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J. C Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,7 % para
um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação à poupança
esta aplicação é interessante?

Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxa
composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. Calcular o
prazo da operação.



2.1.2 Exemplos

1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$
100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?

Solução:




2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18
meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

Solução:




3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses,
produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?
Solução:




4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros
compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51?

Solução:




5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros
compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses.

Solução:
Taxa Equivalente

1.3.1       Fórmula.




1.3.2  Exemplos
1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês?

Solução:




2)      (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano?

Solução:
Cálculo da taxa Efetiva




Exemplo

1) (PARENTE, 1996) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada
mensalmente?

Solução:




2)   Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.

Solução:




Taxa efetive e nominal
A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com

capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.



A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é

uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.



Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao ano

capitalizados mensalmente?



Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados

trimestralmente?



- Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês?



Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente

uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$

1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?




a) Efetiva anual de uma taxa nominal de 34% ao bimestre com capitalização diária
b) Efetiva mensal de uma taxa nominal de 10% ao semestre com capitalização bimestral.
c) Efetiva semestral de uma taxa nominal de 5% ao trimestre com capitalização diária




um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano
capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o
montante será de ?

Esta é uma dúvida que foi enviada e é interessante reparar como em apenas duas
linhas vamos ter a oportunidade de juntos revisar diversos conceitos da Matemática
Financeira.

Vejamos...

Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal e
taxa de juros efetiva. Vamos relembrar?
Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado
capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros
postecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo a
que a taxa se refere), no caso, ao final do ano.

Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre.

Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês.

Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e a
capitalização se referir a outro?

Por exemplo:

Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente.

Percebam que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicial
rendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano.

Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, é
uma taxa meramente "nominal".

E como resolver este problema?

Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo de
capitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional à
taxa anual de 12%.

E por que usar a taxa proporcional?

Na linguagem financeira, o problema acima é muito comum, pois fica mais fácil às
instituições financeiras indicarem sua taxa anual e cada um dos usuários,
dependendo do prazo de capitalização que desejarem (mês, bimestre, trimestre,
semestre etc.), calcularem a taxa proporcional a esta taxa anual. Portanto, usa-se
a taxa proporcional, por ser esta forma de representação muito comum no mercado
financeiro.

Como calcular a taxa proporcional?

Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como
frações entre duas grandezas).




Como calcular a taxa proporcional?

Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como
frações entre duas grandezas). Veja como representar uma proporção:



       (lê-se a está para b assim como c está para d) onde     e   são razões
a, d são considerados extremos da proporção

b, c são considerados meios da proporção

Para que uma proporção se verifique é necessário que a multiplicação dos extremos
seja igual a multiplicação dos meios, ou seja:



Se         é uma proporção então se verifica que a.d = b.c

Duas taxas são consideradas proporcionais quando houver uma relação de
proporcionalidade entre elas e os prazos a que elas se referem, neste caso:




irá se verificar a proporcionalidade quando i 1. n2 = i2 . n1

No problema temos:

i1 = taxa anual = 12%

n1 = prazo anual = 1 ano (ou 12 meses)

i2 = taxa mensal = x% (desejo conhecer)

n2 = prazo mensal = 1 mês

logo 12%.1 = x.12 logo x = 1% a.m.

Existe uma dica para evitar pensar na regra de três, eis a mesma:

Imaior = k imenor

traduzindo

a taxa do prazo maior é igual a k vezes a taxa do prazo menor, no problema, o
prazo maior é o ano e o prazo menor é o mês e k, também conhecido como
constante de proporcionalidade é quantas vezes o prazo menor cabe no maior, ou
seja, o mês cabe 12 vezes no ano, ou um ano tem 12 meses.

Desse modo teremos:

Imaior = 12%a.a.

k = 4 (1 ano = 12 meses)

i menor = ?

Imaior = k imenor

12% = 12 imenor
imenor = 1%a.m.

Logo achei a taxa mensal proporcional à taxa anual de 12%, observe que este é o
quanto vai entrar na minha conta ao final do prazo de capitalização (mensal).

Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma
dica:

Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa se
refere teremos uma taxa de juros efetiva.

Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremos
uma taxa de juros nominal.

Nestes casos:

12% a. a.(ano) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa
.................................. nominal

1% a. m.(mês) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa
.................................. efetiva

No problema nos foi dada uma taxa de juros nominal, reparem que o período de
capitalização (trimestral) difere do período a que a taxa se refere (anual). Como a
taxa nominal não me indica nada, tenho que transformá-la em taxa efetiva.

28% a.a. capitalizados trimestralmente

1 ano tem 4 trimestres (constante de proporcionalidade, k = 4)

Imaior = k imenor

iano = 4 itrimestre

itrimestre = 28/4 = 7% a.t.

Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula:

M = C (1 + i)n

Onde:

M = montante; C = capital; i = taxa de juros e n = prazo

Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo.

Substituindo teremos:

M = 200 (1+0,07)n

Ora o prazo n = 7 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir ao
mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos fazer
as duas considerações:
1o. caso) Período trimestral

Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se:

7 meses __________ n trimestres

3 meses __________ 1 trimestre

logo n = 7/3 trimestres

Tente resolver a fórmula anterior.

M = 200 (1+0,07)7/3 = 234,20

Observe que somente através do uso de uma calculadora será possível encontrar a
resposta desta equação, mas nos concursos públicos tem sido proibido o uso destas
máquinas "poderosas", logo o problema ficaria sem solução?

2o. caso) Período mensal

Neste caso tenho que entender um novo conceito, o de taxas equivalentes. O que se
deseja é trabalhar com uma taxa mensal que me dê o mesmo juro que a taxa trimestral
que eu já tenho, quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo. Pois esta é a
definição de taxas equivalentes.

Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo
dão como resultado o mesmo montnate.

Portanto desejo achar a taxa mensal equivalente à taxa trimestral de 7%.

(1+itrimestral)1trimestre = (1+imensal)3meses

logo:

(1+0,07)1 = (1+imensal)3meses

Novamente o aluno teria que trabalhar com valores exponenciais e uma calculadora
resolveria rapidamente tal problema (mas não a teremos, lembra, no concurso), então
utilizaremos as tabelas financeiras que apresentam o valor de (1+i)n para vários valores
de i e de n. Vejamos:

                                   n                    i = 2,25%
                                   1                (1+i)n = 1,0225
                                   2                (1+i)n = 1,0455
                                   3                (1+i)n = 1,0690

Ou seja, para n = 3 meses a taxa mensal que faz com que (1+i)n = 1,07 e
aproximadamente igual a 2,25% a.m.
Sabemos agora que 2,25% a.m. é equivalente a 7% a.t.

Logo vamos resolver a equação.

M = 200 (1+0,0225)7 , novamente consultando a tabela teremos:

                           n                            2,25%
                           1                           1.0225
                           2                           1,0455
                           3                           1,0690
                           4                           1,0930
                           5                           1,1176
                           6                           1,1428
                           7                           1,1685

O valor de (1+0,0225)7 se encontra tabelado e é igual a 1,1685

Logo M = 200 . 1,1685 = 233,70 (a diferença se deu em virtude das aproximações da
tabela financeira).

Obrigado pela atenção.

Até a próxima dúvida.

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Respostas lista de exercício 1
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Prova

  • 1. J. C Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,7 % para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação à poupança esta aplicação é interessante? Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 2.1.2 Exemplos 1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$ 100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? Solução: 2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18 meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês? Solução: 3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?
  • 2. Solução: 4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51? Solução: 5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses. Solução:
  • 3. Taxa Equivalente 1.3.1 Fórmula. 1.3.2 Exemplos 1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês? Solução: 2) (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano? Solução:
  • 4. Cálculo da taxa Efetiva Exemplo 1) (PARENTE, 1996) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente? Solução: 2) Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual. Solução: Taxa efetive e nominal
  • 5. A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente. A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente. Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao ano capitalizados mensalmente? Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados trimestralmente? - Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês? Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo? a) Efetiva anual de uma taxa nominal de 34% ao bimestre com capitalização diária b) Efetiva mensal de uma taxa nominal de 10% ao semestre com capitalização bimestral. c) Efetiva semestral de uma taxa nominal de 5% ao trimestre com capitalização diária um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ? Esta é uma dúvida que foi enviada e é interessante reparar como em apenas duas linhas vamos ter a oportunidade de juntos revisar diversos conceitos da Matemática Financeira. Vejamos... Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva. Vamos relembrar?
  • 6. Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano. Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre. Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês. Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e a capitalização se referir a outro? Por exemplo: Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Percebam que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicial rendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano. Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, é uma taxa meramente "nominal". E como resolver este problema? Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo de capitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional à taxa anual de 12%. E por que usar a taxa proporcional? Na linguagem financeira, o problema acima é muito comum, pois fica mais fácil às instituições financeiras indicarem sua taxa anual e cada um dos usuários, dependendo do prazo de capitalização que desejarem (mês, bimestre, trimestre, semestre etc.), calcularem a taxa proporcional a esta taxa anual. Portanto, usa-se a taxa proporcional, por ser esta forma de representação muito comum no mercado financeiro. Como calcular a taxa proporcional? Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como frações entre duas grandezas). Como calcular a taxa proporcional? Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas como frações entre duas grandezas). Veja como representar uma proporção: (lê-se a está para b assim como c está para d) onde e são razões
  • 7. a, d são considerados extremos da proporção b, c são considerados meios da proporção Para que uma proporção se verifique é necessário que a multiplicação dos extremos seja igual a multiplicação dos meios, ou seja: Se é uma proporção então se verifica que a.d = b.c Duas taxas são consideradas proporcionais quando houver uma relação de proporcionalidade entre elas e os prazos a que elas se referem, neste caso: irá se verificar a proporcionalidade quando i 1. n2 = i2 . n1 No problema temos: i1 = taxa anual = 12% n1 = prazo anual = 1 ano (ou 12 meses) i2 = taxa mensal = x% (desejo conhecer) n2 = prazo mensal = 1 mês logo 12%.1 = x.12 logo x = 1% a.m. Existe uma dica para evitar pensar na regra de três, eis a mesma: Imaior = k imenor traduzindo a taxa do prazo maior é igual a k vezes a taxa do prazo menor, no problema, o prazo maior é o ano e o prazo menor é o mês e k, também conhecido como constante de proporcionalidade é quantas vezes o prazo menor cabe no maior, ou seja, o mês cabe 12 vezes no ano, ou um ano tem 12 meses. Desse modo teremos: Imaior = 12%a.a. k = 4 (1 ano = 12 meses) i menor = ? Imaior = k imenor 12% = 12 imenor
  • 8. imenor = 1%a.m. Logo achei a taxa mensal proporcional à taxa anual de 12%, observe que este é o quanto vai entrar na minha conta ao final do prazo de capitalização (mensal). Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma dica: Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros efetiva. Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros nominal. Nestes casos: 12% a. a.(ano) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa .................................. nominal 1% a. m.(mês) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa .................................. efetiva No problema nos foi dada uma taxa de juros nominal, reparem que o período de capitalização (trimestral) difere do período a que a taxa se refere (anual). Como a taxa nominal não me indica nada, tenho que transformá-la em taxa efetiva. 28% a.a. capitalizados trimestralmente 1 ano tem 4 trimestres (constante de proporcionalidade, k = 4) Imaior = k imenor iano = 4 itrimestre itrimestre = 28/4 = 7% a.t. Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula: M = C (1 + i)n Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e n = prazo Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo. Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07)n Ora o prazo n = 7 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir ao mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos fazer as duas considerações:
  • 9. 1o. caso) Período trimestral Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se: 7 meses __________ n trimestres 3 meses __________ 1 trimestre logo n = 7/3 trimestres Tente resolver a fórmula anterior. M = 200 (1+0,07)7/3 = 234,20 Observe que somente através do uso de uma calculadora será possível encontrar a resposta desta equação, mas nos concursos públicos tem sido proibido o uso destas máquinas "poderosas", logo o problema ficaria sem solução? 2o. caso) Período mensal Neste caso tenho que entender um novo conceito, o de taxas equivalentes. O que se deseja é trabalhar com uma taxa mensal que me dê o mesmo juro que a taxa trimestral que eu já tenho, quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo. Pois esta é a definição de taxas equivalentes. Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo dão como resultado o mesmo montnate. Portanto desejo achar a taxa mensal equivalente à taxa trimestral de 7%. (1+itrimestral)1trimestre = (1+imensal)3meses logo: (1+0,07)1 = (1+imensal)3meses Novamente o aluno teria que trabalhar com valores exponenciais e uma calculadora resolveria rapidamente tal problema (mas não a teremos, lembra, no concurso), então utilizaremos as tabelas financeiras que apresentam o valor de (1+i)n para vários valores de i e de n. Vejamos: n i = 2,25% 1 (1+i)n = 1,0225 2 (1+i)n = 1,0455 3 (1+i)n = 1,0690 Ou seja, para n = 3 meses a taxa mensal que faz com que (1+i)n = 1,07 e aproximadamente igual a 2,25% a.m.
  • 10. Sabemos agora que 2,25% a.m. é equivalente a 7% a.t. Logo vamos resolver a equação. M = 200 (1+0,0225)7 , novamente consultando a tabela teremos: n 2,25% 1 1.0225 2 1,0455 3 1,0690 4 1,0930 5 1,1176 6 1,1428 7 1,1685 O valor de (1+0,0225)7 se encontra tabelado e é igual a 1,1685 Logo M = 200 . 1,1685 = 233,70 (a diferença se deu em virtude das aproximações da tabela financeira). Obrigado pela atenção. Até a próxima dúvida.