Matematica financeira regular 5

2.537 visualizações

Publicada em

0 comentários
3 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.537
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
87
Comentários
0
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matematica financeira regular 5

  1. 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 05 – JUROS COMPOSTOS Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Sem mais demora, iniciemos a resolução das questõespendentes do nosso último... ...Dever de Casa30. (TTN-92) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de $3.000,00 com 45 dias de prazo, e outra de $8.400,00 , pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa dívida será:a) $ 11.287,00 d) $ 11.300,00b) $ 8.232,00 e) $ 8.445,00c) $ 9.332,00Sol.: Este enunciado apresenta um verbo muito freqüente em questões de Equivalência deCapitais: substituir! Também poderia ser: modificar, alterar, renegociar, refinanciar! São verbos que denotam uma mesma situação: a troca de uma forma de pagamentopreviamente estabelecida por outra forma alternativa de pagamento! Assim, não resta dúvida: estamos diante da Equivalência de Capitais! Sabendo disso, percorreremos os passos de uma receita que aprendemos na aulapassada, e que serve para resolver todas as questões de Equivalência. Os seguintes: Começaremos desenhando a questão; Definiremos quais são as parcelas da primeira e da segunda obrigação; Colocaremos taxa e tempos na mesma unidade; Reconheceremos qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que será adotado; e Localizaremos a data focal. O resultado desses passos iniciais é o seguinte: X 8400 3000 0 1m 1,5m 2m DF Vejam que passamos a adotar os tempos em meses. Assim, obviamente, adotaremosuma taxa mensal. Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos que 12% ao ano é omesmo que 1% ao mês. (12%a.a. ÷ 12 = 1%a.m.). www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO As parcelas da primeira forma de pagamente (primeira obrigação) estão no desenho emcor vermelha; a segunda obrigação, formada por uma única parcela, está em azul. Percebam ainda que a Data Focal que adotamos foi exatamente aquela indicada peloenunciado! A questão disse apenas: ... e usando a data zero...! Ora, que data é essa? A datafocal. Está implícito! Ok? De resto, é perceber que adotaremos o Desconto Simples Comercial (por Fora) nestaresolução! Alguém me diz por que trabalharemos com o regime simples? Isso mesmo: porque oenunciado não especificou nada sobre o regime, se simples ou se composto! Já a modalidade de desconto comercial foi anunciada expressamente! Ok! Já estamos prontos para prosseguir na resolução, e projetar para a data focal todasas parcelas do desenho! Teremos: 3000 E 100-i.n 100 0 1,5m DF E 3000 Daí: = E=2.955, 100 − 1x1,5 100 Passemos agora a trabalhar com a parcela de R$8.400,00, projetando-a para a datafocal. E de que jeito faremos isso? Por meio de uma operação de desconto simples por fora,pois assim ficou definido pelo enunciado. Teremos: 8400 F 100-i.n 100 0 2m DF F 8400 Daí: = F=8.232, 100 − 1x 2 100 Finalmente, projetando a parcela X para a data focal, novamente por meio de uma operação de desconto simples por fora, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO X 100 G 100-i.n 0 1m DF G X Daí: = G=0,99.X 100 − 1x1 100 Feito isso, não mais havendo nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, resta- nos aplicar a equação de equivalência de capitais. Teremos: ∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,99X = 2.955 + 8.232 X = 11.187 / 0,99 X = 11.300,00 Resposta!31. (AFTN-85) João deve a um banco $190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:a) $ 235.000,00 d) $ 243.000,00b) $ 238.000,00 e) $ 245.000,00c) $ 240.000,00Sol.: Esse enunciado traz uma pegadinha! Será que todos viram? Ela se faz notar na hora dedesenhar a questão! A leitura nos informa que existe uma obrigação monetária, de R$190.000,devida na data 30 dias, e que será trocada por outra forma de pagamento: uma única parcela,na data... Qual data? Na data 90 dias? Não! Na data 120 dias! Por que na data 120 dias, e não na data 90 dias? Porque o enunciado usou a palavraprorrogação! Ora, prorrogar significa protelar, adiar, a partir de então! Se a primeira obrigação estava marcada para a data 30 dias, prorrogar este pagamentopor mais 90 dias significa que iremos pagar por ela na data 120 dias (30 dias + 90 dias = 120dias). Essa seria a única dificuldade da questão. Ok? Façamos seu desenho! www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO X 190.000, 0 1m 4m DF Além do desenho, percebam as demais providências que devem ser tomadas por nós,preliminarmente: Colocar taxa e tempos na mesma unidade: escolhemos a unidade mensal, de sorteque 30 dias transformou-se em 1 mês e 120 dias, em 4 meses; e a taxa que será utilizada seráde 6% ao mês, uma vez que usamos o conceito de taxas proporcionais, e 72% ao anotransformou-se em 6% ao mês: (72% ao ano = 72/12 = 6% ao mês). A data focal adotada foi a data zero, conforme foi expresso pelo próprio enunciado; Trabalharemos esta questão com operações de Desconto Simples Comercial (porfora), informação esta que também foi fornecida expressamente pelo enunciado. Pois bem! Já sabemos tudo o que é preciso para começar a resolução efetiva dessaquestão. Começaremos trabalhando com a parcela de R$190.000,00. Teremos: 190.000, E 100-i.n 100 0 1m DF E 190.000 Daí: = E=178.600, 100 − 6 x1 100 www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Agora, trabalhando com a parcela X, teremos: X F 100 100-i.n 0 4m DF F X Daí: = F=0,76.X 100 − 6 x 4 100 Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos: ∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,76X = 178.600, X = 178.600/0,76 X = 235.000,00 Resposta!32. (AFTN-96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em 3 prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é:a) $ 8.200,00 d) $ 11.200,00b) $ 9.333,33 e) $ 12.933,60c) $ 10.752,31Sol.: Estamos diante talvez da maior questão já elaborada para uma prova dematemática financeira de concurso! No entanto, veremos que ela só tem tamanho, masao final se mostrará tão fácil quanto as outras. O verbo chave aparece logo na primeira frase do enunciado: “uma firma desejaalterar...”! Olha aí! Alterar o quê? As datas e valores de um financiamento contratado. Ora,vemos que essa frase já é suficiente para denunciar o assunto da questão. Se há um www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHOfinanciamento já contratado, e deseja-se alterar o seu formato original, então estamosdiante de uma questão de equivalência de capitais! Foi dito no enunciado que o contrato foi feito a uma taxa de juros simples! Essainformação nos serve? E muito! Com ela, sabemos que estamos trabalhando no regimesimples, e também que as operações de desconto que iremos utilizar nesta resolução serãooperações de desconto por dentro (desconto racional)! Agora resta desenhar a questão, e definir quem serão (e onde vão estar) os valores daprimeira e da segunda obrigação. E este enunciado foi bastante claro neste aspecto, por queabriu um parágrafo somente para dizer: “Condições pactuadas inicialmente...”, e outro só paradizer: “Condições desejadas...”. Ora, não resta dúvida que o que se segue ao “condiçõesdesejadas inicialmente” será justamente a forma original de pagamento, ou seja, os valores daprimeira obrigação. Já o que vem depois de “condições desejadas” não poderia ser outra coisa,senão a segunda forma de pagamento, ou seja, os valores da segunda obrigação. Dito isto, já estamos aptos a desenhar nossa questão. Teremos: X X X 11024, 11024, 0 60d 90d 10m 30m 70m (I) (I) (II) (II) (II) Dentro dos passos preliminares, temos ainda que colocar taxa e tempos na mesmaunidade. A taxa fornecida é mensal (2% ao mês), logo, chamaremos 60 dias de 2 meses e 90dias de 3 meses. Por fim, teremos que descobrir onde estará a data focal. Observemos que nada foi dito acerca da data focal. De modo que, conforme já sabemos,estaremos obrigados por convenção, a adotar a data zero como sendo nossa data dereferência. O desenho final e completo da nossa questão será o seguinte: X X X 11024, 11024, 0 2m 3m 10m 30m 70m DF (I) (I) (II) (II) (II) Concluídos os passos preliminares, passemos à resolução em si. Comecemos pela primeira parcela de $11.024, que está localizada na data 2 meses.Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que: 11024, E 100 100+i.n 0 2m (DF) (I) www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Daí, teremos que: E 11024 = E=10.600,00 100 104 Trabalhando agora com a segunda parcela de $11.024,00, localizada sobre a data 3meses, teremos que: 11024, F 100 100+i.n 0 3m (DF) (I) Daí, teremos que: F 11024 = F=10.400,00 100 106 Trabalharemos agora com o primeiro valor X, que se encontra na data 10 meses.Aplicando o desconto simples por dentro, teremos: X G Por Dentro! 100 100+i.n 0 10m (DF) (II) Assim, teremos que: G X 100X 5X = G= G= 100 120 120 6 Passemos à segunda parcela X, que se localiza na data 30 meses. Aplicando o descontosimples racional, teremos que: X Por Dentro! H 100 100+i.n 0 30m (DF) (II) H X 5X Daí: = H= 100 160 8 www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Finalmente, trabalhemos a última parcela X, que se encontra na data 70 meses.Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que: X Por Dentro! I 100 100+i.n 0 70m (DF) (II) I X 5X Daí: = I= 100 240 12 Aqui, passamos ao epílogo da questão, com o derradeiro passo, que consiste emaplicar a Equação de Equivalência. Teremos: ∑ (I)DF = ∑ (II)DF ⎛ 5X ⎞ ⎛ 5X ⎞ ⎛ 5X ⎞ 10600 + 10400 = ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 12 ⎠ Uma equação e uma variável, que é justamente aquele valor que está sendo solicitadopelo enunciado. Termina sempre assim toda e qualquer questão de equivalência de capitais! Aqui já não há mais a matemática financeira: há somente a álgebra! 20 X + 15 X + 10 X 504000 21000 = Daí: 45 X = 504000 X= 24 45 E chegamos a: X=11.200,00 Resposta!33. (AFRF 2005 ESAF) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a:a) R$ 159.523,00 d) R$ 162.220,00b) R$ 159.562,00 e) R$ 163.230,00c) R$ 162.240,00 www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHOSol.: Questãozinha de equivalência simples, com desconto simples por fora! O enunciadosilenciou acerca da data focal, de sorte que estamos obrigados a adotar a data zero. O desenhoda questão é o seguinte: X 100.000, 50.000, 0 2m 3m 4m DF A taxa já é mensal (4% a.m.) e os tempos estão em meses! Começaremos nossaresolução, trabalhando com a parcela de R$50.000, e aplicando o desconto simples por fora.Teremos: 50.000, E 100 100-i.n 0 2m DF E 50.000 Daí: = E=46.000, 100 − 4 x 2 100 Com a parcela de R$100.000, faremos: 100.000, F 100 100-i.n 0 3m DF F 100.000 Daí: = F=88.000, 100 − 4 x3 100 Resta projetar para a data focal a parcela X. Teremos: X G 100 www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO 100-i.n 0 4m DF G X Daí: = G=0,84.X 100 − 4 x 4 100 Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos: ∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,84.X = 46.000 + 88.000 X = 134.000/0,84 X = 159.523, Resposta! Com isso, encerramos as resoluções pendentes e já podemos tratar acerca do próximoassunto, por sinal importantíssimo: os Juros Compostos! Muita gente pensa que o regime composto é algo difícil, complicado etc. Não é verdade! O regime composto, desculpem o trocadilho, é simples! E para torná-lo mais simples ainda, vou precisar escrever o menos possível. Por meio decinco exemplos, não mais que isso, vocês passarão a conhecer todas as informações queprecisamos para trabalhar os Juros Compostos. Ok? Vamos lá!Exemplo 1) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de10% ao ano, durante um período de 3 anos. Qual o valor do Montante e qual o valordos Juros produzidos nesta operação?Sol.: Primeiro passo: vamos identificar o assunto da questão! Ora, foram apresentadoselementos próprios de uma operação de Juros. (Capital, taxa, tempo de aplicação). Concordam? Na própria pergunta do enunciado, mais dois elementos: Montante e Juros. Enfim, não resta mais dúvida: estamos diante de uma questão de Juros! Aprendemos naprimeira aula deste Curso, que não poderemos começar a resolução de uma questão dematemática financeira sem que tenhamos certeza sobre o regime daquela operação!Lembrados? Pois bem! Este enunciado foi explícito, afirmando que a taxa da operação é de JurosCompostos! Então, não resta mais dúvida alguma: estamos trabalhando no regime composto.Portanto, deparamo-nos com uma questão de Juros Compostos! E se a questão é de Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamentaldos Juros Compostos, que é a seguinte: M = C . (1+i)n Onde: M é o montante: o elemento que encerra a operação de Juros; www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO C é o capital: o elemento que inicia a operação de Juros; i é a taxa de juros compostos; n é o tempo de aplicação do capital, ou seja, é o tempo que vai durar aquela operaçãode juros. Alguém arriscaria dizer qual é a exigência desta fórmula? Isso mesmo: taxa e tempo devem estar na mesma unidade! Anotando os dados desta questão, teremos: C=1000, n=3 anos i=10% ao ano M=? Olhando para os dados da questão, será que já estamos prontos para aplicar a EquaçãoFundamental dos Juros Compostos? Claro que sim, uma vez que já está cumprida a exigênciauniversal. Teremos: M = 1000.(1+0,10)3Obs.: Vocês viram como foi que a taxa foi usada na fórmula acima? Era 10% e foi usada como0,10. Por que isso? Porque no regime composto, adotaremos sempre taxas na notaçãounitária! Assim, se a questão que estivermos resolvendo estiver inserida no Regime Composto(questões de Juros Compostos, Desconto Composto, Equivalência Composta, Rendas Certas ouAmortização), teremos que: Se a taxa é 10%, aparecerá na fórmula como 0,10; Se a taxa é 15%, aparecerá na fórmula como 0,15; Se a taxa é 20%, aparecerá na fórmula como 0,20; Se a taxa é 7%, aparecerá na fórmula como 0,07; Se a taxa é 2%, aparecerá na fórmula como 0,02; E assim por diante! Voltemos à nossa fórmula. Teremos: M = 1000.(1+0,10)3 Pergunta: é possível fazer essa conta do parêntese? Sim, é possível. Mesmo semcalculadora, uma vez que o enunciado (3) é baixo. Todavia, considerando que estamos sempre à procura de economizar tempo deresolução, na hora de calcular esse parêntese, usaremos um auxílio que será fornecido pelaprova! Estou falando da Tabela Financeira. Há uma imensa chance (quase 100%) de haver em sua prova uma tabela mais oumenos assim: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% ... 8% 9% 10% n 1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000 2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000 3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000 4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100 5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510 www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Percebam que o nome de batismo desse tal parêntese é Fator de Acumulação de Capital. Umnome muito formal. Vamos fazer um trato? Vamos dar um apelido para esse parêntese? Pode ser? Pois bem! Doravante, quando eu falar no Parêntese Famoso, você saberá que estarei mereferindo a (1+i)n. Vamos chamá-lo de famoso porque ele voltará a aparecer nas fórmulas dospróximos diversos assuntos do regime composto. Esse parêntese, a bem dizer, é quase a alma doregime composto! Vamos ver isso, oportunamente! Por hora, o que precisamos saber é que existe uma forma bastante prática de obtermos oresultado do parêntese famoso, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira. Se nosso interesse é descobrir o valor de (1+0,10)3, sabemos que: i=10% n=3 Assim, correremos nossa vista na tabela pela linha do n=3, e pela coluna da i=10%. Ondehouver o encontro da linha com a coluna, estaremos diante de um valor (no miolo da tabela), que jáserá o resultado do parêntese famoso! Fazendo esta consulta na Tabela, teremos: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% ... 8% 9% 10% n 1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000 2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000 3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000 4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100 5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510 Daí, teremos: M=1000.(1+10%)3 M=1000x1,331 M=1.331,00 Resposta! Ora, aprendemos no estudo dos Juros Simples que: J = M – C. Essa equação é sempre verdadeira! Assim, já conhecedores do valor do Capital e doMontante, já saberemos imediatamente que: J=1.331 – 1000 J=331,00 Resposta!Exemplo 2) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de5% ao bimestre, durante um período de 8 meses. Qual o valor do Montante e qual ovalor dos Juros produzidos nesta operação?Sol.: Aqui novamente estamos diante de elementos referentes a operações de Juros. Oenunciado usou expressamente a palavra composto, de sorte que o regime da operação foirevelado expressamente! Estamos diante de uma questão de Juros Compostos. E assim sendo,trabalharemos com a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos: M = C . (1+i)n A única exigência da fórmula acima é que taxa e tempo estejam na mesma unidade! Já estão? Não! Aqui, temos taxa bimestral (5% ao bimestre) e tempo em meses (8meses). Assim, lembraremos do seguinte: No Regime Composto, quando taxa e tempo estiverem em unidades diferentes,recorreremos primeiro ao tempo! www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Não vamos mais esquecer dessa regra. Ok? Assim, no intuito de cumprir a exigência universal da matemática financeira, econsiderando que estamos no Regime Composto, vamos logo recorrer ao tempo. Tentaremos, então, transformar 8 meses para alguns bimestres. É possível essatransformação? Claro! É fácil dizer que: 8 meses = 4 bimestres. Todos concordam? Pois bem. Minha pergunta para você agora é a seguinte: funcionouesta nossa tentativa? Funcionou ou falhou? A resposta é: funcionou! E por que diremos que funcionou? Porque encontramos umtempo inteiro: um número natural, um número redondo! E precisamos sempre que o tempo (n) da operação de Juros Compostos seja umnúmero inteiro! Quem me diz a razão disso? Ora, basta olharmos novamente para a equaçãofundamental dos Juros Compostos. Vejamos: M = C . (1+i)n Viram onde está o n? No expoente do parêntese famoso. Ora, sem máquina calculadora,não saberemos calcular algum valor elevado a um expoente quebrado. E nem a TabelaFinanceira nos socorreria neste caso, pois ela só trabalha com n inteiro. Conclusão: ao recorrer ao tempo (n), e alterá-lo no intuito de cumprir a exigênciauniversal, só funcionará esta tentativa se encontrarmos que o n seja um valor redondo! Pois bem! Feito isso, uma vez que taxa e tempo já estão agora na mesma unidade,resta-nos aplicar a fórmula. Nossos dados agora são os seguintes: C=1000 ; i=5%a.b. ; n=4 bimestres ; M=?. Assim, teremos: 4 M = 1000.(1+0,05) Já sabemos que para descobrir o valor do parêntese famoso, basta consultarmos aTabela Financeira. Teremos: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 Assim, teremos que: M = 1000.(1+0,05)4 M = 1000x1,215506 M=1.215,50 Resposta! Para fechar esta resolução, faremos: J=M-C J=1.215,50-1000 J=215,50 Resposta!Exemplo 3) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de9,2727% ao trimestre, durante um período de 4 meses. Qual o valor do Montante equal o valor dos Juros produzidos nesta operação? www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHOSol.: Uma vez identificado o regime composto, tentaremos aplicar a equação fundamental.Teremos: M = C . (1+i)n Já podemos aplicar a fórmula? Ainda não, pois taxa e tempo estão em unidadesdiferentes! Sabemos que, neste caso, nosso primeiro recurso será recorrer ao tempo! Vamos tentartransformar 4 meses em alguns trimestres. Fazendo isso, conseguiremos encontrar um tempo ninteiro? O que me dizem? Não! Não conseguiremos! Quatro meses se transformaria em umnúmero quebrado de trimestres. Conclusão: falhou a nossa primeira tentativa! E o que nos resta agora? Resta-nos recorrer à taxa, e alterá-la para a mesma unidade dotempo. Ou seja, nosso objetivo agora é transformar: 9,2727% ao trimestre = ?? % ao mês Aqui surge um conceito importantíssimo! Para alterarmos a unidade de uma taxa dejuros compostos, usaremos o conceito de Taxas Equivalentes! Esse conceito consiste numa pequena fórmula. A seguinte: 1 + I = (1 + i)k É muito fácil aplicar esse conceito! Antes de lançarmos os dados na fórmula, faremos umbreve estudo. Quais são as duas unidades que figuram nesta transformação que pretendemos fazer?Ora, nosso intuito é transformar uma taxa ao trimestre numa taxa ao mês. Trimestre e mês! Quem é maior? Trimestre ou mês? Trimestre! Assim, diremos que a taxa ao trimestreserá nosso izão! Mês é menor que trimestre. Logo, a taxa ao mês será o nosso izinho! Por fim, perguntaremos: quantos meses cabem em um trimestre? Cabem 3. Logo,aquele K do expoente do conceito de taxas equivalentes será igual a 3. Ou seja, o k das taxas equivalentes responderá sempre a pergunta: quantas vezes aunidade menor cabe na unidade maior? É só isso! Vamos tentar? Voltemos ao nosso objetivo: transformar 9,2727% ao trimestre para ?? % ao mês Pela nossa análise prévia, concluímos que: %a.t. = I %a.m.=i K=3 Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + 0,092727 = (1 + i)3 Trocando de lado, teremos: (1 + i)3 = 1,092727 Chegando a esta situação, percebemos facilmente que estamos diante do parêntesefamoso! Concordam? Assim, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira, descobriremosqual é a taxa izinho que estamos procurando. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Como fazer isso? Iremos correr nossa vista pela linha do n=3 e, nela, procuraremos pelovalor igual (ou mais aproximado possível) de 1,092727. Quando encontrarmos, correremosnossa vista subindo pela coluna correspondente. Pronto: a taxa que estiver lá em cima seráaquela que estamos procurando! Vejamos: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 Todos perceberam que a nossa taxa izinho será igual a 3%? Ótimo! Mas 3% ao quê? Ora, a taxa izinho é uma taxa ao mês! Logo: i=3% ao mês! Feito isso, acabamos de cumprir a exigência universal, e já estamos prontos para aplicara equação universal. Teremos: M = 1000.(1+0,03)4 Fazendo nova consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 Assim: M = 1000x1,125508 M=1.125,08 Resposta! Para fechar esta resolução, faremos: J=M-C J=1.125,08-1000 J=125,08 Resposta! Próximo exemplo.Exemplo 4) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de 60% ao ano, comcapitalização mensal, durante um período de 7 meses. Qual o valor do Montante equal o valor dos Juros produzidos nesta operação? www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHOSol.: Qual foi a novidade deste enunciado? Foi o formato da taxa! Aqui, deparamo-nos comuma taxa em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa édiferente da unidade da capitalização. Todos viram? A taxa é anual (60%a.a.) e a capitalização é mensal. Quando isso ocorrer, estaremos diante de uma chamada Taxa Nominal. A Taxa Nominal, portanto, é aquela em que está presente a palavra capitalização, e emque a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização! Quando surgir uma Taxa Nominal em nosso enunciado, imediatamente saberemos queestamos trabalhando no Regime Composto! Percebam que esta questão não usou, em nenhum momento, nem a palavra simples enem a palavra composto. Ou seja, o regime da operação não foi expressamente revelado.Porém, encontrou-se no enunciado uma Taxa Nominal. Assim, matamos a charada: estamosnuma questão do Regime Composto! Se for uma questão de Juros, serão Juros Compostos; se for uma questão de Desconto,será Desconto Composto; se for uma questão de Equivalência de Capitais, será EquivalênciaComposta! Não esqueça: Taxa Nominal indica, imediatamente, o regime composto! Outra informação crucial: a Taxa Nominal não serve para ser aplicada a nenhumafórmula! Ela precisa, portanto, ser transformada em outro tipo de taxa, chamada, por sua vez,de Taxa Efetiva. A respeito desta transformação, de Taxa Nominal para Taxa Efetiva, vigoramduas regras: 1ª) A Taxa Nominal será transformada em Taxa Efetiva por meio do conceito deTaxas Proporcionais! 2ª) A unidade da Taxa Efetiva será sempre a mesma unidade da capitalização! Assim, trabalhando com a taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal, faremos: 60% a.a., com capit. mensal = (60/12) = 5% ao mês = Taxa Efetiva! Entendido? Perceberam que a Taxa Efetiva foi uma taxa mensal. E por quê? Porque a capitalização émensal. (Vide a segunda observação supra)! E para chegarmos a essa taxa efetiva, aplicamos oconceito de Taxas Proporcionais! Faz-se mister frisarmos o seguinte: esta situação – transformar Taxa Nominal em TaxaEfetiva – é a única no Regime Composto em que ainda usaremos o conceito de TaxasProporcionais. Fora disso, não há! Para tornar mais simples o entendimento, convém lembrarmos que só há dois tipos detaxa no Regime Composto: ou será taxa efetiva ou será taxa nominal. Todos os exemplos anteriores trouxeram taxas efetivas (10% ao ano, 5% ao bimestre,9,2727% ao trimestre)! E se precisarmos alterar a unidade de uma Taxa Efetiva de JurosCompostos, qual é o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes! E se a taxa for Taxa Nominal, como alteraremos sua unidade? Por meio do conceito deTaxas Proporcionais. Será sempre assim! Resumo da ópera: Taxa Taxa Taxa Efetiva em Nominal Efetiva www.pontodosconcursos.com.br outra unidade 16
  17. 17. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO Feito isso, os dados de nossa questão agora são os seguintes: C=1000,00 ; i=5% ao mês ; n=7 meses ; M=? Aplicando a equação fundamental dos Juros Compostos, teremos: M = 1000.(1+0,05)7 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 Assim: M = 1000x1,407100 M=1.407,10 Resposta! Finalmente, teremos: J=M-C J=1.407,10-1000 J=407,10 Resposta!Exemplo 5) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral, durante um período de 5 meses.Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?Sol.: O regime da operação foi expresso no enunciado. Estamos diante de uma questão deJuros Compostos! A primeira verificação que fazemos é que a taxa fornecida pelo enunciado éuma Taxa Nominal. (Isso, por si só, já revela que o regime é o composto!). Diante de uma taxa nominal, já sabemos o que fazer: vamos transformá-la numa taxaefetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais! Teremos: 42% a.q. com capit. bimestral = (42/2) = 21% ao bimestre = Taxa Efetiva! Os dados de nossa questão agora são os seguintes: www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO C=1000 ; i=21% a.b. ; n=5 meses ; M=? Taxa e tempo já estão na mesma unidade? Ainda não! O que faremos? Recorreremos aotempo, tentando transformá-lo para a mesma unidade da taxa. Ou seja, vamos tentartransformar 5 meses para alguns bimestres. Dá um número inteiro? Um número redondo? Não!Conclusão: falhou nossa primeira tentativa. Resta-nos, pois, transformar a taxa bimestral para a mesma unidade do tempo, ou seja,para a unidade mensal. E como faremos isso? Por meio do conceito de taxas equivalentes! Fazendo nossa análise prévia, teremos: %a.b. = I (bimestre é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que bimestre). K=2 (cabem dois meses em um bimestre!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + 0,21 = (1 + i)2 Trocando de lado, teremos: (1 + i)2 = 1,21 Mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira, encontraremos que: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% ... 8% 9% 10% n 1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000 2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000 3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000 4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100 5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510 A taxa procurada é 10%. Mas 10% ao quê? Ora, essa é nossa taxa izinho. E a taxa izinho é,neste caso, uma taxa mensal. Daí: i=10% ao mês. Os dados de nossa questão agora são os seguintes: C=1000 ; i=10% ao mês ; n=5 meses ; M=? Agora, sim, estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos.Teremos: M=1000.(1+0,10)5 Nova consulta à Tabela Financeira, e teremos: TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% ... 8% 9% 10% n 1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000 www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO 2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000 3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000 4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100 5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510 Daí, teremos: M=1000x1,610510 M=1.610,51 Resposta! E: J=M-C J=610,51 Resposta! É isso, meus queridos! Eu quero muitíssimo me desculpar novamente com vocês, por não ter tido condições deveicular esta aula no dia de ontem. O que me faltou foi energia para concluir esse texto, que já estava inclusive iniciado. Euliteralmente dormi sobre o teclado. (Isso nunca havia me acontecido antes!). Estou pensando,seriamente, em diminuir meu ritmo de trabalho no ano que vem. Pelo que vejo, essa minhadecisão está quase deixando de ser uma alternativa e se tornando a única escolha possível...! Mas isso é para depois. Um pedido: estudem com carinho os cinco exemplos que comentamos acima, de JurosCompostos. Leiam. Releiam. Repassem mentalmente cada informação. Se você entender bemesses passos, esteja certo que vai fazer um verdadeiro passeio pelo Regime Composto! Ok? Na seqüência, apresento-lhes o nosso... ...Dever de Casa35. (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).a) R$ 625,00 d) R$ 650,00b) R$ 630,00 e) R$ 676,00c) R$ 636,0036. (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.a) 30% d) 33,1%b) 31,3% e) 34%c) 32,2%37. (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:a) 8% d) 1,0816%b) 8,16% e) 16%c) 1,08%38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de:a) 175,0% d) 262,5%b) 206,25% e) 150,0%c) 218,5% www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.a) 24% d) 24,96%b) 24,24% e) 26,8242%c) 24,48%40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.a) 60% ao ano d) 10% ao trimestreb) 30% ao semestre e) 6% ao bimestrec) 24% ao semestre41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual dea) 26,82%. d) 24,00%.b) 25,51%. e) 22,78%.c) 25,44%.42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de(A) 12,49% (D) 15,12%(B) 12,55% (E) 16,99%(C) 13,00%43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre.b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre.c) 18% ao semestre.44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:a) 20% d) 23%b) 21% e) 24%c) 22%45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 %b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 %c) 69 % e 79 % Um forte abraço a todos! Bons estudos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 20
  21. 21. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHOBons estudos! Forte abraço a todos e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 21

×