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FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG




    Geometria Analítica
       Engenharia




                            Profª. Alessandra S. F. Misiak




          Cascavel – 2009
Álgebra Linear e Geometria Analítica                                        Engenharia – FAG




       1. O PLANO CARTESIANO


                                                   Y ( eixo das ORDENADAS )

                  Bissetriz dos                                Bissetriz dos quadrantes
                  quadrantes pares                             ímpares

                                    2º
                                                                1º
                               QUADRANTE
                                                           QUADRANTE
                                 ( -, + )
                                                             ( +, + )
                                                                  x ( eixo das ABSCISSAS
                                                                  )
                                                                4º
                                                            QUADRANTE
                             3º QUADRANTE                     ( +, - )
                                 ( -, - )




        A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos
    P( x, y ) para indicar este ponto.
        Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro
    partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os
    eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das
    ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.
        A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a
    que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.
             Observações:
         I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

                                                                     P Є 0x ↔ P = ( x, 0
                                                                     )
        II.    Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

                                                                     P Є 0y ↔ P = ( 0, y
                                                                     )
       III.     Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-
               versa.

                                                                     A Є bi ↔ A = ( a,
                                                                            a)
       IV.      Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-
               versa.

                                                                       B Є bp ↔ B = ( b,
                                                                       -b )
       EXERCÍCIOS
       1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)
              −3
       E(        , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).
              2



Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                 2
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              2.     Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes
                     ímpares.


              3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:
              a) Qual a ordenada do ponto P?
              b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?
              c) Qual a distância do ponto P à origem?


              02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS



                                                                       B
                                           yb
                                                              dAB                   yb - ya
                                           ya           A



                                                                xb – xa

                                                          xa              xb
                  Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento
              de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

                                                       d AB =   ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2

              EXERCÍCIOS

              4. Calcule a distância entre os pontos dados:
              a) A (3, 7) e B (1, 4)     R: 13
              b) E (3, -1) e F (3, 5)    R: 6
              c) H (-2,-5) e O (0, 0)    R: 29
              d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R:       5
              e) P (3, -3) e Q (-3, 3)       R: 72
              f) C (-4, 0) e N (0, 3)        R: 5

              5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2

              6.     Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é
a)       10                                                                                         53
b)                             15                                                                 2
                                                                                                  16
              R: c

              7.     A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:
a)                           5                                                                    20
b)                           10                                                                   25
c)                           15
         R: a
             8.      (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                    3
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a)                               -1                                                      -1 ou 10
b)                               0                                                       2 ou 12
c)                               1 ou 13
         R: c
             9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
a)       (0,5)                                                    (6,2)
b)       (5,0)                                                    (-1,0)
c)       (2,3)
         R:a
             10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:
a)                     5π                                         17π
b)       10π                                                      29π
c)       20π
             R: b

            03. PONTO MÉDIO

                Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:

                                                    B
                      yB
                      yM                   M
                                                                        x + xB y A + y B 

                                                A
                           A                                          M A     ,          
                      yA                                                   2        2
                                                                                         
                            xA             xM       XB



                      M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.

            EXERCÍCIOS

                11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
                a) A (-1, 6) e B (-5, 4)                              c) A (-1, 5) e B (5, -2)
                b) A (1, -7) e B (3, -5)                              d) A (-4, -2) e B (-2, -4)



                12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e
                      C(2, 4).

                13.   Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:
                a)    (4, 8)                                              d) (1, 2)
                b)    (2, 4)                                              e) (3, 4)
                c)    (8, 16)

                14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto
                    B vale:
                a) (1, 6)                                             d) (-2, 2)
                b) (2, 12)                                            e) (0, 1)
                c) (-5, 4)




     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                               4
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       04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS



           Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão
       alinhados, se e somente se:


                                     C(xC, yC)
                                                                             xA   yA 1
                           B(xB, yB)
                                                                             xB   yB 1 = 0
                                                                             xC   yC 1
             A(xA, yA)



       EXERCÍCIOS

       15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados.

       16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo.
       17.   O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
       a)    0                                                       d) 12
       b)    10                                                      e) -4
       c)    3

       18.   Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:
       a)    k = 11                                                    d) k = 14
       b)    k = 12                                                    e) k = 15
       c)    k = 13

       05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

              O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ).
              Por definição, temos que:


                                                         a = tg
                                                         α

              São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:




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       Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

                             ∆y                  yB − y A                   − med . y
                     a=             ou      a=               ou        a=
                             ∆x                  xB − x A                    med .x

       06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA

       Toda reta no plano possui uma equação de forma:

                                                    ax + by + c = 0

    na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da
    reta.
            Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas:
       ♦ Conhecido dois pontos P ( x1 , y1 ) e P2 ( x2 , y2 )
                                1


                                                     x      y 1
                                                     x1     y1 1 = 0
                                                     x2     y2 1



       ♦ Conhecido um ponto P ( x1 , y1 ) e a declividade a da reta:
                             1

                                                y − y1 = a ( x − x1 )

                                  y2 − y1
    onde                     a=                      ou                a = tgα
                                  x2 − x1
       19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a.
       a) P(2, 3); a = 2

       b) P(-2, 1); a = -2

                             1
       c) P(4, 0); a = −
                             2

       20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α .

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       a) P(2, 8) e α = 45º

       b) P(-4, 6) e α = 30º

       c) P(3, -1) e α = 120º

       21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:
       a) A(1, 1) e B(-2, -2)

       b) A(3, 1) e B(-5, 4)

       c)A(2, 3) e B(8, 5)

       22.   Determine a equação geral da reta:
       a)    x – 2y - 4 = 0
       b)    2x + y – 2 = 0
       c)    4x – 2y – 4 = 0
       d)    x–y+2=0
       e)    x–y+4=0

       23.   Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)
       a)    4x + 3y + 1= 0                                      d) x + y – 4 = 0
       b)    3x + 4y + 1= 0                                      e) x – y – 1 = 0
       c)    x+y+3=0

       07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

            É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b”
       é chamado de coeficiente linear.
       Exemplos:
                                                                                             2
                                        a =2                                          a = − 3
                             y = 2 x − 3                               2 x + y − 1 = 0
                                        b = −3                                              1
                                                                                        b=
                                                                                            3

                                                                                          5
                                       a = 5                                       a = −
                             y = 5 x +1                               5 x + 4 y = 0      4
                                       b = 1                                        b=0
                                                                                    
       24.   Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:
       a)    2/3 e 4                                                  d) 2/3 e -4
       b)    3/2 e 12                                                 e) -3/2 e 4
       c)    -2/3 e -12

       25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é:
       a)   10                                                    d) 4 10
       b) 2                                                       e) 10
       c) 3 10

       26.   A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:
       a)    ½ e -2
       b)    2 e -1/2
       c)    -1/2 e -2                                 4
       d)    -2 e -1/2
       e)    ½ e -1/2
                                           -2
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       27.   Determine a equação reduzida da reta:
       a)    y=x+3
       b)    y = -x + 3
       c)    y = 2x+6                       3
       d)    y=x–3
       e)    y = - 3x + 2
                                                     3



       08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

       RETAS PARALELAS

       Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

                                                     (r) y = a1x + b1
                                                     (s) y = a2x + b2

       Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:




                                                     a1 = a2 
                                                             ⇔   PARALELAS DISTINTAS

                                                     b1 ≠ b2 
                                                     a1 = a2 
                                                             ⇔   PARALELAS COINCIDENTES

       EXERCÍCIOS
                                                     b1 = b2 
       28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x
             + 2y -1 = 0

       29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação
           x y
             + =1
           2 3
       30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x +
           y–5=0

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       31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x
             – 2y +1 = 0

       32.   Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.
       a)    1                                                      d) - 6
       b)    2                                                      e) 5
       c)    -3

       33.   Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.
       a)    2x – y + 9 = 0                                       d) x – 2y + 9 = 0
       b)    2x – 3y – 15 = 0                                     e) 3x – 2y + 15 = 0
       c)    3x + 2y – 15 = 0

       34.   Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta        4x – y + 1 = 0.
       a)    y = 2x – 3                                          d) y = x + 5
       b)    y = 4x – 10                                         e) y = - 4x +5
       c)    y = - x + 15


       RETAS PERPENDICULARES

       Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

                                                       (r) y = a1x + b1
                                                       (s) y = a2x + b2

       Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:




                                                                1
                                                       a1 = −      ⇔ PERPENDICULARES
                                                                a2



       EXERCÍCIOS

       35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são:
       a) x + 2y – 3 = 0         e       x -2y + 7 = 0
       b) 2x + y – 1 = 0         e       3x + 2y - 4 = 0
                  7    2                          3
       c)    y=     x−              e        y = − x+7
                  3    3                          2
       36.   Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares.
       a)    1                                                       d) 15
       b)    6                                                       e) 5
       c)    -10

       37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y -
           12 = 0.
       a) y = -2x – 1                                           d) y = -x + 5
       b) y = x + 4                                             e) y = - x – 12
       c) y = 3x + 2

       38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
       a) y = - 2x + 13                                        b) y = 2x – 13
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       c) y = x + 1                                                   e) y = x – 4
       d) y = 13x + 2

    09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS

              Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado
       pelas suas equações.
           Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma:
       ♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes
       ♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes
       ♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas.

       EXERCÍCIOS

       39.   Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.
       a)    (-8, -22)                                               d) (5, 6)
       b)    (1, 2)                                                  e) (-4, 12)
       c)    (4, -10)


       40.   Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.
       a)    (-3, 3)                                                d) (1, 2)
       b)    (2, -2)                                                e) (3, 4)
       c)    (5, 22)

       41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor
           de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.
       a) 1 e (2, 0)                                              d) 1 e (0, 2)
       b) 2 e (1, 0)                                              e) 2 e (1, 2)
       c) 5 e (2, 0)

       10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

       A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:

                     P(xP, yP)

                                                                                               Ax 0 + By 0 + C
                     d                                                                d Pr =
                                                                                                   A2 + B 2




       EXERCÍCIOS

       42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r:
       a) P(0, 3)    e       4x + 3y + 1=0
       b) P(1, -5)   e       3x - 4y - 2 =0
       c) P(3, -2)   e       2x + y + 6 =0
       d) P(6, 4)    e       y - 2 =0

       43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a
             coordenada p.

       44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a
           distância entre as duas retas.

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              45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.




              11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO

              Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:
                            B(xB, yB)


                                        C(xC, yC)                                     xA      yA 1
                                                                                    1
                                                                                 A=   xB      yB 1
                          A(xA, yA)
                                                                                    2
                                                                                      xC      yC 1



              EXERCÍCIOS

              46.   Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).
              a)    16                                                       d) 12
              b)    4                                                        e) 8
              c)    10

              47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
a)       27                                                                              19
b)                          54                                                           43
c)                          32

              48.   Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).
              a)    17                                                       d) 6
              b)    34                                                       e) 8
              c)    10




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    Cônicas


       12. CIRCUNFERÊNCIA

       EQUAÇÃO REDUZIDA

       Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:

                                   P(x, y)

              yC               R


                                                  ( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = R 2
                          xC


       EXERCÍCIOS

       49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.

           (3,5)
           C                                                              C (0, −2)
       a)                                                            c) 
          R =2                                                            R=4
           C (0,0)                                                       C (4, 0)
       b) 
                                                                      d) 
          R = 7
                                                                           R=5
       EQUAÇÃO GERAL
       Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência
       Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

       Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro
       C (2, -3) e raio r = 4.
         A equação reduzida da circunferência é:
       ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
         Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:




       Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

       Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado
       perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da
       circunferência.
         Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
           • os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
           • não deve existir o termo xy.

        Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
    x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
          1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
        x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
        2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a
        ambos os membros as parcelas correspondentes

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         3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
    ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

    4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio




    Condições para ser circunferência:

    1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)             Coordenadas do centro:
                                                                    − coef .x − coef . y 
    2. C = 0 ( não pode aparecer xy )                           C =          ;           
                                                                        2         2      
    3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )      Raio:
                                                                    R=    ( xc ) 2 + ( yc ) 2 − F

        EXERCÍCIOS

        50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.
        a)   x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0
        b)   x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
        c)   x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0
        d)   x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
        e)   x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0

        51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência:
        a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0
        b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0
        c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0
        d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0
        e) 4x2 - 4y2 =0
        f) x2 -10x + 25 + y2 =0

        52. Determine o centro e o raio da circunferência x 2 + y 2 −10 x + 4 y − 20 = 0 , respectivamente:
        a) (-2,5) e 7                                               d) (3,4) e 1
        b) (5,2) e 5                                                e) (5,-2) e 7
        c) (2,2) e 2

        53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0
        a) 2u.a.                                                    d) 16u.a.
        b) 4u.a.                                                    e) 64u.a.
        c) 8u.a.

        54. Determine o valor de k para que a equação x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + k = 0 represente uma circunferência:
        a) k > 5                                                    b) k < 5
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       c) k > 10                                                   e) k = 20
       d) k < 15

       41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0
       a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
       b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0
       c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0
       d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0
       e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0

       13. POSIÇÕES RELATIVAS

       PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

           Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o
       seguimento de reta PC com R.
       Há três casos possíveis:
       1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.
       2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.
       3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.
                      Interno                   Pertence                   Externo
                                                          P

                            P
                                                                                            P




                      dPC < R                   dPC = R                     dPC > R

       EXERCÍCIOS:

       55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 9

       56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ.
       a) P( -1, 2)           e     λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52
       b) P( 2, 2)    e    λ: x + y2 - 10x + 8y - 1 = 0
                               2

       c) P( 3, 1)    e    λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0

       RET E CIRCUNFERÊNCIA
       RETA

       Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos
       uma equação do 2º grau (na outra variável).
       Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter:
       1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).
       2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).
       3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).




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                                                         Tangent
                        Secante                                                      Externa
                                                         e




                        ∆ >                               ∆ =                       ∆ <
                         0                                 0                         0
             EXERCÍCIOS
             57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo x 2 + y 2 − 4 x −1 = 0 :
             58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns
                  (Tangente ou Secante), determine esses pontos:
             a) r: 2x – y + 1=0   e      λ: x2 + y2 – 2x = 0
             b) r: x = y          e      λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0

           DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
             Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o
         seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.
            Há três possibilidades:
            1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).
            2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).
            3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).
                      Tangentes                            Secante                           Externas




                  dC1C2 = R1 + R2                        dC1C2 < R1 + R2,                       dC1C2 > R1 + R2,

            EXERCÍCIOS
            59. Qual a posição relativa entre as circunferências                  (λ )       x 2 + y 2 − 6 x −10 y + 9 = 0   e (δ )
                x 2 + y 2 + 2x − 4 y + 4 = 0 .
a)                       tangente
b)                       secante
c)                       externas
d)                       coincidentes
e)                       n.d.a.

             60. Dadas as circunferências λ      1   e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se
                 Houver)
         a) (λ 1) : x + y − 4 x − 8 y − 5 = 0                 (λ 2): x + y − 2 x − 6 y + 1 = 0
                    2    2                                            2     2
                                                     e

         b) (λ 1) : x + y − 8 x − 4 y + 10 = 0                (λ 2): x + y − 2 x − 10 y + 22 = 0
                    2    2                                            2     2
                                                     e

         c) (λ 1) : ( x − 2) + ( y − 1) = 4                   (λ 2): ( x − 2) + ( y + 2) = 1
                             2       2                                      2            2
                                                     e



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    d) (λ 1) : x + y = 16                (λ 2): x + y + 4 y = 0
              2    2                            2    2
                                e




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    Elipse

      Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a
    distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias
    desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

     Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:




     A figura obtida é uma elipse.

    Observações:

    1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

       A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam
    esse comportamento.

    2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

    3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por
    um plano oblíquo em relação à sua base.



    Elementos

      Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:




      •      focos : os pontos F1 e F2


      •      centro: o ponto O, que é o ponto médio de

      •      semi-eixo maior: a


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      •     semi-eixo menor: b

      •     semidistância focal: c

      •     vértices: os pontos A1, A2, B1, B2


      •     eixo maior:


      •     eixo menor:


      •     distância focal:

    Relação fundamental

       Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever
    a seguinte relação fundamental:


                                                       a2 =b2 + c2


    Excentricidade

      Chamamos de excentricidade o número real e tal que:




      Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

    Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma
    circunferência.

    Equações

     Vamos considerar os seguintes casos:

    a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

     Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):




     Aplicando a definição de elipse                     , obtemos a equação da elipse:




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    b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

     Nessas condições, a equação da elipse é:




    Equação da Elipse
    Fora da origem
    1º caso: A1 A2 // eixo x



                                        y
                                                                y'
                                                                     B2
                                                                     •
                                    y
                                                                y'                     •P
                               y'
                                    k                                                                           ( x' )2 ( y ' )2
                        y
                                            A1 •           •
                                                                C
                                                                     •            •
                                                                                       x'
                                                                                            • A2     x'
                                                                                                                       + 2 =1
                                                           F1                     F2
                                                                                                                  a2      b
                               k
                                                                     •                                        (x - h)2   (y - k)2
                                                                     B1                                            2
                                                                                                                       +          =1
                                                                                                                 a          b2
                                                                         h             x                  x


                                                   h                         x'
    Equação da Elipse
    Fora da origem
                                                       x
    2º caso:
    A1 A2 // eixo y


                                                                                                   (x - h)2   (y - k)2
                                                                                                            +          =1
                                                                                                      b2         a2




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    Exemplo
    Determine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da
    elipse de equação 4 x + 25 y = 100
                                2       2

    Solução
                           4 x 2 25 y 2 100  x2 y2     x2 y2
    4 x 2 + 25 y 2 = 100 ⇒      +      =    ⇒ +    = 1⇒ 2 + 2 = 1
                           100 100 100       25 4      5   2


                                                   B1
                                                   •


                                  A1 •    •              •           • A2
                                          F1             F2
                                                   •
                                                   B2
                                                             a=5    b=2
                                                        a = b + c ⇒ c 2 = a 2 − b2
                                                              2  2     2


                                                        c 2 = 25 − 4 = 21⇒ c = 21
                                                                                                                             21
                      A1 (−5, 0), A2 (5, 0) , B1 (0, −2) , B2 (0, 2), F1 (− 21, 0), F2 ( 21, 0) e =
                                                                                                                             5
    Exemplo

                                                                                                            1
    Conhecendo os focos F1 (0, − 3) e F2 (0, 3) e a excentricidade e =                                        , determine a equação da elipse.
                                                                                                            2
    Solução

         c         1
    e=        e=     →     ⇒ a = 2c
         a         2

    c = 3
    
            ⇒a = 2 3
     a = 2c
    

    a 2 = b 2 + c 2 ⇒ (2 3) 2 = b 2 + ( 3) 2 ⇒ 12 = b 2 + 3 ⇒ b 2 = 9
    x2   y2    x2   y2
       + 2 =1⇒    +    =1
    b2  a      9    12

    Exemplo
    Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação
                                                                  ( x − 4) 2 + ( y + 3) 2          =1.
                                                                     25                  16
    Solução

                                   ( x − 4)              ( y + 3)                    ( x − 4)            ( y + 3)
                                               2                            2                      2                2

                                                       +                        = 1⇒                   +                =1
                                         25                        16                       52              42
                                                                  ( x − h)           (   y −k)
                                                                           2                   2

                                                                         2
                                                                                 +                 =1
                                                                     a                    b2


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                                                           h=4
                                                     
                                                          k = −3
                                                      2
                                                      a = 25 ⇒ a = 5
                                                      2
                                                      b = 16 ⇒ b = 4
                                                         a 2 = b 2 + c2

                                                 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2
                                                             c2 = 9
                                                             c =3
                                                           C (4, -3)
                                                   F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3)
                                                   F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3)
    Exemplo

                                                                                                                  1
    Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C (4, −2) , excentricidade e =     e
                                                                                                                  2
    eixo menor de medida 6 .

    Solução


               y

                              A2
                              •
                                  4          x

                   B1 •       •       • B2
          −2              C


                              •                    ( x − h) 2 ( y − k ) 2
                                                             +            =1
                              A1                       b2         a2

                                                      h=4        k = −2
                                                     a2 = ?       b2 = ?

                                                 2b = 6 ⇒ b = 3 ⇒ b 2 = 9

                                                         c 1            a
                                                    e=      =      ⇒c =
                                                         a 2            2
                                                         a =b +c
                                                           2     2   2

                                                              a
                                                 a 2 = 32 + ( ) 2 ⇒ a 2 = 12
                                                              2


                                                   ( x − 4) 2 ( y + 2) 2
                                                             +           =1
                                                       9          12



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    Hipérbole

      Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a
    distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da
    diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

     Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:




   A figura obtida é uma hipérbole.

   Observação:Os dois ramos da hipérbole são
   determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria
   de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:




    Elementos

     Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:




      •    focos: os pontos F1 e F2

      •    vértices: os pontos A1 e A2


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      •     centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

      •     semi-eixo real: a

      •     semi-eixo imaginário: b

      •     semidistância focal: c


      •     distância focal:


      •     eixo real:


      •     eixo imaginário:

    Excentricidade

          Chamamos de excentricidade o número real e tal que:




      Como c > a, temos e > 1.

    Equações

     Vamos considerar os seguintes casos:

    a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox




                                                                            F1 (-c, 0)

                                                                            F2 ( c, 0)




      Aplicando a definição de hipérbole:




    Obtemos a equação da hipérbole:




    b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

      Nessas condições, a equação da hipérbole é:

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    Hipérbole eqüilátera

      Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:




                                                                                    a=b




    Assíntotas da hipérbole

      Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.



      Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é         ; quando é vertical, o


    coeficiente é           .




    Equação

      Vamos considerar os seguintes casos:

    a) eixo real horizontal e C(0, 0)



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         As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular        ; logo, suas equações são da forma:




    b) eixo vertical e C(0, 0)



         As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular        ; logo, suas equações são da forma:




    Observações:


    1)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x




                                            (x - h) 2   (y - k)2
                                                      +          =1
                                               a2          b2




    2)      Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y




                                   (x - h) 2 (y - k)2
                                            +         =1
                                      b2        a2




    Exemplos


    1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.



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    Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida.

    Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

    x2/16 – y2/25 = 1

    Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

    Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

    Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60

    Resp: 1,60.


    2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .


    Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem:


    x2/9 – y2/25 = 1

    Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

    Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

    Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.


    3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.


    Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x

    NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem

    (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.

    Dada a hipérbole de equação:

    x2/a2 – y2/b2 =1


    Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:

    R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x

    Veja a figura abaixo:




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    Parábola

       Dados uma reta d e um ponto F           , de um plano   , chamamos de parábola o conjunto de pontos do
    plano eqüidistantes de F e d.

      Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano     e d uma reta desse mesmo plano, de modo
    que nenhum ponto pertença a d, temos:




    Observações:

    1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:




    2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

    3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

    4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é
    parabólica.

    Elementos

     Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:



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                                                                         •    vértice: o ponto V

                                                                         •    parâmetro: p

                                                                       Então, temos que:

                                                                         •     o vértice V e o foco F ficam numa mesma
                                                                         reta, o eixo de simetria e.

                                                                       Assim, sempre temos         .

                                                                         •    DF =p


            •      foco: o ponto F
                                                                         •    V é o ponto médio de



Equações

 Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal




  Como a reta d tem equação              e na parábola temos:



  •                ;

  •     P(x, y);

  •     dPF = dPd ( definição);

      obtemos, então, a equação da parábola:


                                                            y2 = 2px


b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

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c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

                                                                                         x2=2py




d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

                                                                                          x2= - 2py




Observações:


1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal




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Equação: (y – k)2 = 4p(x – h)                  Diretriz: x = h – p                         Coordenadas do foco: F(h + p, k)


2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical




Equação: (x – h)2 = 4p(y – k)                  Diretriz: y = k – p                         Coordenadas do foco: F(h, k + p)


Exemplos:


1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?


Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.


2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?


Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.


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3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?


Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.


4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?


Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.




     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                 31
Álgebra Linear e Geometria Analítica                                               Engenharia – FAG




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                        DISCIPLINA: Geometria Analítica              PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak


           01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo.




           02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8

                                    Resp 2c=6

       03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do
eixo menor é 2
       x 2 y2
Resp      +   =1
       4 25

           04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400

       3
Resp
       5
           SUGESTÂO:
           Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400

       05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e
que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol
                                       Resp:150929660 km
                                               156056330km

           06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.


                                             5      5         5      5
                                    Resp :  − ,0  ;  ,0  ;  0,  ;  0, − 
                                            3  3   2                   2

           07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1)
                                              x 2 y2
                                    Resp         +   =1
                                              4    1

                                                                                                                     (
        08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A 2 2,1 e de
                1
                                                                                                                         )
excentricidade
                    2

                                                      x 2 y2
                                             Resp        +   =1
                                                      10 5


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          09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo
ponto A   (      )
            15, −1 e seu semi-eixo menor é 2.

                                                 x 2 y2
                                      Resp.         +   =1
                                                 20 4

                                                                                                                          6    
          10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F  2 ,0 
                                                                                                                               
                                                                                                                               
. Calcular a excentricidade da elipse

                                                                        2
                                                               Resp
                                                                        2

       11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S
(da Geometria S= πab )

                                                      x2 y2
                                      Resp              +   = 1 e S=18 3 π u. a
                                                      36 27


       12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10
m do centro da base




          13. Determinar o comprimento da corda que a reta x = 4y − 4 determina sobre a elipse x 2 + 4y2 = 16
                                              8 17
                                      Resp.
                                                5




                                                                     x 2 y2
          14.        Determinar os pontos de intersecção da elipse      +   = 1 com a reta y = 2x + 3
                                                                     4    9
                                 -48 −21 
              Resp P(0,3) e P'      ,    
                                 25 25 

         15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos
A (2, 2) e B ( 2 3 ,0)


     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                     33
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                                                      CURSO DE ENGENHARIA

           DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak
                                                    Trabalho Geometria Analítica

     1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a)   m é um número              primo            c)   m   é   um    quadrado     perfeito      d)          m        =         0
b)    m é  primo e               par                                                           e) m < 4

     2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a)     r      é      um     número     natural                           d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
b)          r          =         -          3                            e) não existe r nestas condições .
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0

     3.   Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a)                                   200         c)                                  144       d)                            36
b)                                   196                                                       e) 0

     4.   O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A
          se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a)                                  (3,0)        c)                                 (0,4)      d)                         (0,5)
b)                 (0,                -1)                                                      e) (0, 3)

     5.   Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é
          igual a:

a)                                      25       c)                                   34       d)                            44
b)                                      32                                                     e) 16

     6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
     7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto
        G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
        Resposta: 850
     8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a)                                      4        c)                                  3,5       d)                           4,5
b)                                      3                                                      e) 2

     9.   Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?


     10.          Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:
         a) elas são paralelas
         b) elas são concorrentes
         c) as três equações representam uma mesma reta .
     11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas
         equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y -
         18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.
     12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                    35
Álgebra Linear e Geometria Analítica                                       Engenharia – FAG


     13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no
         vértice Q é:

a)                             12,32         c)                              15,08        d)                               7,43
b)                             10,16                                                      e) 4,65

     14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).
     15.        Analise as afirmativas abaixo:
        (01) toda reta tem coeficiente angular .
        (02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .
        (04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo
        (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .
        (16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .
        (32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .
    16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ?
    17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?
18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?
19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).
Respostas:
1 2 3 4 5 6                7      8 9         10 11       12 13 14          15
c c b d c            65    850 d plela c           (4,2) 3   d    Y=x+3 42




     Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak                                                                 36

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Geometria analítica - Engenharia FAG

  • 1. FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG Geometria Analítica Engenharia Profª. Alessandra S. F. Misiak Cascavel – 2009
  • 2. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 1. O PLANO CARTESIANO Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos Bissetriz dos quadrantes quadrantes pares ímpares 2º 1º QUADRANTE QUADRANTE ( -, + ) ( +, + ) x ( eixo das ABSCISSAS ) 4º QUADRANTE 3º QUADRANTE ( +, - ) ( -, - ) A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto. Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. Observações: I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas. P Є 0x ↔ P = ( x, 0 ) II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas. P Є 0y ↔ P = ( 0, y ) III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice- versa. A Є bi ↔ A = ( a, a) IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice- versa. B Є bp ↔ B = ( b, -b ) EXERCÍCIOS 1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3) −3 E( , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2). 2 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 2
  • 3. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. 3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se: a) Qual a ordenada do ponto P? b) Em que quadrante encontra-se o ponto P? c) Qual a distância do ponto P à origem? 02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS B yb dAB yb - ya ya A xb – xa xa xb Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos: d AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 EXERCÍCIOS 4. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13 b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6 c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29 d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5 e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72 f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5 5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2 6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é a) 10 53 b) 15 2 16 R: c 7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é: a) 5 20 b) 10 25 c) 15 R: a 8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 3
  • 4. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG a) -1 -1 ou 10 b) 0 2 ou 12 c) 1 ou 13 R: c 9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)? a) (0,5) (6,2) b) (5,0) (-1,0) c) (2,3) R:a 10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é: a) 5π 17π b) 10π 29π c) 20π R: b 03. PONTO MÉDIO Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos: B yB yM M  x + xB y A + y B  A A M A ,  yA 2 2   xA xM XB M é o ponto que divide o segmento AB ao meio. EXERCÍCIOS 11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades: a) A (-1, 6) e B (-5, 4) c) A (-1, 5) e B (5, -2) b) A (1, -7) e B (3, -5) d) A (-4, -2) e B (-2, -4) 12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4). 13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é: a) (4, 8) d) (1, 2) b) (2, 4) e) (3, 4) c) (8, 16) 14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale: a) (1, 6) d) (-2, 2) b) (2, 12) e) (0, 1) c) (-5, 4) Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 4
  • 5. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se: C(xC, yC) xA yA 1 B(xB, yB) xB yB 1 = 0 xC yC 1 A(xA, yA) EXERCÍCIOS 15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados. 16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo. 17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é: a) 0 d) 12 b) 10 e) -4 c) 3 18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = 11 d) k = 14 b) k = 12 e) k = 15 c) k = 13 05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ). Por definição, temos que: a = tg α São quatro as possibilidades para o coeficiente angular: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 5
  • 6. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos: ∆y yB − y A − med . y a= ou a= ou a= ∆x xB − x A med .x 06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA Toda reta no plano possui uma equação de forma: ax + by + c = 0 na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da reta. Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas: ♦ Conhecido dois pontos P ( x1 , y1 ) e P2 ( x2 , y2 ) 1 x y 1 x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 ♦ Conhecido um ponto P ( x1 , y1 ) e a declividade a da reta: 1 y − y1 = a ( x − x1 ) y2 − y1 onde a= ou a = tgα x2 − x1 19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a. a) P(2, 3); a = 2 b) P(-2, 1); a = -2 1 c) P(4, 0); a = − 2 20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α . Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 6
  • 7. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG a) P(2, 8) e α = 45º b) P(-4, 6) e α = 30º c) P(3, -1) e α = 120º 21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir: a) A(1, 1) e B(-2, -2) b) A(3, 1) e B(-5, 4) c)A(2, 3) e B(8, 5) 22. Determine a equação geral da reta: a) x – 2y - 4 = 0 b) 2x + y – 2 = 0 c) 4x – 2y – 4 = 0 d) x–y+2=0 e) x–y+4=0 23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4) a) 4x + 3y + 1= 0 d) x + y – 4 = 0 b) 3x + 4y + 1= 0 e) x – y – 1 = 0 c) x+y+3=0 07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear. Exemplos:  2 a =2 a = − 3 y = 2 x − 3 2 x + y − 1 = 0 b = −3 1  b=  3  5 a = 5 a = − y = 5 x +1 5 x + 4 y = 0 4 b = 1  b=0  24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente: a) 2/3 e 4 d) 2/3 e -4 b) 3/2 e 12 e) -3/2 e 4 c) -2/3 e -12 25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é: a) 10 d) 4 10 b) 2 e) 10 c) 3 10 26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente: a) ½ e -2 b) 2 e -1/2 c) -1/2 e -2 4 d) -2 e -1/2 e) ½ e -1/2 -2 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 7
  • 8. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 27. Determine a equação reduzida da reta: a) y=x+3 b) y = -x + 3 c) y = 2x+6 3 d) y=x–3 e) y = - 3x + 2 3 08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS RETAS PARALELAS Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos as seguintes possibilidades: a1 = a2  ⇔ PARALELAS DISTINTAS b1 ≠ b2  a1 = a2  ⇔ PARALELAS COINCIDENTES EXERCÍCIOS b1 = b2  28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x + 2y -1 = 0 29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação x y + =1 2 3 30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x + y–5=0 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 8
  • 9. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x – 2y +1 = 0 32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. a) 1 d) - 6 b) 2 e) 5 c) -3 33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0. a) 2x – y + 9 = 0 d) x – 2y + 9 = 0 b) 2x – 3y – 15 = 0 e) 3x – 2y + 15 = 0 c) 3x + 2y – 15 = 0 34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0. a) y = 2x – 3 d) y = x + 5 b) y = 4x – 10 e) y = - 4x +5 c) y = - x + 15 RETAS PERPENDICULARES Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos a seguinte possibilidade: 1 a1 = − ⇔ PERPENDICULARES a2 EXERCÍCIOS 35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são: a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0 b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0 7 2 3 c) y= x− e y = − x+7 3 3 2 36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. a) 1 d) 15 b) 6 e) 5 c) -10 37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0. a) y = -2x – 1 d) y = -x + 5 b) y = x + 4 e) y = - x – 12 c) y = 3x + 2 38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4). a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 9
  • 10. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG c) y = x + 1 e) y = x – 4 d) y = 13x + 2 09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações. Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma: ♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes ♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes ♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas. EXERCÍCIOS 39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2. a) (-8, -22) d) (5, 6) b) (1, 2) e) (-4, 12) c) (4, -10) 40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3. a) (-3, 3) d) (1, 2) b) (2, -2) e) (3, 4) c) (5, 22) 41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente. a) 1 e (2, 0) d) 1 e (0, 2) b) 2 e (1, 0) e) 2 e (1, 2) c) 5 e (2, 0) 10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão: P(xP, yP) Ax 0 + By 0 + C d d Pr = A2 + B 2 EXERCÍCIOS 42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r: a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0 b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0 c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0 d) P(6, 4) e y - 2 =0 43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a coordenada p. 44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a distância entre as duas retas. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 10
  • 11. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0. 11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por: B(xB, yB) C(xC, yC) xA yA 1 1 A= xB yB 1 A(xA, yA) 2 xC yC 1 EXERCÍCIOS 46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5). a) 16 d) 12 b) 4 e) 8 c) 10 47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10). a) 27 19 b) 54 43 c) 32 48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7). a) 17 d) 6 b) 34 e) 8 c) 10 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 11
  • 12. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Cônicas 12. CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos: P(x, y) yC R ( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = R 2 xC EXERCÍCIOS 49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.  (3,5) C C (0, −2) a)  c)  R =2  R=4  C (0,0) C (4, 0) b)  d)  R = 7  R=5 EQUAÇÃO GERAL Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C (2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: • os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; • não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 12
  • 13. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio Condições para ser circunferência: 1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2) Coordenadas do centro:  − coef .x − coef . y  2. C = 0 ( não pode aparecer xy ) C = ;   2 2  3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real ) Raio: R= ( xc ) 2 + ( yc ) 2 − F EXERCÍCIOS 50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4. a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0 b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0 51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência: a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0 b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0 c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0 d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0 e) 4x2 - 4y2 =0 f) x2 -10x + 25 + y2 =0 52. Determine o centro e o raio da circunferência x 2 + y 2 −10 x + 4 y − 20 = 0 , respectivamente: a) (-2,5) e 7 d) (3,4) e 1 b) (5,2) e 5 e) (5,-2) e 7 c) (2,2) e 2 53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0 a) 2u.a. d) 16u.a. b) 4u.a. e) 64u.a. c) 8u.a. 54. Determine o valor de k para que a equação x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + k = 0 represente uma circunferência: a) k > 5 b) k < 5 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 13
  • 14. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG c) k > 10 e) k = 20 d) k < 15 41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0 a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0 b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0 13. POSIÇÕES RELATIVAS PONTO E CIRCUNFERÊNCIA Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência. 2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência. 3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência. Interno Pertence Externo P P P dPC < R dPC = R dPC > R EXERCÍCIOS: 55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 9 56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ. a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52 b) P( 2, 2) e λ: x + y2 - 10x + 8y - 1 = 0 2 c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0 RET E CIRCUNFERÊNCIA RETA Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável). Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter: 1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção). 2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção). 3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção). Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 14
  • 15. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Tangent Secante Externa e ∆ > ∆ = ∆ < 0 0 0 EXERCÍCIOS 57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo x 2 + y 2 − 4 x −1 = 0 : 58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns (Tangente ou Secante), determine esses pontos: a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0 b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0 DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2. Há três possibilidades: 1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção). 2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção). 3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção). Tangentes Secante Externas dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2, EXERCÍCIOS 59. Qual a posição relativa entre as circunferências (λ ) x 2 + y 2 − 6 x −10 y + 9 = 0 e (δ ) x 2 + y 2 + 2x − 4 y + 4 = 0 . a) tangente b) secante c) externas d) coincidentes e) n.d.a. 60. Dadas as circunferências λ 1 e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se Houver) a) (λ 1) : x + y − 4 x − 8 y − 5 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 6 y + 1 = 0 2 2 2 2 e b) (λ 1) : x + y − 8 x − 4 y + 10 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 10 y + 22 = 0 2 2 2 2 e c) (λ 1) : ( x − 2) + ( y − 1) = 4 (λ 2): ( x − 2) + ( y + 2) = 1 2 2 2 2 e Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 15
  • 16. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG d) (λ 1) : x + y = 16 (λ 2): x + y + 4 y = 0 2 2 2 2 e Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 16
  • 17. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Elipse Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos: A figura obtida é uma elipse. Observações: 1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento. 2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: • focos : os pontos F1 e F2 • centro: o ponto O, que é o ponto médio de • semi-eixo maior: a Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 17
  • 18. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • semi-eixo menor: b • semidistância focal: c • vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 • eixo maior: • eixo menor: • distância focal: Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2 Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 18
  • 19. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é: Equação da Elipse Fora da origem 1º caso: A1 A2 // eixo x y y' B2 • y y' •P y' k ( x' )2 ( y ' )2 y A1 • • C • • x' • A2 x' + 2 =1 F1 F2 a2 b k • (x - h)2 (y - k)2 B1 2 + =1 a b2 h x x h x' Equação da Elipse Fora da origem x 2º caso: A1 A2 // eixo y (x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 19
  • 20. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Exemplo Determine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da elipse de equação 4 x + 25 y = 100 2 2 Solução 4 x 2 25 y 2 100 x2 y2 x2 y2 4 x 2 + 25 y 2 = 100 ⇒ + = ⇒ + = 1⇒ 2 + 2 = 1 100 100 100 25 4 5 2 B1 • A1 • • • • A2 F1 F2 • B2 a=5 b=2 a = b + c ⇒ c 2 = a 2 − b2 2 2 2 c 2 = 25 − 4 = 21⇒ c = 21 21 A1 (−5, 0), A2 (5, 0) , B1 (0, −2) , B2 (0, 2), F1 (− 21, 0), F2 ( 21, 0) e = 5 Exemplo 1 Conhecendo os focos F1 (0, − 3) e F2 (0, 3) e a excentricidade e = , determine a equação da elipse. 2 Solução c 1 e= e= → ⇒ a = 2c a 2 c = 3   ⇒a = 2 3  a = 2c  a 2 = b 2 + c 2 ⇒ (2 3) 2 = b 2 + ( 3) 2 ⇒ 12 = b 2 + 3 ⇒ b 2 = 9 x2 y2 x2 y2 + 2 =1⇒ + =1 b2 a 9 12 Exemplo Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação ( x − 4) 2 + ( y + 3) 2 =1. 25 16 Solução ( x − 4) ( y + 3) ( x − 4) ( y + 3) 2 2 2 2 + = 1⇒ + =1 25 16 52 42 ( x − h) ( y −k) 2 2 2 + =1 a b2 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 20
  • 21. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG  h=4   k = −3  2  a = 25 ⇒ a = 5  2  b = 16 ⇒ b = 4 a 2 = b 2 + c2 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 c2 = 9 c =3 C (4, -3) F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3) F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3) Exemplo 1 Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C (4, −2) , excentricidade e = e 2 eixo menor de medida 6 . Solução y A2 • 4 x B1 • • • B2 −2 C • ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 A1 b2 a2 h=4 k = −2 a2 = ? b2 = ? 2b = 6 ⇒ b = 3 ⇒ b 2 = 9 c 1 a e= = ⇒c = a 2 2 a =b +c 2 2 2 a a 2 = 32 + ( ) 2 ⇒ a 2 = 12 2 ( x − 4) 2 ( y + 2) 2 + =1 9 12 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 21
  • 22. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice: Elementos Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: • focos: os pontos F1 e F2 • vértices: os pontos A1 e A2 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 22
  • 23. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de • semi-eixo real: a • semi-eixo imaginário: b • semidistância focal: c • distância focal: • eixo real: • eixo imaginário: Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox F1 (-c, 0) F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole: b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy Nessas condições, a equação da hipérbole é: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 23
  • 24. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Hipérbole eqüilátera Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: a=b Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é . Equação Vamos considerar os seguintes casos: a) eixo real horizontal e C(0, 0) Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 24
  • 25. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: Observações: 1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x (x - h) 2 (y - k)2 + =1 a2 b2 2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y (x - h) 2 (y - k)2 + =1 b2 a2 Exemplos 1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 25
  • 26. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então: x2/16 – y2/25 = 1 Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5. Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41 Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60 Resp: 1,60. 2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 . Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem: x2/9 – y2/25 = 1 Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5. Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34. Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34. 3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1. Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito. Dada a hipérbole de equação: x2/a2 – y2/b2 =1 Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações: R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x Veja a figura abaixo: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 26
  • 27. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Parábola Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: Observações: 1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica. Elementos Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 27
  • 28. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • diretriz: a reta d • vértice: o ponto V • parâmetro: p Então, temos que: • o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos . • DF =p • foco: o ponto F • V é o ponto médio de Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal Como a reta d tem equação e na parábola temos: • ; • P(x, y); • dPF = dPd ( definição); obtemos, então, a equação da parábola: y2 = 2px b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal Nessas condições, a equação da parábola é: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 28
  • 29. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG y2 = -2px c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical x2=2py d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical x2= - 2py Observações: 1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 29
  • 30. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco: F(h + p, k) 2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical Equação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p) Exemplos: 1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem? Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4 Daí, por substituição direta, vem: y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0. 2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)? Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4. Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 30
  • 31. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)? Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8. Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada. 4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)? Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo, (x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 31
  • 32. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak 01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo. 02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8 Resp 2c=6 03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do eixo menor é 2 x 2 y2 Resp + =1 4 25 04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400 3 Resp 5 SUGESTÂO: Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400 05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol Resp:150929660 km 156056330km 06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.  5  5   5  5 Resp :  − ,0  ;  ,0  ;  0,  ;  0, −   3  3   2  2 07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1) x 2 y2 Resp + =1 4 1 ( 08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A 2 2,1 e de 1 ) excentricidade 2 x 2 y2 Resp + =1 10 5 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 32
  • 33. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo ponto A ( ) 15, −1 e seu semi-eixo menor é 2. x 2 y2 Resp. + =1 20 4  6  10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F  2 ,0      . Calcular a excentricidade da elipse 2 Resp 2 11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S (da Geometria S= πab ) x2 y2 Resp + = 1 e S=18 3 π u. a 36 27 12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10 m do centro da base 13. Determinar o comprimento da corda que a reta x = 4y − 4 determina sobre a elipse x 2 + 4y2 = 16 8 17 Resp. 5 x 2 y2 14. Determinar os pontos de intersecção da elipse + = 1 com a reta y = 2x + 3 4 9  -48 −21  Resp P(0,3) e P'  ,   25 25  15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A (2, 2) e B ( 2 3 ,0) Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 33
  • 34. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 34
  • 35. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak Trabalho Geometria Analítica 1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então : a) m é um número primo c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 b) m é primo e par e) m < 4 2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que : a) r é um número natural d) r é um número inteiro menor do que - 3 . b) r = - 3 e) não existe r nestas condições . c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0 3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é : a) 200 c) 144 d) 36 b) 196 e) 0 4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é : a) (3,0) c) (0,4) d) (0,5) b) (0, -1) e) (0, 3) 5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a: a) 25 c) 34 d) 44 b) 32 e) 16 6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ? 7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2. Resposta: 850 8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é : a) 4 c) 3,5 d) 4,5 b) 3 e) 2 9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ? 10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar: a) elas são paralelas b) elas são concorrentes c) as três equações representam uma mesma reta . 11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0. 12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 35
  • 36. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é: a) 12,32 c) 15,08 d) 7,43 b) 10,16 e) 4,65 14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4). 15. Analise as afirmativas abaixo: (01) toda reta tem coeficiente angular . (02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo . (04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo . (16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas . (32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular . 16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ? 17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares? 18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)? 19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2). Respostas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c c b d c 65 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 36