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Escola Básica e Secundária do Porto Moniz
Ano Letivo 2013/2014
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA - 8ºAno
Tema: Sistemas de Equações
Nome: __________________________________________ Turma: ___ Nº____ Data: __/__/__
 Sistemas de duas equações:

2 x  y  4
3x  2 y  10

Exemplo: 

 Solução de um sistema:

Definição: Um par ordenado ( x , y ) é solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, x e y , se for
solução simultaneamente das duas equações.

 Resolução de sistemas pelo método de substituição.

Considera o seguinte sistema:

1º Passo
Colocar o sistema na forma canónica
2º Passo
Resolver uma das equações em ordem a uma das
incógnitas.
3º Passo
Substituir na outra equação o valor encontrado

5 x  9  2 y

3x  y  1  0

5 x  2 y  9
 
3x  y  1
5 x  2 y  9
 
 y  1  3x
5 x  2(1  3x)  9

 y  1  3x

para essa incógnita

4º Passo
Resolver a equação que tem uma só incógnita.

5 x  2  6 x  9
5 x  6 x  9  2


 y  1  3x
 y  1  3x
11

11x  11
x  1
x 



11
 y  1  3x
 y  1  3x
 y  1  3x


4.º Passo
Substituir o valor encontrado na outra equação.

x  1
x  1


 y  1  3x
 y  1  3 1

5.º Passo
Determinar o valor da outra incógnita.

x  1
x  1


 y  1  3 1  y  1  3
x  1

 y  2

6.º Passo
Apresentar a solução do sistema:

A solução do sistema é o par ordenado 1,2

1
Exercícios:
1.

Observa as seguintes representações gráficas:
a)

Escreve uma equação para a reta r e s.

b)

Utilizando as equações escreve:




2.

Um sistema impossível.
Um sistema possível e determinado.
Um sistema possível e indeterminado.

3x  6  2 y
.
 x  2 y  10

Considera o sistema: 
a)
b)

Escreve o sistema na forma canónica.

c)

3.

Verifica, sem resolver, se o par 1,3 é solução do sistema.

Resolve o sistema pelas duas maneiras: método de substituição e pela resolução gráfica.

A cada um dos sistemas (A), (B) e (C) faz corresponder o respetivo gráfico.

2 x  y  2

 x  3y  3

(A)

(B)

 3x  2 y  4

 3x  2 y  6
(C)

1
y   x3
3

I

y3
II

III

4.

y 1

4 x  1  3  x  1  2

Reduz o sistema à forma canónica e, em seguida, resolve-o: 
.
 2  y  3  1  x  1  x

3


5.

Resolve os sistemas pelo método de substituição:
a)

 2a  4

2a  3b  4

b)

2 x  5 y  1

3x  0

c)

3s  t  0

s  6  0

d)

e)

x  y  1

4

2 x  3 y  4

1

2  a  b    2


a  b  1 a
2 4 8

2
x y x y
 8  6 5


 x  y  x  y  10
 2
3
 4
x y x y
 2  3 0


2 x   x  y    1 x



2
2


1

2  x  y    3


 3  x  1  y  7  3 y
 2


f)

g)

h)

12. Numa banca de um arraial, estão à venda caixas
com bolos tradicionais. Existem caixas com três
bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se
ainda que as caixas vazias têm todas a mesma
massa, os bolos têm, também, todos a mesma
massa, uma caixa com quatro bolos tem uma massa
de 310 gramas, e duas caixas, cada uma com três
bolos, têm uma massa total de 470 gramas. Qual é
a massa, em gramas, de cada caixa vazia?
13. Para a festa de aniversário da Maria, gastaram-se

6.

Determine x e y sabendo
que

a

figura

seguinte

representa um retângulo.

54 euros na compra de pacotes de leite e de
pacotes de sumo. Cada pacote de leite custou 70
cêntimos e cada pacote de sumo custou 60
cêntimos. O número de pacotes de leite comprados

Quatro gelados e dois iogurtes custam 3,40 euros.

é o triplo do número de pacotes de sumo. Quantos

Três gelados e cinco iogurtes custam 3,25 euros.

pacotes de leite e quantos pacotes de sumo se

Quanto custa um gelado? E um iogurte?

7.

compraram?

Numa festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens

14. A Rita tem 5,50 euros no mealheiro. No total, tem

saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro

17 moedas, sendo umas de 20 cêntimos e outras de

do número de homens. Quantas mulheres estavam

50 cêntimos. Seja x o número de moedas de 20

na festa?

8.

cêntimos e seja y o número de moedas 50 cêntimos
que a Rita tem no mealheiro. Quantas moedas de

9.

Há cinco anos a idade da Ana era o quádruplo da
idade da Adriana. Daqui a 10 anos, a soma das duas

20 cêntimos e quantas moedas de 50 cêntimos tem
a Rita no mealheiro?

idades será igual a 80 anos. Qual é a idade atual de
cada uma delas?

15. Na praceta onde mora a família Coelho, estão
estacionados automóveis e motos. Cada automóvel

10. A Sara e o Rui moram na mesma rua. O número da
porta da Sara excede numa dezena e três unidades
o número da porta do Rui e o dobro do número da
porta do Rui é igual à soma de 7 com o número da
porta da Sara. Quais são os números das portas?

tem 4 rodas, e cada moto tem 2 rodas.
O número de automóveis é o triplo do número das
motos e, ao todo, há 70 rodas na praceta.
Determina quantos automóveis e quantas motos estão
estacionados na praceta.

11. A Sara foi tomar o pequeno-almoço. Gastou 2,25
euros num sumo natural e numa torrada. O sumo
custou mais 55 cêntimos do que a torrada. Quanto

16. Um aviário que comercializa galinhas do campo e
frangos vendeu 1400 aves. Cada galinha foi vendida

custou a torrada e quanto custou o sumo natural?
3
a 1,50€ e cada frango, a 0,90€. A venda rendeu
1590€.
a) Traduz a informação dada por meio de um
sistema de equações, considerando x o número de
galinhas vendidas e y o número de frangos
vendidos.
b) Resolve o sistema de equações e indica quantas
galinhas e quantos frangos foram vendidos.

17. Um hotel tem 80 quartos, entre duplos e
individuais, num total de 144 camas.
a) Traduz a informação dada por meio de um
sistema de equações, considerando x o número de
quartos duplos e y o número de quartos individuais.
b) Resolve o sistema de equações e refere quantos
quartos individuais tem o hotel.

18. Um retângulo tem 34 cm de perímetro. Se o seu
comprimento tivesse menos 7 cm, o retângulo seria
um quadrado. Quais são as dimensões do
retângulo?
19. A Manuela tem mais 4 anos que o André. A soma
das suas idades é meio século. Que idade tem cada
um?

20. O sêxtuplo da idade do Pedro excede em cinco anos
a idade do António. Daqui a cinco anos a idade do
António será tripla da do Pedro. Qual é a idade de
cada um?
21. O Artur e o seu irmão Gabriel têm no Banco,
conjuntamente, 713.28 euros.
Se o dinheiro que o Gabriel tem no Banco for 30%

Bom Trabalho!!

do Artur, que dinheiro tem cada um dos irmãos?

A Professora, Rute Esteves

4

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  • 1. Escola Básica e Secundária do Porto Moniz Ano Letivo 2013/2014 FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA - 8ºAno Tema: Sistemas de Equações Nome: __________________________________________ Turma: ___ Nº____ Data: __/__/__  Sistemas de duas equações: 2 x  y  4 3x  2 y  10 Exemplo:   Solução de um sistema: Definição: Um par ordenado ( x , y ) é solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, x e y , se for solução simultaneamente das duas equações.  Resolução de sistemas pelo método de substituição. Considera o seguinte sistema: 1º Passo Colocar o sistema na forma canónica 2º Passo Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas. 3º Passo Substituir na outra equação o valor encontrado 5 x  9  2 y  3x  y  1  0 5 x  2 y  9   3x  y  1 5 x  2 y  9    y  1  3x 5 x  2(1  3x)  9   y  1  3x para essa incógnita 4º Passo Resolver a equação que tem uma só incógnita. 5 x  2  6 x  9 5 x  6 x  9  2    y  1  3x  y  1  3x 11  11x  11 x  1 x     11  y  1  3x  y  1  3x  y  1  3x  4.º Passo Substituir o valor encontrado na outra equação. x  1 x  1    y  1  3x  y  1  3 1 5.º Passo Determinar o valor da outra incógnita. x  1 x  1    y  1  3 1  y  1  3 x  1   y  2 6.º Passo Apresentar a solução do sistema: A solução do sistema é o par ordenado 1,2 1
  • 2. Exercícios: 1. Observa as seguintes representações gráficas: a) Escreve uma equação para a reta r e s. b) Utilizando as equações escreve:    2. Um sistema impossível. Um sistema possível e determinado. Um sistema possível e indeterminado. 3x  6  2 y .  x  2 y  10 Considera o sistema:  a) b) Escreve o sistema na forma canónica. c) 3. Verifica, sem resolver, se o par 1,3 é solução do sistema. Resolve o sistema pelas duas maneiras: método de substituição e pela resolução gráfica. A cada um dos sistemas (A), (B) e (C) faz corresponder o respetivo gráfico. 2 x  y  2  x  3y  3 (A) (B)  3x  2 y  4  3x  2 y  6 (C) 1 y   x3 3 I y3 II III 4. y 1  4 x  1  3  x  1  2  Reduz o sistema à forma canónica e, em seguida, resolve-o:  .  2  y  3  1  x  1  x  3  5. Resolve os sistemas pelo método de substituição: a)  2a  4  2a  3b  4 b) 2 x  5 y  1  3x  0 c) 3s  t  0  s  6  0 d) e) x  y  1  4  2 x  3 y  4  1  2  a  b    2   a  b  1 a 2 4 8  2
  • 3. x y x y  8  6 5    x  y  x  y  10  2 3  4 x y x y  2  3 0   2 x   x  y    1 x    2 2   1  2  x  y    3    3  x  1  y  7  3 y  2  f) g) h) 12. Numa banca de um arraial, estão à venda caixas com bolos tradicionais. Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se ainda que as caixas vazias têm todas a mesma massa, os bolos têm, também, todos a mesma massa, uma caixa com quatro bolos tem uma massa de 310 gramas, e duas caixas, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas. Qual é a massa, em gramas, de cada caixa vazia? 13. Para a festa de aniversário da Maria, gastaram-se 6. Determine x e y sabendo que a figura seguinte representa um retângulo. 54 euros na compra de pacotes de leite e de pacotes de sumo. Cada pacote de leite custou 70 cêntimos e cada pacote de sumo custou 60 cêntimos. O número de pacotes de leite comprados Quatro gelados e dois iogurtes custam 3,40 euros. é o triplo do número de pacotes de sumo. Quantos Três gelados e cinco iogurtes custam 3,25 euros. pacotes de leite e quantos pacotes de sumo se Quanto custa um gelado? E um iogurte? 7. compraram? Numa festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens 14. A Rita tem 5,50 euros no mealheiro. No total, tem saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro 17 moedas, sendo umas de 20 cêntimos e outras de do número de homens. Quantas mulheres estavam 50 cêntimos. Seja x o número de moedas de 20 na festa? 8. cêntimos e seja y o número de moedas 50 cêntimos que a Rita tem no mealheiro. Quantas moedas de 9. Há cinco anos a idade da Ana era o quádruplo da idade da Adriana. Daqui a 10 anos, a soma das duas 20 cêntimos e quantas moedas de 50 cêntimos tem a Rita no mealheiro? idades será igual a 80 anos. Qual é a idade atual de cada uma delas? 15. Na praceta onde mora a família Coelho, estão estacionados automóveis e motos. Cada automóvel 10. A Sara e o Rui moram na mesma rua. O número da porta da Sara excede numa dezena e três unidades o número da porta do Rui e o dobro do número da porta do Rui é igual à soma de 7 com o número da porta da Sara. Quais são os números das portas? tem 4 rodas, e cada moto tem 2 rodas. O número de automóveis é o triplo do número das motos e, ao todo, há 70 rodas na praceta. Determina quantos automóveis e quantas motos estão estacionados na praceta. 11. A Sara foi tomar o pequeno-almoço. Gastou 2,25 euros num sumo natural e numa torrada. O sumo custou mais 55 cêntimos do que a torrada. Quanto 16. Um aviário que comercializa galinhas do campo e frangos vendeu 1400 aves. Cada galinha foi vendida custou a torrada e quanto custou o sumo natural? 3
  • 4. a 1,50€ e cada frango, a 0,90€. A venda rendeu 1590€. a) Traduz a informação dada por meio de um sistema de equações, considerando x o número de galinhas vendidas e y o número de frangos vendidos. b) Resolve o sistema de equações e indica quantas galinhas e quantos frangos foram vendidos. 17. Um hotel tem 80 quartos, entre duplos e individuais, num total de 144 camas. a) Traduz a informação dada por meio de um sistema de equações, considerando x o número de quartos duplos e y o número de quartos individuais. b) Resolve o sistema de equações e refere quantos quartos individuais tem o hotel. 18. Um retângulo tem 34 cm de perímetro. Se o seu comprimento tivesse menos 7 cm, o retângulo seria um quadrado. Quais são as dimensões do retângulo? 19. A Manuela tem mais 4 anos que o André. A soma das suas idades é meio século. Que idade tem cada um? 20. O sêxtuplo da idade do Pedro excede em cinco anos a idade do António. Daqui a cinco anos a idade do António será tripla da do Pedro. Qual é a idade de cada um? 21. O Artur e o seu irmão Gabriel têm no Banco, conjuntamente, 713.28 euros. Se o dinheiro que o Gabriel tem no Banco for 30% Bom Trabalho!! do Artur, que dinheiro tem cada um dos irmãos? A Professora, Rute Esteves 4