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Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          resolvidos e propostos


                          5ª Edição
Capítulo 2




          DESCONTOS

Mathias
Gomes
Descontos
          Quando se faz uma aplicação com vencimento
          pré-determinado, o aplicador:

            • Recebe um compromisso da aplicação;

            • Que é uma nota promissória;

            • Ou uma letra de câmbio.

          => Obter parte do principal e dos juros, em
          troca do título, é uma operação de “desconto”.

Mathias
Gomes
Descontos

          Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-
          mento pré-determinado:

           • Recebe do comprador uma duplicata.

          => A empresa pode ir a um banco e transferir a
          posse da duplicata em troca de dinheiro.

          Esta á uma operação de “descontar uma duplica-
          ta”.


Mathias
Gomes
Desconto Racional
                                                          EXEMPLO

          Ou Desconto “por dentro”.

          • É o desconto obtido pela diferença entre o valor
          nominal e o valor atual de um compromisso que
          seja saldado em n períodos antes do seu
          vencimento.

                                     Nin
                             Dr =
                                    1 + in
                   Dr = valor do desconto
                   N = valor nominal (montante)
                   n = número de períodos antes do vencimento
                   i = taxa de desconto
Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses
          antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-
          rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?

          Resolução:

                                              Dr   {
                                                       N
                     Vr

                                    3 Meses



Mathias
Gomes
Exemplo
          Temos:
                        N = 5.500,00
                        n = 3 meses

          Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
                                        0,40
                                  i12 =
                                         12
          Podemos calcular:
                                    Nin
          a) O desconto:      Dr =
                                   1 + in
                                              0 , 40
                                   5 . 500 x         x3
                              Dr =             12
                                          0 , 40
Mathias                                1+          x3
Gomes                                      12
Exemplo
                             5.500,00x0,10
                        Dr =
                                1+ 0,10
                             550,00
                        Dr =        = $500,00
                              1,10
     b) O valor descontado:

            Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00

     $ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos
     próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00
     iria render:
                   J = Cin
                   J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00
Mathias
Gomes
Desconto Comercial
                                                            EXEMPLO
          Ou Desconto “por fora”.

          • É o valor que se obtém pelo cálculo do juro
          simples sobre o valor nominal do compromisso que
          seja saldado em n períodos antes do seu
          vencimento.
                           Dc = N.i.n

                Dc = desconto comercial
                N = valor nominal (montante)
                n =número de períodos antes do vencimento
                i = taxa de desconto
Mathias
Gomes
Exemplo
          Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de
          $ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes
          do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?

          Resolução: procedendo de modo análogo, temos:


                                              Dc   {
                                                       N
                     Vc

                                    3 Meses



Mathias
Gomes
Exemplo
          a) O desconto:
                 Dc = Nin
                 Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00

          b) O valor descontado comercial:
                          Vc = N (1 − in)
                                              0,40
                          Vc = 5.500,00 x(1 −      x3)
                                               12
                          Vc = 5.500,00 x0,9
                          Vc = $4950,00
            Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-
     mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-
     conto fosse racional.
Mathias
Gomes
Exemplo
              É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-
     cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros
     capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-
     nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa
     de juros de operação é:
                          55000
                             ,
                    i' =         = 0,1111 ao trimestre
                         4.95000
                               ,
             ou     i' ≅ 0,44 ao ano

             Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-
     tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa
     implícita que é cobrada de fato.

Mathias
Gomes
Desconto Bancário                                    EXEMPLO


          Corresponde ao desconto comercial acrescido de
          uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-
          nal.

                               Db = N.(in+h)

          Db = desconto bancário
          N = valor nominal (montante)
          n = número de períodos antes do vencimento
          i = taxa de desconto
          h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-
          cárias)

Mathias
Gomes
Exemplo
          Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra
          2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi
          descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-
          rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto
          bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ?
          Resolução: Lembrando que:
                     h = 0,02
                     e procedendo de modo análogo ao exemplo an-
          terior:

          a) Desconto bancário:
                        Db = N (in + h)
                        Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)
                        Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)
                        Db = $ 660,00
Mathias
Gomes
Exemplo
          b) Valor descontado bancário:

                        Vb   =   N [1 - (in + h)]
                        Vb   =   5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]
                        Vb   =   5.500,00 x 0,88
                        Vb   =   $ 4.840,00

                 Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao
          descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-
          conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-
          xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:
                               66000
                                  ,
                         i" =         ≅ 0,1364 ao trimestre
                              4.84000
                                    ,
                         i" ≅ 0,5456 ao ano
Mathias
Gomes
Exemplo
                 É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e
          bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na
          operação.




Mathias
Gomes
Taxa de Juros
          Efetiva                                       EXEMPLO


          É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor
          descontado (comercial ou bancário), gera no
          período, um montante igual ao valor nominal.

                                       N
                                          −1
                                  if = V
                                         n
           onde:
           if = taxa efetiva
           N = valor nominal
           V = valor atual (comercial ou bancário)
           n = número de períodos antes do vencimento


Mathias
Gomes
Exemplo
          Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de
          $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é
          a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?
          Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
                              N
                                   −1
                         if = V c
                                  n
                              5 .500 ,00
                                         −1
                               4950 ,00            1,1111 − 1
                         if =               ; if =
                                     3                  3
                         if = 0,03703 a.m . = 0, 44 a.a.
          Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior-
          mente, por cálculo direto.
Mathias
Gomes
Exemplo
          Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me-
          ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário
          de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ?
          Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
                              N
                                   −1
                         if = V b
                                  n
                              5 .500 ,00
                                         −1
                               4840 ,00            1,1364 − 1
                         if =               ; if =
                                     3                  3
                         if = 0,045 a.m. = 0,54 a.a.
          Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-
          do anteriormente por raciocínio direto.
Mathias
Gomes
Relação entre o Desconto
          Comercial e o Desconto                        EXEMPLO
          Racional

                         Dc = Dr (1+in)

           Dc = Desconto Comercial
           Dr = Desconto Racional
           n = número de períodos antes do vencimento
           i = taxa de desconto

          => o Desconto Comercial pode ser entendido co-
          mo sendo o montante do Desconto Racional cal-
          culado para o mesmo período e à mesma taxa.
Mathias
Gomes
Exemplo
          O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes
          de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual
          é o desconto racional ?
          Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

                           Dc = Dr (1 + in )
                                            0,40
                           550,00 = Dr (1 +       x3)
                                             12
                           550,00 = Dr (1 + 0,10)
                                550,00
                           Dr =         = $500,00
                                 1,10

Mathias
Gomes

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Matemática Financeira - Descontos

  • 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  • 2. Capítulo 2 DESCONTOS Mathias Gomes
  • 3. Descontos Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado, o aplicador: • Recebe um compromisso da aplicação; • Que é uma nota promissória; • Ou uma letra de câmbio. => Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto”. Mathias Gomes
  • 4. Descontos Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci- mento pré-determinado: • Recebe do comprador uma duplicata. => A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro. Esta á uma operação de “descontar uma duplica- ta”. Mathias Gomes
  • 5. Desconto Racional EXEMPLO Ou Desconto “por dentro”. • É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Nin Dr = 1 + in Dr = valor do desconto N = valor nominal (montante) n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto Mathias Gomes
  • 6. Exemplo Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor- rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ? Resolução: Dr { N Vr 3 Meses Mathias Gomes
  • 7. Exemplo Temos: N = 5.500,00 n = 3 meses Calculando a taxa proporcional a 1 mês: 0,40 i12 = 12 Podemos calcular: Nin a) O desconto: Dr = 1 + in 0 , 40 5 . 500 x x3 Dr = 12 0 , 40 Mathias 1+ x3 Gomes 12
  • 8. Exemplo 5.500,00x0,10 Dr = 1+ 0,10 550,00 Dr = = $500,00 1,10 b) O valor descontado: Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00 $ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render: J = Cin J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00 Mathias Gomes
  • 9. Desconto Comercial EXEMPLO Ou Desconto “por fora”. • É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Dc = N.i.n Dc = desconto comercial N = valor nominal (montante) n =número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto Mathias Gomes
  • 10. Exemplo Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ? Resolução: procedendo de modo análogo, temos: Dc { N Vc 3 Meses Mathias Gomes
  • 11. Exemplo a) O desconto: Dc = Nin Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00 b) O valor descontado comercial: Vc = N (1 − in) 0,40 Vc = 5.500,00 x(1 − x3) 12 Vc = 5.500,00 x0,9 Vc = $4950,00 Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co- mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des- conto fosse racional. Mathias Gomes
  • 12. Exemplo É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer- cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga- nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros de operação é: 55000 , i' = = 0,1111 ao trimestre 4.95000 , ou i' ≅ 0,44 ao ano Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis- tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. Mathias Gomes
  • 13. Desconto Bancário EXEMPLO Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi- nal. Db = N.(in+h) Db = desconto bancário N = valor nominal (montante) n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban- cárias) Mathias Gomes
  • 14. Exemplo Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor- rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ? Resolução: Lembrando que: h = 0,02 e procedendo de modo análogo ao exemplo an- terior: a) Desconto bancário: Db = N (in + h) Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02) Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02) Db = $ 660,00 Mathias Gomes
  • 15. Exemplo b) Valor descontado bancário: Vb = N [1 - (in + h)] Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02] Vb = 5.500,00 x 0,88 Vb = $ 4.840,00 Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des- conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta- xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação: 66000 , i" = ≅ 0,1364 ao trimestre 4.84000 , i" ≅ 0,5456 ao ano Mathias Gomes
  • 16. Exemplo É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação. Mathias Gomes
  • 17. Taxa de Juros Efetiva EXEMPLO É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal. N −1 if = V n onde: if = taxa efetiva N = valor nominal V = valor atual (comercial ou bancário) n = número de períodos antes do vencimento Mathias Gomes
  • 18. Exemplo Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N −1 if = V c n 5 .500 ,00 −1 4950 ,00 1,1111 − 1 if = ; if = 3 3 if = 0,03703 a.m . = 0, 44 a.a. Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior- mente, por cálculo direto. Mathias Gomes
  • 19. Exemplo Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me- ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N −1 if = V b n 5 .500 ,00 −1 4840 ,00 1,1364 − 1 if = ; if = 3 3 if = 0,045 a.m. = 0,54 a.a. Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti- do anteriormente por raciocínio direto. Mathias Gomes
  • 20. Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto EXEMPLO Racional Dc = Dr (1+in) Dc = Desconto Comercial Dr = Desconto Racional n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto => o Desconto Comercial pode ser entendido co- mo sendo o montante do Desconto Racional cal- culado para o mesmo período e à mesma taxa. Mathias Gomes
  • 21. Exemplo O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual é o desconto racional ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: Dc = Dr (1 + in ) 0,40 550,00 = Dr (1 + x3) 12 550,00 = Dr (1 + 0,10) 550,00 Dr = = $500,00 1,10 Mathias Gomes