definir) a área, A,
da região do plano limitada pela curva
y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b.
Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn Î [a, b] tais que a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e ,
a1, a2, ..., an tais que ai Î [xi-1, xi]. Então
Voltar ao Índice
Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe
dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I.
Notação:
07/08/2018 A integral definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 2/5
Exemplo1: f(x) =3 para todo x Î [1, 2]
De modo análogo, dada a função constante f(x) = C então
Voltar ao Índice
Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b].
Voltar ao Índice
Exemplo 2: f(x) = x para todo x Î [0, 1].
Mesmo sabendo tratar-se de uma função
que possui integral (pois é contínua), no momento
ainda não temos recursos que facilitem calcular
esta integral. Usaremos a definição e faremos uma
escolha para os números x0, x1, x2, ..., xn e a1, a2,
..., an da seguinte forma:
Dado n Î N tomemos
Voltar ao Índice
Propriedades da integral definida
Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k Î R então
f(x) ± g(x) são integráveis em [a, b] e
k.f(x) é integrável em [a, b] e
Se f(x) £ g(x), para todo x Î [a, b] então
Casos particulares:
Se f(x) £ 0, para todo x Î [a, b] então
07/08/2018 A integral definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 3/5
Se f(x) ³ 0, para todo x Î [a, b] então
Voltar ao Índice
Exemplo 3:
Voltar ao Índice
Definição 2:
2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então
Voltar ao Índice
Exemplo 4:
Voltar ao Índice
Outras propriedades da integral definida
Propriedade i) Sejam a, b, e c Î R, se
Voltar ao Índice
07/08/2018 A integral definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 4/5
Exemplo 5:
Voltar ao Índice
Propriedade ii) - O Teorema da Média
Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo
menos um número c Î [a, b] tal que
" Se f(x) ³ 0, a área da região limitada
pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a
área do retângulo de base [a, b] e altura
f(c)"
Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b].
Voltar ao Índice
Propriedade iii) - (Construção de uma primitiva)
Se f(x) é contínua em [a, b] então
é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x)
Voltar ao Índice
Exemplo 6:
6.2) Calcular a derivada
Se F(x) é a função dada em 6.1) então
07/08/2018 A integral definida
http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 5/5
6.3) Estude o crescimento da função
F´(x) = f(x) ³ 0 Û sen(x) ³ 0.
Portanto F(x) é crescente nos intervalos [2kp , (2k+1)p ] e decrescente em
[(2k+1)p , (2k+2)p ], k= 0, 1, 2
Voltar ao Índice
Propriedade iv) –O Teorema fundamental do cálculo
Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então
Voltar ao Índice
Exemplo 7:
Notação:
Voltar ao Índice
Exemplo 8: Calcular o valor médio da função f(x) = 2x no intervalo [0, 1] e o ponto c Î
[0, 1] em que ele ocorre.
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A integral definida

  • 1. 07/08/2018 A integral definida http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 1/5 A integral definida Índice Problema Definição 1 Proposição Exemplo 2: Propriedades da integral definida Exemplo 3 Definição 2 Exemplo 4 Propriedade i) Exemplo 5 Propriedade ii) O Teorema da Média Definição 3 - Valor médio Propriedade iii) Construção de uma primitiva Exemplo 6 Propriedade iv) O Teorema fundamental do cálculo Exemplo 7 Exemplo 8 "Veremos o resultado mais importante do cálculo integral_ O teorema Fundamental do Cálculo". "Não apresentaremos nenhuma demonstração para os resultados enunciados. Tais demonstrações são encontradas facilmente em livros sobre o assunto. Veja, por exemplo, nos livros indicados nesse site". Retornar Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) ³ 0 para todo x Î [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A, da região do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b. Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn Î [a, b] tais que a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e , a1, a2, ..., an tais que ai Î [xi-1, xi]. Então Voltar ao Índice Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I. Notação:
  • 2. 07/08/2018 A integral definida http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 2/5 Exemplo1: f(x) =3 para todo x Î [1, 2] De modo análogo, dada a função constante f(x) = C então Voltar ao Índice Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. Voltar ao Índice Exemplo 2: f(x) = x para todo x Î [0, 1]. Mesmo sabendo tratar-se de uma função que possui integral (pois é contínua), no momento ainda não temos recursos que facilitem calcular esta integral. Usaremos a definição e faremos uma escolha para os números x0, x1, x2, ..., xn e a1, a2, ..., an da seguinte forma: Dado n Î N tomemos Voltar ao Índice Propriedades da integral definida Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k Î R então f(x) ± g(x) são integráveis em [a, b] e k.f(x) é integrável em [a, b] e Se f(x) £ g(x), para todo x Î [a, b] então Casos particulares: Se f(x) £ 0, para todo x Î [a, b] então
  • 3. 07/08/2018 A integral definida http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 3/5 Se f(x) ³ 0, para todo x Î [a, b] então Voltar ao Índice Exemplo 3: Voltar ao Índice Definição 2: 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então Voltar ao Índice Exemplo 4: Voltar ao Índice Outras propriedades da integral definida Propriedade i) Sejam a, b, e c Î R, se Voltar ao Índice
  • 4. 07/08/2018 A integral definida http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 4/5 Exemplo 5: Voltar ao Índice Propriedade ii) - O Teorema da Média Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo menos um número c Î [a, b] tal que " Se f(x) ³ 0, a área da região limitada pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a área do retângulo de base [a, b] e altura f(c)" Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b]. Voltar ao Índice Propriedade iii) - (Construção de uma primitiva) Se f(x) é contínua em [a, b] então é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x) Voltar ao Índice Exemplo 6: 6.2) Calcular a derivada Se F(x) é a função dada em 6.1) então
  • 5. 07/08/2018 A integral definida http://www.mat.ufba.br/mat042/aula10/aula10.htm 5/5 6.3) Estude o crescimento da função F´(x) = f(x) ³ 0 Û sen(x) ³ 0. Portanto F(x) é crescente nos intervalos [2kp , (2k+1)p ] e decrescente em [(2k+1)p , (2k+2)p ], k= 0, 1, 2 Voltar ao Índice Propriedade iv) –O Teorema fundamental do cálculo Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então Voltar ao Índice Exemplo 7: Notação: Voltar ao Índice Exemplo 8: Calcular o valor médio da função f(x) = 2x no intervalo [0, 1] e o ponto c Î [0, 1] em que ele ocorre. Voltar ao Índice Retornar