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Retas
Equação Vetorial
 Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor
não nulo v=(a,b,c)
 Teorema: Existe somente uma reta r que
passa por A e tem direção de v. Um ponto
P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP
= (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP
= tv, para todo t є R
Equação Vetorial
 Daí, P-A= tv ou P = A + tv
 Ou em coordenadas
 (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada
de equação vetorial da reta r
Exemplo
 Encontre a equação vetorial da reta que
passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de
v=(2,3,2). Verifique também se o ponto
P=(5,5,8) pertence a esta reta
Equações Paramétricas
 Sabemos que a equação vetorial da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção
de v=(a,b,c) é:
 (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda
 (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
Equações Paramétricas
 Usando a igualdade de dois vetores na
expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
temos as seguintes equações
paramétricas





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
Exemplo 2
 Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-
2,3) pede-se:
 A) escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A e tem a direção de
v
 B) Encontrar dois pontos B e C de r de
parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
Exemplo 2
 C) determinar o ponto de r cuja abscissa é
4
 D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e
E=(5,-4,3) pertencem a r
 E) Determinar para que valores de m e n
o ponto F=(m,5,n) pertence a r
Exemplo 2
 F) escrever outros dois sistemas de
equações paramétricas de r
 G) Escrever equações paramétricas da
reta s que passa por G=(5,2,-4) e é
paralela a r
 H) Escrever equações paramétricas da
reta u que passa por A e é paralela ao
eixo y
Reta Definida por 2 Pontos
 A reta definida pelos pontos A e B é a reta
que passa por A (ou B) e tem direção do
vetor v=AB
Exemplo 3
 Escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
Equação Paramétrica de um
Segmento de Reta
 Considere um segmento de reta cujos pontos
extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3).
Assim as equações paramétricas do segmento
de reta tendo por direção o vetor AB, são
 Para t є [0,1]





−+=
−+=
−+=
)(
)(
)(
333
222
111
xytxz
xytxy
xytxx
Nota
 Quando t=0 nas equações anteriores
(x,y,z)=A
 Quando t=1 (x,y,z)=B
Equações Simétricas
 Das equações paramétricas tem-se
 Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
a
xx
t
1−
=
b
yy
t
1−
=
c
zz
t
1−
=
Equações Simétricas
 Como, para cada ponto da reta
corresponde um só valor de t obtemos
igualdades
=
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−
Notas
 As equações do slide anterior são
chamadas de equações simétricas da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela
ao vetor (a,b,c)
Exemplo
 Encontre as equações simétricas da reta
que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a
direção do vetor v=(2,2,-1)
Equações Reduzidas
 Seja a reta r definida pelo ponto
A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c)
as equações simétricas da reta são:
=
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−
Equações Reduzidas
 A partir destas equações, pode-se
expressar duas variáveis em função da
terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e
expressá-las em função de x
 Estas duas últimas equações são
chamadas equações reduzidas da reta
)1(1 xx
a
b
yy −+= )1(1 xx
a
c
zz −+=
Exemplo
 Dadas as equações reduzidas da reta
y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor
diretor
Retas paralelas aos planos
coordenados
 Uma reta é paralela a um dos planos x0y
ou y0z se seus vetores diretores forem
paralelos ao plano correspondente. Neste
caso, uma das componentes do vetor é
nula
Exemplo
 Seja a reta r que passa pelo ponto
A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
 Note que a terceira componente de v é
nula e a reta é paralela a x0y
 Analogamente, uma reta r1 com vetor
diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e
uma reta r2 com vetor diretor do tipo
v=(0,a,b) é paralela a y0z
Retas paralelas aos eixos
coordenados
 Uma reta é paralela a um dos eixos
coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores
diretores forem paralelos a i=(1,0,0),
j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
 Neste caso, duas das componentes do
vetor são nulas
Exemplo
 Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e
tem a direção do vetor v=(0,0,3)
Ângulo de duas retas
 Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1
e v2, respectivamente
 Chama-se ângulo de duas retas o menor
ângulo formado pelos vetores diretores
 Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
 cosθ = (u . v) /( | u | | v |)
 Com 0<= θ<= pi/2
Exemplo
 Calcule o ângulo entre as retas
 r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t
 R2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
Exemplo
 Verifique se as retas são ortogonais
 r1: y=-2x+1,z=4x
 r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
Reta ortogonal a duas retas
 Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas
com vetores diretores v1 e v2
respectivamente
 Seja r uma reta com vetor diretor v de tal
forma que r é ortogonal a r1 e r é
ortogonal a r2
 Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
 Um vetor v que satisfaz o sistema anterior
é dado por v=v1 x v2
 Definido, então, o vetor diretor v, a reta r
estará determinada quando for conhecido
um de seus pontos
Exemplo
 Determinar a equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retas
 r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
 r2: x=5, y=t, z=1-t
Retas coplanares
 Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1)
e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são
coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2
forem coplanares, isto é, se
[v1,v2,a1a2]=0
Exemplo
 Determine o valor de m para que as retas
sejam coplanares
 R1:y=mx+2,z=3x-1
 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
Posição Relativa de duas Retas
 Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
 Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
 Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I}
onde I é o ponto de interseção. Neste
caso as retas tem que ser coplanares
 Reversas: não coplanares. Neste caso a
interseção de r1 e r2 é vazia
Posição Relativa de duas Retas
Exemplo
 Estudar a posição relativa das retas
 Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-x
R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
 Segundo caso
R1:x/2=(y-1)/-1=z
R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
 Terceiro caso
R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4
R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t
 Quarto caso
R1:y=3,z=2x
R2:x=y=z
Interseção de duas retas
 Se duas retas se interceptam, elas são
coplanares, isto é, estão situadas no
mesmo plano. Neste caso, são ditas
concorrentes
 Se duas retas não são coplanares, elas
são ditas reversas. Supõe-se que as retas
não são paralelas
Exemplo
 Verifica se as retas r1 e r2 são
concorrentes e, em caso afirmativo,
determinar o ponto de interseção
 Primeiro caso
 r1:y=-3x+2,z=3x-1
R2:x=-t,y=1+2t,z=-2t

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  • 2. Equação Vetorial  Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c)  Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R
  • 3. Equação Vetorial  Daí, P-A= tv ou P = A + tv  Ou em coordenadas  (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada de equação vetorial da reta r
  • 4. Exemplo  Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta
  • 5. Equações Paramétricas  Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é:  (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda  (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
  • 6. Equações Paramétricas  Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas      += += += ctzz btyy atxx 1 1 1
  • 7. Exemplo 2  Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,- 2,3) pede-se:  A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v  B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
  • 8. Exemplo 2  C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4  D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r  E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r
  • 9. Exemplo 2  F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r  G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r  H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y
  • 10. Reta Definida por 2 Pontos  A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB
  • 11. Exemplo 3  Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
  • 12. Equação Paramétrica de um Segmento de Reta  Considere um segmento de reta cujos pontos extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são  Para t є [0,1]      −+= −+= −+= )( )( )( 333 222 111 xytxz xytxy xytxx
  • 13. Nota  Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A  Quando t=1 (x,y,z)=B
  • 14. Equações Simétricas  Das equações paramétricas tem-se  Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se      += += += ctzz btyy atxx 1 1 1
  • 16. Equações Simétricas  Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades
  • 18. Notas  As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)
  • 19. Exemplo  Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)
  • 20. Equações Reduzidas  Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são: = − a xx 1 = − b yy 1 c zz 1−
  • 21. Equações Reduzidas  A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x  Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta )1(1 xx a b yy −+= )1(1 xx a c zz −+=
  • 22. Exemplo  Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor
  • 23. Retas paralelas aos planos coordenados  Uma reta é paralela a um dos planos x0y ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula
  • 24. Exemplo  Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)  Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y
  • 25.  Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z
  • 26. Retas paralelas aos eixos coordenados  Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)  Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas
  • 27. Exemplo  Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)
  • 28. Ângulo de duas retas  Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente  Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores  Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
  • 29.  cosθ = (u . v) /( | u | | v |)  Com 0<= θ<= pi/2
  • 30. Exemplo  Calcule o ângulo entre as retas  r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t  R2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
  • 31. Exemplo  Verifique se as retas são ortogonais  r1: y=-2x+1,z=4x  r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
  • 32. Reta ortogonal a duas retas  Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente  Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2
  • 33.  Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0  Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2
  • 34.  Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos
  • 35. Exemplo  Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas  r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)  r2: x=5, y=t, z=1-t
  • 36. Retas coplanares  Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0
  • 37. Exemplo  Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares  R1:y=mx+2,z=3x-1  R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
  • 38. Posição Relativa de duas Retas  Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:  Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia  Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares
  • 39.  Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia Posição Relativa de duas Retas
  • 40. Exemplo  Estudar a posição relativa das retas  Primeiro caso R1:y=2x-3,z=-x R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t  Segundo caso R1:x/2=(y-1)/-1=z R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
  • 42. Interseção de duas retas  Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes  Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas
  • 43. Exemplo  Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção  Primeiro caso  r1:y=-3x+2,z=3x-1 R2:x=-t,y=1+2t,z=-2t