2. Equação Vetorial
Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor
não nulo v=(a,b,c)
Teorema: Existe somente uma reta r que
passa por A e tem direção de v. Um ponto
P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP
= (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP
= tv, para todo t є R
3. Equação Vetorial
Daí, P-A= tv ou P = A + tv
Ou em coordenadas
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada
de equação vetorial da reta r
4. Exemplo
Encontre a equação vetorial da reta que
passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de
v=(2,3,2). Verifique também se o ponto
P=(5,5,8) pertence a esta reta
5. Equações Paramétricas
Sabemos que a equação vetorial da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção
de v=(a,b,c) é:
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda
(x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
6. Equações Paramétricas
Usando a igualdade de dois vetores na
expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
temos as seguintes equações
paramétricas
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
7. Exemplo 2
Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-
2,3) pede-se:
A) escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A e tem a direção de
v
B) Encontrar dois pontos B e C de r de
parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
8. Exemplo 2
C) determinar o ponto de r cuja abscissa é
4
D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e
E=(5,-4,3) pertencem a r
E) Determinar para que valores de m e n
o ponto F=(m,5,n) pertence a r
9. Exemplo 2
F) escrever outros dois sistemas de
equações paramétricas de r
G) Escrever equações paramétricas da
reta s que passa por G=(5,2,-4) e é
paralela a r
H) Escrever equações paramétricas da
reta u que passa por A e é paralela ao
eixo y
10. Reta Definida por 2 Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta
que passa por A (ou B) e tem direção do
vetor v=AB
11. Exemplo 3
Escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
12. Equação Paramétrica de um
Segmento de Reta
Considere um segmento de reta cujos pontos
extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3).
Assim as equações paramétricas do segmento
de reta tendo por direção o vetor AB, são
Para t є [0,1]
−+=
−+=
−+=
)(
)(
)(
333
222
111
xytxz
xytxy
xytxx
13. Nota
Quando t=0 nas equações anteriores
(x,y,z)=A
Quando t=1 (x,y,z)=B
14. Equações Simétricas
Das equações paramétricas tem-se
Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
18. Notas
As equações do slide anterior são
chamadas de equações simétricas da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela
ao vetor (a,b,c)
19. Exemplo
Encontre as equações simétricas da reta
que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a
direção do vetor v=(2,2,-1)
20. Equações Reduzidas
Seja a reta r definida pelo ponto
A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c)
as equações simétricas da reta são:
=
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−
21. Equações Reduzidas
A partir destas equações, pode-se
expressar duas variáveis em função da
terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e
expressá-las em função de x
Estas duas últimas equações são
chamadas equações reduzidas da reta
)1(1 xx
a
b
yy −+= )1(1 xx
a
c
zz −+=
22. Exemplo
Dadas as equações reduzidas da reta
y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor
diretor
23. Retas paralelas aos planos
coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos x0y
ou y0z se seus vetores diretores forem
paralelos ao plano correspondente. Neste
caso, uma das componentes do vetor é
nula
24. Exemplo
Seja a reta r que passa pelo ponto
A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
Note que a terceira componente de v é
nula e a reta é paralela a x0y
25. Analogamente, uma reta r1 com vetor
diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e
uma reta r2 com vetor diretor do tipo
v=(0,a,b) é paralela a y0z
26. Retas paralelas aos eixos
coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos
coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores
diretores forem paralelos a i=(1,0,0),
j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
Neste caso, duas das componentes do
vetor são nulas
27. Exemplo
Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e
tem a direção do vetor v=(0,0,3)
28. Ângulo de duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1
e v2, respectivamente
Chama-se ângulo de duas retas o menor
ângulo formado pelos vetores diretores
Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
29. cosθ = (u . v) /( | u | | v |)
Com 0<= θ<= pi/2
30. Exemplo
Calcule o ângulo entre as retas
r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t
R2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
31. Exemplo
Verifique se as retas são ortogonais
r1: y=-2x+1,z=4x
r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
32. Reta ortogonal a duas retas
Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas
com vetores diretores v1 e v2
respectivamente
Seja r uma reta com vetor diretor v de tal
forma que r é ortogonal a r1 e r é
ortogonal a r2
33. Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
Um vetor v que satisfaz o sistema anterior
é dado por v=v1 x v2
34. Definido, então, o vetor diretor v, a reta r
estará determinada quando for conhecido
um de seus pontos
35. Exemplo
Determinar a equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retas
r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
r2: x=5, y=t, z=1-t
36. Retas coplanares
Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1)
e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são
coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2
forem coplanares, isto é, se
[v1,v2,a1a2]=0
37. Exemplo
Determine o valor de m para que as retas
sejam coplanares
R1:y=mx+2,z=3x-1
R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
38. Posição Relativa de duas Retas
Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I}
onde I é o ponto de interseção. Neste
caso as retas tem que ser coplanares
39. Reversas: não coplanares. Neste caso a
interseção de r1 e r2 é vazia
Posição Relativa de duas Retas
40. Exemplo
Estudar a posição relativa das retas
Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-x
R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
Segundo caso
R1:x/2=(y-1)/-1=z
R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
42. Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são
coplanares, isto é, estão situadas no
mesmo plano. Neste caso, são ditas
concorrentes
Se duas retas não são coplanares, elas
são ditas reversas. Supõe-se que as retas
não são paralelas
43. Exemplo
Verifica se as retas r1 e r2 são
concorrentes e, em caso afirmativo,
determinar o ponto de interseção
Primeiro caso
r1:y=-3x+2,z=3x-1
R2:x=-t,y=1+2t,z=-2t
