Aula.número.complexo

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Apresentação dos números complexos e seu conjugado.
Operações com números complexos.
Cálculo da potência de i

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Aula.número.complexo

  1. 1. Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante: Δ > 0, duas raízes reais diferentes. Δ = 0, uma raiz real. Δ < 0, nenhuma raiz real.
  2. 2. Quando resolvemos a equação do 2°grau x² + 2x + 5 = 0, por exemplo,utilizando a fórmula de Bháskara , encontramos: X = - 2 ± √-16 2 Para determinar o valor de x, é preciso calcular a √ - 16. Porém isso é impossível em IR.
  3. 3. O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
  4. 4. Iremos apresentar a unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
  5. 5. i . i = - 1 Observação: É uma outra operação que ainda carece de definição. Não se trata de uma operação de números reais.
  6. 6. Definição de número complexo ( C ) Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = a + b i ,onde a , b ϵ IR e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z)
  7. 7. Quais dos números abaixo são complexos? 2 + 3 i 2 - 3 i 2 3 i -3 i 0
  8. 8. Número complexo Parte real Parte imaginária 2 + 3 i 2 3 2 - 3 i 2 -3 2 2 0 3 i 0 3 -3 i 0 -3 0 0 0
  9. 9. Conjuntos Numéricos em Diagrama No diagrama abaixo observamos que o conjunto dos números reais é subconjunto dos números complexos
  10. 10. A equação do 2º grau x² + 2x + 5 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais,mas pode ser resolvida no conjunto dos números Complexos , da seguinte forma: X = - 2 ± √ - 16 = - 2 ± 4i = - 1 ± 2i 2 2 Pois,( 4i)² = 4² . i² = 16 . (-1) = -16
  11. 11. Exemplo: Equação incompleta do 2º grau x² + 81 = 0 x² = –81 x = ± √–81 x = ± 9i Temos, (±9i)² = (±9)² . i² = 81 .(– 1 ) = – 81
  12. 12. Exemplo: Equação completa do 2º grau 2x² - 16x + 50 = 0 ; a = 2, b = -16, c = 50 Δ = b² - 4ac Δ = (-16)² - 4 . 2 . 50 = 256 + 400 = - 144 x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i
  13. 13. Exercícios 1)Resolva em C, as equações abaixo: a) x² + 4 = 0 b)x² - 4 x + 29 =0 c) x² + 9 = 0
  14. 14. 2)Identifique a parte real e a parte imaginária de cada um dos seguintes números complexos: a)z = 2 + 7i d)z = -10i b)z = - 4 + 3i e)z = 5 c)z = 1 + 5 i 3
  15. 15. Solução 1: a) x² + 4 = 0 X² = - 4 X = ± √ -4 X = ± 2i b) x² - 4x + 29 = 0 a=1 , b = -4 ,c=29 Δ = 16 -116 = -100 X = 4 ± √ -100 = 4 ± 10i 2 2 X = 2 ± 5i
  16. 16. C) x² + 9 = 0 X² = -9 X = ± √ -9 X = ± 3i
  17. 17. 2 a)z = 2 + 7i Re(z) = 2 e Im(z)=7 b)z = -4 + 3i Re(z) = -4 e Im(z)=3 c)z = 1 + 5 i Re(z) = 1/3 e Im(z)=5/3 3 d)z = -10i Re(z) = 0 e Im(z)=-10 e)z = 5 Re(z) = 5 e Im(z)=0
  18. 18. Conjugado Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. _ O conjugado de z = a + bi será: z = a – bi _ O conjugado de z = 2 +3i será: z = 2 - 3i
  19. 19. Operações com números complexos
  20. 20. Adição Tratando os números complexos como binômios, podemos realizar a sua soma reduzindo os termos semelhantes como no exemplo abaixo: ( 8 + 4i ) + ( 2 + 5i ) =8 + 4i + 2 + 5i = 8 + 2 + 4i + 5i = 10 + 9i Como você pode perceber, isto é equivalente a somarmos separadamente as suas partes reais e imaginárias.
  21. 21. Subtração ( 7 + 8i ) – ( 2 + 6i ) = 7 + 8i – 2 – 6i = 7 – 2 + 8i -6i = 6 + 2i ( 3 + i ) – ( 2 – 5i ) = 3 + i – 2 + 5i = 3 – 2 + i + 5i = 1 + 6i
  22. 22. Multiplicação Realizamos a multiplicação de números complexos tratando-os como binômios e os multiplicando como tal, ou seja, multiplicando cada termo do primeiro binômio por cada termo do segundo: ( 3 + 2i ) . ( 1 + 5i ) = 3 + 15i + 2i + 10i² = 3 +15i + 2i +10.(-1) = 3 +15i +2i -10 = 3 -10 + 15i +2i = - 7 + 17i
  23. 23. ( 5 + 8i ) . ( 5 – 8i )= 25 -40i + 40i -64i² =25 – 64 .(-1) = 25 +64 =89 (1 + 2i ) . ( 1 – 2i ) = 1 -2i +2i -4i² = 1 – 4.(-1) = 1+4 = 5 A multiplicação de um número imaginário pelo seu conjugado sempre resulta em um número real e isto pode ser utilizado para realizar a divisão de números complexos
  24. 24. Divisão A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.
  25. 25. Exemplo de divisão em C 4 + 2i = ( 4 + 2i ) . ( 1 – i) = 4 – 4i + 2i – 2i² = 1 + i ( 1 + i ) . ( 1 – i ) 1 – i + i – i² = 4 – 2i -2.(-1) = 4 -2i + 2 = 2 – 2i = 1 – i 1 – ( -1 ) 1 + 1 2
  26. 26. Cálculo da potência de i Existem apenas 4 valores para a potência de i com expoentes inteiros: i0 = 1 i¹ = i i² = - 1 e i³ = - i
  27. 27. A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4. Potência Resultado Potência Resultado i0 1 i4 1 i¹ i i5 i i² -1 i6 -1 i³ -i i7 -i
  28. 28. in = ir Para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que i343 = i³ = - i Vamos calcular i80 . Quando dividimos 80 por 4 ,sobra o resto 0. Assim: i80 = i° = 1
  29. 29. Trabalho de Pós Graduação em Matemática – UFF Disciplina: Informática Educativa I Tutora :Profª.: Vânia Marins Aluna:Vania Cristina Barros de Souza
  30. 30. Referências eletrônicas www.matematicadidática.com www.brasilescola.com Bibliografia: Matemática Paiva – vol.3.Editora Moderna Texto do professor Carlos Eduardo Mathias Motta:O uso de software de geometria dinâmica no ensino de um número complexo.

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