Apostila de ã lgebra linear

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Apostila de ã lgebra linear

  1. 1. AÁLGEBRA LINEAR Prof. Alexandre de Castro 1° SEMESTRE – ENGENHARIA
  2. 2. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 2 Sumário I. Introdução aos vetores ...................................................................................................................... 2 - O que é um vetor? - Tipos de vetores II. Operações entre vetores ................................................................................................................... 4 - Adição - Diferença - Multiplicação por uma escalar III. Vetores no R2 ..................................................................................................................................... 7 - Representação - Decomposição vetorial no plano - Combinação Linear - Base Canônica do R2 - Expressão Analítica de um vetor - Igualdade entre vetores - Operações entre vetores no R2 IV. Vetores no R3 .................................................................................................................................. 11 - Representação - Igualdade entre vetores - Operações entre vetores no R3 V. Produto Escalar ................................................................................................................................ 13 - Definição - Propriedades do Produto Escalar - Módulo de um vetor - Definição geométrica de Produto Escalar - Cálculo do ângulo entre dois vetores VI. Produto Vetorial .............................................................................................................................. 23 - Definição - Características do produto vetorial - Interpretação geométrica do módulo do Produto Vetorial VII. Produto Misto .................................................................................................................................. 28 - Definição - Propriedades do produto misto - Interpretação geométrica do Produto Misto
  3. 3. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 3 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE ESPAÇO VETORIAL: CONCEITO E TIPOS DE VETORES I. Vetores O que é um vetor? Vetor é um conjunto de segmentos orientados (seta) equipolentes à 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ que pode ser interpretado com sendo o menor caminho a ser percorrido de um ponto de partida a um ponto de chegada. Obs.: Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ são chamados de equipolentes se, e somente se, possuírem mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo. Representação: AB ~ CD Tipos de vetores Vetores Iguais Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗⃗ são iguais, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗⃗ , se, e somente se, tiverem mesmo módulo, direção e sentido. Vetores Paralelos Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , se os seus representantes tiveram a mesma direção. Na figura ao lado, tem-se 𝑢⃗ //𝑣 //𝑤⃗⃗ , onde 𝑢⃗ e 𝑣 têm mesmo sentido, enquanto 𝑤⃗⃗ tem sentido invertido. Vetores Nulos Um vetor, indicado por 0⃗ ou 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , cuja extremidade se coincide com a origem, é denominado por vetor zero ou vetor nulo. Geometricamente esses vetores são representados por um ponto. Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definido, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. ∙ 0⃗ 𝜋
  4. 4. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 4 Vetores Opostos Dois vetores 𝑢⃗ 1 e 𝑢⃗ 2 são denominados opostos, pois possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos invertidos. Na figura ao lado, 𝑢⃗ 2 = −𝑢⃗ 1. Obs.: Todo vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ é oposto ao 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . Vetores Unitários São vetores que possuem módulo igual a uma unidade. |𝑣| = 1 Versor de um vetor Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝑣.⃗⃗⃗ Obs.: 𝑢⃗ 2 não é um vetor unitário de 𝑣 pois o sentido está oposto ao de 𝑣.⃗⃗⃗ Vetores Colineares Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Vetores Coplanares São vetores que pertencem a um mesmo plano 𝜋.
  5. 5. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 5 Método do paralelogramoMétodo do polígono Método do paralelogramo UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE ESPAÇO VETORIAL: OPERAÇÕES ENTRE VETORES II. Operações com vetores Adição de Vetores O vetor soma 𝑠 = 𝑢⃗ + 𝑣 é o vetor que tem origem na origem do vetor 𝑢⃗ e extremidade na extremidade do vetor 𝑣. Obs.:  Para o Método do polígono: ‖𝑠‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐴𝐵̂ 𝐶;  Para o método do paralelogramo: ‖𝑠‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐴𝐵̂ 𝐷. Diferença de Vetores O vetor diferença 𝑑 = 𝑢⃗ − 𝑣 é o vetor que tem origem na extremidade do vetor 𝑣 e extremidade na extremidade do vetor 𝑢.⃗⃗⃗ Obs.: ‖𝑑‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐵𝐴̂ 𝐶; Multiplicação por uma escalar Dado um vetor 𝑣 ≠ 0 e um número real 𝑘 ≠ 0. Chama-se produto do número real k pelo vetor 𝑣 o vetor 𝑝 = 𝑘𝑣, com mesma direção e mesmo sentido de 𝑣, se 𝑘 > 0 e, mesma direção e sentido oposto de 𝑣, se 𝑘 < 0.
  6. 6. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 6 Exercícios resolvidos 1) Considerar os vetores a  e b  para desenhar os seguintes vetores: a) ba   b) ba   c) b  2 1  d) ba  2 Solução: a) b) c) d) 2) Dados os vetores 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ , de acordo com a figura, construir o vetor 2𝑢⃗ − 3𝑣 + 1 2 𝑤⃗⃗ = 𝑠 Solução:
  7. 7. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 7 Exercícios de aplicação 1. Dados os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 a seguir, determine graficamente os vetores: a) 𝑢⃗ + 𝑣 b) 𝑢⃗ − 𝑣 c) −𝑣 + 𝑢⃗ d) −𝑣 − 2𝑢⃗ e) 2𝑢⃗ + 3𝑣 2. Dados os vetores 𝑎, 𝑏⃗ 𝑒 𝑐, como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores: a) 4𝑎 − 2𝑏⃗ − 𝑐 b) 𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐 c) 2𝑏⃗ − (𝑎 + 𝑐) 3. Calcule o módulo do vetor soma (resultante) e o vetor diferença dos vetores 𝑎 e 𝑏⃗ em cada caso. 4. Calcule o ângulo formando por dois vetores cujos módulos são: |𝑢⃗ | = 5𝑢 𝑒 |𝑣| = 6𝑢 e cujo vetor resultante tem módulo √61 unidades? 5. Considere a figura ao abaixo. Sabendo que 𝑎 = 4 m, 𝑏⃗ = 6 m e cos 30° = 0,8, calcule o módulo da combinação linear (3𝑎 - 2𝑏⃗ )
  8. 8. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 8 B y 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦)A P O x 𝑢⃗ UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE ESPAÇO VETORIAL: Vetores no 𝑰𝑹 𝟐 e 𝑰𝑹 𝟑 III. VETORES NO 𝑹 𝟐 R2 = R × R = {(𝑥 , 𝑦)/ x , 𝑦 ∈ 𝑅} O símbolo 𝑅2 é a interpretação geométrica do plano cartesiano bidimensional. Exemplo: Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1) e B (𝑥2, 𝑦2), nesse plano pode ser representado por outro 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com origem em O(0, 0) e extremidade em P(x, y). Decomposição vetorial no plano Representações: • 𝑣 é o vetor arbitrário do plano; • {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2}⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é o conjunto de vetorial, não colineares, bases do vetor arbitrário; • 𝑎1 𝑒 𝑎2 são constantes (componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação as bases {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ } respectivamente); • 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣1⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ; • 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣2⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . • 𝑣 = 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é uma combinação linear de 𝑣 em função de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2.⃗⃗⃗⃗⃗ Obs.: Caso os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , bases do plano, sejam unitárias e ortogonais dizemos que são ortonormais.
  9. 9. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 9 Exemplo: Considere as bases {𝑒1⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗⃗ } ortonormais. Represente geometricamente o vetor 𝑣 como uma combinação linear de {𝑒1⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗⃗ } de acordo com a relação: 𝑣 = 3𝑒1⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗⃗ Combinação Linear Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre o corpo 𝐾. Define-se como combinação linear para 𝑅 𝑛 o vetor. 𝒗⃗⃗ = 𝒖⃗⃗ 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒖⃗⃗ 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒖⃗⃗ 𝒏 𝒙 𝒏, Onde {𝑣, 𝑢⃗ 1, 𝑢⃗ 2 , … 𝑢⃗ 𝑛} ∈ 𝑉 ^{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛} ∈ 𝐾 Exercício resolvido: Expresse 𝑣= (3, 7) de 𝑅2 como uma combinação linear dos vetores: 𝑢⃗ 1 = (1; 2) e 𝑢⃗ 2 = (2; 3) Solução: 1º passo (Montar a combinação linear de 𝑣 em função de 𝑢⃗ 1 𝑒 𝑢⃗ 2, substituir as coordenadas correspondentes e organizar os termos em um sistema de equações). 𝑣 = 𝑢1⃗⃗⃗⃗ 𝑎 + 𝑢2⃗⃗⃗⃗ 𝑏 (3, 7) = (1, 2)𝑎 + (2, 3)𝑏 (3, 7) = (𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 3𝑏) { 𝑎 + 2𝑏 = 3 2𝑎 + 3𝑏 = 7 2º passo (Resolver o sistema de equações e determinar os valores de a e b) { 𝑎 + 2𝑏 = 3 . (−2) 2𝑎 + 3𝑏 = 7 { −2𝑎 − 4𝑏 = −6 2𝑎 + 3𝑏 = 7 −𝑏 = 1 𝒃 = −𝟏 𝑎 + 2𝑏 = 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏 = −1 𝑎 + 2 ∙ (−1) = 3 𝑎 − 2 = 3 𝒂 = 𝟓 3º passo (Substituir os valores de a e b em 𝑣) 𝑣 = 𝑢1 ∙ 5 + 𝑢2 ∙ (−1) ∴ 𝒗 = 𝟓𝒖 𝟏 − 𝒖 𝟐
  10. 10. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 10 Bases canônicas do 𝑹 𝟐 Dentre os conjuntos de vetores bases ortonormais do plano xOy, temos um em particular, representado por segmentos orientados com origem em O(0, 0) e extremidade nos pontos de coordenadas (1,0) e (0,1), chamado de base canônica do 𝑅2 . Obs.: O símbolo utilizado para representar os vetores da base canônica do 𝑅2 , são: 𝑖 = (1, 0)𝑒 𝑗 = (0, 1), versores dos eixos da abscissas “x” e ordenada “y”, respectivamente. Expressão Analítica de um Vetor Como {𝑖, 𝑗⃗⃗ } é a base canônica ortogonal do plano xOy, então: 𝑣 = (𝑥, 𝑦) pode ser representado por 𝑣= 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 Exercícios resolvidos 1. Determinar o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e o vetor 𝑎 equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com início na origem O(0, 0). a) )3,2(A e )1,2(B b) )2,2(A e )0,3(B Solução
  11. 11. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 11 Igualdade entre vetores Dois vetores 𝑢 = (𝑥, 𝑦) 𝑒 𝑣 = (𝑥, 𝑦) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 e escreve-se 𝑢 = 𝑣. Exercício resolvido Se o vetor 𝑢⃗ = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6), determine, em 𝑅2 , o valor de x e y. Solução: 1° passo (Montar a igualdade) 𝑢⃗ = 𝑣 2° passo (Substituir as coordenadas de 𝑢⃗ 𝑒 𝑣) (𝑥 + 1, 4) = (5, 2𝑦 − 6) 3° passo (determinar x e y) 𝑥 + 1 = 5 𝒙 = 𝟒 2𝑦 − 6 = 4 𝒚 = 𝟓 Operações entre vetores no 𝑹 𝟐 I. Adição entre vetores Para somar vetores, somam-se suas componentes correspondentes. Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) II. Multiplicação entre um número real e um vetor Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se: 𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1) 𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1)
  12. 12. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 12 Exercício resolvido 1. Dado o vetor 𝑢 = (2, 4), o vetor 𝑣 = (5, − 6) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅2 , o valor de: a) 𝑢 + 𝑣 b) 𝑎. 𝑣 Solução: a) 𝑢 + 𝑣 = (2, 4) + (5, − 6) 𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 + (−6)) 𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 − 6) 𝑢 + 𝑣 = (7, − 2) 𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6) 𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6)) 𝑎. 𝑣 = (−15, 18) IV. VETORES NO 𝑹 𝟑 R3 = R × R × R = {(𝑥 , 𝑦, 𝑧)/ x , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} O símbolo 𝑅3 é a interpretação geométrica do plano cartesiano tridimensional. Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) nesse plano pode ser representado por outro 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com origem O(0, 0, 0) e extremidade P(x, y, z). Decomposição vetorial no espaço Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo a base canônica representada por {𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ }. No plano, o vetor 𝑣 é igual ao vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ e corresponde à diagonal do paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 𝑒 𝑧𝑘⃗ . E, para simplificar, escrevemos: 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑣.⃗⃗⃗
  13. 13. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 13 Exercício de sala Localize os vetores, a seguir, no plano 𝑅3 : a) 𝑣 = (1, 2, 5) b) 𝑢⃗ = (−1, − 2, 3) c) 𝑤⃗⃗ = (1, − 2, − 2) d) 𝑡 = 2𝑖 − 4𝑗 + 𝑘⃗ e) 𝑞 = −𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘⃗ f) 𝑚⃗⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘⃗ Igualdade entre vetores Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2. Exercício resolvido Se o vetor 𝑢⃗ = (2, 𝑎 + 1, 5) é igual ao vetor 𝑣 = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5), determine, em 𝑅3 , o valor de a e b. Solução 1° passo (Montar a igualdade) 𝑢⃗ = 𝑣 2° passo (Substituir as coordenadas de 𝑢⃗ 𝑒 𝑣) (2, 𝑎 + 1, 5) = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5) 3° passo (determinar a e b) 2𝑎 + 𝑏 = 2 2 ∙ 3 + 𝑏 = 2 𝒙 = −𝟒 𝑎 + 1 = 4 𝒂 = 𝟑 Operações entre vetores no 𝑹 𝟑 Adição entre vetores Para somar vetores no R3 , somam-se suas componentes correspondentes. Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) define-se: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) Multiplicação entre um número real e um vetor Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se: 𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1, 𝑎𝑧1)
  14. 14. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 14 Exercício resolvido Dado o vetor 𝑢 = (2, 5, 3), o vetor 𝑣 = (5, − 6, −2) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅3 , o valor de: a) 𝑢⃗ + 𝑣 b) 𝑎. 𝑣 Solução: a) 𝑢⃗ + 𝑣 = (2, 5, 3) + (5, − 6, −2) 𝑢⃗ + 𝑣 = (2 + 5, 5 + (−6), 3 + (−2)) 𝑢⃗ + 𝑣 = (2 + 5, 5 − 6, 3 − 2) 𝑢⃗ + 𝑣 = (7, − 1, 1) 𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6, −2) 𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6), −3 ∙ (−2)) 𝑎. 𝑣 = (−15, 18, 6) Exercícios de aplicação 1. Determinar o vetor 𝑤⃗⃗ na igualdade 3𝑤⃗⃗ + 2𝑢⃗ = 1 2 𝑣 + 𝑤⃗⃗ , sendo dados 𝑢⃗ = (3, −1) 𝑒 𝑣 = (−2, 4). 2. Encontre os números 𝑎1 𝑒 𝑎2 tais que 𝑤⃗⃗ = 𝑎1 𝑢⃗ + 𝑎2 𝑣, sendo 𝑢⃗ = (1,2), 𝑣 = (4, − 2) 𝑒 𝑤⃗⃗ = (−1, 8). 3. Dados os pontos A(- 1, 2), B(3, -1) e C(- 2, 4), determine D(x, y) de modo que 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 4. Localize, no 𝑅3 , os seguintes vetores: a) 𝑢⃗ = (4, 1, −3) b) 𝑣 = (2, 3, 4) c) 𝑤⃗⃗ = (4, −1, −3) d) 𝑡 = (−4, 3, −5) e) 𝑥 = (3, −2, −2) f) ℎ⃗ = −3𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘⃗ g) 𝑘⃗ = −𝑖 + 𝑗 + 3𝑘⃗ i) 𝑝 = 𝑖 − 3𝑗 + 𝑘⃗ 5. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que 𝑤⃗⃗ = 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, −2, 1), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, −4) 𝑒 𝑤⃗⃗ = (−4, −4, 14). 6. Determine o vetor 𝑣 sabendo que (3, 7, 1) + 2𝑣 = (6, 10, 4) − 𝑣 7. Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determine o ponto P tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
  15. 15. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 15 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ – UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Matrizes: Definição e Tipos de matrizes V. Matrizes Definição: Matriz m x n (lê-se: m por n) é uma tabela de “m por n” números reais, dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos: 1.         240 321 A é uma matriz 2 x 3; 2.         11 04 B é uma matriz 2 x2; A indicação ou notação de uma matriz pode ser feita usando-se colchetes, parênteses ou duas barras verticais (menos usual), como mostrado nos exemplos 1, 2 e 3 acima, respectivamente. Representação de uma Matriz: As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a posição linha e coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: Uma matriz genérica A do tipo m x n é representada por: 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a a a a a                 ou, abreviadamente, A=( )ij m x na , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, 1 1 i m j n      . Exemplo 1: Seja a matriz A= 2 2( )ij xa , onde ji2aij  : Genericamente: 2x22221 1211 aa aa A        . Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, ji2aij  , teremos: 11 21 12 222(1) 1 3 ; 2(2) 1 5 ; 2(1) 2 4 ; 2(2) 2 6a a a a            Assim, A=       65 43 .
  16. 16. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 16 Matrizes Especiais:  Matriz Linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha. Exemplo:   4x11374A  .  Matriz Coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna. Exemplo: 1x3 0 1 4 B            .  Matriz Quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n. Exemplo: 2x2 12 74 C         3x3 372 30 014 D              Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 Diagonal Principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonal Secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1.. Exemplo:               675 303 521 A3 Identificação dos elementos constituintes da matriz: - O subscrito 3 indica a ordem da matriz; - A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6; - A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;  Matriz Nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos. Exemplo:        000 000 O 3x2 Notação: nxmO  Matriz Diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Exemplo:        10 02 A2            700 030 004 B3 .
  17. 17. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 17  Matriz Identidade: É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são nulos. Exemplo:        10 01 I2 ,            100 010 001 I3 ou : ij 1, i j ( ), a 0, se i j n ij se I a      Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.  Matriz Transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notação: t A . Exemplo: Se         121 032 A então t A =             10 23 12 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, t A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de t A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de t A .  Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= t A . Exemplo: Se 3x3 541 423 132 A            , então 3x3 t 541 423 132 A             Matriz Oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos. Notação: – A Exemplo: Se        1-4 03 A então, A =         14 03  Igualdade de Matrizes: Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se os respectivos elementos, ou seja, aqueles que ocupam a mesma posição, são idênticos. Notação: A = B. Exemplo: Se         b1 02 A         31 c2 B , e A = B, tem-se que: c = 0 e b = 3 Simbolicamente: ijij baBA  para todo mi1  e todo ni1  . Obs: Se A = – t A , dizemos que a matriz A é anti simétrica.
  18. 18. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 18 Exercícios 1 – Escreva a matriz A=  3x2ija , onde ija =2i+3j 2 – Escreva a matriz C=  1x4ijc , onde jic 2 ij  . 3 – Escreva a matriz A=  3x4ija , onde       jise,1 jise,2 aij 4 – Escreva a matriz A=  3x2ija , onde       jise,ji jise,ji2 aij 5 – Dada a matriz A=        41 21 , determinar: a) a transposta de A b) a oposta de A 6 – Determinar os valores de a e b, tais que:                 3a 2b 3b 1a2 7 – Seja A=  3x2ija , com ija =i + j. Ache m, n e p, em B=         5p2m1n 43nm para que tenhamos: A=B. RESPOSTAS 1) A=       13107 1185 2) C=             17 10 5 2 3) A=               222 222 122 112 4)          165 213 A 5) a)          42 11 At b) – A=        41 21 6) a = 1 e b = 1 7) m = – 2, n = 4 e p = –3
  19. 19. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 19 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Matrizes: Operações entre Matrizes VI. Operações entre matrizes Adição de Matrizes Dadas as matrizes A=( )ij m x na e B =( )ij m x nb , chamamos de soma das matrizes A e B, a matriz C, tal que: C =( )ij m x nc , tal que ijijij bac  , para todo mi1  e todo ni1  . Notação: A + B = C Propriedades: Se: A, B e C são matrizes de mesma ordem (m x n), valem as seguintes propriedades: 1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2) Comutativa: A + B = B + A 3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A, onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O Exemplo: 1)                              90 33 2700 1421 20 12 70 41 2)                              101 145 211110 101332 21-1 113 110 032 Subtração de Matrizes Dadas as matrizes A=( )ij m x na e B=( )ij m x nb , chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B Notação: A – B = A + (– B) Exemplo: Sendo: 3 0 4 7 A       e 1 2 0 -2 B        , então A – B será dado por: Obs: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo ou de mesma ordem: (m x n). Obs: A + B existe se, e somente se, A e B são de mesma ordem: (m x n).
  20. 20. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 20 3 0 1 2 3 0 1 -2 3 1 0 2 2 2 4 7 0 -2 4 7 0 2 4 0 7 2 4 5 A B                                                  Multiplicação de uma Matriz por um Número Real “k” Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n , o produto de k por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k . Notação: B = k . A Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1) Associativa: x.(y.A) = (x.y).A 2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B 3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (x + y).A = x.A + y.A 4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A Exemplo: 1)                        03 216 0.31.3 7.32.3 01 72 .3 Multiplicação de Matrizes: O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais. Assim, o produto das matrizes A= ij m x p a e B=  x nij p b é a matriz C= ij m x n c , onde cada elemento ijc é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. Obs: Cada elemento ijb de B é tal que ijb = k . ija Obs: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam        203 461 A e        437 205 B . Os elementos 2be4a 1313  são elementos correspondentes.
  21. 21. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 21 Decorrência da definição: A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B). Assim:  x p p x n x n e B .m m A A B Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo fator. Exemplo: 1) Se   5x35x22x3 B.ABeA  2) Se produtoexistenãoqueBeA 3x21x4  3)   1x41x22x4 B.ABeA  Propriedades: Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades: 1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C) 2) Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = (A+B).C = A.B + A.C Elemento Neutro: A. nI = nI .A = A, onde nI é a matriz identidade de ordem n. Atenção: Não valem as seguintes propriedades: 1 – Comutativa, pois, em geral, A.B  B.A 2 – Sendo nxmO uma matriz nula, A.B = nxmO não implica, necessariamente, que A = nxmO ou B = nxmO . Exemplo: 1) Sendo A=       14 32 e B=       43 21 , vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados obtidos. Solução: A.B =       14 32 .       43 21 coluna1elinha1a aa 11   = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11
  22. 22. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 22 coluna2elinha1a aa 12   = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16 coluna1elinha2a aa 21   = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7 coluna2elinha2a aa 22   = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12 Assim: A.B = 2x2 14 32       . 2x2 43 21       = 2x2 127 1611 4834 12492 4.12.43.11.4 4.32.23.31.2                       B.A = 2x2 43 21       . 2x2 14 32       = 2x2 1322 510 49166 2382 1.43.34.42.3 1.23.14.22.1                       Comparando os resultados, observamos que A.B  B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não é valida. 2) Seja A= 3x2 2x3 402 321 Be 41 10 32                    , determine: a) A.B b) B.A Solução: a) A.B = 3x3 3x2 2x3 4.43.10.42.1)2.(41.1 4.13.00.12.0)2.(11.0 4.33.20.32.2)2.(31.2 402 321 . 41 10 32                                = = 3x33x3 1329 402 1844 16302)8(1 4000)2(0 12604)6(2                           
  23. 23. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 23 b) B.A = 2x2 2x3 3x2 4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2 )4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1 41 10 32 402 321 .                            = = 2x22x2 108 171 1606)4(04 1223)3(02                 Conclusão: Verificamos que A.B  B.A Matriz Inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 1 A , de mesma ordem, tal que 1 1 . . nA A A A I    , então 1 A é a matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se 1 1 . . nA A A A I    , isto implica que 1 A é a matriz inversa de A). Notação: 1 A Exemplo: Sendo A = 2x2 12 21        , vamos determinar a matriz 1 A , inversa da matriz A, se existir. Solução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que 1 1 . . nA A A A I    , basta fazer: 1. Impomos a condição de que 1 . nA A I  e determinamos 1 A : A. ' A = nI  2x2 12 21        . 2x2 dc ba       =       2x2 10 01
  24. 24. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 24 2x22x2 2x22x2 10 01 d2b-ca2 d2bc2a 10 01 1.d2.b-c.1a.2 d.2b.1c.2a.1                               A partir da igualdade de matrizes, temos que: 2 1 2 0 e 2 0 2 1 a c b d a c b d               Resolvendo o sistema de 4 equações a 4 incógnitas, temos que: 1 2 a ; c 5 5   ; 1 2 d e b 5 5    Assim: 1 A =. 2x2 dc ba        1 2 x 2 1 2 5 5 2 1 5 5 A             2. Verificamos a igualdade: 1 1 . . nA A A A I    1 2 x 2 1 2 5 5 . 2 1 5 5 A A             . 2x2 12 21        =     2 2 x 2 2 x 22 2 1 2 1 2 1 4 2 2 5 1 2 2 1 0 1 05 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 4 1 5 0 12 1 2 1 01 2 2 1 5 5 5 5 55 5 5 5 x . . . . I . . . .                                                           Portanto temos uma matriz A , tal que: 1 1 . . nA A A A I    Logo, 1 A é inversa de A, e dizemos que a matriz A é inverssível ou invertível, e ela será representada por: 1 A = 2 x 2 1 2 5 5 2 1 5 5            .
  25. 25. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 25 Exercícios 1) Calcule x, y e z, tais que                    04 z23 17 71 1yx zx2 . 2) Sendo A=  2x3ija , onde ija =2i-j, e B=  2x3ijb , com ijb = ,ji2  calcule: a) A – B b) B – A c)  t BA  3) Dadas as matrizes A=       10 32 ,        23 40 B e C=       180 1415 calcule: a) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C 4) Sendo A=  2x2ija , onde ija =2i-j, e B=  2x2ijb , com ijb = ij , determine X tal que 3A + 2X = 3B. 5) Sendo A=       21 22 , calcule 2 2 I5A4A  . 6) Dadas as matrizes A=                            531 531 531 B, 431 541 532 3x3 e C=              321 431 422 . Calcule: a) A.B b) B.A c) A.C d) C.A 7) Verifique se B= 2x23 1 3 2 2 1 0        é inversa de A=        34 02 8) Determinar, se existir, 1 A em cada caso: a) A=       10 01 b) A=       12 32 .       11 01 Respostas 1) x = 2, y = – 9 e z = –7 2) a) 1 3 2 4 5 7                 b) 1 3 2 4 5 7           c) 3 8 15 3 8 15       3) a) 0 0 0 0       b) 4 14 15 8          4) X=         36 2 3 2 3 5)       98 169 6) a)           000 000 000 b)           000 000 000 c) AC= A d) CA= C 7) Sim, B é inversa de A 8) a)       10 01 b)          8 5 8 1 8 3 8 1
  26. 26. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 26 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Determinantes: Definição, tipo de determinantes e operações DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. 1. Determinante de primeira ordem Dada uma matriz quadrada de  a 1 ordem M= 11a , chamamos de determinante associado à matriz M o número real 11a . Notação: det M ou 11a = 11a Exemplos: 1.   55ou5Mdet5M 11  2.   33-ou3Mdet3M 12  2. Determinante de segunda ordem Dada a matriz M=       2221 1211 aa aa , de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de  a 2 ordem é dado por: 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a M a a a a a a         Assim: 11 22 12 21det M a a a a  ` Exemplo: Sendo M=       54 32 , então: det( ) 2 5 3 4 10 12 2M         Logo: det( ) 2M   Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
  27. 27. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 27 3. Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por ija . Exemplo: Dada a matriz M=       2221 1211 aa aa , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1; MC = menor complementar       2221 1211 aa aa , logo, 222211 aaMC  Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por:       2221 1211 aa aa , logo, 212112 aaMC  e assim por diante. Exemplo: Dada a matriz M=           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , de ordem 3, vamos determinar: a) 11MC b) 12MC c) 13MC d) 21MC Solução: OBS.: Denotando “menor complementar” por MC a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , temos que: 11MC =  32233322 3332 2322 aaaa aa aa       b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: 12MC =       3331 2321 aa aa =  31233321 aaaa 
  28. 28. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 28 c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que: 13MC =       3231 2221 aa aa =  31223221 aaaa  d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que: 21MC =       3332 1312 aa aa =  32133312 aaaa  4. Cofator: Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o número ijA , tal que ( 1)i j ij ij A MC    . Exemplo: Dado que: 11 12 21 22 a a M a a        , os cofatores relativos os elementos da matriz M são:  2222 2 MC 22 11 11 aa)1(a)1(A 11   ;  2121 3 MC 21 21 12 aa)1(a)1(A 12   ;  1212 3 MC 12 12 21 aa)1(a)1(A 21   ;  1111 4 MC 11 22 22 aa)1(a)1(A 22   . Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A ) como sendo:                1112 2122 2221 1211 aa aa AA AA A
  29. 29. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 29 Exemplo: Sendo M=           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , vamos calcular os cofatores 312322 AeA,A :       11 132 2 4 22 11 33 13 31 31 33 11 33 13 31 ( 1) ( 1) ( 1) a a A a a a a a a a a a a                   ;     11 122 3 5 23 11 32 12 31 31 32 11 32 12 31 ( 1) ( 1) ( 1) a a A a a a a a a a a a a                       ;     12 133 1 4 31 12 23 13 22 22 23 12 23 13 22 ( 1) ( 1) ( 1) a a A a a a a a a a a a a                       . Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A, e indicamos por:  t AadjA  6. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada    2maM mxmij  pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando mj1quetal,Nj  , temos:   m 1i ijijAaMdet onde,  m 1i é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm e ijA é o cofator ij. Exemplo : Calcular, usando Laplace, os seguintes determinantes: a) 1 2 2 3 4 1 2 3 4 0 0 2 0 2 1 2 b) D 3 1 1 1 0 5 6 1 0 2 3 D       
  30. 30. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 30 Solução: a) 650 212 432 D1    Aplicando Laplace na coluna 1, temos:    21 43 (-1)0 65 43 (-1))2( 65 21 (-1)2D 31 31 21 21 11 11 CofatorA 13 a CofatorA 12 a )11cofator(A 11 a 1            0 65 43 2 65 21 2D1    1 2(6-10) 2(18 20) 2(-4) 2(38)D      68768D1  b) Como três dos quatro elementos da  a 2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha. 3201 1113 0200 1432 D2     23 2 3 2 D 2 3 1 0 0 2( 1) 3 1 1 1 0 3 MC D         OBS.: Então podemos rescrever 2D como:
  31. 31. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 31 (I)D2D2  Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na  a 3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:    3331 MC 33 MC 13 1-3 32 )1(3 11- 1-3 )1(1D D 1(3 1) 3( 2 9) 1(2) 3( 11) 2 33             35D  Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos: -2(-35)DD2D 22  70D2  7. Regra de Sarrus Dispositivo prático para calcular o determinante de  a 3 ordem. Exemplo: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus. D= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da  a 3 coluna: 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa 2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:  322113312312332211 aaaaaaaaa 
  32. 32. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 32 3º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:  332112322311312213 aaaaaaaaa  Assim:  332112322311312213 aaaaaaaaaD   322113312312332211 aaaaaaaaa  OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de  a 3 ordem com o auxílio do teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real. Exemplo: Calcular o valor dos seguintes determinantes: a) 1 2 3 1 4 1 2 3 2 1 D    b) 2 2 -1 0 1 0 0 1 2 D 1 0 - 1 0 0 1 1 0  Solução: a) 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 1 3 2 D     (por Sarrus)    3 8 12 2 18 8 23 24 47            1det( ) 47D  
  33. 33. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 33 b) 0110 01-01 2100 101-2 D2  Aplicando LaPlace na  a 2 linha, temos: ' '' 2 2 2 3 2 4 2 D 2 1 1 2 1 0 D 1( 1) 1 0 0 2( 1) 1 0 -1 0 1 0 0 1 1 D         '' 2 ' 22 D2D)1(D  Cálculo de ' 2D : Como, na  a 2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar Laplace; assim: 1)10(1 01 11 )1(1D 12' 2     Cálculo de '' 2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos: '' 2D  1 0 1- 0 1 2 110 1-01 01-2 (0 2 1) (0 0 0) 3       Portanto: 5D61)3(2)1(1D2)1(D 22 '' 2 ' 22  DD PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos. P1 Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
  34. 34. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 34 Exemplos: 1) 0 391218 3123 0000 7894    2) 0 701 302 1503    P2 Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 1) 0 3479 5312 8924 5352  pois, L1 = L3 P3 Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo. Exemplo: 1) 0 623 412 241  pois C3 = 2C1 P4 Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo. Exemplos: 1) 0 523 642 431  pois C1 + C2 = C3
  35. 35. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 35 2) 0 5107 321 143  pois 2L1 + L2 = L3 P5 Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo: 1) 9 342 212 321  Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 9 3410 214 325 34242 21212 32221 2C2C1       P6 O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo: 1 2 3 det( ) 2 1 2 9 2 4 3 A   1 2 2 det( ) 2 1 4 9 3 2 3 t A   P7 Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos: 1) 4 123 112 321  Multiplicando C1 por 2,
  36. 36. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 36 temos:   842 126 114 322  2) 145 102 473 0105    Multiplicando L1 por 5 1 , temos:   29145 5 1 102 473 021    P8 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: 4 123 112 321  Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos: 4 123 321 112   P9 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: 1) cba cfe 0bd 00a  2) zyx z00 iy0 hgx 
  37. 37. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 37 P10 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por     2 1nn 1   . Exemplos: 1) ba xb a0  2) cba zyc xb0 a00  P11 Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: det( ) det( ).det( )AB A B Obs: Como A  A-1 = I, na propriedade acima, temos: 1 1 det( ) det( ) A A  Exemplo: Se A = 2 1 3 4       B = 1 0 2 2       e AB = 4 2 11 8       , então:   5 2 10 det det detAB A B  P12 Se k IR , então det( . ) .det( )n k A k A Exemplo: Sendo k=3, A = 2 1 4 5       e 6 3 . 12 15 k A        , temos:   23 654 det det( )n k A k A   P13 det( ) det( ) det( )A B A B  
  38. 38. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 38 9. Regra de Chió A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n  ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual determinante. Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante associado à matriz            642 315 432 A com o auxílio da regra de Chió: Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.   642 315 432 Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna). 2 (5 3) 4 (3 3) 2 (15) 4 (9) 13 5 2 (5 4) 6 (4 3) 2 (20) 6 (12) 18 6                   Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por   ji 1   , onde i representa a linha e j a coluna retiradas (neste caso,  a 2 linha e  a 2 coluna).   12Adet 9078)1( 618 513 )1(Adet 422      
  39. 39. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 39 10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema: A matriz inversa 1 A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, 0Adet  e é dada por: 1 1 ( ) det( ) A adj A A    OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores da matriz A:  ( ) t adj A A Exemplos: 1. Verificar se a matriz         31 06 A admite inversa Solução: A matriz A admite inversa se, e somente se, det( ) 0A  . Assim, como: 6 0 det( ) 18 0 1 -3 A     , existe a matriz inversa de ª 2. Calcular x para que exista a inversa da matriz               x12 01x 233 A Solução: Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA-1  ) Então: 1 1 3 2 x 3 x12 01x 233         2 2 3 0 2 4 0 3 3x 4 0 x x x x             Assim, -1 4 1 3 A x e x     3. Calcular, se existir, a inversa da matriz          41 32 A ,usando: 1 1 ( ) det( ) A adj A A  
  40. 40. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 40 Solução: Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.  det( ) 2 4 3( 1) 8 3 5A          como 1 A05   Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A. 44)1( 11 11   A 11)1( 21 12   A 33)1( 12 21   A 22)1( 22 22   A Assim, a matriz dos cofatores é dada por:         2-3 14 A Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:           2-1 34 adjAAadjA t Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A, ( 1 A ): 1 1 4 31 1 ( ) 1 2det( ) 5 A adj A A A            : 1 4 3 5 5 1 2 5 5 A            
  41. 41. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 41 Exercícios 1) Calcular o valor do determinante da matriz: A=       83 3,02 1 2) Calcular o valor de Rx  na igualdade 3x4 3x3  =0 3) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace: a) 987 654 321 b) 0010 1000 2002 3110 4) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 0 2 31 2 0,3 0,5 1 2 1 1 1 8 0     5) Sendo A=           231 210 032 , pede-se determinar: a) det( )A b) det( )t A 6)Utilizando as propriedades estudadas, pede-se calcular o valor dos determinantes justificando as respostas obtidas: a)             152 311 243 b) 3201 81264 3124 4632    c) 5000 3400 9230 5421    d)     431 220 100 17218 134 892 097 022 043 54827 723428 184255 7)Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: a) A=        23 10 b) B=            207 135 064 Respostas 1) a) 3 2) x = – 4 ou x = 1 3) a) 0 b) –2 4) 12 5  5) a) –2 b) –2 6) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 7) a) 1 2 1 3 3 1 0 A         b) 1 1 2 1 7 7 7 1 4 2 14 21 21 1 2 1 1 B              
  42. 42. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 42 Cálculo da Inversa de uma Matriz por Meio de Operações Elementares. Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, basta seguir o seguinte procedimento: a) coloca-se ao lado da matriz A a matriz identidade I, com a mesma dimensão de A, separada por um traço vertical; b) transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares. Exemplos: 1 – Dado que            352 224 312 A , determine 1 A . Solução:           100 010 001 352 224 312 1 1 1 ( ).( ) 2 L L            100 010 00 352 224 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2( 4).( ) ( )L L L               100 012 00 352 400 1 2 1 2 3 2 1 1 3 3( 2) ( )L L L                101 012 00 040 400 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2( 4).( ) ( )L L L               100 012 00 352 400 1 2 1 2 3 2 1
  43. 43. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 43 1 3 3( 2) ( )L L L                101 012 00 040 400 1 2 1 2 3 2 1 3 2L L               012 101 00 400 040 1 2 1 2 3 2 1 2 2 1 ( ).( ) 4 L L               012 0 00 400 010 1 4 1 4 1 2 1 2 3 2 1 3 3 1 ( ).( ) 4 L L               0 0 00 100 010 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 3 2 1 1 2 1 12( ).( ) ( )L L L                 0 0 0 100 010 01 4 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 5 2 3 3 3 1 12( ).( ) ( )L L L                 0 0 100 010 001 4 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 3 8 1 Veja que a matriz A foi transformada na matriz I e, à direita, temos a matriz inversa desejada: 31 1 8 8 8 1 1 1 4 4 1 1 2 4 0 0 A               Para verificar a resposta obtida, basta fazer: 1 AA , cujo resultado deve ser a matriz I. 2 – Determine 1 A , dado que:        35 712 A . Solução:
  44. 44. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 44       10 01 35 712 1 1 1 ( ).( ) 12 L L        10 0 35 1 12 1 12 7 1 2 2( 5).( ) ( )L L L           1 0 0 1 12 5 12 1 12 1 12 7 2 2(12).( )L L         125 0 10 1 12 1 12 7 7 2 1 112( ).( )L L L            125 73 10 01 1 3 7 5 12 A        Faça: 1 .A A ou 1 .A A e veja que resulta na matriz Identidade. Exercícios Propostos Dadas as matrizes abaixo, determine as respectivas inversas, caso seja possível: 1)            352 224 312 A 2) 1 2 1 2 3 1 3 4 4 B         
  45. 45. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 45 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Sistemas de equações lineares VIII. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear: É toda equação na forma: 1 1 2 2 n na x a x a x b    , onde: naaa ,,, 21  são números reais quaisquer, são chamados de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 e b é um número real, chamado de termo independente. OBS: Se b = 0, a equação recebe o nome de equação linear homogênea. Denomina-se sistema de Equaçõs lineares de m equações a n incógnitas ...,, zyx a todo sistema da forma: 11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 1 1 2 2 3 3 n n n n m m m mn n m a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b                    Onde 11 12 13 1 1 2, , ,..., , , ,...,n ma a a a b b b são números reais e 1 2 3, , ,..., nx x x x são as incógnitas. Solução de um Sistema Lienar Chamamos de solução do sistema a n-upla (lê-se “êne-upla”) de números reais ordenados  nrrr ,,, 21  que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema. Obs: Se todos os termos independentes forem iguais a zero, o sistema será chamado de sistema homogêneo e ele admitirá ao menos a solução: {(0;0;0;...;0)} que é chamada de solução trivial, ou seja, todas as incógnitas serão iguais a zero. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES         IMPOSSÍVEL ADOINDETERMIN ODETERMINAD POSSÍVEL LINEARSISTEMA  Sistema possível e determinado: admite uma única solução. SPD  Sistema possível e indeterminado: admite infinitas soluções. SPI  Sistema impossível: quando não admite solução. SI
  46. 46. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 46 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR Matriz incompleta É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Exemplos: Seja o sistema:         42 74 032 zyx zyx zyx Matriz incompleta: (matriz dos coeficientes) A=             112 114 132 Matriz Completa ou Matriz Aumentada É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta (matriz dos coeficientes) uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa, ou aumentada, referente ao sistema anterior é: B =           4 7 0 1 1 1- 1 1 3 2- 4 2 Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo:         432 034 023 yx zyx zyx Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. REGRA DE CRAMER Consiste em um método para resolver um sistema linear. Para resolvermos o sistema linear pela Regra de Cramer seguimos as etapas abaixo:
  47. 47. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 47 1. Transforma-se o sistema linear em expressão matricial; 2. Calculamos o determinante das possíveis matrizes que serão geradas; 3. Encontramos os valores das incógnitas através das fórmulas: 1det det A x A  , 2det det A y A  , 3det det A z A  Generalizando, num sistema linear o valor das incógnitas é dado pela expressão: det( ) det( ) iA x A  , em que:  A é a matriz incompleta do sistema;  1A é a matriz obtida de A, substituindo-se as colunas dos coeficientes das incógnitas pela coluna dos termos independentes. Exercícios Resolver os seguintes sistemas usando Cramer: 1) Resolver o sistema      25 72 yx yx 2) Resolver o sistema         19 10543 02 zyx zyx zyx . 3)      432 52 yx yx 4)      1022 5 yx yx 5)         6 32 32 cba cba cba
  48. 48. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 48 Discussão de um Sistema Linear Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:  0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.  0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução). Observações: Se o 0D , o sistema será SPD e, portanto teremos uma única solução para o problema. Se o 0D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma? Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI. Exemplos: Em         623 432 3 zyx zyx zyx temos: m = n = 3 e 03 213 112 111     D Logo, o sistema é possível e determinado, SPD , apresentando solução única. Em         0233 432 12 zyx zyx zyx Temos: m = n = 3 e 1 2 1 2 1 3 0 3 3 2 D     1 2 1 4 1 3 35 0 0 3 2 xD     
  49. 49. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 49 Sendo D = 0 e 0xD , o sistema é impossível – SPI – , não apresentando solução. Em         134 22 123 zyx zyx zyx Temos: m = n = 3 e 1 3 2 2 1 1 0 1 4 3 D     , 1 3 2 2 1 1 0 1 4 3 x D     1 1 2 2 2 1 0 1 1 3 y D       e 1 3 1 2 1 2 0 1 4 1 z D       Logo temos, D= 0, 0xD , 0yD , 0zD . Portanto, o sistema é possível e indeterminado – SPI – , apresentando infinitas soluções. Interpretação geométrica da solução de sistema linear de duas equações a duas incógnitas: Solução Única: SPD Retas se interceptam num único ponto Infinitas Soluções: SPI Retas coincidentes Não existe solução: SI Retas Paralelas
  50. 50. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 50 Obs: Para um sistema de 3 equações a três incógnitas, cada equação representará um plano no espaço e a eventual solução será, geometricamente, representada por um reta. SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Exemplo: Sendo       832 3 1 yx yx S e       52 3 2 yx yx S , o par ordenado ( ; ) (1;2)x y  satisfaz a ambos, e é único. Logo, 21 e SS são sistemas equivalentes e indicamos: .~ 21 SS Propriedades dos sistemas equivalentes 1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Exemplo: Sendo: 1 2 2 1 ( ) 3 ( ) e 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) x y z I S x z II y z III x z II S y z III x y z I                     Temos que: .~ 21 SS 2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k * R , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado          IIyx Iyx S 0 32 1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:
  51. 51. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 51             033 32 3)0( 32 22 yx yx S yx yx S Assim, temos .~ 21 SS 3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k * R , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado     1 2 4 1 x y I S x y II        , substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (– 1), com a equação (II), obtemos:     1 2 4 1 x y I S x y II         1 2 2( 1).L L L    2 2 4 3 3 x y S y        Assim, o par ordenado ( ; ) (2;1)x y  é solução de ambos os sistemas. Sistemas Escalonados A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema. Dado o sistema de equações lineares:            mnmnmmm nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa S     332211 22323222121 11313212111 onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.
  52. 52. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 52 Exemplos: 1 3 6 ) 2 3 x y a S y      2 4 z 9 ) 2 3 2 4z 5 x y b S y z           3 2 4 5 8 ) 4 z 0 x y z c S y        4 2 3 2 1 ) 2 2 4 3 7 x y z t d S y z t t            Procedimentos para escalonar um sistema 1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. 2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. 3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. 4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Exemplos: Vamos escalonar o sistema 2 5 3 2 4 0 2 2 x y z x y z x y z            1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades:  Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações: 2 2 3 2 4 0 2 5 x y z x y z x y z             Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:  ( 2 2) 3 2 2 3 2 4 0 8 7 6 2 5 2 5 x y z x y z x y z y z x y z x y z                                
  53. 53. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 53  Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação:  ( 2 2) 2 2 2 8 7 6 8 7 6 2 5 3 1 x y z x y z y z y z x y z y z                               2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:  Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por        8 3 com a 3ª equação:  3 8 13 26 8 8 2 2 2 2 (8 7 6) 8 7 6 3 1 x y z x y z y z y z y z z                            Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo: De L3 vem: 2 8 26 8 13  zz Substituindo este valor em 678  zy , vem: 1886278  yyy Substituindo, 1 e 2 em 2 2y z x y z     , vem: 22212  xx Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: {(2;1;2;)}S  1) Faça você: escalonar e resolver o sistema a) 2 3 2 1 3 2 2 x y z x y z x y z            b) 6 2 2 1 2 2 3 x y z t x y z t x y z t                 EXERCÍCIOS: 1) Verifique se os sistemas abaixo são normais: a) 1 2 3 2 5 2 4 x y z x y z x y z             b) 3 6 4 7 17 6 6 19 x y z x y z x y z            c) 2 3 8 0 3 4 9 x y z x y z x y          
  54. 54. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 54 2) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de: a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75 d)R$1,50 e)R$1,20 3) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há: a) igual número de balas dos dois tipos b) duas balas de hortelã a mais que de laranja c) 20 balas de hortelã d) 26 balas de laranja e) duas balas de laranja a mais que de hortelã 4) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma: Mesa Hambúrguer Refrigerante Porção de fritas 1ª 4 2 2 2ª 6 8 3 3ª 2 3 1 A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados: a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante. b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche. c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes do lanche. d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes do lanche. e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido um erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa.
  55. 55. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 55 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Produto Interno ou Produto Escalar IX. Produto Interno (Escalar) O produto escalar entre dois vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ é dado por um número real, tal que: 𝑢⃗ . 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) ou (𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ ) ∙ (𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ ) 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 Obs.: 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = < 𝑢⃗ , 𝑣 > Exercícios resolvidos 1. Determine o produto escalar entre os vetores: a) 𝑢⃗ = (2, 4) e 𝑣 = (5, − 6) b) 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑣 = −𝑖 − 2𝑗 Solução a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (2, 4) ∙ (5, − 6) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ 5 + 4 ∙ (−6) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 10 − 24 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −14 𝑏) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (2𝑖 + 3𝑗) ∙ (−𝑖 − 2𝑗) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−2) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −2 − 6 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −8 2. Dados os vetores 𝑢⃗ = (4, 𝛼) 𝑒 𝑣 = (𝛼, 2) e os pontos A(4, -1) e B(3, 2) determine o valor 𝛼 para 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5 Solução 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5 (4, 𝛼) ∙ {( 𝛼,2) + [(3,2) − (4,−1)]} = 5 (4, 𝛼) ∙ {( 𝛼,2) + (−1,3)} = 5 (4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 + (−1), 2 + 3) = 5 (4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 − 1,5) = 5 (4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 − 1,5) = 5 4 ∙ (𝛼 − 1) + 𝛼 ∙ 5 = 5 4𝛼 − 4 + 5𝛼 = 5 9𝛼 = 9 𝜶 = 𝟏
  56. 56. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 56 Propriedades do Produto Escalar Dados 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ quaisquer e 𝑘 ∈ 𝑅3 , tem-se: • 𝑢⃗ . 𝑢⃗ ≥ 𝑜 𝑒 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = 0 ↔ 𝑢⃗ = (0, 0, 0) • 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢⃗ (comutativa) • 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑢⃗ . 𝑤⃗⃗ (distributiva) • (𝑚. 𝑢⃗ ). 𝑣 = m. (u⃗ . 𝑣) = 𝑢⃗ . (m . v⃗ ) • 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = |𝑢⃗ |2 Importante: • |𝑢⃗ + 𝑣|2 = |𝑢⃗ |2 + 2𝑢⃗ . 𝑣 + |𝑣|2 • |𝑢⃗ − 𝑣|2 = |𝑢⃗ |2 − 2𝑢⃗ . 𝑣 + |𝑣|2 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ é igual à distância entre a origem A e a extremidade B desse vetor. • Se o vetor 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ têm coordenadas (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0), então: |𝑣| = √ 𝑣 . 𝑣 |𝑣| = √(𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧) |𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 • Se o vetor 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ têm coordenadas diferente de (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0), então: |𝑣| = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵 − 𝐴| |𝑣| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 Obs.: O Versor de um vetor é dado por 𝜆 𝑢⃗⃗ = 𝒖⃗⃗ |𝒖⃗⃗ | . Exercício resolvido Determine o módulo do vetor u⃗ = (2, 3, −1). Solução |𝑢⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 |𝑢⃗ | = √22 + 32 + (−1)2 |𝑢⃗ | = √14
  57. 57. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 57 Exercícios de Aplicação 1. Determine o módulo dos vetores, abaixo, e as componentes dos versores de cada um desses vetores. a) 𝑢 = (2, 3) b) 𝑣 = (−2, 4) 𝑐) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo A(1, -3) e B(2, 3) d) 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo A(0, 5) e B(2, 1) 2. Sabendo que a distância entre os pontos A(1, 2) e B(4, m) é igual a 5 , calcule m. 3. Determine o valor de 𝛼 para que o vetor 𝑣 = (𝑚, − 1 2 ) 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜. Módulo de um vetor soma ou diferença Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se: |𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣|𝑐𝑜𝑠𝜃 Exercício resolvido Dado o vetor 𝑢 = (−2, − 2)e 𝑣 = (0, − 2), determine o módulo de 𝑢 + 𝑣, sabendo que o ângulo formado entre eles é de 𝜃 = 45°. Solução 1° passo (Calcular |𝑢⃗ |𝑒 |𝑣|) |𝑢⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2 |𝑢⃗ | = √(−2)2 + (−2)2 |𝑢⃗ | = 2√2u |𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2 |𝑣| = √02 + (−2)2 |𝑣| = 2u 2° passo (Calcular |𝑢 + 𝑣|) |𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣| cos(135°) |𝑢 + 𝑣| = √(2√2)2 + 22 − 2 ∙ 2√2 ∙ 2 ∙ (− √2 2 ) |𝑢 + 𝑣| = √8 + 4 + 8 = √20 u Definição Geométrica de Produto Escalar O produto de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado, ou seja, se 𝑢⃗ e 𝑣 são vetores não-nulos e 𝜃 o ângulos entre eles, então 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° Exercício resolvido 1. Sendo |𝑢⃗ | = 2, |𝑣| = 3 𝑒 120° o ângulo entre eles, calcular: a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 b) |𝑢⃗ + 𝑣| c) |𝑢⃗ − 𝑣| Solução a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos( 120)° 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ 3 ∙ (− 1 2 ) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −3 b) |𝑢⃗ + 𝑣|2 = |𝑢⃗ |2 + 2𝑢⃗ ∙ 𝑣 + |𝑣|2 |𝑢⃗ + 𝑣|2 = 22 + 2(−3) + 32 |𝑢⃗ + 𝑣| = √7 u c) |𝑢⃗ − 𝑣|2 = |𝑢⃗ |2 − 2𝑢⃗ ∙ 𝑣 + |𝑣|2 |𝑢⃗ − 𝑣|2 = 22 − 2(−3) + 32 |𝑢⃗ − 𝑣| = √19 u
  58. 58. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 58 Observações  Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 > 0 e 0° ≤ 𝜃 < 90° (figura a)  Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 < 0 e 90° < 𝜃 ≤ 180° (figura b)  Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 = 0 e 𝜃 = 90° (figura c) Exercício resolvido Mostre que 𝑢⃗ = (−2, 3) é ortogonal ao vetor 𝑣 = (−1, − 2 3 ). 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 0 (−2, 3) ∙ (−1, − 2 3 ) = 0 −2 ∙ (−1) + 3 ∙ (− 2 3 ) = 0 2 − 2 = 0 ∴ 0 = 0 Cálculo do ângulo de dois vetores Da igualdade 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°, vem Fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 𝜃 entre os vetores 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 não-nulos. Exercício resolvido Calcular o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ = (1,1,4) 𝑒 𝑣 = (−1,2,2) Solução cos 𝜃 = 𝑢 . 𝑣 |𝑢|. |𝑣| cos 𝜃 = (1,1,4) . (−1,2,2) √1 + 1 + 16. √1 + 4 + 4 cos 𝜃 = −1 + 2 + 8 √18. √9 cos 𝜃 = 9 3√2. 3 cos 𝜃 = √2 2 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos ( √2 2 ) ∴ 𝜃 = 45° cos 𝜃 = 𝑢 . 𝑣 |𝑢|. |𝑣| u v u - v 𝜃
  59. 59. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 59 Exercícios de aplicação 1. Se 𝑢 = (−2, −2) e 𝑣 = (0, −2), determine o ângulo 𝜃, oposto ao vetor u – v. 2. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: a) 𝑢⃗ = (1, −2,3) 𝑒 𝑣 = (4,5,2) b) 𝑖 𝑒 𝑗 3. Provar que o triângulo de vértice 𝐴(2,3,1), 𝐵(2,1, −1) 𝑒 𝐶(2,2, −2) é um triângulo retângulo. 4. Determinar um vetor ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, −1, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1) 5. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo 𝐴(3, −3,3), 𝐵(2, −1,2) 𝑒 𝐶(1,0,2). 6. Sabendo que o vetor 𝑣 = (2,1, −1)forma ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ determinar pelos pontos 𝐴(3,1, −2) e 𝐵(4, 0, 𝑚), calcular m. 7. Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, 𝐹, 𝐹𝑎 ⃗⃗⃗ , 𝐹 𝑁 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑃⃗ e pela força resultante, para deslocar o bloco A até B, sabendo que |𝐹| = 10𝑁. |𝐹𝑎 ⃗⃗⃗ | = 8𝑁, |𝑃⃗ | = 3𝑁, |𝐹 𝑁 ⃗⃗⃗⃗ | = 3𝑁, 𝑑 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 |𝑑| = 10𝑚 Lembrete: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑 ou 𝑊 = |𝐹| ∙ |𝑑| ∙ 𝐶𝑂𝑆 𝜃 (J) Para  W: trabalho (jaule),  𝐹: força (Newton)  𝑑: distância (metros)  𝜃: ângulo entre 𝐹 e 𝑑 8. alcular o trabalho realizado pela força 𝐹 para deslocar o corpo de A até B, sabendo que |𝐹| = 10𝑁, |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑑| = 20𝑚 𝑒 𝜃 = 36,9°
  60. 60. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 60 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135 ° 150° 180° Sen 0 1 2 √2 2 √3 2 1 √3 2 √2 2 1 2 0 Cos 1 √3 2 √2 2 1 2 0 − 1 2 − √2 2 − √3 2 -1 Tg 0 √3 3 1 √3 ∄ −√3 - 1 − √3 3 0
  61. 61. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 61 Atividade (Nota) 1. Determinar a  , ba   , ba   , a  2 e ba  43  , considerando: a) )3,4(a  e )2,6(b  b) jia  32  e jib  5 Resp: a) 5a  , )5,2( ba  , )1,10( ba  , )6,8(2 a  , )17,12(43  ba  b) 13a  , jiba  23  , jiba  8 , jia  642  , jiba  111043  2. Escrever o vetor jiu  210  como combinação linear dos vetores jiv  52  e jiw   4 . Resp.: wvu  3 . 3. Determinar o vetor w  na igualdade wvuw   2 1 23 , sendo dados )1,3( u  e )4,2(v  . Resp.:        2, 2 7 w  4. Dados os vetores u = )1,3(  e v = )2,1( , determinar o vetor w tal que )34(2)2(3 uwuvw  . Resp.:        5 11 , 5 23 w 5. Considere os vetores jis  2 , jit  52  e os pontos )3,0( A e )2,7(B . Pede-se: a)  ts  3 AB b) ts   c) versor do vetor AB d) vetor com tamanho 4, paralelo ao vetor s  , mas de sentido oposto à s  Resp.: a) ji  814  b) 7,62 u.c. c) jiAB  581,0814,0  6. Dados os vetores jiu   3 e jiv  2 , determinar o vetor x  tal que xuxvu   2 3 1 )(4 . Resp.:        2 15 , 2 15 7. Se )1,1( u  e )6,8( w  , calcular uw  3 . Resp.: 34 u.c. 8. Dados os pontos )2,3(A e )2,5( B , determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que ABAM 2 1  e ABAN 3 2  . Resp.: )0,1(M ,        3 2 , 3 7 N
  62. 62. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 62 9. Calcular os valores de a para que o vetor jiau  2 tenha módulo 4. Resp: 32 10. Calcular os valores de a para que o vetor jiau  2 1  seja unitário. Resp: 2 3  11. Dado o vetor u = )3,1(  , determinar o vetor paralelo à u que tenha: a) Sentido contrário à u e duas vezes o módulo de u . Resp.: )6,2( b) O mesmo sentido de u e módulo 2. Resp.:        10 6 , 10 2 c) Sentido contrário ao de u e módulo 4. Resp.:        10 12 , 10 4 12. Para cada uma das figuras abaixo, determinar a resultante das forças utilizando os versores i  e j  , calcular a intensidade desta resultante e sua direção. Resp.: a) iNFR  1()71,123(  , NFr 48,124  , º4,6 a partir de Ox, anti- horário. b) iNFR  1()82,290(  , NFr 78,1448  , º42,78 a partir de Ox, a-h. 13. Dados 𝑢⃗ = (4, 𝑦, −1) e 𝑣 = (𝑦, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1), determine o valor de y tal que 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5. 14. Sabendo que a distância entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m) é 7, calcule m. 15. Determine x para que o vetor 𝑢⃗ = (𝑥, − 1 2 , 1 4 ) seja unitário. 16 Calcule o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ = (1, 1, 4) e 𝑣 = (−1, 2, 2). a)
  63. 63. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 63 17. Sabendo que o vetor 𝑢⃗ = (2, 1, −1) forma um ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcular m. 18. Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo. 19. Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (1, − 1,0) e 𝑣 = (1, 0,1).
  64. 64. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 64 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Produto Vetorial X. Produto Vetorial Definição Chama-se produto vetorial de dois vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ , tomados nesta ordem, e se representa por 𝑢⃗ × 𝑣, ao vetor 𝑢⃗ × 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 | Aplicando o Teorema de Laplace 𝑢⃗ × 𝑣 = | 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 | 𝑖 − | 𝑥1 𝑧1 𝑥2 𝑧2 | 𝑗 + | 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 | 𝑘⃗ ∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = (𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1)𝑖 − (𝑥1 𝑧2 − 𝑥2 𝑧1)𝑗 + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1)𝑘⃗ O produto vetorial de 𝑢⃗ por 𝑣 também é indicado por 𝑢⃗ ˄ 𝑣, e lê-se “𝑢⃗ vetorial 𝑣 ”. Exercícios resolvidos Calcular 𝑢⃗ × 𝑣 para 𝑢⃗ = 5𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑘⃗ Solução 𝑢⃗ × 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 5 4 3 1 0 1 | 𝑢⃗ × 𝑣 = | 4 3 0 1 | 𝑖 − | 5 3 1 1 | 𝑗 + | 5 4 1 0 | 𝑘⃗ 𝑢⃗ × 𝑣 = (4 ∙ 1 − 0 ∙ 3)𝑖 − (5 ∙ 1 − 1 ∙ 3)𝑗 + (5 ∙ 0 − 1 ∙ 4)𝑘⃗ ∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − 4𝑘⃗ Características do Vetor 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ Consideremos os vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ . I. Direção de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ O vetor 𝑢⃗ × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a 𝑢⃗ e 𝑣. Então, (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0 e (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0
  65. 65. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 65 Exercício resolvido Dados os vetores 𝑢⃗ = (3, 1, 2) e 𝑣 = (−2, 2,5), mostre que: a) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0 b) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0 Solução 1° passo: 𝑢⃗ × 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 3 1 2 −2 2 5 | 𝑢⃗ × 𝑣 = | 1 2 2 5 | 𝑖 − | 3 2 −2 5 | 𝑗 + | 3 1 −2 2 | 𝑘⃗ ∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = 1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗ a) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0 (1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗ )∙(3𝑖 + 𝑗 + 2𝑘⃗ ) = 0 3 − 19 + 16 = 0 0 = 0 c.q.m b) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0 (1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗ )∙(−2𝑖 + 2𝑗 + 5𝑘⃗ ) = 0 −2 − 38 + 40 = 0 0 = 0 c.q.m II. Sentido de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ O sentido de 𝑢⃗ × 𝑣 poderá ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita”. Sendo θ o ângulo entre 𝑢⃗ 𝑒 𝑣, suponhamos que 𝑢⃗ sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com 𝑣. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de 𝑢⃗ × 𝑣. Obs.: Para o sentido entre o produto vetorial entre 𝑖, 𝑗 e 𝑘⃗ , temos: 𝑖 × 𝑗 = 𝑘⃗ 𝑗 × 𝑘⃗ = 𝑖 𝑘⃗ × 𝑖 = 𝑗 𝑗 × 𝑖 = −𝑘⃗ 𝑘⃗ × 𝑗 = −𝑖 𝑖 × 𝑘⃗ = −𝑗 Assim, se considerarmos 𝑖, 𝑗 e 𝑘⃗ como um ciclo, aonde 𝑖 vem após 𝑘⃗ e, consequentemente, 𝑘⃗ precede 𝑖, então o produto vetorial entre dois deles no
  66. 66. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 66 sentido anti-horário é o terceiro, mas o produto de dois deles no sentido oposto (horário) é o oposto (negativo) do terceiro. III. Comprimento de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ Se θ é o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 não-nulos, então |𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ | = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 com 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos 𝑢⃗ e 𝑣, a medida da base |𝑢⃗ | e da altura |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃, a área A desta paralelogramo é 𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝐴 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∴ 𝐴 = |𝑢⃗ × 𝑣| Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 é numericamente igual ao comprimento do vetor 𝑢⃗ × 𝑣. Exercício resolvido Determinar o vetor 𝑥, tal que 𝑥 seja ortogonal ao eixo das ordenadas (y) e 𝑢⃗ = 𝑥 × 𝑣, sendo 𝑢⃗ = (1,1, −1) e 𝑣 = (2, −1,1). Solução Como 𝑥⦜0𝑦, ele é da forma 𝑥 = (𝑥, 0, 𝑧). Então 𝑢⃗ = 𝑥 × 𝑣 equivale a (1,1, −1) = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑥 0 𝑧 2 −1 1 | Ou (1,1, −1) = (𝑧, −𝑥 + 2𝑧, −𝑥) { 𝑧 = 1 −𝑥 + 2𝑧 = 1 −𝑥 = −1 ∴ 𝑥 = 1, 𝑧 = 1 𝑒 𝑥 = (1,0,1) Exercícios de aplicação 1. Sejam os vetores 𝑢⃗ = (1, −1, −4) e 𝑣 = (3,2, −2). Determine um vetor que seja a) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣; Resp: 𝑢⃗ × 𝑣 = (10, −10,5) b) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 e unitário; Resp: 𝑢1⃗⃗⃗⃗ = ( 2 3 , − 2 3 , 1 3 ) e 𝑢2⃗⃗⃗⃗ = −𝑢1⃗⃗⃗⃗ = (− 2 3 , 2 3 , − 1 3 ) c) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 e tenha módulo 4; Resp: ( 8 3 , − 8 3 , 4 3 ) 𝑜𝑢 (− 8 3 , 8 3 , − 4 3 ) 2. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |.
  67. 67. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 67 Resp: 50√3 3. Dados os vetores 𝑢⃗ = (1, −1,1)𝑒 𝑣 = (2, −3,4), calcular a) a área do paralelogramo determinado por 𝑢⃗ e 𝑣; Resp: 𝐴 = √6 u.a. b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 𝑢⃗ . Resp: ℎ = √2 𝑢. 𝑐. 4. Determinar a distância do ponto 𝑃(5,1,2) à reta r que passa por 𝐴(3,1,3) e 𝐵(4, −1,1). Resp: 𝑑 = √29 3 u.c. 5. Dados os vetores 𝑢⃗ = (2,1, −1) e 𝑣 = (1, −1, 𝛼), calcular o valor de α para que a área do paralelogramo determinado por 𝑢⃗ e 𝑣 seja igual a √62. Resp: 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = − 17 5 6. Dados os pontos 𝐴(2,1,1), 𝐵(3, −1,0) 𝑒 𝐶(4,2, −2), determinar a) a área do triângulo ABC; Resp: 𝐴 = 5 2 √3 𝑢. 𝑎. b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. Resp: ℎ = 5 2 √2 𝑢. 𝑎. 7. Calcular o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅̅̅, onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 2𝑗 (𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠), 𝐹 = 10𝑖 (𝑒𝑚 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) e o eixo de rotação é o eixo z. Lembrete:
  68. 68. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 68 𝜏 = 𝑟 × 𝐹 ou |𝜏| = |𝑟| ∙ |𝐹| ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 Para  𝜏: torque (mN)  𝑟: distância (m)  𝐹: forço (N)  Θ: ângulo entre 𝑟 e 𝐹 Resp: |𝜏| = 20𝑚𝑁 8. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados a) 𝐴(−4,1,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(0, −1,3) Resp: √35 e 2√35 √6 b) 𝐴(4,2,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(1,2,0) Resp: 7 2 𝑒 7 √5 9. Dados os vetores 𝑢⃗ = (1,1,0) 𝑒 𝑣 = (−1,1,2), determinar a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a 𝑢⃗ e 𝑣; Resp: ( 1 √3 , − 1 √3 , 1 √3 ) 𝑜𝑢 (− 1 √3 , 1 √3 , − 1 √3 ) b) um vetor de módulo 5 simultaneamente a 𝑢⃗ e 𝑣. Resp: ( 5 √3 , − 5 √3 , 5 √3 ) 𝑜𝑢 (− 5 √3 , 5 √3 , − 5 √3 )
  69. 69. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 69 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE Produto Misto XI. Produto Misto Definição Chama-se produto misto de três vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ , 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ tomados nesta ordem, ao número real 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ). Tendo em vista que, 𝑣 × 𝑤⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 | Aplicando o Teorema de Laplace, 𝑣 × 𝑤⃗⃗ = | 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 | 𝑖 − | 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 | 𝑗 + | 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 | 𝑘⃗ Vem, 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = 𝑥1 ∙ | 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 | − 𝑦1 ∙ | 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 | + 𝑧1 | 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 | ∴ 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = | 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 | O produto misto de 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ também é indicado por (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ). Exercício resolvido Calcular o produto misto dos vetores 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘⃗ , 𝑣 = −𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 4𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘⃗ Solução 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = | 2 3 5 −1 3 3 4 −3 2 | ∴ 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = 27 Propriedades do Produto Misto I) O produto misto (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ )muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores; II) (𝑢⃗ + 𝑥, 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑥, 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) (𝑢⃗ , 𝑣 + 𝑥, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑢⃗ , 𝑥, 𝑤⃗⃗ ) (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ + 𝑥) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑥)
  70. 70. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 70 III) (𝛼𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝛼𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝛼𝑤⃗⃗ ) = 𝛼(𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) IV) (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Exercício resolvido 1. Qual deve ser o valor de m para que os vetores 𝑢⃗ = (2, 𝑚, 0), 𝑣 = (1, −1,2) e 𝑤⃗⃗ = (−1,3, −1) sejam coplanares? Solução Para que 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ sejam coplanares deve-se ter (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = 0 Isto é, | 2 𝑚 0 1 −1 2 −1 3 −1 | = 0 Ou 2 − 2𝑚 − 12 + 𝑚 = 0 e, portanto, 𝑚 = −10 2. Verificar se os pontos 𝐴(1,2,4), 𝐵(−1,0, −2), 𝐶(0,2,2)𝑒 𝐷(−2,1, −3) estão no mesmo plano. Solução Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , e, para tanto, deve-se ter (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 Como (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = | −2 −2 −6 −1 0 −2 −3 −1 −7 | = 0 Os pontos dados são coplanares Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Geometricamente, o produto misto 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ . A área da base do paralelepípedo é |𝑣 × 𝑤⃗⃗ |. Seja θ o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 × 𝑤⃗⃗ . Sendo 𝑣 × 𝑤⃗⃗ um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, ℎ = |𝑢⃗ ||𝑐𝑜𝑠𝜃| Então, 𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) ∴ 𝑉 = | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) |
  71. 71. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 71 Exercício resolvido Sejam os vetores 𝑢⃗ = (3, 𝑚, −2), 𝑣 = (1, −1,0) e 𝑤⃗⃗ = (2, −1,2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ seja 16 u.v. Solução 𝑉 = | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) | | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) | = 16 Sendo 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = | 3 𝑚 −2 1 −1 0 2 −1 2 | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = −2𝑚 − 8 Vem |−2𝑚 − 8| = 16 Pela definição de módulo, −2𝑚 − 8 = 16 𝑜𝑢 − 2𝑚 − 8 = −16 ∴ 𝑚 = −12 𝑜𝑢 𝑚 = 4 Exercício de aplicação 1. Seja 𝐴(1,2, −1), 𝐵(5,0,1), 𝐶(2, −1,1) 𝑒 𝐷(6,1, −3) vértices de um tetraedro. Calcular: a) o volume deste tetraedro; 𝑉 = 1 6 |(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )| b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D. Resp: a) V = 6 u.v. b) h = 18 √35 u.c.
  72. 72. Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro 72 Atividade (Nota) 1. Qual o valor de 𝛽 para que os vetores 𝑣 = (𝛽, 2,−4) e 𝑤⃗⃗ = (2, 1 − 2𝛽, 3) sejam ortogonais? 2. Use a definição de produto escalar, 𝑎. 𝑏⃗ = |𝑎||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝜃, e o fato de que 𝑎. 𝑏⃗ = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2 para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por 𝑎 = 3𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑏⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ . Resp: 𝜃 = 23° 3. Marque com um X a alternativa correta. 3.1.) Os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ são 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑏⃗ = −𝑖 + 2𝑗. O ângulo em radianos entre os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ é aproximadamente: a) π/2 b) 3π/2 c) π/4 d) 2π/3 e) π/3 Res:. letra e 3.2.) O vetor 𝑎 = 5𝑖 − 4𝑗 e 𝑏⃗ = −7,5𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 6𝑗. A equação que melhor relaciona os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ é: a) 𝑎 + 𝑏⃗ = 1,5𝑎 b) 𝑎 + 1,5𝑏⃗ = 0 c) 𝑏⃗ = −1,5𝑎 d) 𝑎 = 1,5𝑏⃗ e) 𝑏⃗ − 1,5𝑎 = 0 Resp: letra c 3.3.) Dados os vetores: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 80 m/s orientado para norte e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 60 m/s orientado para leste. Podemos afirmar que a direção do vetor diferença 𝑣1⃗⃗⃗⃗ - 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é o valor do produto escalar entre os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ são respectivamente: a) θ = 126,87º e 0,2 b) θ = - 53,13º e 0 c) θ = -126,87º e 10 d) θ = 0º e 80,8 e) θ = 53,13º e 80,8 Resp: letra b 4. Se o vetor 𝑏⃗ é somado ao vetor 𝑎, o resultado é 8,0𝑖 - 1,0𝑗. Se 𝑏⃗ é subtraído de 𝑎, o resultado é - 2,0 i + 3,0 j. Qual é o módulo do vetor 𝑎? Resp. |𝑎|= 3,16 5. Um objeto em movimento retilíneo tem um deslocamento dado por ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ = 2 m𝑖 + 3 m𝑗- 5 m𝑘⃗ , enquanto atua sobre ele uma força constante 𝐹 = 7 N𝑖 - 7 N𝑗 - 2 N𝑘⃗ . Determine: a) o trabalho realizado por esta força? Resp: 𝑊⃗⃗⃗ = 3 J b) o ângulo entre os dois vetores 𝐹 e ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ ? Resp: 𝜃 = 87,23° 6.Sejam os pontos )8,3,1(A e )7,3,5(B , os vetores kjiu   32 e kjiv  56  . Pede-se: a) AB  )( vu   b) vu   c) uv   d) ângulo entre os vetores u  e v  8 Resp.: a) 12, b) kji  999  c) kji  999  d) 31,94° 7. Sejam os vetores kjaiu   2 , kjiv  23  e kjiaw  42)12(  . Determinar a de modo que  v  = )( vu    )( wv   . Resp: 8 5 a . 8. Se kjiu  345  e kiv   , calcular vu   . Resp: kji  424  . 9. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices )6,1,0( P , )3,1,2( Q e )2,4,5(R . Resp: 43°, 58° e 79°. u 

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