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Geometria 11º. Ano
Definição:
O produto escalar de dois vectores não nulos u e v é

(

u .v = u × v × cos u ɵv

)

u .v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3

Também pode ser expresso em coordenadas:
(u = (u1 , u2 , u3 ) ; v = (v1 ,v2 ,v3 ) )

Ângulo de dois vectores:
Sempre que pretendemos calcular o ângulo de dois vectores usamos a fórmula:

(

)

cos u ɵv =

u .v
u × v

se 0º ≤ u ɵv ≤ 90º

Ângulo de duas rectas:
Duas rectas r e s concorrentes e não perpendiculares, chama-se ângulo de duas
rectas ao menor ângulo ( α ) por elas definido.

(

cos α = cos u ɵv

)=

u .v
u × v

Rectas
Um vector
director da
recta

Equação vectorial

Equações
paramétricas
Equações cartesianas
Equação geral
Equação reduzida

Prof. Eva Figueiredo

λ ∈ IR
x = x 0 + λ u1

y = y 0 + λ u2 , λ ∈ IR
z = z + λ u
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
u1
u2
u3

Ax + By + C = 0
y = mx +b

www.matematica.com.pt

(u1 , u2 , u3 )

( −u2 , u1 , 0 )
( −u2 , u1 , 0 )

(u1 , u2 , u3 )

( −u2 , u1 , 0 )

( −B , A )

(A, B )

(1, m )

( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) ,

Um vector
director da recta
perpendicular

(u1 , u2 , u3 )

Equação

( −m,1 )

eva@matematica.com.pt

tlm. 919 380 994
Geometria 11º. Ano

Posição relativa de duas rectas r e s:
Paralelas

Reduzida

Geral

Vectorial

Tipo de
Equações

Concorrentes

Coincidentes

Estritamente

u1 u2 u3
=
=
v1 v2 v3

P0 ≡ Q0

s :A1 x + B1 y + C1 = 0

B
A C
=
=
B1 A 1 C1

B
A C
=
≠
B1 A 1 C 1

r :y = m x + b

m = m1

m = m1

s : y = m 1 x + b1

b = b1

α =π2

u1 u2 u3
=
=
v1 v2 v3

P0 ≡ Q0

Perpendiculares

b ≠ b1

r : P = P0 + λ (u1 , u2 , u3 ) , λ ∈ IR
s : Q = Q0 + k (v1 ,v2 ,v3 ) , k ∈ IR

u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 =
=0

r :Ax + By + C = 0
A A1 + B B1 = 0

m1 = −

1

m

Notas: (para resolver exercícios)
1. Quando nos pedem para provar que um triângulo é rectângulo, basta provar que um
produto escalar de dois dos vectores, que se podem determinar usando os vértices do
triângulo, são nulos.

Determinar a distância de um ponto P a uma recta r:
1º) Determinar a equação de uma recta s que passa em P e é perpendicular a r;
2º) Determinar o ponto de intersecção (I) das duas rectas (resolve-se um
sistema com as equações das rectas r e s).
3º) Determinar a distância entre P e I ( PI =

Equação Geral do Plano:

(i1 − p1 )

2

+ (i2 − p2 ) )
2

n1x + n2 y + n3z + d = 0

n (n1 , n2 , n3 ) é o vector normal do plano e d = −n1a1 − n2a2 − n3a3 , sendo A (a1 , a2 , a3 ) um
ponto particular.
Notas:

Se uma das coordenadas do vector normal for nula, o vector será perpendicular a
esse eixo coordenado, logo o plano será paralelo a esse eixo.
Exemplo: 2x − y + 3 = 0 é paralelo a Oz.
Se duas coordenadas de n forem nulas o plano será paralelo aos dois eixos
coordenados, logo perpendicular ao terceiro.
Exemplo: 2x − 5 = 0 é perpendicular a Ox porque é paralelo a Oy e Oz.
Prof. Eva Figueiredo

www.matematica.com.pt

eva@matematica.com.pt

tlm. 919 380 994

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Geometria11

  • 1. Geometria 11º. Ano Definição: O produto escalar de dois vectores não nulos u e v é ( u .v = u × v × cos u ɵv ) u .v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3 Também pode ser expresso em coordenadas: (u = (u1 , u2 , u3 ) ; v = (v1 ,v2 ,v3 ) ) Ângulo de dois vectores: Sempre que pretendemos calcular o ângulo de dois vectores usamos a fórmula: ( ) cos u ɵv = u .v u × v se 0º ≤ u ɵv ≤ 90º Ângulo de duas rectas: Duas rectas r e s concorrentes e não perpendiculares, chama-se ângulo de duas rectas ao menor ângulo ( α ) por elas definido. ( cos α = cos u ɵv )= u .v u × v Rectas Um vector director da recta Equação vectorial Equações paramétricas Equações cartesianas Equação geral Equação reduzida Prof. Eva Figueiredo λ ∈ IR x = x 0 + λ u1  y = y 0 + λ u2 , λ ∈ IR z = z + λ u 0 3  x − x0 y − y0 z − z0 = = u1 u2 u3 Ax + By + C = 0 y = mx +b www.matematica.com.pt (u1 , u2 , u3 ) ( −u2 , u1 , 0 ) ( −u2 , u1 , 0 ) (u1 , u2 , u3 ) ( −u2 , u1 , 0 ) ( −B , A ) (A, B ) (1, m ) ( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) , Um vector director da recta perpendicular (u1 , u2 , u3 ) Equação ( −m,1 ) eva@matematica.com.pt tlm. 919 380 994
  • 2. Geometria 11º. Ano Posição relativa de duas rectas r e s: Paralelas Reduzida Geral Vectorial Tipo de Equações Concorrentes Coincidentes Estritamente u1 u2 u3 = = v1 v2 v3 P0 ≡ Q0 s :A1 x + B1 y + C1 = 0 B A C = = B1 A 1 C1 B A C = ≠ B1 A 1 C 1 r :y = m x + b m = m1 m = m1 s : y = m 1 x + b1 b = b1 α =π2 u1 u2 u3 = = v1 v2 v3 P0 ≡ Q0 Perpendiculares b ≠ b1 r : P = P0 + λ (u1 , u2 , u3 ) , λ ∈ IR s : Q = Q0 + k (v1 ,v2 ,v3 ) , k ∈ IR u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = =0 r :Ax + By + C = 0 A A1 + B B1 = 0 m1 = − 1 m Notas: (para resolver exercícios) 1. Quando nos pedem para provar que um triângulo é rectângulo, basta provar que um produto escalar de dois dos vectores, que se podem determinar usando os vértices do triângulo, são nulos. Determinar a distância de um ponto P a uma recta r: 1º) Determinar a equação de uma recta s que passa em P e é perpendicular a r; 2º) Determinar o ponto de intersecção (I) das duas rectas (resolve-se um sistema com as equações das rectas r e s). 3º) Determinar a distância entre P e I ( PI = Equação Geral do Plano: (i1 − p1 ) 2 + (i2 − p2 ) ) 2 n1x + n2 y + n3z + d = 0 n (n1 , n2 , n3 ) é o vector normal do plano e d = −n1a1 − n2a2 − n3a3 , sendo A (a1 , a2 , a3 ) um ponto particular. Notas: Se uma das coordenadas do vector normal for nula, o vector será perpendicular a esse eixo coordenado, logo o plano será paralelo a esse eixo. Exemplo: 2x − y + 3 = 0 é paralelo a Oz. Se duas coordenadas de n forem nulas o plano será paralelo aos dois eixos coordenados, logo perpendicular ao terceiro. Exemplo: 2x − 5 = 0 é perpendicular a Ox porque é paralelo a Oy e Oz. Prof. Eva Figueiredo www.matematica.com.pt eva@matematica.com.pt tlm. 919 380 994