Este documento fornece instruções e exercícios para professores de matemática do 5o ano/6o ano sobre definição e classificação de figuras geométricas, planejamento espacial, e geometria e frações usando geoplanos ou malhas quadriculadas. Os exercícios incluem classificar figuras, planejar cubos, montar objetos 3D, e representar frações usando malhas.
1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO
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1. Seguem abaixo cinco características que podem ser listadas, com a respectiva
correspondência nas figuras. Note que explicitamos as características em linguagem
informal, como provavelmente aparecerá no texto dos alunos.
• Pelo menos “um lado reto”: de 1 a 23, de 26 a 29, de 31 a 36, de 38 a 40, de 43 a
50.
• Possui “lados curvos”: de 24 a 26, 29, 30, de 37 a 50.
• Possui apenas “lados retos” e “buracos”: 11, de 14 a 18, 21, 22.
• Possui “bicos”: de 1 a 29, de 31 a 40 (exceto 37), de 42 a 46, de 48 a 50.
• Figura com lados retos e pelo menos um par de lados paralelos: de 1 a 11,
14, 15, 16, 18, 20, 28, 33, 35.
2. Escolhemos uma figura para descrever, em linguagem informal, algumas de suas
características:
• Figura 4: cinco lados; todos os lados são “retos”; cinco “bicos”; um par de lados
paralelos; quando dobrada de forma conveniente, ocorre sobreposição perfeita entre
as partes dobradas (referência à simetria); possui lados “em cruz” (referência aos
ângulos retos); não possui “buracos” (referência ao fato de o polígono ser convexo);
possui dois pares de lados com as mesmas medidas entre si.
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2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Página 7
1. Vale lembrar que neste exercício podemos incluir ou excluir algumas figuras de certa
classificação, dependendo sempre da interpretação dada aos termos usados.
Característica Número das figuras
Figuras com apenas 3 lados
23, 29, 31, 32, 34, 36, 43, 44, 45, 46,
(retos ou curvos)
48.
Figuras com apenas 3 lados retos 23, 31, 32, 34, 36.
Figuras com apenas 3 “bicos” 23, 29, 31,32, 34, 36, 43, 44, 45, 46,
48.
Figuras com pelo menos
De 1 a 22, 27, 28, 33, 35.
4 lados retos
De 1 a 11, 14, 15, 16, 18, 20, 28, 33,
35, 38, 40.
Figuras com pelo menos 1 par
Observação: 47 também pode ser
de lados paralelos considerado, se admitirmos que a
figura tem 4 lados.
Figuras com todos os lados de
mesma medida 1, 2, 7, 9, 12, 23, 42.
Figuras com alguns lados formando
3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 18, 19, 32, 35,
uma “quina” perfeita (lados “em 36, 43, 45, 48.
cruz”)
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3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Páginas 7 - 9
1.
Nomenclatura “oficial” na
Característica correspondente e um exemplo
Matemática
Figura geométrica plana cujo contorno é fechado e
Polígono
formado por segmentos de retas. Ex:
Figuras com 4 lados retos (ou polígono de quatro
Quadrilátero
lados). Ex:
Polígono de 3 lados. Ex:
Triângulo
Figuras com pelo menos 1 lado curvo. Ex:
Não polígono
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4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Figuras com lados retos e “buracos” (ou polígono
que tem pelo menos um ângulo interno maior
que 180º).
Polígono não convexo
Ex:
Dados dois pontos quaisquer em seu interior, o
segmento que os liga está contido na região interior do
Polígono convexo polígono (ou polígono com todos os ângulos internos
menores que 180º). Ex:
Bicos de uma figura com lados retos. Ex:
Vértices
Lados “em cruz”, ou formando uma “quina
perfeita”. Ex:
Ângulo reto
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5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Ex:
Paralelogramo
Triângulo com um ângulo “em cruz” (“em quina
Triângulo retângulo
perfeita”). Ex:
Triângulo que tem pelo menos 2 lados iguais. Ex:
Triângulo isósceles
Triângulo com três lados diferentes. Ex:
Triângulo escaleno
2. Nesta atividade, você poderá redefinir com maior rigor algum termo ou palavra usada
durante a aula. Devemos observar que neste momento é mais importante que o aluno
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6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
consiga expressar seu pensamento de alguma forma, mesmo que ainda sem o rigor
necessário do vocabulário matemático.
Páginas 10 - 11
1.
Nomenclatura
“oficial” na Definição Figuras
Matemática
20 a 34
Triângulo Polígono de 3 lados
De 1 a 19, 35, 36.
Quadrilátero Polígono de 4 lados
20, 22.
Triângulo equilátero Triângulo com os 3 lados iguais
Quadrilátero com 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12,
13, 14, 15, 16, 17, 18,
Retângulo 4 ângulos retos
19.
4, 9, 10, 11, 16, 17,
Polígono com 4 lados iguais
Losango 18, 19
Ao menos um segmento de extremos
com pontos na região interior do
polígono não está contido na região
36
Polígono interior do polígono (ou polígono em
que pelo menos um ângulo interno é
não convexo
maior que 180º)
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7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Páginas 11 - 12
1. Com esta atividade você pode discutir com os alunos uma definição mais consistente
sobre o que entendemos por “tamanho” da figura. A ideia é que eles possam perceber
intuitivamente a área associada ao que usualmente compreenderiam como o
“tamanho” da figura. Vale destacar que o percurso didático de um programa de
geometria deve levar em consideração que, para as faixas etárias menores, o
significado se constrói muito mais por meio de situações concretas e aproximações
experimentais do que com formalismo e definições. Outras atividades específicas vão
explorar o uso do tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma figura
com base em sua decomposição.
2. Esta atividade explora a ideia de perímetro e, como a anterior, trabalha com duas
importantes habilidades, a de ordenar e a de estimar. É muito importante que os
alunos de 5a série consigam estabelecer a ordem de grandeza entre comprimentos e
entre áreas de figuras que possibilitem uma distinção clara de medidas. A habilidade
e a destreza com o uso e a leitura das medidas indicadas na régua também devem ser
um dos motes desta atividade. A figura de menor comprimento é a 10 e a de maior
comprimento, a 1.
3. 4 e 12; 6,7,10 e 13.
4. Todos os quadrados são semelhantes entre si; 15 e 14 são semelhantes e congruentes.
5. Os triângulos que têm ângulos internos dois a dois de mesma medida são
semelhantes. Em relação aos quadriláteros, além dos ângulos internos dois a dois de
mesma medida, tem de haver proporcionalidade entre os lados em correspondência
para que eles sejam semelhantes. Essa discussão deve ser feita com os alunos de
maneira informal, apelando mais para a intuição do que para a formalização, porque
os alunos ainda não conhecem a definição de ângulo e não foram suficientemente
apresentados à ideia de proporcionalidade. O tema de semelhança de figuras
geométricas será retomado em outra série do Ensino Fundamental.
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8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Páginas 12 - 13
1. Note, inicialmente, que o enunciado desta atividade exige compreensão do uso das
palavras “área” e “perímetro”, que devem ter sido trabalhadas nas atividades
anteriores. Espera-se que os alunos percebam e concluam, pela experimentação, que
se aumentarmos o perímetro de um triângulo sua área também vai aumentar. De
forma geral, se o perímetro for multiplicado por k, a área será multiplicada por k²,
conclusão que não precisa ser formalizada, mas que pode ser explorada parcialmente
pela ideia de que, “se aumenta o perímetro, a área também aumenta” e vice-versa.
2.
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9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
PLANIFICANDO O ESPAÇO
Páginas 15 - 16
1. Atividade de construção.
2. As três planificações formam cubos.
3. Um cubo tem seis faces e, portanto, sua planificação deve ser formada por seis
quadrados. As figuras (a) e (c) não têm seis quadrados e, portanto, não formarão um
cubo. A figura (b) não forma um cubo porque, apesar de ter 6 quadrados, não há
como associar as bases às faces laterais.
4. Apenas (b) e (c) formam cubos. Note que nesta atividade foi sugerida a resolução
sem a construção concreta do cubo. Nem todos os alunos conseguem resolver esta
questão apenas com o pensamento abstrato; porém, deve ser uma meta sua,
professor, fazer com que gradativamente todos possam resolver um problema
semelhante a este sem a construção física do cubo.
Página 17
1. Não é possível, porque cinco quadrados alinhados conseguem fechar apenas quatro
das seis faces do cubo. O sexto quadrado da planificação fechará a quinta face do
cubo, e uma face ficará aberta. Exemplos de planificação assim são:
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10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Desafio!
Páginas 17 - 18
Páginas 18 - 19
1. Atividade prática de montagem.
2. Há algumas possibilidades de formação. Apresentamos, a seguir, um exemplo com
10 quadradinhos na região interior.
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13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
2.
Páginas 24 - 25
1. Resposta pessoal. Professor, solicite que os alunos apresentem à classe seus objetos e
seus desenhos das vistas para que se possa fazer uma discussão.
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14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU MALHAS
QUADRICULADAS
Páginas 26 - 28
1.
2. Resposta pessoal.
3.
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15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
4. Apresentamos abaixo duas figuras:
Páginas 28 - 29
1.
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16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Páginas 29 - 31
1.
2. Dobrando o lado, a área multiplica-se por 4. Em geral, multiplicando-se por k os
lados, a área da figura semelhante será multiplicada por k².
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17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
3.
Páginas 32 - 33
1.
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18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
2.
Observação: Professor, note que nesse caso não estamos assumindo 0 como número
natural.
Caso se queira assumir 0 como natural, também temos que marcar os pontos:
0 0 0 0 0
, , , , ...,
1 2 3 4 8
3.
4.
(V) Frações com denominadores iguais, necessariamente, estão alinhadas
horizontalmente.
(V) As frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à
direita dela.
(V) Frações equivalentes, necessariamente, estão alinhadas com a origem da malha e
entre si.
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20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS
Páginas 36 - 39
1.
2.
3. (a), (b) e (c) Paralelismo e perpendicularidade entre segmentos são mantidos em
1
todas as transformações; porém, o ângulo de de volta só será mantido no caso
8
em que ambas as dimensões da malha foram dobradas. No caso em que apenas
20
21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
a dimensão horizontal foi dobrada, o ângulo entre a manga e a lateral da camisa
aumentou (a manga se afasta da lateral da camisa) e, no caso em que apenas a
dimensão vertical foi dobrada, o ângulo diminuiu (a manga se aproxima da lateral da
camisa).
4. A malha deve ser ampliada horizontalmente, como no exemplo a seguir:
5. Alternativa b. O crescimento da empresa entre 2006 e 2007 foi de 10%, informação
que pode ser obtida por meio de qualquer um dos três gráficos. Contudo, como para a
empresa interessa impressionar seus acionistas sobre esse crescimento, o gráfico
indicado em (b) deve ser o escolhido, porque trabalha com ampliação vertical da
malha, acentuando a aparência do crescimento das vendas. Exercícios desse tipo têm
seu valor não só pelo trabalho realizado com a compreensão de temas da
Matemática, como também pelo alcance que têm na dimensão de construção da
cidadania. Um bom leitor da informação deve sempre estar atento às técnicas que
muitas vezes são utilizadas para destacar um resultado positivo ou atenuar um
resultado negativo.
6. Como são necessários seis triângulos equiláteros idênticos em torno do ponto, o
1
ângulo interno de um triângulo tem de giro de uma volta completa.
6
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22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Páginas 40 - 41
1. Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente: 4 u, 6 u, 6 u, 8 u, 6 u.
As áreas das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 u², 4 u², 4 u², 6u² e 6 u².
Este exercício permite explorar a ideia de que podemos ter figuras de mesmo
perímetro com áreas diferentes e de mesma área com perímetros diferentes.
Observação: dada a importância do trabalho com malhas no estudo de perímetro e
área de figuras, é recomendável que ele seja retomado na 6a série/7º ano.
2. Resposta pessoal. Exemplo:
3.
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23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática –5a série/6o ano – Volume 3
Página 42
1.
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Algumas recomendações em português para essa pesquisa são:
1. <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21>. Acesso em: 6 maio 2010.
2. ERNEST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Koln: Editora Taschen, 1991.
3. ESCHER, M. C. Gravuras e desenhos. Editora A & B, 2006.
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