Este documento contém 23 exercícios sobre determinantes de matrizes. Os exercícios envolvem calcular determinantes, encontrar valores que satisfaçam equações envolvendo determinantes e analisar propriedades de matrizes.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
DETERMINANTES

2. DETERMINANTES
1
01. (Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, considere a matriz
p 2
A
0 p
 
=  
 
e sua transposta T
A . Se T
A A
+
é singular (não invertível), então
a) p 0.
=
b) | p | 1.
=
c) | p | 2.
=
d) p 3.
=
02. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,
1 a 1
A b 1 a .
2 b 2
 
 
=  
 
 
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual
a
a) 0.
b) 2.
c) 5.
d) 10.
03. (Mackenzie 2018) O valor do determinante
1
3
1
3
1
3 3
3
3 3
0 log 3 log
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
é
a) 0
b) 1
c) 1
−
d) 3
e)
1
3
04. (Famema 2018) Considere as matrizes ij 2 3
A (a ) ,
×
= com ij
a 2i j,
= −
2
1 2
B 0 1
m 1 2
 
 
= −
 
 
−
 
e
m 0
C ,
3m 6
−
 
=  
 
sendo m um
número real. Sabendo que C A B,
= ⋅ então det C é igual a
a) 0.
b) 12.
−
c) 8.
−
d) 6.
e) 4.
−

3. DETERMINANTES
2
05. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada
cos17 0 sen17
M 1 1 1
sen28 0 cos28
° °
 
 
=  
 
° °
 
o valor do determinante de 10
M é
a)
1
16
b)
1
32
c)
1
64
d)
1
128
e)
1
256
06. (Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na
equação det(M I) 0,
λ
− =em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det
representa o determinante da matriz (M I).
λ
− Se, em um desses estudos, tem-se
0 17 2
M 2 0 0 ,
1 0 0
 
 
=  
 
 
o valor positivo de
λ é igual a
a) 5.
b) 8.
c) 9.
d) 12.
e) 6.
07. (Mackenzie 2017) Considerando m e n raízes da equação
x x
2
2 2
2 8 0
log x log x 0 0,
1 2 3
= onde x 0,
> então m n
+ é
igual a
a)
2
3
b)
3
4
c)
3
2
d)
4
3
e)
4
5
08. (Famema 2017) Considere as matrizes
k 0 k
A ,
3 2 k
 
=  
−
 
sendo k um número real, com k 2,
< ij 3 2
B (b ) ,
×
= com
2
ij
b (i j) ,
= − e C A B.
= ⋅ Sabendo que detC 12,
= o valor de 2
k é
a) 0.
b) 9.
c) 4.
d) 16.
e) 1.

4. DETERMINANTES
3
09. (Mackenzie 2016) Se f(sen(x)) sen(3x),
= para todo x ∈  e A(y), para y ,
∈  , é a matriz 3 3,
×
1 f cos 1
6
A(y) f cos y f cos ,
6 6
1
f cos 1
2 6
π
π π
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
 
=    
   
 
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o valor de y que satisfaz a equação det(A(y)) 2
= é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadrada de ordem 3,
cosx 0 sen x
A 0 1 0 ,
sen x 0 cosx
−
 
 
=  
 
 
onde x é um número real.
Podemos afirmar que
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
11. (Fgv 2015) Os elementos da matriz ij 3 3
A (a ) ×
= representam a quantidade de voos diários apenas entre os
aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que:
- quando j 2,
= o número de voos é sempre o mesmo;
- quando i j,
= o número de voos é sempre o mesmo;
- quando i 3,
= o número de voos é sempre o mesmo;
- 11
a 0,
≠ e det A 0.
=
De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de 11
a é igual a
a) 21 13
{a ,a }
b) 21 23
{a ,a }
c) 22 13
{a ,a }
d) 21 22
{a ,a }
e) 13 22
{a ,a }
12. (Mackenzie 2015) Se i é a unidade imaginária e
1
(1 i) b
M
i 2 2a
−
 
+
=  
− −
 
 
tem determinante igual a 3i, os valores de a
e b são, respectivamente,
a) 6 e 3
b) 3 e 1
c) 0 e 6
d) 2 e 4
e) 4 e 2

5. DETERMINANTES
4
13. (Unicamp 2014) Considere a matriz
1 a 1
M b 1 a ,
1 b 1
 
 
=  
 
 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a 2 2
a b .
−
d) a matriz M é igual à sua transposta.
14. (Espm 2014) Se a matriz
3 x
4 x 1
 
 
+
 
for multiplicada pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por
49. Um dos possíveis valores de x é
a) 5
b) –3
c) 1
d) –4
e) 2
15. (Mackenzie 2013) Sendo
senx cosx
A
cosx senx
=
−
e
2 2
log 256 log 0,25
B 1 1
2 4
= números reais, o valor da expressão
1
A B−
− ⋅ é
a) 3
−
b)
1
3
−
c)
1
5
−
d) 1
e) 5
16. (Fgv 2012) Seja a matriz identidade de ordem três
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
 
 
=  
 
 
A a matriz
0 0 1
0 1 0 .
1 0 0
 
 
 
 
 
Considere a equação
polinomial na variável real x dada por det(A xI) 0
− =
em que o símbolo det(A xI)
− indica o determinante da matriz
A xI .
− O produto das raízes da equação polinomial é
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) -1

6. DETERMINANTES
5
17. (Fgv 2011) O sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x y 10 z
y z 5 x
z x 7 y
− = +


− = −

 + = +

pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que:
x 10
X y e B 5 .
z 7
   
   
= =
   
   
   
Nessas condições, o determinante da matriz
A é igual a
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
18. (Espm 2011) Dadas as matrizes
x 2 1 x
A e B
1 1 1 2
   
= =
   
−
   
a diferença entre os valores de x, tais que
det(A B) 3x,
⋅ = pode ser igual a
a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1
19. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que
ij
ij
a 10,se i j
a 0,se i j
= =



= ≠


e B = (bij)3x3 tal que
ij
ij
b 3,se i j
b 0,se i j
= =



= ≠


,
o valor de det(AB) é
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32
x 102
e) 27 x 104
20. (Espm 2010) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
log4 log16 log400
log2 log4 log20
a) 0,36
b) 0
c) 3
d) 0,74
e) 0,42

7. DETERMINANTES
6
21. (Mackenzie 2010) Considerando 0 < x <
3
2
π
, o número de soluções da equação log(tg(x)) log(cot g(x))
det 0
1 1
 
=
 
 
é
a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4
22. (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é
a)
1 2 3 4
4 3 2 1
2 4 6 8
5 6 7 8
 
 
 
 
 
 
b)
1 2 3 4
1 4 5 16
2 6 8 20
5 6 11 8
 
 
 
 
 
 
c)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
 
 
 
 
 
 
d)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 
 
 
 
 
 
e)
-1 2 3 4
1 - 6 7 8
9 10 -11 12
13 14 15 -16
 
 
 
 
 
 
23. (Unesp 2008) Seja A uma matriz. Se 3
1 0 0
A 0 6 14 ,
0 14 34
 
 
=  
 
 
o determinante A é
a) 8.
b) 2 2.
c) 2.
d) 3
2.
e) 1.
24. (Fgv 2007) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4,
então o determinante da matriz B é igual a
a) 0
b) 4/27
c) 9/8
d) 2
e) 243/64
25. (Unifesp 2004) Se │A│ denota o determinante da matriz A, e se
A 1
A
2 A
 
=  
 
, Então,
a)
0 1
A
2 0
 
=  
 
b)
2 1
A , se A 0
2 2
 
= <
 
 
c)
1 1
A , se A 0
2 1
−
 
>
 
−
 
d)
2 1 1 1
A ou A
2 2 2 1
−
   
= =
   
−
   
e)
2 1 1 1
A ou A
2 2 2 1
−
   
=
   
−
   

8. DETERMINANTES
7
GABARITO
1 - B 2 - D 3 - C 4 - B 5 - B
6 - E 7 - C 8 - E 9 - D 10 - D
11 - A 12 - A 13 - B 14 - D 15 - B
16 - E 17 - B 18 - C 19 - A 20 - E
21 - A 22 - E 23 - C 24 - B 25 - D