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  1. 1. J. C Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,7 % paraum período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação à poupançaesta aplicação é interessante?Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxacomposta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. Calcular oprazo da operação.2.1.2 Exemplos1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?Solução:2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês?Solução:3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses,produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?
  2. 2. Solução:4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juroscompostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51?Solução:5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juroscompostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses.Solução:
  3. 3. Taxa Equivalente1.3.1 Fórmula.1.3.2 Exemplos1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês?Solução:2) (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano?Solução:
  4. 4. Cálculo da taxa EfetivaExemplo1) (PARENTE, 1996) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizadamensalmente?Solução:2) Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.Solução:Taxa efetive e nominal
  5. 5. A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano comcapitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto éuma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao anocapitalizados mensalmente?Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizadostrimestralmente?- Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês?Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamenteuma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?a) Efetiva anual de uma taxa nominal de 34% ao bimestre com capitalização diáriab) Efetiva mensal de uma taxa nominal de 10% ao semestre com capitalização bimestral.c) Efetiva semestral de uma taxa nominal de 5% ao trimestre com capitalização diáriaum capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao anocapitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, omontante será de ?Esta é uma dúvida que foi enviada e é interessante reparar como em apenas duaslinhas vamos ter a oportunidade de juntos revisar diversos conceitos da MatemáticaFinanceira.Vejamos...Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal etaxa de juros efetiva. Vamos relembrar?
  6. 6. Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinadocapital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de jurospostecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo aque a taxa se refere), no caso, ao final do ano.Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre.Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês.Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e acapitalização se referir a outro?Por exemplo:Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente.Percebam que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicialrendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano.Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, éuma taxa meramente "nominal".E como resolver este problema?Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo decapitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional àtaxa anual de 12%.E por que usar a taxa proporcional?Na linguagem financeira, o problema acima é muito comum, pois fica mais fácil àsinstituições financeiras indicarem sua taxa anual e cada um dos usuários,dependendo do prazo de capitalização que desejarem (mês, bimestre, trimestre,semestre etc.), calcularem a taxa proporcional a esta taxa anual. Portanto, usa-sea taxa proporcional, por ser esta forma de representação muito comum no mercadofinanceiro.Como calcular a taxa proporcional?Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas comofrações entre duas grandezas).Como calcular a taxa proporcional?Lembre-se que Proporção é uma igualdade entre razões (também conhecidas comofrações entre duas grandezas). Veja como representar uma proporção: (lê-se a está para b assim como c está para d) onde e são razões
  7. 7. a, d são considerados extremos da proporçãob, c são considerados meios da proporçãoPara que uma proporção se verifique é necessário que a multiplicação dos extremosseja igual a multiplicação dos meios, ou seja:Se é uma proporção então se verifica que a.d = b.cDuas taxas são consideradas proporcionais quando houver uma relação deproporcionalidade entre elas e os prazos a que elas se referem, neste caso:irá se verificar a proporcionalidade quando i 1. n2 = i2 . n1No problema temos:i1 = taxa anual = 12%n1 = prazo anual = 1 ano (ou 12 meses)i2 = taxa mensal = x% (desejo conhecer)n2 = prazo mensal = 1 mêslogo 12%.1 = x.12 logo x = 1% a.m.Existe uma dica para evitar pensar na regra de três, eis a mesma:Imaior = k imenortraduzindoa taxa do prazo maior é igual a k vezes a taxa do prazo menor, no problema, oprazo maior é o ano e o prazo menor é o mês e k, também conhecido comoconstante de proporcionalidade é quantas vezes o prazo menor cabe no maior, ouseja, o mês cabe 12 vezes no ano, ou um ano tem 12 meses.Desse modo teremos:Imaior = 12%a.a.k = 4 (1 ano = 12 meses)i menor = ?Imaior = k imenor12% = 12 imenor
  8. 8. imenor = 1%a.m.Logo achei a taxa mensal proporcional à taxa anual de 12%, observe que este é oquanto vai entrar na minha conta ao final do prazo de capitalização (mensal).Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai umadica:Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa serefere teremos uma taxa de juros efetiva.Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremosuma taxa de juros nominal.Nestes casos:12% a. a.(ano) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa.................................. nominal1% a. m.(mês) capitalizados mensalmente (mês) é uma taxa.................................. efetivaNo problema nos foi dada uma taxa de juros nominal, reparem que o período decapitalização (trimestral) difere do período a que a taxa se refere (anual). Como ataxa nominal não me indica nada, tenho que transformá-la em taxa efetiva.28% a.a. capitalizados trimestralmente1 ano tem 4 trimestres (constante de proporcionalidade, k = 4)Imaior = k imenoriano = 4 itrimestreitrimestre = 28/4 = 7% a.t.Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula:M = C (1 + i)nOnde:M = montante; C = capital; i = taxa de juros e n = prazoLembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo.Substituindo teremos:M = 200 (1+0,07)nOra o prazo n = 7 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir aomesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos fazeras duas considerações:
  9. 9. 1o. caso) Período trimestralNeste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se:7 meses __________ n trimestres3 meses __________ 1 trimestrelogo n = 7/3 trimestresTente resolver a fórmula anterior.M = 200 (1+0,07)7/3 = 234,20Observe que somente através do uso de uma calculadora será possível encontrar aresposta desta equação, mas nos concursos públicos tem sido proibido o uso destasmáquinas "poderosas", logo o problema ficaria sem solução?2o. caso) Período mensalNeste caso tenho que entender um novo conceito, o de taxas equivalentes. O que sedeseja é trabalhar com uma taxa mensal que me dê o mesmo juro que a taxa trimestralque eu já tenho, quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazo. Pois esta é adefinição de taxas equivalentes.Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital e o mesmo prazodão como resultado o mesmo montnate.Portanto desejo achar a taxa mensal equivalente à taxa trimestral de 7%.(1+itrimestral)1trimestre = (1+imensal)3meseslogo:(1+0,07)1 = (1+imensal)3mesesNovamente o aluno teria que trabalhar com valores exponenciais e uma calculadoraresolveria rapidamente tal problema (mas não a teremos, lembra, no concurso), entãoutilizaremos as tabelas financeiras que apresentam o valor de (1+i)n para vários valoresde i e de n. Vejamos: n i = 2,25% 1 (1+i)n = 1,0225 2 (1+i)n = 1,0455 3 (1+i)n = 1,0690Ou seja, para n = 3 meses a taxa mensal que faz com que (1+i)n = 1,07 eaproximadamente igual a 2,25% a.m.
  10. 10. Sabemos agora que 2,25% a.m. é equivalente a 7% a.t.Logo vamos resolver a equação.M = 200 (1+0,0225)7 , novamente consultando a tabela teremos: n 2,25% 1 1.0225 2 1,0455 3 1,0690 4 1,0930 5 1,1176 6 1,1428 7 1,1685O valor de (1+0,0225)7 se encontra tabelado e é igual a 1,1685Logo M = 200 . 1,1685 = 233,70 (a diferença se deu em virtude das aproximações databela financeira).Obrigado pela atenção.Até a próxima dúvida.

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