Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 1
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Apostilas Aprendizado Urbanopo · p = poqualquer que seja p em P[x].Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal qu...
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Apostilas Aprendizado UrbanoMétodos de resolução algébricaAlguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.Equação ...
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Apostilas Aprendizado UrbanoA Constante e de EulerExiste uma importantíssima constante matemática definida pore = exp(1)O ...
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Apostilas Aprendizado Urbano01) O conjunto solução da equação logaritmica é:(A) {-1; 2}(B) {-2; 1}(C) {-2}(D) {1}(E) { }Co...
Apostilas Aprendizado UrbanoAplicamos a equivalência fundamental,Agora devemos testar esta solução na equação original do ...
Apostilas Aprendizado UrbanoAplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer osvalores de x....
Apostilas Aprendizado UrbanoCRESCENTEbase b > 1DECRESCENTEbase 0 < b < 1Nestes gráficos devemos observar, principalmente, ...
Apostilas Aprendizado Urbano(UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável ...
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Apostilas Aprendizado UrbanoVeja o exemplo abaixo:(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação:1° Passo - Pegamos um por d...
Apostilas Aprendizado UrbanoRESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTALEla baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo sen...
Apostilas Aprendizado UrbanoLogo, podemos escrever que:O conjunto solução dessa equação será, portanto:Função senoDefiniçã...
Apostilas Aprendizado UrbanoO domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométri...
Apostilas Aprendizado UrbanoDenomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp...
Apostilas Aprendizado Urbano Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. Quando , 3º quadrante, o valor d...
Apostilas Aprendizado UrbanoA função tangenteObserve que esse gráfico é razoável. De fato:Em primeiro lugarou seja, quando...
Apostilas Aprendizado Urbanoou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.Finalmente,ou seja, quando , 4º...
Apostilas Aprendizado UrbanoLogo, o domínio da função secante é .Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sab...
Apostilas Aprendizado UrbanoA função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada eperiódica, de pe...
Apostilas Aprendizado UrbanoDa figura, observamos também que, qualquer que seja , ,onde k é um número inteiro qualquer. As...
Apostilas Aprendizado UrbanoArranjosSão agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam dis...
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Apostilas Aprendizado UrbanoDenotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para s...
Apostilas Aprendizado Urbanopor:P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1Em função da forma como construímos o processo...
Apostilas Aprendizado UrbanoAqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo g...
Apostilas Aprendizado UrbanoO número total de possibilidades pode ser calculado como:Tal metodologia pode ser generalizada...
Apostilas Aprendizado UrbanoNúmero BinomialO número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p)...
Apostilas Aprendizado Urbano(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k==== (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+...
Apostilas Aprendizado UrbanoPor exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = ...
Apostilas Aprendizado UrbanoQual o milésimo número ímpar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo...
Apostilas Aprendizado UrbanoSeja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... +...
Apostilas Aprendizado UrbanoComo o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser neg...
Apostilas Aprendizado Urbano12 horas o relógio baterá 12 vezes.Logo, teremos a seguinte seqüência:(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... ...
Apostilas Aprendizado UrbanoUsando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1...
Apostilas Aprendizado Urbano(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.3 - Propriedades principaisP1 - em toda PG, um termo é a ...
Apostilas Aprendizado UrbanoResolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100Ora, o primeiro membro é uma PG de pri...
Apostilas Aprendizado UrbanoComo existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,resultando em n(-1) = - n...
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Apostilas Aprendizado UrbanoP(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorri...
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  1. 1. Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 1
  2. 2. Apostilas Aprendizado UrbanoMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA1. Teoria dos conjuntos. Conjuntos numéricos. Relações. Funções e equações polinomiais e transcendentais(exponenciais, logarítmicas e trigonométricas).2. Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica.3. Matrizes, determinantes e sistemas lineares.4. Geometria plana: Áreas e perímetros.5. Geometria espacial: áreas e volumes.6. Números complexos.7. Estatística básica.8. Matemática financeira.9. Aritmética.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 2
  3. 3. Apostilas Aprendizado UrbanoApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 3
  4. 4. Apostilas Aprendizado UrbanoTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosConjunto: representa uma coleção de objetos.a. O conjunto de todos os brasileiros.b. O conjunto de todos os números naturais.c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.Elemento: é um dos componentes de um conjunto.a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:"pertence".Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:1 NPara afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais,escrevemos:0 NUm símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.Algumas notações para conjuntosMuitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através deduas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.a. A={a,e,i,o,u}b. N={1,2,3,4,...}c. M={João,Maria,José}Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 4
  5. 5. Apostilas Aprendizado Urbanoa. A={x: x é uma vogal}b. N={x: x é um número natural}c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.SubconjuntosDados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos oselementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contidoem B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. Oconjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.Alguns conjuntos especiaisConjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjuntovazio está contido em todos os conjuntos.Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamostrabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado poruma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.Reunião de conjuntosA reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou aoconjunto B.A B = { x: x A ou x B }Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.Interseção de conjuntosA interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e aoconjunto B.A B = { x: x A e x B }Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 5
  6. 6. Apostilas Aprendizado UrbanoQuando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.Propriedades dos conjuntos1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:A A = A e A A = A3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A A B, B A B, A B A, AB B4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A B equivale a A B = BA B equivale a A B = A5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A B = B AA B = B A7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião deconjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:A Ø = A8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjuntoA, fornece o próprio conjunto vazio.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 6
  7. 7. Apostilas Aprendizado UrbanoA Ø = Ø9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção deconjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:A U = A10.Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:A (B C ) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)Os gráficos abaixo mostram a distributividade.Diferença de conjuntosA diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A enão pertencem ao conjunto B.A-B = {x: x A e x B}Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:Complemento de um conjuntoO complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntosA e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem aoconjunto B.CAB = A-B = {x: x A e x B}Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra cposta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos apalavra complementar no lugar de complemento.Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 7
  8. 8. Apostilas Aprendizado UrbanoLeis de Augustus De Morgan1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares dessesconjuntos.(A B)c = Ac Bc2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementaresdesses conjuntos.(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...Anc3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares dessesconjuntos.(A B)c = Ac Bc4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementaresdesses conjuntos.(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...AncDiferença simétricaA diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reuniãodos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.A B = { x: x A B e x A B }O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:1. A=Ø se, e somente se, B=A B.2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.3. A diferença simétrica é comutativa.4. A diferença simétrica é associativa.5. A A=Ø (conjunto vazio).6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:A (B C) = (A B) (A C)Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 8
  9. 9. Apostilas Aprendizado Urbano7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é:A B (A C) (B C)Conjunto dos Números NaturaisSão todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um* ao lado do N:N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}Conjunto dos Números InteirosSão todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).São representados pela letra Z:Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:- Inteiros não negativosSão todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual aoconjunto dos números naturais.É representado por Z+:Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}- Inteiros não positivosSão todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}- Inteiros não negativos e não-nulosÉ o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}Z*+ = N*- Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.Z*- = {… -4, -3, -2, -1}Conjunto dos Números RacionaisOs números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (porexemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos daparte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.Os racionais são representados pela letra Q.Conjunto dos Números IrracionaisÉ formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é onúmero PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para oApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 9
  10. 10. Apostilas Aprendizado UrbanoPI.Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)Conjunto dos Números ReaisÉ formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com osirracionais).Representado pela letra R.Relações e FunçõesA função polinomialUm polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnonde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é otermo constante.Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:f(x) = a x² + b x + cO gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas emestudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obterp(a).Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27Grau de um polinômioEm um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termodominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x)não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 10
  11. 11. Apostilas Aprendizado UrbanoAcerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos maisavançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamadomônico.3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor doque n+1.6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais altoaté o termo constante.7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamenten+1.É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos ospolinômios reais em x.Igualdade de polinômiosOs polinomios p e q em P[x], definidos por:p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxnsão iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:ak=bkTeorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo éque todos os seus coeficientes sejam nulos.Assim, um polinômio:p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnserá nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:ak= 0O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxntal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.Soma de polinômiosConsideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 11
  12. 12. Apostilas Aprendizado Urbanop(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxnDefinimos a soma de p e q, por:(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xnA estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima,possui algumas propriedades:Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:(p + q) + r = p + (q + r)Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:p + q = q + pElemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal quepo + p = pqualquer que seja p em P[x].Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal quep + q = 0Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.Produto de polinômiosSejam p, q em P[x], dados por:p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxnDefinimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxntal que:ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbopara cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de acom o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definidoacima, possui várias propriedades:Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:(p · q) · r = p · (q · r)Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:p · q = q · pElemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal queApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 12
  13. 13. Apostilas Aprendizado Urbanopo · p = poqualquer que seja p em P[x].Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal quep1 · p = pqualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômiosDistributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:p · (q + r) = p · q + p · rCom as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominadaanel comutativo com identidade.Espaço vetorial dos polinômios reaisEmbora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos númerosnaturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulasde números reais , isto é, as sequências da forma:p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômiop(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxne colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita dezeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual taissequências são denominadas sequências quase-nulas.Esta forma de notaçãop = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma doselementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma,multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.Sejam p e q em S, tal que:p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)e vamos supor que m < n.Definimos a soma de p e q, como:p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 13
  14. 14. Apostilas Aprendizado Urbanoa multiplicação de p em S por um escalar k, como:k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)e o produto de p e q em S como:p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)sendo queck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbopara cada ck (k=1,2,3,...,m+n).O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro,identidade, unidade, oposto.Características do grau de um polinômioSe gr(p)=m e gr(q)=n entãogr(p.q) = gr(p) + gr(q)gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}Algoritmo da divisão de polinômiosDados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal quep(x) = g(x) q(x)Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe umpolinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:p(x) = q(x) g(x) + r(x)Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c ep(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnComo para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )então parap(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxntemos quep(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancne tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obterp(x)- p(c)=(x-c) q(x)onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 14
  15. 15. Apostilas Aprendizado Urbanop(x)=(x-c) q(x)+p(c)e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.Zeros de um polinômioUm zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. Ozero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0o que é equivalente a:c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)Equações Algébricas e TranscendentesUma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finitode operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.Exemplos1. 2x²+3x+7=02. 3x²+7x½=2x+3A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendopotências de x:ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...assim, a equaçãox²+7x=exnão é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.Quando a equação é da forma:p(x) = 0onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segundanão é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equaçãopolinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízesda nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta novaequação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 15
  16. 16. Apostilas Aprendizado UrbanoMétodos de resolução algébricaAlguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:x = -b/aEquação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes noconjunto dos números complexos, dadas por:x1=(-b+R[b²-4ac] / 2ax2=(-b- R[b²-4ac]/ 2aonde R[z] é a raiz quadrada de z.Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dosnúmeros complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes noconjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obtertodas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações comgrande precisão.Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismocapaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemáticasubjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."Teorema Fundamental da ÁlgebraTeorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite noconjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos,admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjuntodos números reais.Algumas identidades polinomiaisAlgumas desigualdades polinomiaisAlgumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 16
  17. 17. Apostilas Aprendizado Urbano1. a²+b² > 2ab2. (a+b)/2 > R[a.b]3. a²+b²+c² > ab+ac+bconde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.A função exponencialA função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmonatural, isto é:Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=xO gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação àidentidade dada pela reta y=x.Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem dafunção exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos osnúmeros reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:1. exp(x)>0 se x é real)2. 0<exp(x)<1 se x<03. exp(x)=1 se x=04. exp(x)>1 se x>0No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se afunção logarítmica em função da exponencial como:f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.Exemplos:1. Ln[exp(5)]=52. exp[ln(5)]=53. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/24. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/25. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 17
  18. 18. Apostilas Aprendizado UrbanoA Constante e de EulerExiste uma importantíssima constante matemática definida pore = exp(1)O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:Ln(e)=1Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dosprimeiros a estudar as propriedades desse número.O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:e=2,718281828459045235360287471352662497757Conexão entre o número e e a função exponencialSe x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e comexpoente x, isto é:ex = exp(x)Significado geométrico de eTomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob acurva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.Propriedades básicas da função exponencialSe x e y são números reais e k é um número racional, então:1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)6. exp(x.k)=[exp(x)]kSimplificações matemáticasPodemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais elogaritmos:1. exp[Ln(3)]=3.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 18
  19. 19. Apostilas Aprendizado Urbano2. Ln[exp(20x)]=20x.3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².Outras funções exponenciaisPodemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:ar=exp[Ln(ar)]Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:ar = exp[r.Ln(a)]Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite deuma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:ax=exp[x.Ln(a)]Leis dos expoentesSe x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:1. axay=ax+y2. ax/ay=ax-y3. (ax) y=ax.y4. (a b)x=axbx5. (a/b)x=ax/bx6. a-x=1/axRelação de EulerSe i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)Algumas AplicaçõesFunções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela,como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentaralguns exemplos com aplicações destas funções.Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperaturaambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou queApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 19
  20. 20. Apostilas Aprendizado Urbanoa mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que atemperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelospontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:f(t) = C eA tentão obtemos que:A = Ln(30)-Ln(32)C = 32/ (30/32)21A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:f(t) = 124,09468 e-0,0645385te quando f(t) = 37 temos que:t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutosque pode ser observado através do gráfico.Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funçõesexponenciais e logarítmicas.Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo deaprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.A curva básica para este tipo de estudo é da forma:f(x) = c - a e-k.xonde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equaçõesbásicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.A função:f(x) = c - a e-k.xcresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle ofPopulation" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função doApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 20
  21. 21. Apostilas Aprendizado Urbanotempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipótesesque os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação dotempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presenteem um instante t:N(t)=No ertonde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie depopulação.O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, aforma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie depopulação do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com estaequação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camadaem volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, apopulação obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente ofereceresistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidadedisponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se numcerto instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactériashaverá na colônia após 36 horas da última contagem?No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, entãoN(12)=600=200 er12logoe12r=600/200=3assimln(e12r)=ln(3)Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:r=ln(3)/12=0,0915510Finalmente:N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactériasEntão, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século porRutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, semqualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante estatransição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual aApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 21
  22. 22. Apostilas Aprendizado Urbanoradioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No onúmero de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento,então:N(t) = No e-k.testa constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que sãoobtidas experimentalmente.Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o temponecessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.Se N=No/2 para t=T, temosNo/2 = No e-k.TassimT=Ln(2)/kNa tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:SubstânciaSubstânciaSubstânciaSubstância Meia-vida TMeia-vida TMeia-vida TMeia-vida TXenônio 133Xenônio 133Xenônio 133Xenônio 133 5 dias5 dias5 dias5 diasBário 140Bário 140Bário 140Bário 140 13 dias13 dias13 dias13 diasChumbo 210Chumbo 210Chumbo 210Chumbo 210 22 anos22 anos22 anos22 anosEstrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90 25 anos25 anos25 anos25 anosCarbono 14Carbono 14Carbono 14Carbono 14 5.568 anos5.568 anos5.568 anos5.568 anosPlutônioPlutônioPlutônioPlutônio 23.103 anos23.103 anos23.103 anos23.103 anosUrânio 238Urânio 238Urânio 238Urânio 238 4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anosPara o Carbono 14, a constante de decaimento é:k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por anoEquações logaritmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de umsímbolo log.Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, aplique isso e vocêacertará.Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logaritmica, é a seguinte:Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de verificar ascondições de existência.As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser DESCARTADAS!Portanto, para aprendermos a resolver equações logaritmicas, vamos dar uma olhada em algumas questõeschave de vestibulares passados.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 22
  23. 23. Apostilas Aprendizado Urbano01) O conjunto solução da equação logaritmica é:(A) {-1; 2}(B) {-2; 1}(C) {-2}(D) {1}(E) { }Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara.Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução deequações logaritmicas.Verificação, para : , OKpara : , OKPortanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"2) O número real x que satisfaz a equação é:(A)(B)(C)(D)(E)Aplicamos a equivalência fundamental:Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis , temos:Aplicamos Bhaskara e chegamos em:Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente :Absurdo!Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 23
  24. 24. Apostilas Aprendizado UrbanoAplicamos a equivalência fundamental,Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x naequação:Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo:Aplicamos a 3° propriedade operatória, OK. É válida!Resposta correta, letra "E".3) A equação tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:(A)(B)(C)(D)(E)Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3².E aplicamos a 3° propriedade operatória:O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um oinverso do outro (1° consequência da mudança de base).Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca :Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 24
  25. 25. Apostilas Aprendizado UrbanoAplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer osvalores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:para y=2:para y=-1:O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E".4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo:(A) [-2; -1](B) (-1; 0](C) (0; 1](D) (1; 2](E) (2; 3]Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar aspropriedades operatórias:Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos:Aplicamos a equivalência fundamental:Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Psara isso,substituímos o valor de x encontrado na equação do enunciado:Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de x, nãoencontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a respostaé mesmoEste valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".A representação gráfica da função logarítmica deve ser gravada por todos.Várias questões de vestibular exigem este conhecimento.A representação gráfica de um logaritmo pode ser de duas formas. Veja os gráficos abaixo mostrando as duasformas para a função :Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 25
  26. 26. Apostilas Aprendizado UrbanoCRESCENTEbase b > 1DECRESCENTEbase 0 < b < 1Nestes gráficos devemos observar, principalmente, duas propriedades. Note que os cortes no eixo x, emambos os gráficos, ocorre no ponto 1. Isso está de acordo com a 1° Consequência da Definição de logaritmos,que diz que logaritmo de 1 em qualquer base é ZERO.E o eixo y é uma assíntota vertical, ou seja, a curva não toca o eixo y nunca, apenas vai chegando cada vezmais perto, sem tocar.Veja um exercício do vestibular da UFRGS sobre este tema:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 26
  27. 27. Apostilas Aprendizado Urbano(UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x,dada por , é(A) (B) (C)(D) (E)O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a , ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 sópode ser um logaritmo decrescente.Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixox no ponto 1.Resposta correta, letra A.Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos os eixos estaráseu gráfico. Veja a figura ao lado.(UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação e a curva T, o conjuntosolução da equação . Tem-seApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 27
  28. 28. Apostilas Aprendizado Urbano(A) a < b < 1(B) 1 < b < a(C) 1 < a < b(D) b < a < 1(E) b < 1 < aOs dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Ficamosentão entre as alternativas B e C.Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do quea curva T, então sua base é maior (a > b).Portanto, resposta correta, letra B.Se, ao invés de termos uma igualdade entre dois logaritmos, tivermos um sinal de desigualdade (<, >, ≥, ≤)devemos nos atentar a algumas propriedades.Podemos efetuar todas as operações que fazemos com igualdades.Em qualquer inequação, quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número negativo,devemos inverter a desigualdade. Por exemplo, a inequação:1 - x < 0 Podemos passar o 1 para o outro lado:-x < -1Agora, devemos multiplicar a inequação por (-1). Com isso, invertemos adesigualdadex > 1 E com isso, chegamos ao intervalo da resposta.Essa regra é para todas inequações.Para inequações envolvendo logaritmos seguimos alguns passos:1° PassoAplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a incógnita emalguma de suas partes.Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados.2° PassoAplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cadalado da desigualdade. Ambos com a mesma base.3° Passo"Cortamos" os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:base > 1Mantém-se adesigualdade0 < base < 1 Inverte-se a desigualdadeE guardamos também o intervalo encontrado.4° Passo Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 28
  29. 29. Apostilas Aprendizado UrbanoVeja o exemplo abaixo:(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação:1° Passo - Pegamos um por dos logaritmandos que possuam "x", e aplicamos as condições deexistência:Equações TrigonométricasINTRODUÇÃOQuando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma funçãoda incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.Exemplos:1) sen x + cos x = e sen 2x = cos2 x são equações trigonométricas.2) x + ( tg 30º) . x2 e x + sen 60º = não são equações trigonométricas.Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento dodomínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números são algumas de suas raízes e osnúmeros não o são.O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podemser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg aEstas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 29
  30. 30. Apostilas Aprendizado UrbanoRESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTALEla baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.Logo, podemos escrever que:sen x = sen aO conjunto solução dessa equação será, portanto:Logo, podemos escrever que:cos x = cos a x = a +O conjunto solução dessa equação será, portanto:RESOLUÇÃO DA 3ª EQUAÇÃO FUNDAMENTALEla baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têmsuas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 30
  31. 31. Apostilas Aprendizado UrbanoLogo, podemos escrever que:O conjunto solução dessa equação será, portanto:Função senoDefiniçãoChamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R®R, f(x) = sen xO domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio éunitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] . Sinal da Função:Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)• f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)Função cossenoDefiniçãoChamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno dessenúmero: f: R® R, f(x) = cos x.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 31
  32. 32. Apostilas Aprendizado UrbanoO domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio éunitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] . Sinal da Função:Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)• f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)Função tangenteDefiniçãoChamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎZý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero)até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R. Sinal da Função:Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferênciatrigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)Função secanteDefiniçãoDenomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , ondekÎ Z. Sinal da funçãoComo a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos dafunção cosseno.Função cossecanteDefiniçãoApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 32
  33. 33. Apostilas Aprendizado UrbanoDenomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎZ. Sinal da funçãoComo a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmosda função seno.Função cotangenteDefiniçãoDenomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z. Sinal da funçãoComo a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmosda função seno.AnexosA função senoObserve que esse gráfico é razoável.Pois: Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 33
  34. 34. Apostilas Aprendizado Urbano Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]A função cossenoObserve que esse gráfico é razoável.Pois: Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0. Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1. Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0. Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 34
  35. 35. Apostilas Aprendizado UrbanoA função tangenteObserve que esse gráfico é razoável. De fato:Em primeiro lugarou seja, quando , 1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.Em segundo lugar,ou seja, quando , 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.Em terceiro lugar,Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 35
  36. 36. Apostilas Aprendizado Urbanoou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.Finalmente,ou seja, quando , 4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.Função secanteTemos:Definição: .Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 36
  37. 37. Apostilas Aprendizado UrbanoLogo, o domínio da função secante é .Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada, sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um númerointeiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia: e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme xaumenta, y aumenta; e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme xaumenta, y aumenta; e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conformex aumenta, y diminui; e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui.Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico dafunção.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 37
  38. 38. Apostilas Aprendizado UrbanoA função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada eperiódica, de período 2pfunção cossecanteTemos:Definição: .Logo, o domínio da função cossecante éTambém, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada, cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 38
  39. 39. Apostilas Aprendizado UrbanoDa figura, observamos também que, qualquer que seja , ,onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia: e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui;• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui;Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico dafunção.A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básicaAnálise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentesformados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementosde Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podemser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todoo cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 39
  40. 40. Apostilas Aprendizado UrbanoArranjosSão agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sípela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 gruposque não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto:As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.Fórmula: Ar(m,p) = mp.Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condiçãoque deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letrasescolhidas no subconjunto {A,B,C}?Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa queeste subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão noconjunto:PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjuntoPABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.PermutaçõesQuando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sípela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.Fórmula: Ps(m) = m!.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 40
  41. 41. Apostilas Aprendizado UrbanoCálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que nãopodem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todosos agrupamentos estão no conjunto:Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição queexistem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, entãoPr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra originaltrocadas de posição.Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos doconjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos oselementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando umacircunferência de círculo.Fórmula: Pc(m)=(m-1)!Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderãosentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição dasposições?Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,apresentados no conjunto:Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:ABCD=BCDA=CDAB=DABCABDC=BDCA=DCAB=CABDACBD=CBDA=BDAC=DACBACDB=CDBA=DBAC=BACDADBC=DBCA=BCAD=CADBApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 41
  42. 42. Apostilas Aprendizado UrbanoADCB=DCBA=CBAD=BADCExistem somente 6 grupos distintos, dados por:Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}CombinaçõesQuando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintosentre sí apenas pela espécie.Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todosos agrupamentos estão no conjunto:Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendoaparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2elementos formam um conjunto com 16 elementos:Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que jáapareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações comrepetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}Regras gerais sobre a Análise CombinatóriaProblemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos atravésde duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outroelemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+nformas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento podecoincidir com uma escolha do outro.Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentese se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, aescolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 42
  43. 43. Apostilas Aprendizado UrbanoExemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam emambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda scontem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçarsegmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos ospontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também nsegmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.Número de Arranjos simplesSeja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.Construiremos uma sequência com os m elementos de C.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmCada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento paraa cor vermelha.Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamossupor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmPara escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agoraexistem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os quesobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmApós a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmoso terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmSe continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Pararetirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os númerosque aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades1111 mmmm2222 m-1m-1m-1m-13333 m-2m-2m-2m-2............ ............pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1No.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 43
  44. 44. Apostilas Aprendizado UrbanoDenotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seucálculo será dada por:A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra doproduto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.O conjunto solução é:{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letrasiniciais e 4 algarismos no final?XYZ-1234Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismosque podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.Número de Permutações simplesEste é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementosdistintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela dearranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades1111 mmmm2222 m-1m-1m-1m-1............ ............pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1............ ............m-2m-2m-2m-2 3333m-1m-1m-1m-1 2222mmmm 1111No.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dadaApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 44
  45. 45. Apostilas Aprendizado Urbanopor:P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:A(m,m) = P(m)Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificara permutação de m elementos e escrever simplesmente:P(m) = m!Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um númeronatural.Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para istopodemos escrever:0!=1Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um númeroreal, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da funçãoP=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? Onúmero de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos éP(4)=24 e o conjunto solução é:P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}Número de Combinações simplesSeja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possívelescolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com pelementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há anecessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetiçãode elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito decombinação.Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de melementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceramem outras coleções com o mesmo número p de elementos.Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 45
  46. 46. Apostilas Aprendizado UrbanoAqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo deelementos em uma ordem diferente.Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com osmesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir onúmero A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:C(m,p) = A(m,p) / p!ComoA(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)então:C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!que pode ser reescritoC(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!e o denominador ficará:p! (m-p)!Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:Número de arranjos com repetiçãoSeja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em umaordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementostomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o númerototal de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:Arep(m,p) = mpNúmero de permutações com repetiçãoConsideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordemdeterminada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentosrestantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades sãoC(10-3-2,5).Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 46
  47. 47. Apostilas Aprendizado UrbanoO número total de possibilidades pode ser calculado como:Tal metodologia pode ser generalizada.Número de combinações com repetiçãoConsidere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene esteselementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação comrepetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui ataxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos decombinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (ecolocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø servepara separar os objetos em função das suas diferenças(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØCada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe umacorrespondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondoexatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode serfeito de C(10,6) modos. Assim:Crep(5,6) = C(5+6-1,6)Generalizando isto, podemos mostrar que:Crep(m,p) = C(m+p-1,p)Propriedades das combinaçõesO segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade deelementos de cada escolha.Taxas complementaresC(m,p)=C(m,m-p)Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.Relação do triângulo de PascalC(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 47
  48. 48. Apostilas Aprendizado UrbanoNúmero BinomialO número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamadoCoeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:Exemplo: C(8,2)=28.Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reaise podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteironegativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação decombinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. ComoPi=3,1415926535..., então:A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade eEstatística.Teorema BinomialSe m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p).Então:(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbmAlguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbmP(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + bVamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbkpara provar a propriedade P(k+1).Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 48
  49. 49. Apostilas Aprendizado Urbano(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k==== (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]====a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]====ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1====ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1====ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1Pelas propriedades das combinações, temos:k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4... ... ... ...kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)kE assim podemos escrever:(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk +kkbk+1que é o resultado desejado.Progressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAChama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos.Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.Uma seqüência pode ser finita ou infinita.O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ..., an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 49
  50. 50. Apostilas Aprendizado UrbanoPor exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possívelescrever uma relação matemática entre eles.Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anteriormultiplicado por 3.A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, édenominada termo geral.Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um númeronatural não nulo.Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.Assim por exemplo, para n = 20, teremosan = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).Por exemplo:a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.2 - Conceito de Progressão Aritmética - PAChama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, sãoiguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.Exemplos:A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)3 - Termo Geral de uma PASeja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.De acordo com a definição podemos escrever:a2 = a1 + 1.ra3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r.....................................................Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . rA expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo daProgressão Aritmética – PA.Exemplos:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 50
  51. 51. Apostilas Aprendizado UrbanoQual o milésimo número ímpar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimotermo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,de onde vem n = 40.Portanto, a PA possui 40 termos.Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemosgeneraliza-la da seguinte forma:Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA,poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:aj = ak + (j - k).rExemplos:Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60.Pela fórmula anterior, poderemos escrever:a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?Temos r = 5, a20 = 8.Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.4 - Propriedades das Progressões AritméticasNuma PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.Exemplo:PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é dotipo:(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2rEstas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.5 - Soma dos n primeiros termos de uma PAApostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 51
  52. 52. Apostilas Aprendizado UrbanoSeja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, daaplicação da segunda propriedade acima.Temos:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + anÉ claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais àsoma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.Daí então, vem finalmente que:Exemplo:Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )Precisamos conhecer o valor de a200 .Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.Exercícios resolvidos e propostos:1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeirotermo, para que a soma seja negativa?*a) 9b) 8c) 7d ) 6e) 5SOLUÇÃO:Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)Sn = (16n – 2n2) / 10Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:(16n – 2n2) / 10 < 0Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 52
  53. 53. Apostilas Aprendizado UrbanoComo o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo.Logo, deveremos ter:16n – 2n2 < 0Portanto, n(16 – 2n ) < 0Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acimaseja negativo, deveremos ter:16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.Portanto, a alternativa correta é a letra A.2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem.O perímetro do triângulo vale:a) 8b) 12c) 15*d) 24e) 33SOLUÇÃO:Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 03x + 4 – x2 = 0Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:x2 – 3x – 4 = 0Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.Assim, teremos:x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são asmedidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será iguala 5+8+11 = 24.O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, oque é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamentepositivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , dezero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60SOLUÇÃO:Teremos que:0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).1 hora o relógio baterá 1 vez2 horas o relógio baterá 2 vezes3 horas o relógio baterá 3 vezes........................................................................................................Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 53
  54. 54. Apostilas Aprendizado Urbano12 horas o relógio baterá 12 vezes.Logo, teremos a seguinte seqüência:(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a1, a razão é 1 e o último termo é 12.Portanto, a soma dos termos desta PA será:S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zerohora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número determos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1SOLUÇÃO:Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376b) 12846c) 21286d) 112*e) 61376SOLUÇÃO:Números com 3 algarismos: de 100 a 999.Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.Daí vem: n = 112Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376A alternativa correta é portanto, a letra E.6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimoé igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965SOLUÇÃO:Podemos escrever:a3 + a7 = 30a4 + a9 = 60Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 54
  55. 55. Apostilas Aprendizado UrbanoUsando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.Logo, o centésimo termo será:a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos,onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominadarazão.Exemplos:(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -32 - Fórmula do termo geralSeja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja,o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3................................................................................................Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-kExemplos:a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razãodesta PG?Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4Então q4 =16 e portanto q = 2.Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 55
  56. 56. Apostilas Aprendizado Urbano(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.3 - Propriedades principaisP1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D24 - Soma dos n primeiros termos de uma PGSeja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar oque segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + anMultiplicando ambos os membros pela razão q vem:Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . qObserve que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . qDaí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:Exemplo:Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:Observe que neste caso a1 = 1.5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitadaConsidere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerarque no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:Exemplo:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 56
  57. 57. Apostilas Aprendizado UrbanoResolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 506 – Exercícios resolvidos e propostos6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a,b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .Solução:Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0Multiplicando ambos os membros por q, fica:9 + 9q2 – 30q = 0Dividindo por 3 e ordenando, fica:3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valorq = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.Portanto, a PG é:9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 8196.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestascondições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:A)1*B) 10C) 100D) -1E) -10Solução:Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 57
  58. 58. Apostilas Aprendizado UrbanoComo existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,resultando em n(-1) = - n.Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – nVamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10,razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – nDeseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 106.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumentaindefinidamenteé igual a:A)1/x*B) xC) 2xD) n.xE) 1978xSolução:Observe que a expressão dada pode ser escrita como:x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 erazão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica derazão 2. Um desses ângulos mede:a) 28°b) 32°c) 36°*d) 48°e) 50°Solução:Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em ProgressãoGeométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 58
  59. 59. Apostilas Aprendizado Urbano( x, 2x, 4x, 8x ).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360ºPortanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.PROBABILIDADEA história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria daprobabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.Experimento AleatórioÉ aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes,ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, aabordagem envolve cálculo de experimento aleatório.Espaço AmostralÉ o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.Exemplo:Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12elementos:S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um númeroprimo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.2. Idem, o evento em que:a) A ou B ocorrem;b) B e C ocorrem;c) Somente B ocorre.3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivosResolução:1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4,K6};Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 59
  60. 60. Apostilas Aprendizado Urbano(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = ÆConceito de probabilidadeSe em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrerum evento A é:Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têmprobabilidades iguais de ocorrência.Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:Propriedades Importantes:1. Se A e A’ são eventos complementares, então:P( A ) + P( A ) = 12. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1(probabilidade do evento certo).Probabilidade CondicionalAntes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que sedeseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrênciaalterada.Fórmula de Probabilidade CondicionalP(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 60
  61. 61. Apostilas Aprendizado UrbanoP(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 eE2...En-1.Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada veze sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?Resolução:Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29Assim:P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87Eventos independentesDizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo asorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?Resolução:Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul nasegunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora,a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30.Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A)=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já queela foi reposta na urna.Probabilidade de ocorrer a união de eventosFórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) eP(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 61

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