Primeira Lista de Exercícios - Espaços e subespaços vetoriais.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 1
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Determine os vetores u, v ∈ R4
sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última
coordenada de v é igual a 3 e u + v = (1, 2, 3, 4).
2. Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache números α, β e γ tais que αu + βv + γw =
(1, 1, 1).
3. Seja V um espaço vetorial. Prove que se α ∈ R, v ∈ V , e αv = 0, então α = 0 ou v = 0.
4. Suponha que U é subespaço de V . O que é U + U?
5. Para cada um dos seguintes subconjuntos de R3
, determine qual deles é subespaço do R3
,
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3
: x + 2y + 3z = 0};
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3
: x + 2y + 3z = 4};
(c) {(x, y, z) ∈ R3
: xyz = 0}.
6. Prove ou dê um contraexemplo: Se U1, U2, W são subespaços de V tal que
U1 + W = U2 + W,
então U1 = U2.
7. Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2), sejam F1 e F2 as retas que passam pela origem em R2
e contém
u e v. Mostre que R2
= F1 ⊕ F2.
8. Exprima o vetor (1, −3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e
w = (2, −3, 5).