Matematica financeira regular 10

CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR
PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
AULA 10 – AMORTIZAÇÃO
Olá, amigos!
Tudo bem com vocês?
Iniciemos os trabalhos de hoje resolvendo as questões pendentes da aula passada!
Dever de Casa
01. (MDIC – 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas
mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o
montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim
de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00

Sol.: O importante nesta resolução é acertar o desenho! O enunciado disse que haverá
aplicações de parcelas iguais em um prazo total de doze meses. Não foi isso mesmo? Pois bem!
O indicado, portanto, é que desenhemos esse período completo de tempo. Teremos:

Agora reparemos que a questão nos disse que essas parcelas iguais serão aplicadas ao
fim de cada mês! Viram isso? Essa informação consta na própria pergunta, nas duas últimas
linhas (quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês...?).
Assim, desenhando as parcelas ao fim de cada período, teremos:

Finalmente, onde é mesmo que a questão quer saber do resgate? Ao fim deste prazo
total de doze meses. Assim, o desenho completo da nossa questão é o seguinte:

100.000,

P P P P P P P P P P P P

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Agora vem a pergunta: o desenho acima já está de acordo com o desenho modelo das
Rendas Certas? Ou seja, é fato que a data do resgate já coincide com a data da última parcela?
Sim! Logo, já estamos prontos para aplicar a equação das Rendas Certas! Teremos:
T=P.Sn,i
100.000=P . S12,2%
Daí:
P=100.000 / S12,2%

Consultando uma tabela do fator de rendas certas, veremos que
:
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
(1 + i ) n − 1
s n ¬i =
i

i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10%
n
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284

Assim, voltando à nossa resolução, teremos que:

P = 100.000 / 13,412090
E: P = 7.455,96 Resposta!

02. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte
fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada
aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00
e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros
compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00
c) R$ 82.265,00

Sol.: Esta questão também foi de prova recente do Fiscal da Receita. E uma questão idêntica a
que resolvemos na aula passada! Com pouquíssimas diferenças, para ser mais preciso: na da
aula passada, tínhamos quatro parcelas de 1000, quatro de 2000 e quatro de 3000. Nesta,
teremos seis parcelas de 2000, seguidas de mais seis parcelas de 4000, e finalmente, mais seis
parcelas de 6000.
Mas o entendimento e a resolução são simplesmente idênticos!


Desenhando a questão, e já criando os tracejados e estabelecendo os respectivos níveis
de parcelas, teremos:
X

2000 2000

4000 4000

6000 6000

Já sabemos o que fazer: uma operação de Rendas Certas para cada nível de parcelas!
Se chamarmos de 1º Nível as parcelas acima do tracejado mais alto, teremos:
T = P . sn¬i T’=2000 . S18¬3% 1º Nível

2º Nível serão as parcelas entre os dois tracejados. Teremos:
T = P . sn¬i T’’=2000 . S12¬3% 2º Nível

3º Nível serão as parcelas abaixo do último tracejado. Teremos:
T = P . sn¬i T’’’=2000 . S6¬3% 3º Nível
Somando T’, T’’ e T’’’ chegaremos à resposta procurada! Se colocarmos 2000 em
evidência nesta soma, teremos:
X=2000.{S18¬3% + S12¬3% + S6¬3%}
Fazendo as três consultas à Tabela do Fator de Rendas Certas, e complementando as
contas, teremos que:
Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:
s18¬3%=23,414435
s12¬3%=14,192030
s6¬3%=6,468410
Daí: X = 2000 (23,414435 + 14,192030 + 6,468410)
E, finalmente: X = 88.149,00 Resposta!



Pois bem! Vamos agora a um assunto que é, por assim dizer, irmão das Rendas Certas!
E, como não poderia deixar de ser, igualmente fácil!
Trata-se da Amortização!
Pelo estudo realizado por nós até aqui, já aprendemos como trabalhar no Regime
Composto, diante das seguintes situações:
1º) Uma parcela sozinha, para levá-la para uma data posterior:

X.(1+i)n

X

2º) Uma parcela sozinha, para levá-la para uma data anterior:

X/(1+i)n

X

3º) Várias parcelas iguais e periódicas, para uma data posterior:

T=P.Sn,i

P P P P P P

A única coisa que nos resta saber, e que aprenderemos agora, é justamente como
projetar várias parcelas iguais e periódicas, também no regime composto, para uma data
anterior!

Vejamos o desenho que expressa esta situação:
T

P P P P P P

Este desenho acima é o desenho modelo da Amortização!
Normalmente, a situação do desenho acima se verifica quando se está fazendo uma
compra a prazo. Assim, o valor T seria o preço do bem, à vista. Mas o comprador não iria pagar
à vista, e sim iria diluir o valor do bem em várias parcelas. Usando outra palavra, o comprador
iria amortizar o valor do bem em prestações!
Outra situação que recairia no desenho acima é a de um empréstimo. É perfeitamente
possível que um sujeito pegue um valor qualquer emprestado no dia de hoje (seria a seta do
T), e que a devolução se fizesse mediante o pagamento de diversas parcelas iguais e
periódicas!
Enfim, seja como for, se encontrarmos no desenho da questão uma situação com as
seguintes características:
1ª) Parcelas iguais; 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3ª) Taxa de juros
compostos; e o objetivo for o de projetar todas essas parcelas para uma data anterior,
saberemos imediatamente duas coisas:
1ª) Estamos diante de uma operação de Amortização!
2ª) A data correta para projetarmos as parcelas iguais será um período antes da
primeira parcela!
Vocês percebem que as características da Amortização são rigorosamente as mesmas
que encontramos nas Rendas Certas! Trata-se do mesmo pacote completo!
O que muda, efetivamente, é o objetivo das parcelas! E o sentido da projeção das
parcelas iguais:
Nas Rendas Certas, projetamos as parcelas para a data da última parcela;
Na Amortização projetaremos as parcelas para um período antes da primeira parcela!
Esta é a informação crucial deste assunto: para efeito de aplicação da fórmula da
Amortização, a data do T da fórmula é sempre um período antes da primeira parcela!
Não podemos esquecer disso!
E já que falamos em fórmula, qual será mesmo a equação da Amortização? A seguinte:

T = P . An,i
Falemos sobre cada elemento desta fórmula:
O T é o Total, o valor que será amortizado, ou seja, que será diluído nas parcelas.
Ele, sozinho, representa todas as parcelas do desenho! E estará sempre, no desenho, um
período antes da primeira parcela!).

P é o valor de cada uma das parcelas. E têm que ser todas iguais! Já sabemos
disso! (Primeira característica do pacote completo)!
O A sozinho não é ninguém. Está aí apenas para indicar que estamos trabalhando,
na verdade, com um fator: o An,i , o qual chamaremos apenas de Fator de Amortização!
Ninguém vai esquecer (e nem confundir com o Sn,i das Rendas Certas), porque ele é escrito
com A de Amortização! Ok?
O n do Fator de Amortização terá o mesmo significado que teve no fator de Rendas
Certas, ou seja, vai representar simplesmente o número de parcelas! Ok? Só isso!
O i é a taxa de juros compostos! (Terceira característica da Amortização!).
Falta pouco agora para sabermos tudo de Amortização!
Eu precisarei de apenas três exemplos para ilustrar (e esgotar!) o assunto. Vamos a
eles.
# Exemplo 1) Um computador, que custa à vista R$5.000,00 (cinco mil reais), será comprado
em doze prestações iguais e mensais, vencendo a primeira delas trinta dias após a compra.
Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor das prestações?
Sol.: O mais indicado, como sempre, é começar pelo desenho da questão. Teremos:
5.000,

P P P P P P P P P P P P

Olhando para este desenho, vemos de imediato a presença de parcelas iguais (1ª
característica do pacote completo) e periódicas (2ª característica do pacote completo).
Assim, para completar a sua convicção, convém reler o enunciado, à procura da 3ª
característica (taxa de juros compostos)! Tem? Sim, tem!
Ora, com estas três características, poderíamos tanto trabalhar uma operação de Rendas
Certas quanto de Amortização. O que vai definir isso é o objetivo das parcelas!
Se meu objetivo fosse o de acumular, acumular, acumular, e resgatar ao final,
trabalharíamos com Rendas Certas. Mas não é o caso! Aqui, o que se pretende com as parcelas
iguais é diluir um valor anterior. Ou seja, pretende-se fazer uma operação de Amortização!
Uma vez identificado o assunto da questão, faremos uma nova pergunta: o desenho
acima já está de acordo com o desenho modelo da Amortização?
O que nos diz esse desenho modelo? Ele nos diz, em outras palavras, que a primeira
parcela deve estar ao final do primeiro período! E aí? O desenho acima já está desse jeito? Sim!
Ótimo! Estamos, portanto, prontos para aplicar a fórmula da Amortização! Teremos:
T = P . An¬i
Daí, isolando a parcela P, teremos:
P = 5000 / A12¬2%


Tudo corria bem até este momento! Mas, e agora, como fazer para descobrir o valor do
fator An,i? Existe um auxílio para isto! Trata-se da Tabela Financeira do Fator de
Amortização!
A consulta a esta tabela se faz da mesma forma que já aprendemos para as duas outras
primeiras tabelas com as quais já trabalhamos! Basta correr a vista pela linha do n (número de
parcelas) e pela coluna da taxa i. Onde houver esse encontro, estaremos de posse do valor do
fator An,i. Ok? Fazendo a consulta apropriada, teremos:

(1 + i) n − 1
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a n ¬i =
i.(1 + i) n

i 1% 2% 3% 4% 5% 6%
n
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844
Assim:
P = 5000 / 10,575341 E: P= 472,80 Resposta!
Adiante. Vejamos o próximo exemplo.
# Exemplo 2) Um computador custa à vista R$5.000,00 (cinco mil reais). Uma pessoa propõe
comprá-lo pagando uma entrada de 30% (trinta por cento) do valor do bem, e o restante em
cinco parcelas iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas quatro meses após a
compra. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor das
prestações?
Sol.: Novamente começarmos pelo desenho. Vejamos:
5.000,

P P P P P
1.500,

Observem que a entrada é sempre um pagamento realizado no ato da compra. E iremos
sempre desenhá-la com seta para baixo. Ok?
Agora comparemos o desenho acima com o desenho modelo da Amortização!
O desenho modelo admite parcela de entrada? NÃO! De jeito nenhum! No desenho
modelo, a primeira parcela deve estar ao final do primeiro período! Não se admite pagamento
de entrada!
Assim, nosso primeiro passo será fazer desaparecer essa entrada! E como faremos isso?
Fácil: mediante uma conta de subtrair! Faremos valor à vista menos valor da entrada. E pronto!
A entrada já era! Vejamos:
3.500,

P P P P P

E agora voltamos a comparar o desenho acima com o desenho modelo. Já estão
iguais? Ainda não, uma vez que o desenho modelo ensina: primeira parcela ao final do primeiro
período. E aqui, nesta questão, temos que a primeira parcela está numa data futura, bem
depois do final do primeiro período!
E aí? O que fazer?
Vou lhes ensinar duas soluções possíveis para esse problema. Ok? (A exemplo do que fiz
nas Rendas Certas!). Vejamos!
1ª Solução) Acrescentar ao desenho da questão a seta do T da fórmula de
Amortização!
Onde estaria esta seta? Ora, já sabemos: um período antes da primeira parcela.
Teremos:
T
3.500,

P P P P P


Mas, professor, ninguém sabe ainda o quanto vale esse T! Não sabia! Vai ficar sabendo
agora! Basta projetar o valor conhecido (R$3500) para a data do T. E de que forma faremos
isso? Já sabemos: multiplicando o 3.500 pelo parêntese famoso, o que traduz uma operação de
Juros Compostos! Teremos:
T = 3500 . (1+0,02)3
O valor do parêntese famoso será encontrado por meio de uma rápida consulta à tabela
financeira do (1+i)n. Teremos que: (1+0,02)3=1,061208.
Daí, teremos que:
T = 3500 . 1,061208
E: T=3.714,23

Assim, o novo desenho da questão agora será o seguinte:
3.714,23

P P P P P

E agora, sim! Chegamos a um desenho que está de acordo com o desenho modelo da
Amortização, de sorte que já podemos aplicar a fórmula. Teremos:
T = P . An¬i
Daí, isolando a parcela P, teremos:
P = 3.714,23 / A5¬2%
Consultando a Tabela Financeira do An,i, teremos:

(1 + i) n − 1
i.(1 + i) n

i 1% 2% 3% 4% 5% 6%
n
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324


Assim:
P = 3.714,23 / 4,713459
P= 788,00 Resposta!

2ª Solução) Acrescentar ao desenho da questão parcelas fictícias, no intuito de torná-
lo adequado ao desenho modelo da Amortização!
Fazendo isso, teremos:
3.500,

P P P P P P P P

Percebam que as parcelas acrescidas ao desenho (na cor verde), tornaram o desenho
compatível com o desenho modelo da Amortização. Ou seja, agora temos que a primeira
parcela (embora fictícia) está ao final do primeiro período.
Tudo bem até aqui? Pois bem!
Vejam que agora temos, somando as parcelas reais (em azul) e as fictícias, um total de
8 (oito) parcelas! A minha pergunta para vocês é a seguinte: será que estaria correto um
cálculo que fosse o seguinte: (???)
3500 = P . A8,2%
O que vocês acham? Certo ou errado? Erradíssimo, pois está levando em conta algumas
parcelas que não existem! São parcelas fictícias! Assim, para que este cálculo se acerte,
precisaremos extrair dele um fator, referente àquelas parcelas fictícias. Teremos:
3500 = P . {A8,2% – A3,2%}
E agora sim! Estamos com a equação correta! Assim, generalizaremos para dizer que a
fórmula desenvolvida da Amortização, com a presença de parcelas fictícias, é a seguinte:

T=P.{ATOTAL,i - AFICTÍCIAS,i}
Onde:
TOTAL é o número que corresponde à soma do número de parcelas (reais+fictícias); e
FICTÍCIAS é apenas o número de parcelas fictícias.
Continuando nossa resolução, teremos:
P = 3.500 / {A8,2% – A3,2%}
Fazendo as devidas consultas à Tabela Financeira do An,i, teremos:


(1 + i) n − 1
i.(1 + i) n

i 1% 2% 3% 4% 5% 6%
n
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794

Logo:
P = 3.500 / {7,325481 – 2,883883}
P = 3.500 / 4,441598
P = 788,00 Resposta!
Como vocês puderam ver, as duas soluções apresentadas acima são igualmente válidas,
fazendo-nos chegar à mesma resposta, ou seja, à resposta correta! Fica a critério de cada um
adotar uma ou outra saída! Ok?
Só preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.
# Exemplo 3) João se dirige a uma concessionária. Ao encontrar o carro de sua predileção,
propõe comprá-lo por meio dos seguintes pagamentos, realizados ao fim de cada mês: do
primeiro ao quarto mês, parcelas de R$3.000,00; do quinto ao oitavo mês, parcelas de
R$2.000,00; do nono ao décimo segundo mês, parcelas de R$1.000,00. Considerando uma taxa
de juros compostos de 3% ao mês, qual seria o valor à vista do veículo que João quer comprar?
Sol.: Já sabemos que vamos começar a resolução pelo desenho! Teremos:
X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000


3000 3000 3000 3000

Somente pelo que aprendemos na aula passada, de Rendas Certas, embora o assunto
fosse outro, vai ser totalmente possível resolvermos também esta presente questão utilizando o
artifício dos tracejados! Perceberam?
Pois bem! Fazendo os tracejados e criando os três níveis de parcelas, teremos:

X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Parece-me que todo mundo já está enxergando tudo, não é verdade? Nos três níveis de
parcelas que se formaram com os tracejados, encontraremos, em cada um deles, as três
características do pacote completo (que serve tanto para rendas certas como para
amortização)!
Ademais, percebemos que, para os três níveis, a primeira parcela já está ao final do
primeiro período. Concordam?
Assim, resta-nos aplicar três vezes a fórmula da amortização, e depois somar esses
resultados! Teremos:
T = P . An¬i T’=1000 . A12¬3% 1º Nível

2º Nível serão as parcelas entre os dois tracejados. Teremos:
T = P . An¬i T’’=1000 . A8¬3% 2º Nível

3º Nível serão as parcelas abaixo do último tracejado. Teremos:
T = P . An¬i T’’’=1000 . A4¬3% 3º Nível
Somando T’, T’’ e T’’’ chegaremos à resposta procurada! Se colocarmos 1000 em
evidência nesta soma, teremos:
X=1000.{A12¬3% + A8¬3% + A4¬3%}
Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos:
A12¬3%=9,954004

A8¬3%=7,019692
A4¬3%=3,717098
Daí: X = 1000.(9,954004 + 7,019692 + 3,717098)
E, finalmente: X = 20.690,00 Resposta!

É isso, meus amigos!
Por hoje, chega de teoria!
Na seqüência, apresento-lhes as questões do Dever de Casa de hoje!
Forte abraço a todos! E bons estudos!

Dever de Casa
84. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do
seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6,
cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$
2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros
compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00
b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00
c) R$ 29.124,00


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