1. O documento apresenta 5 exercícios sobre geometria Riemanniana. 2. O segundo exercício pede para mostrar a expressão local da métrica canônica do plano R2 em coordenadas polares. 3. O terceiro exercício trata de superfícies de revolução em R3 e pede para calcular a expressão da métrica induzida nestas superfícies.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 2 - Métricas Riemannianas
Geometria Riemanniana
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Exercícios Cap. 01 do Manfredo
2. Considere o R2
munido com a métrica canônica euclidiana g. Mostre que a expressão local de
g em coordenadas polares é
g = dr2
+ r2
dθ2
.
3. (Superfícies Rotacionais) Seja γ : I → R2
uma curva megulhada dada por γ(t) = (r(t), z(t))
com r(t) > 0 para cada t. Considere a superfície de revolução F(t, θ) = (r(t)cosθ, r(t)sinθ, z(t)).
Mostre que F é um mergulho e que
F∗
, R3 = ((r )2
+ (z )2
)dt2
+ r2
dθ2
4. Seja C ⊂ R3
o catenóide: C é a superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo-z
da curva de equação x = cosh z. Seja H ⊂ R3
o helicóide: H é gerado por linhas retas que são
paralelas ao plano xOy e encontram simultaneamente o eixo-z e a hélice t → (cos t, sen t, t).
(a) Mostre que H e C são subvariedades do R3
e dê parametrizações 'naturais' de ambas.
(b) Se g é a métrica Euclidiana dx2
+ dy2
+ dz2
do R3
, dê expressões de g|C e g|H nas
parametrizações denidas em (a), e mostre que C e H são localmente isométricos. Eles
são globalmente isométricos?
5. Denote por dt2
e g1 as métricas canônicas de I = (0, ∞) e Sn
. Dena em I × Sn
uma métrica
g por:
g(t,w) = dt2
+ t2
g1.
g é a métrica produto? Mostre que (I × Sn
, g) é isométrica a (Rn+1
− {0}, gcan), e que (I ×
Sn
, dt2
⊕ g1) é isométrica ao cilindro
C = {x ∈ Rn+2
| x2
1 + ... + x2
n+1 = 1 e x0 0}.
munido com a métrica induzida da métrica canônica do Rn+2
.