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Aula de Matemática Financeira para BACEN
Profº Paulo Quilelli
1ª questão ) PORCENTAGEM
( Banco Central ) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de
40%. O ganho real nesse mês foi de:
a ) 20% b) 22% c ) 24% d ) 26% e ) 28%
Solução: fator de ganho real = ( fator de ganho aparente ) ( fator de inflação )
taxa de ganho aparente = 68% fator de ganho aparente = 1,68
taxa de inflação = 40% fator de inflação = 1,40
fator de ganho real =
40,1
68,1
f = 1 + i i = f 1 i =1,20 1
i = 0,20 ( taxa unitária ) = 0,20 x 100 = 20% ( taxa percentual )
Resposta: letra: ( a )
2ª questão ) JUROS SIMPLES
( Banco do Brasil ) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1 000,00 ou em duas
parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses
após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?
a ) 6% b ) 5% c ) 4% d ) 3% e ) 2%
Solução:
Não se paga juros sobre dinheiro à vista.
A entrada de 200 é abatida do valor à vista 1000.
1 000 200 = 800 ( valor devido sobre o qual incidirá o juro )
Deve 800 e dois meses após paga 880.
O juro cobrado foi de 880 800 = 80 ( J ) sobre 800 ( C )
O tempo é de 2 meses ( t )
J =
100
.. tiC
80 =
100
2..800 i
i = 5% ao mês
Resposta: letra ( b )
3ª questão ) TAXA MÉDIA
( AFRF ) Os capitais de R$ 3 000,00, R$ 5 000,00 e R$ 8 000,00 foram aplicados todos
no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês,
respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.
a ) 4,38% ao mês b ) 3,206% ao mês c ) 4,4167% ao mês
d ) 4% ao mês e ) 4,859% ao mês
Solução:
Taxa Média : im =
321
332211 ...
CCC
iCiCiC
( tempo constante para todas as aplicações )
im =
800050003000
25,380004500063000 xxx
=
16000
260002000018000
=
16000
64000
= 4% ao mês
Resposta: letra ( d )
4ª questão ) DESCONTO SIMPLES
( Banco Central ) Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de
18% ao mês, 15 dias antes do vencimento ( desconto comercial simples ). O banco
cobrou uma comissão de 3% sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido
recebido?
a ) $ 565 000,00 b ) $ 549 000,00 c ) $ 537 000,00
d ) $ 528 000,00 e ) $ 465 000,00
Solução:
600 000
0 15 dias
A
i = 18% a.m. =
30
18
% a.d. =
5
3
% a.d.
t =15 dias
D = desconto comercial simples ( taxa sobre valor nominal )
D =
100
.. tiN
=
100
15
5
3
600000 xx
= 54 000
Comissão = 3% x 600 000 =
100
3
x 600 000 = 18 000
Valor líquido = 600 000 54 000 18 000 = 528 000
Resposta; letra ( d )
5ª questão ) JUROS COMPOSTOS
( Banco do Brasil ) Um investidor dispunha de R$ 300 000,00 para aplicar. Dividiu esta
aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa, à taxa de 8% ao mês, e
a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo
de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem
iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco foram,
respectivamente:
a ) 148 598,13 e 151 401,87 b ) 149 598,13 e 150 401,87
c ) 150 598,13 e 149 401,87 d ) 151 598,13 e 148 401,87
e ) 152 598,13 e 147 401,87
Solução:
Montante = valor resgatado = C( 1 + i )n
Banco Alfa Banco Beta
Capital = x Capital =300 000 - x
Taxa = 8% a.m. = 0,08 a.m. Taxa = 6% a.m. = 0,06 a.m.
Tempo = 1 mês Tempo = 1 mês
n = 1 n = 1
M = x( 1 + 0,08 )1
= 1,08x M = ( 300 000 x )( 1 + 0,06 )1
M = 318 000 1,06x
Os montantes são iguais: 1,08x = 318 000 1,06x 2,14x = 318 000
x = 148 598,13 ( capital aplicado em Alfa )
300 000 148 598,13 = 151 401,87 ( capital aplicado em Beta )
Resposta: letra ( a )
6ª questão ) DESCONTO COMPOSTO
( AFRF ) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu
vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a
uma taxa de 3% ao mês.
a ) R$ 140,00 b ) R$ 104,89 c ) R$ 168,00 d ) R$ 93,67 e ) R$ 105,43
Solução:
A = 840 ( valor atual )
t = 4 meses ( prazo de antecipação )
i = 3% a.m. = 0,03 ( taxa unitária )
Capitalizando 840 quatro períodos encontramos o valor nominal do título ( N é o
montante de A no desconto racional ).
N = A( 1 + i )n
N = 840( 1 + 0,03 )4
N = 840 x 1,125508 N = 945,43
d = N A d = 945,43 840 d = 105,43
Resposta; letra ( e )
7ª questão ) TAXAS EQUIVALENTES
( TCU ) Um financiamento externo é contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com
capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento.
a ) 12,36% b ) 11,66% c ) 10,80% d ) 12,44% e ) 12,55%
Solução:
Taxa nominal = 12% a.a.
Taxa nominal de 12% ao ano, com capitalização semestral, é igual a 12 2 = 6 % ao
semestre ( taxa proporcional ).
I = ( 1 + i )n
1 ( taxa efetiva anual )
I = taxa referente ao maior período
i = taxa referente ao menor período
n = 2 ( número de vezes que i capitaliza em I )
I = ( 1 +0,06 )2
1 I = 1,1236 1 I = 0,1236 ( taxa unitária )
I = 0,1236 x 100 = 12,36% ( taxa percentual )
Resposta: letra ( a )
8ª questão ) RENDAS CERTAS
Uma mercadoria de valor à vista de R$ 7 019,69 pode ser comprada em 8 prestações
iguais ( a 1ª em 30 dias ) a uma taxa de 3% ao mês. Qual o valor da prestação, sabendo
que o fator de valor atual é 7,019692?
a ) R$ 100,00 b ) R$ 1 000,00 c ) R$ 3 000,00 d ) R$ 333,33 e ) R$ 300,00
Solução:
7 019,69
0 1 8
P P
i = 3%
A renda, onde a 1ª prestação é um período após a efetivação do negócio, é postecipada.
A fórmula do valor atual para renda postecipada é: A = P.a( n , i )
A = valor atual
P = valor da prestação
a( n , i ) = fator de valor atual, onde n é o número de prestações e i, a taxa
a( n , i ) = a( 8 , 3 ) = 7,019692
7 019,69 = P x 7,019692 P = 7 019,69 7,019692 P = 1 000
Resposta: letra ( b )
9ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
( Banco do Brasil ) Um automóvel, cujo preço à vista é de R$ 20 000,00, é financiado em
24 meses com juros de 1% ao mês pela Tabela Price. Pelo fato de estar usando a
Tabela Price, posso afirmar que as prestações serão todas:
a ) iguais e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização
do principal.
b ) iguais e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização
do principal.
c ) iguais e, no início, a parcela de juros será igual à parcela de amortização do
principal.
d ) diferentes e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de
amortização do principal.
e ) diferentes e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de
amortização do principal.
Solução:
A Tabela Price se caracteriza por prestações constantes e cada prestação é composta
por uma amortização e um juro que é calculado sobre o saldo devedor anterior.
O cálculo do juro na 1ª prestação é sobre o valor total do débito.
A cada prestação o saldo devedor diminui e, com isso, os juros. Já a amortização, a
menor é na 1ª prestação, onde os juros são maiores e vai aumentando porque o juro vai
diminuindo, já que as prestações são constantes.
Resposta: letra ( b )
10ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Um empréstimo de R$ 2 000,00 será saldado em 20 amortizações mensais iguais (SAC),
tendo sido contratada à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual o saldo devedor
após o pagamento da nona parcela, sabendo-se que não houve prazo de carência?
a ) R$ 900,00 b ) R$ 1 100,00 c ) R$ 1 250,00
d ) R$ 1 120,00 e ) R$ 2 100,00
Solução:
No SAC a amortização é constante e é obtida dividindo-se o débito pelo número de
prestações: amortização =
20
2000
= 100
O saldo devedor, num determinado momento, é obtido subtraindo-se do empréstimo
todas as amortizações pagas até aquela prestação.
O saldo devedor na nona parcela será: 2 000 9 x 100 = 2 000 900 = 2 100
Resposta: letra ( e )
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Matematica financeira

  • 1. www.editoraferreira.com.br Aula de Matemática Financeira para BACEN Profº Paulo Quilelli 1ª questão ) PORCENTAGEM ( Banco Central ) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de: a ) 20% b) 22% c ) 24% d ) 26% e ) 28% Solução: fator de ganho real = ( fator de ganho aparente ) ( fator de inflação ) taxa de ganho aparente = 68% fator de ganho aparente = 1,68 taxa de inflação = 40% fator de inflação = 1,40 fator de ganho real = 40,1 68,1 f = 1 + i i = f 1 i =1,20 1 i = 0,20 ( taxa unitária ) = 0,20 x 100 = 20% ( taxa percentual ) Resposta: letra: ( a ) 2ª questão ) JUROS SIMPLES ( Banco do Brasil ) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1 000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a ) 6% b ) 5% c ) 4% d ) 3% e ) 2% Solução: Não se paga juros sobre dinheiro à vista. A entrada de 200 é abatida do valor à vista 1000. 1 000 200 = 800 ( valor devido sobre o qual incidirá o juro ) Deve 800 e dois meses após paga 880. O juro cobrado foi de 880 800 = 80 ( J ) sobre 800 ( C ) O tempo é de 2 meses ( t ) J = 100 .. tiC 80 = 100 2..800 i i = 5% ao mês Resposta: letra ( b ) 3ª questão ) TAXA MÉDIA ( AFRF ) Os capitais de R$ 3 000,00, R$ 5 000,00 e R$ 8 000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a ) 4,38% ao mês b ) 3,206% ao mês c ) 4,4167% ao mês d ) 4% ao mês e ) 4,859% ao mês Solução:
  • 2. Taxa Média : im = 321 332211 ... CCC iCiCiC ( tempo constante para todas as aplicações ) im = 800050003000 25,380004500063000 xxx = 16000 260002000018000 = 16000 64000 = 4% ao mês Resposta: letra ( d ) 4ª questão ) DESCONTO SIMPLES ( Banco Central ) Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de 18% ao mês, 15 dias antes do vencimento ( desconto comercial simples ). O banco cobrou uma comissão de 3% sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido recebido? a ) $ 565 000,00 b ) $ 549 000,00 c ) $ 537 000,00 d ) $ 528 000,00 e ) $ 465 000,00 Solução: 600 000 0 15 dias A i = 18% a.m. = 30 18 % a.d. = 5 3 % a.d. t =15 dias D = desconto comercial simples ( taxa sobre valor nominal ) D = 100 .. tiN = 100 15 5 3 600000 xx = 54 000 Comissão = 3% x 600 000 = 100 3 x 600 000 = 18 000 Valor líquido = 600 000 54 000 18 000 = 528 000 Resposta; letra ( d ) 5ª questão ) JUROS COMPOSTOS ( Banco do Brasil ) Um investidor dispunha de R$ 300 000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco foram, respectivamente: a ) 148 598,13 e 151 401,87 b ) 149 598,13 e 150 401,87 c ) 150 598,13 e 149 401,87 d ) 151 598,13 e 148 401,87
  • 3. e ) 152 598,13 e 147 401,87 Solução: Montante = valor resgatado = C( 1 + i )n Banco Alfa Banco Beta Capital = x Capital =300 000 - x Taxa = 8% a.m. = 0,08 a.m. Taxa = 6% a.m. = 0,06 a.m. Tempo = 1 mês Tempo = 1 mês n = 1 n = 1 M = x( 1 + 0,08 )1 = 1,08x M = ( 300 000 x )( 1 + 0,06 )1 M = 318 000 1,06x Os montantes são iguais: 1,08x = 318 000 1,06x 2,14x = 318 000 x = 148 598,13 ( capital aplicado em Alfa ) 300 000 148 598,13 = 151 401,87 ( capital aplicado em Beta ) Resposta: letra ( a ) 6ª questão ) DESCONTO COMPOSTO ( AFRF ) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. a ) R$ 140,00 b ) R$ 104,89 c ) R$ 168,00 d ) R$ 93,67 e ) R$ 105,43 Solução: A = 840 ( valor atual ) t = 4 meses ( prazo de antecipação ) i = 3% a.m. = 0,03 ( taxa unitária ) Capitalizando 840 quatro períodos encontramos o valor nominal do título ( N é o montante de A no desconto racional ). N = A( 1 + i )n N = 840( 1 + 0,03 )4 N = 840 x 1,125508 N = 945,43 d = N A d = 945,43 840 d = 105,43 Resposta; letra ( e ) 7ª questão ) TAXAS EQUIVALENTES ( TCU ) Um financiamento externo é contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento. a ) 12,36% b ) 11,66% c ) 10,80% d ) 12,44% e ) 12,55% Solução:
  • 4. Taxa nominal = 12% a.a. Taxa nominal de 12% ao ano, com capitalização semestral, é igual a 12 2 = 6 % ao semestre ( taxa proporcional ). I = ( 1 + i )n 1 ( taxa efetiva anual ) I = taxa referente ao maior período i = taxa referente ao menor período n = 2 ( número de vezes que i capitaliza em I ) I = ( 1 +0,06 )2 1 I = 1,1236 1 I = 0,1236 ( taxa unitária ) I = 0,1236 x 100 = 12,36% ( taxa percentual ) Resposta: letra ( a ) 8ª questão ) RENDAS CERTAS Uma mercadoria de valor à vista de R$ 7 019,69 pode ser comprada em 8 prestações iguais ( a 1ª em 30 dias ) a uma taxa de 3% ao mês. Qual o valor da prestação, sabendo que o fator de valor atual é 7,019692? a ) R$ 100,00 b ) R$ 1 000,00 c ) R$ 3 000,00 d ) R$ 333,33 e ) R$ 300,00 Solução: 7 019,69 0 1 8 P P i = 3% A renda, onde a 1ª prestação é um período após a efetivação do negócio, é postecipada. A fórmula do valor atual para renda postecipada é: A = P.a( n , i ) A = valor atual P = valor da prestação a( n , i ) = fator de valor atual, onde n é o número de prestações e i, a taxa a( n , i ) = a( 8 , 3 ) = 7,019692 7 019,69 = P x 7,019692 P = 7 019,69 7,019692 P = 1 000 Resposta: letra ( b ) 9ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ( Banco do Brasil ) Um automóvel, cujo preço à vista é de R$ 20 000,00, é financiado em 24 meses com juros de 1% ao mês pela Tabela Price. Pelo fato de estar usando a Tabela Price, posso afirmar que as prestações serão todas:
  • 5. a ) iguais e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização do principal. b ) iguais e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização do principal. c ) iguais e, no início, a parcela de juros será igual à parcela de amortização do principal. d ) diferentes e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização do principal. e ) diferentes e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização do principal. Solução: A Tabela Price se caracteriza por prestações constantes e cada prestação é composta por uma amortização e um juro que é calculado sobre o saldo devedor anterior. O cálculo do juro na 1ª prestação é sobre o valor total do débito. A cada prestação o saldo devedor diminui e, com isso, os juros. Já a amortização, a menor é na 1ª prestação, onde os juros são maiores e vai aumentando porque o juro vai diminuindo, já que as prestações são constantes. Resposta: letra ( b ) 10ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO Um empréstimo de R$ 2 000,00 será saldado em 20 amortizações mensais iguais (SAC), tendo sido contratada à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual o saldo devedor após o pagamento da nona parcela, sabendo-se que não houve prazo de carência? a ) R$ 900,00 b ) R$ 1 100,00 c ) R$ 1 250,00 d ) R$ 1 120,00 e ) R$ 2 100,00 Solução: No SAC a amortização é constante e é obtida dividindo-se o débito pelo número de prestações: amortização = 20 2000 = 100 O saldo devedor, num determinado momento, é obtido subtraindo-se do empréstimo todas as amortizações pagas até aquela prestação. O saldo devedor na nona parcela será: 2 000 9 x 100 = 2 000 900 = 2 100 Resposta: letra ( e ) www.editoraferreira.com.br
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