1) S é um subespaço nas condições (a), (b), (c) e (d). A dimensão de S é 0 nas condições (a) e (d), 1 nas condições (b) e (c). S não é um subespaço nas condições (e), (f), (g) e (h). 2) As matrizes A, B e C são linearmente independentes porque cada uma tem linhas (ou colunas) linearmente independentes e não há linhas (ou colunas) repetidas. 3) Os polinômios p(x), q(x) e

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 2
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Em cada um dos itens abaixo, denote por S o conjunto dos vetores (x, y, z) em R3
que satisfazem
a condição dada. Determine em quais casos S é um subespaço. Se S é subespaço, calcule a
dimensão de S.
(a) x = 0.
(b) x + y = 0.
(c) x + y + z = 0.
(d) x = y.
(e) x2
− y2
= 0.
(f) x + y = 1.
(g) y = 2x e z = 3x.
(h) x + y + z = 0 e x − y − z = 0.
2. Mostre que as matrizes A, B e C abaixo são L.I.:
A =
1 1
0 0
, B =
1 0
0 1
, C =
1 1
1 1
.
3. Prove que os seguintes polinômios são L.I.:
p(x) = x3
− 5x2
+ 1, q(x) = 2x4
+ 5x − 6, r(x) = x2
− 5x + 2.
4. Se os vetores v1, · · · , vm sãi L.I., prove que o mesmo se dá com os vetores v1, v2 −v1, · · · , vm −v1.
5. Exiba três vetores u, v, w ∈ R3
com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do
outro, nenhuma das coordenadas é igual a zero e R3
não é gerado por eles.
6. Sejam v1, v2, v3 os vetores linhas e w1, w2, w3 os vetores-colunas da matriz


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 .
Verique as relações v3 = 2v2 −v1, w3 = 2w2 −w1. Exprima w1 e w2 como combinações lineares
de v1 e v2 e vice-versa. Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram
o mesmo subespaço de R3
.
7. Seja U o subespaço de R5
denido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5)R5
: x1 = 3x2 e x3 = 7x4}.
Encontre uma base para U.