Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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Área do retângulo
Quadrado de 1 unidade de área = 1m2
Quantas unidades de área cabe nesse retângulo?
8 unidades de área= 8...
..Picturesarea do triangulo.ggb
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Área do triângulo
Área do triângulo= 2 áreas do retângulo
logo
Área do triângulo = base x altura / 2
..Videos_areadeumtriangulo.progra
ma.exe
• FÓRMULA DE HERON- Área de região
triangular
Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c
e o seu perímetro é indicad...
b2=m2+h2
c2=n2+h2
a=m+n
b2 – c2= m2- n2
b2- c2 = (m+n)(m-n) b2-c2=a(m-n)
m+n=a
m-n=(b2-c2)/a
Se somarmos obtemos m=(a2+b2-...
4a²h²= 4a2(b2-m2) =4a2(b+m)(b-m)
= 4a2[b+(a2+b2-c2)/2a)] [b-(a2+b2-c2)/2a)]
= (2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
= [(a+b)2-c2][-...
))()(( cpbpappA 
Área do triangulo utilizando seno de um
dos seus ângulos
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Área do trapézio
h
b
b1 b2
(b1.h/2
I
II
+b.h/2
III
+b2.h/2)
Soma das áreas I, II e III
= h(b1+b2+b)/2
Base
maior
Base
menor
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Área do trapézio através de dois triângul...
Área do paralelogramo
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h
b B
bB
h.(B+b)/22...
Área do losango
..Picturesarea do losango.ggb
Área do losango
d2
d1
Área do retângulo= d2. d1
Área do losango = d2.d1 / 2
Vamos ajudar a abelhinha pegar o
mel da florzinha, pelo menor
caminho?
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..Videossim_geometria_areacirculo.zip
FÓRMULA DE PICK
Para polígonos cujos vértices são
pontos de uma malha quadriculada
A = B/2 + I - 1
B = quantidade de ponto...
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B = 6 + 15 -1 = 20
B = 7 + 9 -1 = 15
B= 5...
Área = (48 + 92) /2
Aproximadamente 70 u
Área da região circular
área graus
πr2 360°
região
verde θ
Área do segmento circular
Área do segmento circular =
Área do setor OPRQ – Área do triângulo OPQ
Diretoria de Ensino Campi...
Área da esfera
2
..4 r
Uma laranja de 12 gomos iguais
assemelha-se a uma esfera de
raio R. Qual a área da superfície
total de cada gomo?
Diretori...
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360° 4πr2
(:12)
Área externa do gomo = 4π...
• OFICINA DE GEOMETRIA.pptx
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• http://ensinarevt.com/conteudos/geometria/c
onst_geometric/powerpoint/cdiv5.pps
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PCOP´...
• Planificação de um cubo em perspectiva
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TRIÂNGULOS SEMELHANTES
O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um
triângulo escaleno
Diretoria de Ensino Campinas...
• Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base
(BC), será colocada uma viga de madeira (AD),
de modo que o ângulo ADB se...
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SEMELHANÇAS:CORDAS ARCOS E
ÂNGULOS
..Picturesemelhanca1.ggb
..Picturesemelhanca2.ggb
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PC...
..Picturesemelhança3.ggb
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• De acordo com as medidas indicadas na
figura, qual a medida de x?
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4
x
10
8
C
E
A
B
D
ABCDBE 
BC
AB
BE
DB

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• ..Picturestriangulo retangulo2.ggb
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Vamos tirar
algumas relações?
 p + q = z
 x.y = z.k
 k2 = p.q
 x2 = p.z
 Y2 = z.q
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Mostre que a.c = b.h
Mostre que a.c = b.h (utilizando área)
Duas demonstrações
do Teorema de
Pitágoras
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• ..Picturestriangulo retangulo.ggb
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Poesia Matemática
Às folhas tantas do livro matemático
um Quociente apaixonou-se um dia
Doidamente por uma Incógnita.
Olho...
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo octogonal, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela
até que se encont...
“Quem és tu?”, indagou ele em ânsia
radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
Dir...
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Millôr Fernandes é um conhecido escritor
...
Qual é esse erro de
definição?
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O triângulo retângulo ABC é reto
em C.
O segmento CD é a altura de ABC
relativa à hipotenusa AB, e o
ponto E é o ponto méd...
• ..Picturessolução trireto.ggb
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Geometria Analítica
Plano Cartesiano
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A
B
xA
yA
xB
yB
dAB
dAB = distância entre...
• ..Picturesinclinação.ggb
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x
y
Inclinação de AB=α
tgα= (yB – yA)/(xB – xA)
m= tgα
m = (yB – yA) / (xB – xA)
tg (90° + β) = sen (90° + β)/ cos (90°+ β) =
(sen90°cosβ+sen βcos90°) / (cos90°cosβ–sen90°senβ)
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Equação da reta
m = (y - yA)/(x – xA)
y - yA = m(x – xA)
x
y
A
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(0,yA)
β
(x,y)
(x,y) representa os infini...
DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
• Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r
r: y=3
Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta
r: x = 9
Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta
r: y=3x +1
d?
3.2 +1 = 77
1
3
Q M
B
APB MQB
AP/PB = QM/QB
d/8 = 1/
Logo d=
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
y
x
P ax+by=c
ax + by=c’
d=?
M
N bx-ay=0
ax+by=c
bx-ay=0
(a)
(b)
acxba  )( 22
02
2

...
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);( 2222
ba
cb
ba
ac
N


)
'
;
'
( 2222...
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2
2222
2
2222
2
)
'
)
'
(
ba
bc
ba
bc
ba
...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês
Chiarelli Dias/ Airton Clementino
)'2)(())('( 222222
ccbabacc 
2222222...
• Se P=(x0,y0)
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ax0+by0=c’
22
00
ba
cbyax
...
Equação da reta em diferentes contextos
Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para
plantar milho e alfafa.Sabendo-se que o
...
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y
x
18
185
x+y=18
x≥5
• E se tivesse que ser plantado no mínimo 5
alqueires de milho, e no mínimo 3 alqueires
de alfafa, qual a região no plano ...
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y
x
18
185
x+y=18
x≥5
3 y≥3
Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e
M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2.
Cada unidade de P1 exi...
Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M1 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
x
y...
Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M2 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
Dir...
Represente a região do plano cartesiano que
corresponde aos pontos (x;y) que satisfazem
simultaneamente as duas restrições...
Qual a expressão do lucro total L que resulta
da venda de todas as unidades produzidas de
P1 e P2?
P1- x - lucro 40
P2- y ...
Represente os pontos do plano que
correspondem a um lucro total igual a 120
reais
L=40x+60y
120=40x+60y
y
x
2
3
Qual o ponto da região que satisfaz
simultaneamente as duas restrições e que
corresponde ao lucro máximo?
Diretoria de Ens...
CORREÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS
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O lado do quadrado maior mede “a”.
Supondo que a seqüência d e quadrados
menores construídos em seu interior
continuem apr...
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diagonalaad a
1222
1 
2
1
2
1
222
2 )
...
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PRISMAS
Bases: são polígonos de mesma for...
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12cm
6cm
6cm
6cm
6cm
12cm
120°
Possuem a ...
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PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
120° 60°
H
6cm
sen60°= H/6
62
3 H

cmH 2...
• Qual o maior lápis que se pode guardar, nas
caixas abaixo, sem que a ponta fique de fora?
• Formato de paralelepípedo re...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
O Volume de um Prisma e o Princípio
de Cavalieri
Cartas
• Tomando dois sólidos com base de
mesma área e sobre um mesmo
plano, se todas as seções paralelas à
base dos dois sólidos...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
http://alfaconnection.
net/pag_avsm/geo160
1.htm
VOLUME INTERNO X QUANTIDADE DE
MATERIAL UTILIZADO
(DISTRIUIR 2 FOLHAS SULFITES)
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:...
Construir alvéolos:
Com uma folha a parte lateral e com
a outra as bases
Prisma triangular regular
Prisma quadrangular r...
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PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
• Perímetro: lado maior da folha
• Perímetro do triangulo: 3x
• Perímetro do quadrado: 4y
• Perímetro do hexágono: 6z
• 3x...
• Volume do prisma: área da base x altura
Triangular regular :
Quadrangular regular:
Hexagonal regular:
Diretoria de En...
Prisma Triangular regular: 0,4330.x2.h
Prisma Quadrangular regular: 0,5625.x2.h
Prisma Hexagonal regular: 0,6495.x2.h
D...
CILINDROS: (podemos imaginar)
Prisma regular cuja base teve o número
de lados sucessivamente aumentado,
aproximando-se de ...
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Área do cilindro
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Volume do Cilindro
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Um tanque de álcool em formato de
um cili...
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0.3m
1m
4m
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R=1R=1
d=0,3m
O
θ
Área do setor circular ...
• Área do setor circular = 1/4 da área do círculo
= πr2/4 = π.12/4 = π/4
• Área do triângulo isósceles (retangulo)=
R.R/2 ...
• Volume = área da base x altura
• Volume = 0,285.4= 1140 litros
Foram consumidos 1140 litros de álcool
Diretoria de Ensi...
Pirâmide
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• Uma pirâmide é todo poliedro formado por
uma face inferior e um vértice que une todas
as faces laterais. As faces latera...
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A
C
B
Volume da Pirâmide =
 hChBhA .
3
1
.
3
1
.
3
1
 )(
3
1
CBAh
hAreadabasemideVolumePira .
3
1

h
CONE
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Construção do Cone
Vamos construir setores circulares
de raio 10cm e com ângulos de :
60°, 120°, 90° e 270°.
Podemos unir ...
Um cone é um sólido geométrico formado por
todos os segmentos de reta que têm uma
extremidade em um ponto V (vértice) em c...
Observando as figuras
Ângulo
Central α
Área do setor
Circular A
Raio da base
r
Altura do cone
h
60°
90°
120°
270°
• Área do círculo (360°) =
• Área do setor (60°) =
• Comprimento do arco = comprimento da
base= comprimento do setor
• Com...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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• Altura, raio da base e geratriz formam ...
Observando as figuras
Ângulo
Central α
Área do setor
Circular A
Raio da base
r
Altura do cone
h
60° 50π/3 5/3
90° 25π 5/2
...
• Segundo estudos da ABNT, o campo de
proteção oferecido por um para-raios é aquele
abrangido por um cone, tendo por vérti...
Base do campo de
proteção
1m
79m
60°
80
60
R
tg 
mR 56,1383.80 
87,19198.14,32
 ReçãoAreadeprot 
Área de aproximadam...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
R
R
h
Esfera raio R
Cilindro eqüilátero
D...
O volume de C é o volume do cilindro de raio
R e altura 2R subtraído de dois cones de raio
R e altura R, que nos dá:
Diret...
CÔNICAS
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
YouTube - Video Conicas LSLC -
1_2.mp4
CIRCUNFERÊNCIA
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano que equidistam de um mesmo
ponto fixo
Diretoria de Ensino Ca...
222
Ryx  2
: R
2
2
2
2
2
2
R
R
R
y
R
x

R
y
sen
R
x
  ,cos
2
2
2
2
2
2
,cos
R
y
sen
R
x
 
1cos22
 sen
ELIPSE
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano onde a soma das distâncias a dois
pontos fixos F1 e F2 permanece
con...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton
Clementino
cc
aa
b
b
Se P estiver em V2
PF1 + PF2=cte= (a+c) + (a-c)= 2a
V3
V2
V1
V4
F1 F2
cc
2a
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
Se P estiver em V3
V3F1+V3F2=2a
V3
V1
F1F...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    ayxcyxc 22222

    2222...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
  222
444 ycxaaxc  Elevando ao qua...
HIPÉRBOLE
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano onde o módulo da diferença das
distâncias a dois pontos fixos F1 ...
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
OF1=OF2=c
|PF1 – PF2|= K = constante
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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c
b
c2=a2+ b2
Curso Geometria -  Módulo2
Curso Geometria -  Módulo2
Curso Geometria -  Módulo2
Curso Geometria -  Módulo2
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    1. 1. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    2. 2. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    3. 3. Área do retângulo Quadrado de 1 unidade de área = 1m2 Quantas unidades de área cabe nesse retângulo? 8 unidades de área= 8 m2 Área do retângulo = base x altura
    4. 4. ..Picturesarea do triangulo.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    5. 5. Área do triângulo Área do triângulo= 2 áreas do retângulo logo Área do triângulo = base x altura / 2
    6. 6. ..Videos_areadeumtriangulo.progra ma.exe
    7. 7. • FÓRMULA DE HERON- Área de região triangular Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)] onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.
    8. 8. b2=m2+h2 c2=n2+h2 a=m+n b2 – c2= m2- n2 b2- c2 = (m+n)(m-n) b2-c2=a(m-n) m+n=a m-n=(b2-c2)/a Se somarmos obtemos m=(a2+b2-c2)/2a Se subtrairmos obtemos n=(a2+c2-b2)/2a a+b-c = a+b+c-2cp= semi perímetro a+b+c=2p a+c-b = a+b+c-2b 2p-2c = 2(p-c) b+c-a = a+b+c-2a 2p-2b = 2(p-b) 2p-2a = 2(p-a)
    9. 9. 4a²h²= 4a2(b2-m2) =4a2(b+m)(b-m) = 4a2[b+(a2+b2-c2)/2a)] [b-(a2+b2-c2)/2a)] = (2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2) = [(a+b)2-c2][-(a-b)2+c2] = [(a+b+c)(a+b-c)][(c-a+b)(c+a-b)] = 2p.2(p-c).2(p-a).2(p-b) a2h2 = 4p(p-a)(p-b)(p-c) A=a.h/2 A2=a2.h2/4 A2=4p(p-a)(p-b)(p-c)/4
    10. 10. ))()(( cpbpappA 
    11. 11. Área do triangulo utilizando seno de um dos seus ângulos Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    12. 12. Área do trapézio h b b1 b2 (b1.h/2 I II +b.h/2 III +b2.h/2) Soma das áreas I, II e III = h(b1+b2+b)/2 Base maior Base menor
    13. 13. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Área do trapézio através de dois triângulos b B (B.h/2 + b.h/2)= h(B + b) / 2 h
    14. 14. Área do paralelogramo Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino h b B bB h.(B+b)/22 = (B+b).h
    15. 15. Área do losango ..Picturesarea do losango.ggb
    16. 16. Área do losango d2 d1 Área do retângulo= d2. d1 Área do losango = d2.d1 / 2
    17. 17. Vamos ajudar a abelhinha pegar o mel da florzinha, pelo menor caminho? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    18. 18. ..Videossim_geometria_areacirculo.zip
    19. 19. FÓRMULA DE PICK Para polígonos cujos vértices são pontos de uma malha quadriculada A = B/2 + I - 1 B = quantidade de pontos situados na fronteira I = quantidade de pontos no interior do polígono
    20. 20. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino B = 6 + 15 -1 = 20 B = 7 + 9 -1 = 15 B= 5 + 11 – 1 = 15
    21. 21. Área = (48 + 92) /2 Aproximadamente 70 u
    22. 22. Área da região circular área graus πr2 360° região verde θ
    23. 23. Área do segmento circular Área do segmento circular = Área do setor OPRQ – Área do triângulo OPQ Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    24. 24. Área da esfera 2 ..4 r
    25. 25. Uma laranja de 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de raio R. Qual a área da superfície total de cada gomo? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    26. 26. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 360° 4πr2 (:12) Área externa do gomo = 4πr2 /12= πr2 /3 Área do gomo = πr2 + πr2 /3 = 4πr2 /3
    27. 27. • OFICINA DE GEOMETRIA.pptx Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    28. 28. • http://ensinarevt.com/conteudos/geometria/c onst_geometric/powerpoint/cdiv5.pps Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    29. 29. • Planificação de um cubo em perspectiva Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    30. 30. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    31. 31. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    32. 32. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    33. 33. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    34. 34. TRIÂNGULOS SEMELHANTES O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    35. 35. • Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida dessa viga? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    36. 36. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    37. 37. SEMELHANÇAS:CORDAS ARCOS E ÂNGULOS ..Picturesemelhanca1.ggb ..Picturesemelhanca2.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOs:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    38. 38. ..Picturesemelhança3.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    39. 39. • De acordo com as medidas indicadas na figura, qual a medida de x? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino x 8 10 4
    40. 40. 4 x 10 8 C E A B D ABCDBE  BC AB BE DB 
    41. 41. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    42. 42. • ..Picturestriangulo retangulo2.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    43. 43. Vamos tirar algumas relações?
    44. 44.  p + q = z  x.y = z.k  k2 = p.q  x2 = p.z  Y2 = z.q Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    45. 45. Mostre que a.c = b.h Mostre que a.c = b.h (utilizando área)
    46. 46. Duas demonstrações do Teorema de Pitágoras Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    47. 47. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    48. 48. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    49. 49. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    50. 50. • ..Picturestriangulo retangulo.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    51. 51. Poesia Matemática Às folhas tantas do livro matemático um Quociente apaixonou-se um dia Doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do Ápice à Base, uma figura ímpar: Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    52. 52. olhos rombóides, boca trapezóide, corpo octogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    53. 53. “Quem és tu?”, indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    54. 54. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Millôr Fernandes é um conhecido escritor brasileiro e colunista da revista Veja. Em 1949 escreveu “Poesia Matemática”, uma obra-prima. Mas, num de seus versos há um erro de definição o que, evidentemente, não tira o brilho da sua obra. O texto citado é um fragmento da poesia de Millôr, que pode ser lida, na íntegra, no site do escritor: Millôr Online
    55. 55. Qual é esse erro de definição? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    56. 56. O triângulo retângulo ABC é reto em C. O segmento CD é a altura de ABC relativa à hipotenusa AB, e o ponto E é o ponto médio de AB. Se AC = 6 cm e CB = 8 cm, quanto mede DE? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    57. 57. • ..Picturessolução trireto.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    58. 58. Geometria Analítica Plano Cartesiano
    59. 59. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino A B xA yA xB yB dAB dAB = distância entre A e B dAB 2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
    60. 60. • ..Picturesinclinação.ggb Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    61. 61. x y Inclinação de AB=α tgα= (yB – yA)/(xB – xA) m= tgα m = (yB – yA) / (xB – xA)
    62. 62. tg (90° + β) = sen (90° + β)/ cos (90°+ β) = (sen90°cosβ+sen βcos90°) / (cos90°cosβ–sen90°senβ) Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 1 0 0 1 RETAS PERPENDICULARES = cosβ / - senβ = -1/tgβ
    63. 63. Equação da reta m = (y - yA)/(x – xA) y - yA = m(x – xA) x y A
    64. 64. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino (0,yA) β (x,y) (x,y) representa os infinitos pontos da reta m=(y – yA) / (x- 0) y = mx + yA
    65. 65. DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
    66. 66. • Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r r: y=3
    67. 67. Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r: x = 9
    68. 68. Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r: y=3x +1 d? 3.2 +1 = 77 1 3 Q M B APB MQB AP/PB = QM/QB d/8 = 1/ Logo d=
    69. 69. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA y x P ax+by=c ax + by=c’ d=? M N bx-ay=0 ax+by=c bx-ay=0 (a) (b) acxba  )( 22 02 2   abyxb acabyxa 22 ba ac x   ax+by=c bx-ay=0 (-b) (a) 02 2   yaabx cbybabx cbyba  )( 22 22 ba cb y  
    70. 70. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino );( 2222 ba cb ba ac N   ) ' ; ' ( 2222 ba bc ba ac M  
    71. 71. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 2 2222 2 2222 2 ) ' ) ' ( ba bc ba bc ba ac ba ac dMN         2 222222 2 22 2 222222 2 22 ) ' ( )( ' )( 2)( ) ' ( )( ' )( 2)( ba bc ba bc ba bc ba bc ba ac ba ac ba ac ba ac             22222222222 )/()''2''2( bacbbcbccbcaacacca  )('2)'()'( 22222222 baccccbcca 
    72. 72. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino )'2)(())('( 222222 ccbabacc  2222222 )/()'2')(( baccccba  222222 )/()')(( baccba  22 ' ba cc dMN   
    73. 73. • Se P=(x0,y0) Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino ax0+by0=c’ 22 00 ba cbyax  
    74. 74. Equação da reta em diferentes contextos Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa.Sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar qualquer uma das culturas e que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, qual a região do plantio que corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as condições formuladas? x - a área a ser plantada de milho e y - a área a ser plantada de alfafa
    75. 75. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino y x 18 185 x+y=18 x≥5
    76. 76. • E se tivesse que ser plantado no mínimo 5 alqueires de milho, e no mínimo 3 alqueires de alfafa, qual a região no plano que corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as condições formuladas? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    77. 77. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino y x 18 185 x+y=18 x≥5 3 y≥3
    78. 78. Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2h de trabalho de M1 e 2h de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora de trabalho de M1 e 4h de M2. Sabendo que as máquinas M1 e M2 podem trabalhar no máximo 10 h por dia e 16 h por dia, respectivamente,e que o lucro unitário, na venda e P1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitário é de 60 reais. Representando por x a quantidade diária a ser produzida e P1 e por y a quantidade a ser produzida de P2, responda:
    79. 79. Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1 não ultrapasse as horas diárias permitidas? x y 2x+1y≤1010 5 2x+1y≤10
    80. 80. Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2 não ultrapasse as horas diárias permitidas? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 2x+ 4y≤16 y x 4 8
    81. 81. Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x;y) que satisfazem simultaneamente as duas restrições. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 10 5 4 8 2x+y≤10 2x+4y≤16 Quadrilátero de vértices (0,0) ; (5.0) ; (0,4) e ? 1642 102   yx yx(4,2)
    82. 82. Qual a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2? P1- x - lucro 40 P2- y - lucro 60 Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino L=40x+60y
    83. 83. Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais L=40x+60y 120=40x+60y y x 2 3
    84. 84. Qual o ponto da região que satisfaz simultaneamente as duas restrições e que corresponde ao lucro máximo? Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 2 3 120=40x+60y 4 L L L=40x+60y L= 40.4+60.2=160+120 L= 280 reais
    85. 85. CORREÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    86. 86. O lado do quadrado maior mede “a”. Supondo que a seqüência d e quadrados menores construídos em seu interior continuem apresentando o mesmo padrão de regularidade, indicado na figura, conclui-se que a diagonal do décimo quadrado, quando todos estão ordenados em ordem decrescente de perímetro, mede Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    87. 87. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino diagonalaad a 1222 1  2 1 2 1 222 2 ) 2 () 2 () 2 () 2 ( aaaa d  2 2 2 2 2 3 ) 2 () 2 ( aa d  2 9 2 9 2 10 ) 2 () 2 ( aa d  512 2a
    88. 88. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino PRISMAS Bases: são polígonos de mesma forma Faces: laterais são paralelogramos Nome: é dado pela forma de sua base Aresta lateral : perpendicular às bases – reto caso contrário – oblíquo http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf
    89. 89. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 12cm 6cm 6cm 6cm 6cm 12cm 120° Possuem a mesma área total? Caixas de presente
    90. 90. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 120° 60° H 6cm sen60°= H/6 62 3 H  cmH 2,533  Área total= 350,4cm2 Área total prisma reto = 360cm2
    91. 91. • Qual o maior lápis que se pode guardar, nas caixas abaixo, sem que a ponta fique de fora? • Formato de paralelepípedo reto-retângulo com 3cm de comprimento, 4cm de profundidade e 12cm de altura. • Formato de prisma regular triangular de aresta da base 12cm e altura 16cm. • Formato de prisma regular hexagonal , com aresta de base 6cm e altura 8cm Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    92. 92. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    93. 93. O Volume de um Prisma e o Princípio de Cavalieri Cartas
    94. 94. • Tomando dois sólidos com base de mesma área e sobre um mesmo plano, se todas as seções paralelas à base dos dois sólidos tem a mesma área, então os dois sólidos têm o mesmo volume. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    95. 95. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    96. 96. http://alfaconnection. net/pag_avsm/geo160 1.htm
    97. 97. VOLUME INTERNO X QUANTIDADE DE MATERIAL UTILIZADO (DISTRIUIR 2 FOLHAS SULFITES) Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    98. 98. Construir alvéolos: Com uma folha a parte lateral e com a outra as bases Prisma triangular regular Prisma quadrangular regular Prisma hexagonal regular
    99. 99. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    100. 100. • Perímetro: lado maior da folha • Perímetro do triangulo: 3x • Perímetro do quadrado: 4y • Perímetro do hexágono: 6z • 3x=4y=6z y=3x/4 e z= x/2 • Os 3 prismas tem a mesma altura - lado menor da folha Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    101. 101. • Volume do prisma: área da base x altura Triangular regular : Quadrangular regular: Hexagonal regular: Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino h x . 4 32 h x . 16 9 2 h x . 8 33 2
    102. 102. Prisma Triangular regular: 0,4330.x2.h Prisma Quadrangular regular: 0,5625.x2.h Prisma Hexagonal regular: 0,6495.x2.h Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 7320,13 
    103. 103. CILINDROS: (podemos imaginar) Prisma regular cuja base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se de um círculo. Sólido de Revolução Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    104. 104. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    105. 105. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    106. 106. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    107. 107. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    108. 108. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    109. 109. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Área do cilindro
    110. 110. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Volume do Cilindro
    111. 111. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Um tanque de álcool em formato de um cilindro com 1m de raio de base e 4m de altura. Qual é o volume de álcool consumido quando a régua registra a marca de d= 30cm?
    112. 112. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 0.3m 1m 4m
    113. 113. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino R=1R=1 d=0,3m O θ Área do setor circular – Área do triângulo isósceles 0,7 R=1 1 7,0 2 cos    45 2   902 
    114. 114. • Área do setor circular = 1/4 da área do círculo = πr2/4 = π.12/4 = π/4 • Área do triângulo isósceles (retangulo)= R.R/2 = 1.1/2= 1/2 • Área do segmento circular = π/4 – 1/2 = 0,785- 0,5= 0,285 m2 Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    115. 115. • Volume = área da base x altura • Volume = 0,285.4= 1140 litros Foram consumidos 1140 litros de álcool Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    116. 116. Pirâmide Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    117. 117. • Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. Apótema (ou o apotegma) de um polígono regular é a designação dada ao segmento de reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados.
    118. 118. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airon Clementino
    119. 119. A C B Volume da Pirâmide =  hChBhA . 3 1 . 3 1 . 3 1  )( 3 1 CBAh hAreadabasemideVolumePira . 3 1  h
    120. 120. CONE Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    121. 121. Construção do Cone Vamos construir setores circulares de raio 10cm e com ângulos de : 60°, 120°, 90° e 270°. Podemos unir os raios. Cada figura corresponde a área lateral de um cone
    122. 122. Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).
    123. 123. Observando as figuras Ângulo Central α Área do setor Circular A Raio da base r Altura do cone h 60° 90° 120° 270°
    124. 124. • Área do círculo (360°) = • Área do setor (60°) = • Comprimento do arco = comprimento da base= comprimento do setor • Comprimento do setor (60°) = • 2πr = π r= cm Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 22 100. cmR   2 3 50 6 100. cm   3 10 36 2   RR 3 10 3 5
    125. 125. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino • Altura, raio da base e geratriz formam um triangulo retângulo g2= R2 + h2 102= (5/3)2 + h2 100 = (25/4) + h2 h2= 100 – 25/4 h2= 375/4 h = cm 2 155 4 375 
    126. 126. Observando as figuras Ângulo Central α Área do setor Circular A Raio da base r Altura do cone h 60° 50π/3 5/3 90° 25π 5/2 120° 100π/3 10/3 270° 75π 15/2 3 355 2 155 3 220 2 75
    127. 127. • Segundo estudos da ABNT, o campo de proteção oferecido por um para-raios é aquele abrangido por um cone, tendo por vértice o ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz forma um ângulo de 60° com esta haste. Geralmente a medida das hastes é de 1m. Com base nessas informações, faça uma representação e determine a área aproximada da base do “campo de proteção” oferecido por um para-raios disposto sobre uma antena de 79m de altura. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    128. 128. Base do campo de proteção 1m 79m 60° 80 60 R tg  mR 56,1383.80  87,19198.14,32  ReçãoAreadeprot  Área de aproximadamente 60 284,46 m2
    129. 129. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino R R h Esfera raio R Cilindro eqüilátero Do cilindro, vamos subtrair dois cones iguais com base na base do cilindro e vértices coincidentes com o centro do cilindro Este sólido C (clépsidra) é tal que qualquer plano horizontal distando h do seu centro (ou do centro da esfera que é o mesmo), produz uma seção que é uma coroa circular de raio externo é R e raio interno h. Logo o volume da esfera é igual ao volume de C
    130. 130. O volume de C é o volume do cilindro de raio R e altura 2R subtraído de dois cones de raio R e altura R, que nos dá: Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino 322 3 4 3 1 .22 RRRRR  
    131. 131. CÔNICAS Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    132. 132. YouTube - Video Conicas LSLC - 1_2.mp4
    133. 133. CIRCUNFERÊNCIA Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano que equidistam de um mesmo ponto fixo Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    134. 134. 222 Ryx  2 : R 2 2 2 2 2 2 R R R y R x  R y sen R x   ,cos 2 2 2 2 2 2 ,cos R y sen R x   1cos22  sen
    135. 135. ELIPSE Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 permanece constante Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino PF1 + PF2 = constante
    136. 136. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino cc aa b b
    137. 137. Se P estiver em V2 PF1 + PF2=cte= (a+c) + (a-c)= 2a V3 V2 V1 V4 F1 F2 cc 2a
    138. 138. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino Se P estiver em V3 V3F1+V3F2=2a V3 V1 F1F2 V3F1=V3F2 2V3F1=2a V3F1= a a2 = b2 + c2 c2 = a2 – b2
    139. 139. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino     ayxcyxc 22222      2222 2 yxcaycx        2222222 44 yxcyxcaaycx 
    140. 140. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino   222 444 ycxaaxc  Elevando ao quadrado 224222222 xcaxayaca  c2 = a2 - b2 22242222222 )()( xbaaxabaaya  222242222422 xbxaaxabaaya  222222 baxbya  12 2 2 2  b y a x
    141. 141. HIPÉRBOLE Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano onde o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2, permanece constante. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
    142. 142. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino OF1=OF2=c |PF1 – PF2|= K = constante
    143. 143. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino c b c2=a2+ b2

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