1) O documento lista 20 exercícios sobre vetores e subespaços. Os exercícios incluem verificar se vetores são linearmente independentes ou dependentes, expressar vetores como combinações lineares de outros vetores, encontrar bases de subespaços e demonstrar propriedades de subespaços.

1. EXERCITANDO (Aula 5)
1. Em cada item a seguir, verifique se os vetores são L.I. ou L.D.
(a) (1, 1, 1) e (0, 1, −1);
(b) (1, 0) e (1, 1);
(c) (3, 0, 1) , (0, −1, 2) e (3, −2, 5);
(d) (−1, 1, 0) e (0, 1, 2);
(e) (0, 1, 1) , (0, 2, 1) e (1, 5, 3);
(f) (1, 0, 1, 1) , (1, 1, 0, 1) , (1, 0, 0, 1) e (0, 1, −1, 0);
(g) (1, 0, 2, −1) , (0, 0, 3, 1) e (−2, 0, −1, 3) .
2. Expresse o vetor X dado como sendo uma combinação linear dos vetores A e B ou A, B e C dados e determine as
coordenadas de X em relação a A e B ou A, B e C.
(a) X = (1, 0) , A = (1, 1) , B = (0, 1) ;
(b) X = (2, 1) , A = (1, −1) , B = (1, 1) ;
(c) X = (4, 3) , A = (2, 1) , B = (−1, 0) ;
(d) X = (1, 0, 0) , A = (1, 1, 1) , B = (−1, 1, 0) , C = (1, 0, −1) ;
(e) X = (1, 1, 1) , A = (0, 1, −1) , B = (1, 1, 0) , C = (1, 0, 2) .
3. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4
são subespaços:
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4
; x − y = 0 e z + t = 0};
(b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4
; x + y − z = 0 e t = 0}.
4. Considere o subespaço de R4
gerado pelos vetores (1, 1, −2, 4) , (1, 1, −1, 2) e (1, 4, −4, 8). Qual dos seguintes vetores
pertence a esse subespaço? (2
3 , 1, −1, 2) e (0, 0, 1, 1) .
5. Determine uma base ortogonal de R3
tal que o vetor (1, 0, −3) pertença a esta base.
6. Encontre uma base ortonormal do subespaço de R3
gerado pelos vetores (1, 0, 3) , (4, 5, −1) e (−2, −5, 7) .
7. Determine uma base ortonormal de R3
tal que dois dos vetores desta base sejam paralelos ao plano 3x− 2y +z = 4.
8. Sejam β = {(1, 0) , (0, 1)} , β1 = {(−1, 2) , (1, 1)} e β2 = {(2, 0) , (0, 2)}.
(a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base: M
β1
β , Mβ
β1
, Mβ
β2
e M
β1
β2
.
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (5, −1) em relação a cada uma das seguintes bases: β, β1 e β2.
(c) Se [v]β1
=
0
3
, determine [v]β e [v]β2
.
9. Seja Mβ
β =


1 2 0
0 −1 1
1 0 −3

, em que β é a base canônica de R3
. Encontre:
a) [v]β sabendo que [v]β =


−1
0
4

; b) [v]β sabendo que [v]β =


4
0
−1

 .
10. Se β é obtida a partir de β, em que β é a base canônica de R2
, pela rotação de um ângulo de π
3 radianos, determine:
a) Mβ
β ; b) Mβ
β .
11. Demonstre que se v1, v2 e v3 formam uma base de R3
, então v1, v1 + v2 e v1 + v2 + v3 também constituem uma
base de R3
.
12. Demonstre que se {(a, b) , (c, d)} é uma base ortonormal de R2
, então {(a, c) , (b, d)} também o é.
13. Determine a interseção do plano 2x + y =
√
5 com o cone x2
+ y2
= z2
.
14. Determine a curva de interseção do plano x + y + z = 0 com o elipsóide x2
+ 4y2
+ 4z2
= 4.
15. Sejam V e W subespaços de Rn
e V + W = {v + w; v ∈ V e w ∈ W}. Demonstre que V + W é também um
subespaço de Rn
.
16. Demonstre que a interseção de dois subespaços é ainda um subespaço.
17. Considere os subespaços W = {(x, y, z, t) ∈ R4
; x + y = 0 e z − t = 0} e V = {(x, y, z, t) ∈ R4
; x − y − z + t = 0}.
Encontre uma base para W ∩ V.
18. Demonstre que r vetores de Rn
, não nulos, dois a dois perpendiculares são L.I.
19. Sejam V e W subespaços de Rn
tais que {O} V W. Demonstre que toda base de V pode ser completada até
formarmos uma base de W.
20. Sejam V e W subespaços de Rn
. Demonstre que dim(V + W) = dim V + dim W − dim(V ∩ W).
.
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2. Respostas
1) a) L.I.; b) L.I.; c) L.D.; d) L.I.; e) L.I.; f) L.D.; g) L.D.;
2) Coordenadas: a) (1, −1); b) (1/2, 3/2); c) (3, 2); d) (1/3, −1/3, 1/3); e) (1, 0, 1); 4) (2
3 , 1, −1, 2);
5) {(1, 0, − 3) , (0, 1, 0) , (3, 0, 1)}; 6) {
√
10
10 (1, 0, 3) ,
√
4190
4190 (39, 50, −13)};
7) {
√
14
14 (3, −2, 1) ,
√
10
10 (1, 0, −3) ,
√
35
35 (3, 5, 1)};
8) a) M
β1
β =
−1 1
2 1
; Mβ
β1
=
−1
3
1
3
2
3
1
3
; Mβ
β2
=
1
2 0
0 1
2
; M
β1
β2
=
−1
2
1
2
1 1
2
; b) [v]β =
5
−1
;
[v]β1
=
−2
3
; [v]β2
=
5
2
−1
2
; c) [v]β =
3
3
; [v]β2
=
3
2
3
2
;
9) a)


−1
4
−13

; b)


2
1
1

;
10) a)
1
2 −1
2
√
3
1
2
√
3 1
2
;b)
1
2
1
2
√
3
−1
2
√
3 1
2
;
13) Em relação à base β tal queMβ
β =


0 1
5
√
5 2
5
√
5
0 −2
5
√
5 1
5
√
5
1 0 0

, na qual o plano tem por equação z = 1, a curva de interseção é
(x )2
− (y )2
= 1
z = 1
, a qual é uma hipérbole;
14) Em relação à base β tal que Mβ
β =


1
2
√
2 1
6
√
6 1
3
√
3
−1
2
√
2 1
6
√
6 1
3
√
3
0 −1
3
√
6 1
3
√
3

, na qual o plano tem por equação z = 0, a curva de interseção
é
5(x )2
− 2
√
3x y + 7(y )2
= 8
z = 0
, a qual é uma elipse;
17) {(0, 0, 1, 1);
18) Suponha que v1, v2, ..., vr são dois a dois perpendiculares. Considere a equação x1v1 + x2v2 + · · · + xrvr = O e use vi · (x1v1 +
x2v2 + · · · + xrvr) = 0;
19) Proceda como na demonstração do Teorema 35;
20) Separe em dois casos. Caso 1) V ∩W = {O} ou V ∩W = V ou V ∩W = W. Caso 2) {O} V ∩W V e {O} V ∩W W.
No caso 2) comece com uma base de V ∩ W e complete-a até formar uma base de V e complete-a também até formar uma base de W.
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