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´
                         Algebra de Boole
                    Jo˜o Paulo Cerquinho Cajueiro
                      a
                           19 de agosto de 2009


    A ´lgebra de Boole foi desenvolvida por George Boole(1815–1864) em seu
       a
livro An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathe-
matical Theories of Logic and Probabilities de 1854. Ela buscava uma base ma-
tem´tica formal para a l´gica e probabilidade e passou um longo tempo sendo
    a                     o
conhecida apenas por matem´ticos, sem encontrar uma utilidade pr´tica. Foi,
                               a                                      a
de certo modo, descoberta por Claude Shannon(1916–2001), que a utilizou em
sua tese de mestrado A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits em
1937 para desenvolver circuitos el´tricos que realizassem fun¸˜es l´gicas.
                                  e                          co o


1    Postulados
Pensando em probabilidade, a id´ia b´sica da ´lgebra booleana ´ de utilizar
                                    e     a       a                 e
conceitos de ´lgebra para expressar quest˜es de probabilidade ou de l´gica.
               a                              o                          o
Neste sentido o n´mero 1 expressa o conceito l´gico de verdadeiro ou o conceito
                  u                             o
probabil´ıstico (ou melhor, de teoria de conjuntos) de todo o espa¸o amostral,
                                                                  c
o 0 ´ o equivalente l´gico de falso ou de conjunto nulo, a soma + equivale
     e                o
ao ou l´gico e a uni˜o (∪) de conjuntos e a multiplica¸˜o equivale a opera¸˜o
        o             a                                  ca                ca
l´gica e e a intersec¸˜o (∩) de conjuntos. Os potulados s˜o feitos de modo a
 o                    ca                                     a
garantir esta equivalˆncia.
                     e
Postulado 1 – Opera¸˜es:
                       co
A algebra de Boole tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas opera¸oes:
   ´                                                                  c˜
· e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:

                               (a)     a·b ∈ K
                                                                          (P1)
                               (b)     a+b∈K

Postulado 2 – Valores Neutros:
Existem valores 0 e 1 tais que:

                                (a)    a+0=a
                                                                          (P2)
                                (b)    a·1 = 1

Postulado 3 – comutatividade:

                              (a)     a+b=b+a
                                                                          (P3)
                              (b)      a·b = b·a




                                        1
Postulado 4 – associatividade:

                         (a)     a + (b + c) = (a + b) + c
                                                                                 (P4)
                         (b)        a · (b · c) = (a · b) · c

Postulado 5 – distributividade:

                       (a)     a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
                                                                                 (P5)
                       (b)      a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Postulado 6 – existˆncia de complemento:
                     e
Para todo a ∈ K, existe um e apenas um a ∈ K, chamado o complemento de a,
tal que:
                               (a) a + a = 1
                                                                    (P6)
                               (b) a · a = 0

2    Teoremas
V´rias caracter´
  a             ısticas da ´lgebra de Boole n˜o aparecem diretamente nos pos-
                           a                 a
tulados, mas podem ser inferidas a partir deles. Muitas destas caracter´ısticas
ser˜o uteis para n´s, e abaixo descrevemos 10 teoremas, provados a partir dos
   a ´              o
postulados (ou de teoremas j´ provados, o que d´ no mesmo).
                              a                  a
    Dentre os 10 teoremas mostrados, 9 deles tem 2 formas, aqui chamadas de (a)
e (b), que s˜o as formas duais dos teoremas. A dualidade ser´ melhor discutida
            a                                                a
usando o teorema 1 como exemplo.
Teorema 1:
A soma ou o produto de um valor por ele mesmo ´ igual a ele mesmo.
                                              e

                                   (a)   a+a=a
                                                                                 (T1)
                                   (b)   a·a = a

E a prova deste teorema encontra-se abaixo:


          a=a+0                                          a = a·1
Prova:     = a + a·a                                       = a · (a + a)
           = (a + a) · (a + a)                             = (a · a) + (a · a)
           = (a + a) · 1                                   = (a · a) + 0
          a=a+a                                          a = a·a

    Note que a prova de T1(a) ´ idˆntica a de T1(b), ao se trocar as opera¸˜es
                               e e                                          co
de soma por multiplica¸˜o e vice-versa e os 0’s por 1’s e vice-versa. Isto n˜o ´
                          ca                                                a e
uma coincidˆncia, mas vem diretamente do fato de que os postulados tem esta
             e
simetria. Em ´lgebra de Boole isto ´ chamado de dualidade. Diz-se ent˜o que
               a                     e                                    a
uma express˜o ´ o dual da outra quando se trocam os · por + e vice-versa e os
             a e
0’s por 1’s e vice-versa.
    Al´m disso, a simetria dos postulados garante que: se uma express˜o f ´
      e                                                                   a    e
verdadeira, logo a express˜o dual fd tamb´m ´ verdadeira. Por conta disto, para
                            a            e e
todos os teoremas subsequentes que tenham express˜es duais, s´ provaremaos
                                                     o           o
uma delas, j´ que o dual do teorema ´ automaticamente verdadeiro.
             a                        e


                                           2
Teorema 2:

                                  (a)     a+1=1
                                                                         (T2)
                                  (b)     a·0 = 0

Prova:


                             a + 1 = a + (a + a)
                                   = (a + a) + a
                                =a+a
                             a+1=1

Teorema 3:

                                         a=a                             (T3)

Prova:
Seja a = b:
                            b·a = a·b = a·a               0
                          b+a=a+b=a+a                         1
logo:
                                    a       b=a
Teorema 4:

                             (a)         a + a·b = a
                                                                         (T4)
                             (b)        a · (a + b) = a

Prova:


                         a + a·b = a·1 + a·b
                                    = a(b + b + a · b
                                    = a·b + a·b + a·b
                                    = a·b + a·b
                                 = a·1
                         a + a·b = a

   O significado deste teorema ´ melhor visto atrav´s de um diagrama de Venn1 ,
                              e                    e
mostrando a e a · b (lembrando que a multiplica¸˜o equivale ` intersec¸˜o e a
                                                 ca          a        ca
soma ` uni˜o). A figura 1 mostra justamente isto.
     a    a
Teorema 5:

                            (a)    a + a·b = a + b
                                                                         (T5)
                            (b)    a · (a + b) = a · b




                                           3
a        a·b       b




           Figura 1: Diagrama de Venn demostrando o teorema T4.




                                        a             a·b




           Figura 2: Diagrama de Venn demonstrando o teorema T5.

Prova:


                            a + a · b = (a + a · b) + a · b
                                      = a + b(a + a)
                                    = a + b·1
                            a + a·b = a + b

Teorema 6:

                              (a)          a·b + a·b = a
                                                                                 (T6)
                              (b)       (a + b) · (a + b) = a

Prova:


                                a · b + a · b = a(b + b)
                                              = a·1
                                a·b + a·b = a
   1 na verdade, este ´ um diagrama de Johnston. Um diagrama de Venn mostraria todas as
                        e
possibilidades: a · b, a · b, a · b e a · b.




                                              4
a·b         a·b




         Figura 3: Diagrama de Venn demonstrando o teorema T6.




                                         c


                            a·b·c

                                        a·b

                              a                    b




         Figura 4: Diagrama de Venn demostrando o teorema T7.

Teorema 7:

                (a)         a·b + a·b·c = a·b + a·c
                                                                  (T7)
                (b)   (a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c)
Prova:


                 a·b + a·b·c = a·b·1 + a·b·c
                                  = a · b · (1 + c) + a · b · c
                                  = a·b·1 + a·b·c + a·b·c
                                  = a · b + a · c(b + b)
                 a·b + a·b·c = a·b + a·c

Teorema 8 – Leis de DeMorgan2 :

                              (a)     a + b = a·b
                                                                  (T8)
                              (b)     a·b = a + b


                                         5
a+b                                              a·b




                          a·b                                             a+b


Figura 5: Diagrama de Venn mostrando que a)a · b ´ o complemento de a + b e
                                                   e
que b)a + b ´ o complemento de a · b para provar as Leis de deMorgan (T8).
            e



Prova:                                                                             (a + b)a · b = a · a · b + b · a · b
Prova-se mostrando que a · b ´ o complemento de a+b:
                             e
                                                                                                =0+0
                                                                                   (a + b)a · b = 0

(a + b) + a · b = (a + b + a)(a + b + b)
                = (1 + b)(1 + a)         Logo:
                = 1·1
(a + b) + a · b = 1

                                            a+b         a·b
´
E poss´ ainda aplicar o teorema repetidas vezes e provar que:
      ıvel

                          f (x1 , x2 , . . . , xn ) = fd (x1 , x2 , . . . , xn )

Teorema 9 – Teorema do consenso:

                    (a)          a·b + a·c + b·c = a·b + a·c
                                                                                                      (T9)
                    (b)    (a + b) · (a + c) · (b + c) = (a + b) · (a + c)

Prova:


  a · b + a · c + b · c = (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c)
                        = (a · b · c + a · b · c) + a · b · c + (a · b · c + a · b · c) + a · b · c
                        = a·b·c + a·b·c + a·b·c + a·b·c
                        = (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c)
  a·b + a·c + b·c = a·b + a·c




                                                    6
a·c




                                                 a·b




      Figura 6: Diagrama de Venn demonstrando o teorema do consenso.


Teorema 10 – Expans˜o de Shannon3 :
                   a


    (a)      f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn ) + x1 · f (0, x2 , . . . , xn )
    (b)   f (x1 , x2 , . . . , xn ) = [x1 + f (0, x2 , . . . , xn )] · [x1 + f (1, x2 , . . . , xn )]
                                                                                                     (T10)

Prova:
Considerando que x1 · x1 = x1 · 1 e que x1 · x1 = x1 · x1 · x1 = x1 · 0, podemos
afirmar que:
                x1 · f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn )
E pelo mesmo racioc´
                   ınio chegamos a:

                      x1 · f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (0, x2 , . . . , xn )

    Podemos ent˜o separar a fun¸ao e aplicar estas igualdades:
               a               c˜

                 f (. . .) = 1 · f (. . .)
                           = x1 · f (. . .) + x1 · f (. . .)
                 f (. . .) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn ) + x1 · f (0, x2 , . . . , xn )


3     Aplica¸˜o dos postulados e teoremas
            ca
Podemos aplicar os postulados e teoremas da ´lgebra de Boole para simplificar
                                              a
equa¸˜es booleanas. Como estas equa¸˜es ser˜o ou s˜o implementadas por um
     co                                co    a      a
circuito, isto significa um circuito menor e, consequentemente, mais barato e
mais r´pido. A tabela 1 condensa todas os postulados e teoremas at´ ent˜o
       a                                                             e    a
desenvolvidos para facilitar o acesso.
Exemplo 1:
Minimize o circuito l´gico mostrado na figura 7.
                     o



                                                   7
P1                ∀a, b ∈ K : a · b ∈ K                                      ∀a, b ∈ K : a + b ∈ K
P2                       a+0=a                                                         a·1 = 1
P3                    a+b=b+a                                                        a·b = b·a
P4              a + (b + c) = (a + b) + c                                      a · (b · c) = (a · b) · c
P5            a + (b · c) = (a + b) · (a + c)                             a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
P6                       a+a=1                                                         a·a = 0
T1                       a+a=a                                                        a·a = a
T2                       a+1=1                                                        a·0 = 0
T3                          a=a
T4                      a + a·b = a                                                a · (a + b) = a
T5                    a + a·b = a + b                                             a · (a + b) = a · b
T6                     a·b + a·b = a                                            (a + b) · (a + b) = a
T7              a·b + a·b·c = a·b + a·c                            (a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c)
T8                      a + b = a·b                                                  a·b = a + b
T9          a·b + a·c + b·c = a·b + a·c                         (a + b) · (a + c) · (b + c) = (a + b) · (a + c)
T10   f (x1 , . . .) = x1 · f (1, . . .) + x1 · f (0, . . .)   f (x1 , . . .) = [x1 + f (0, . . .)] · [x1 + f (1, . . .)]

                            Tabela 1: Resumo dos postulados e Teoremas.


                       a


                       b
                                                                                            z



                        c

                                    Figura 7: Circuito do exemplo 1.

      Resolu¸˜o:
             ca
      Pela an´lise do circuito obtemos z = abc+ac · ab. Aplicamos agora os postulados
             a




                                                          8
e teoremas cab´
              ıveis:

                        z(a, b, c) = abc + ac · ab
                                                   T8

                                 = abc + ac · (a + b)
                                                       T3
                                 = abc + ac(a + b)
                                                  P5
                                 = abc + aca + acb
                                             P3         P3
                                 = abc + aa · c + abc
                                             T1
                                 = abc + ac + abc
                                                P3
                                 = abc + abc +ac
                                        T6
                                 = ab + ac
                                       P5
                        z(a, b, c) = a(b + c)

O circuito simplificado ´ mostrado na figura 8.
                       e
                        a


                        b                                    z




                        c


                Figura 8: Circuito simplificado do exemplo 1.



4    Formas canˆnicas
               o
H´ casos em que ´ necess´rio obter uma equa¸˜o booleana a partir de uma ta-
  a              e        a                   ca
bela verdade. Nestas situa¸˜es s˜o bastante uteis as formas canˆnicas (tamb´m
                            co  a           ´                  o           e
conhecidas de formas padr˜es) de soma de mintermos ou produto de maxtermos.
                           o
Obviamente para entendˆ-las precisamos primeiro saber o que s˜o mintermos e
                         e                                     a
maxtermos. Vamos come¸ar pela defini¸˜o de mintermos e analisar a forma de
                          c            ca
soma de mintermos.

     Um mintermo ´ um produto n˜o barrado de todas as vari´veis da
                    e               a                     a
     fun¸˜o, sejam elas barradas ou n˜o.
        ca                            a

   Considerando uma fun¸˜o de 4 vari´veis, s˜o exemplos de mintermos: abcd,
                       ca           a       a
abcd e abcd.


                                       9
N˜o s˜o mintermos abc (pois n˜o tem todas as vari´veis), ab + cd (pois n˜o ´
  a a                          a                      a                     a e
um produto das 4 vari´veis), ab(cd) (pois as vari´veis tem que ser barradas uma
                      a                          a
a uma) e nem abcdd (pois a vari´vel d est´ repetida).
                                a         a
    Um exemplo de fun¸˜o descrita na forma soma de mintermos (por sim-
                        ca
plicidade referido por sdm- soma de mintermos) ´ a fun¸˜o de 3 vari´veis
                                                      e      ca            a
g = abc + abc + abc. Para entender a utilidade desta forma, observe a ta-
bela 2, que ´ uma tabela verdade da fun¸˜o g e de cada um dos mintermos
             e                             ca
presentes nela.

                       a   b   c    abc    abc   abc   g
                       0   0   0     0      0     0    0
                       0   0   1     0      0     0    0
                       0   1   0     0      0     0    0
                       0   1   1     1      0     0    1
                       1   0   0     0      0     0    0
                       1   0   1     0      0     0    0
                       1   1   0     0      1     0    1
                       1   1   1     0      0     1    1


  Tabela 2: tabela verdade da fun¸˜o g = abc + abc + abc e seus mintermos.
                                 ca

    Um mintermo, sendo um produto de todas as vari´veis presentes, s´ pode
                                                         a               o
ser 1 em um unico caso, o que ´ exemplificado na tabela. Al´m disso mintermos
               ´                e                            e
diferentes representam um 1 em posi¸˜es diferentes da tabela verdade, logo a
                                        co
soma de mintermos indica qual das posi¸˜es da tabela-verdade ´ 1. Com base
                                           co                    e
nisto, ´ poss´ descrever qualquer fun¸˜o l´gica no formato sdm.
       e      ıvel                       ca o
    Fica ent˜o f´cil obter uma tabela verdade a partir de uma equa¸˜o na forma
             a a                                                    ca
sdm ou vice-versa. Dada uma tabela verdade qualquer, cada linha em que a
fun¸˜o ´ 1 corresponde a um mintermo. O mintermo abc s´ ser´ 1 quando a
    ca e                                                       o   a
etrada for abc = 111; abc ser´ 1 quando abc = 011 e assim por diante. Ou seja,
                              a
para uma vari´vel n˜o barrada num mintermo corresponde aquela vari´vel ser
                 a    a                                                 a
1 na tabela verdade e uma vari´vel barrada corresponde a um 0.
                                 a
    A tabela 4 apresenta todos os mintermos de uma fun¸˜o de 4 vari´veis junto
                                                          ca          a
com a respectiva entrada que faz ele ser 1. Obviamente, com 2 vari´veis temos
                                                                     a
4 mintermos poss´  ıveis (ab, ab, ab e ab), com 3 vari´veis temos 8 mintermos
                                                       a
poss´ıveis, com 4 temos 16 e assim por diante.
    ´
    E bastante usual se trabalhar com equa¸˜es na forma sdm. Uma das ra-
                                              co
z˜es para isso ´ que uma sdm ´ uma soma de produtos, obviamente, e estamos
 o               e              e
acostumados a trabalhar com equa¸˜es na forma de soma de produtos devido
                                     co
`s propriedades da ´lgebra convencional. Mas a ´lgebra de Boole abre a opor-
a                    a                            a
tunidade de trabalharmos com uma equa¸˜o na forma produto de somas, o que
                                           ca
leva a uma forma padr˜o alternativa: a forma padr˜o produto de maxtermos
                         a                            a
(ou pdm).

     Um maxtermo ´ uma soma n˜o barrada de todas as vari´veis da
                     e             a                    a
     fun¸˜o, sejam elas barradas ou n˜o.
        ca                           a

   Considerando uma fun¸˜o de 4 vari´veis, s˜o exemplos de maxtermos: a +
                            ca            a a
b + c + d, a + b + c + d e a + b + c + d.
N˜o s˜o maxtermos a + b + c (pois n˜o tem todas as vari´veis), ab + cd (pois
  a a                                   a              a


                                      10
n˜o ´ um produto das 4 vari´veis), a + b + (c + d) (pois as vari´veis tem que ser
 a e                            a                                   a
barradas uma a uma) e nem a + b + c + d + d (pois a vari´vel d est´ repetida).
                                                               a         a
   Da mesma forma que fizemos com mintermos, vamos analisar a fun¸˜o exem-  ca
plo g ′ = (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c) para entender a utilidade da forma
pdm, observe a tabela 3, que ´ uma tabela verdade da fun¸˜o g e de cada um
                                  e                              ca
dos maxtermos presentes nela.

                a    b   c       a+b+c   a+b+c       a+b+c       g′
                0    0   0         1       1           0         0
                0    0   1         1       0           1         0
                0    1   0         1       1           1         1
                0    1   1         1       1           1         1
                1    0   0         0       1           1         0
                1    0   1         1       1           1         1
                1    1   0         1       1           1         1
                1    1   1         1       1           1         1


Tabela 3: tabela verdade da fun¸˜o g ′ = (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c) e
                               ca
seus maxtermos.

    Observa-se analisando a tabela que cada maxtermo s´ ´ 0 para um unico
                                                         o e             ´
vetor de entrada e 1 para qualquer outra entrada. Pegando como exemplo o
maxtermo a + b + c, como se trata de uma soma, ele ´ 1 sempre que a = 1, que
                                                    e
b = 1 ou que c = 0 (pois c est´ barrado), logo ele s´ ´ 0 quando a = b = 0
                                 a                   o e
e c = 1. Isto quer dizer que, enquanto cada mintermo representava uma linha
da tabela verdade com sa´ 1, cada maxtermo representa uma linha na tabela
                           ıda
verdade com sa´ 0.
                 ıda
    E para unir diferentes maxtermos, faz-se o produto deles, pois assim os 0’s
se somam na f´rmula final. Da´ a forma ser o produto dos maxtermos. Fica
                o                ı
ent˜o f´cil descrever qualquer fun¸˜o como sdm ou pdm a partir de uma tabela
   a a                             ca
verdade. Ou de uma equa¸˜o em uma das duas forma padr˜es, obter a tabela
                            ca                             o
verdade. A tabela 4 mostra tamb´m os 16 maxtermos equivalentes a cada
                                      e
entrada poss´ com 4 vari´veis.
              ıvel           a
Exemplo 2:
Reanalisando as tabelas 2 e 3, ´ f´cil chegar nas equa¸oes das fun¸oes g na
                               e a                    c˜          c˜
forma pdm e g ′ na forma sdm:

           g = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)          (1)
                             ′
                         g = abc + abc + abc + abc + abc                        (2)

Exemplo 3:
Deseja-se implementar um circuito que acione uma sa´ f caso 2 ou mais de
                                                   ıda
suas 3 entradas A, B e C forem 1.
Resolu¸˜o (Usando Mintermos):
      ca
O primeiro passo ´ montar a tabela verdade da fun¸ao f , vide tabela 5
                 e                               c˜
   Analisando a tabela 5, podemos obter a equa¸ao de f na forma sdm.
                                              c˜

                    f (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC                         (3)


                                         11
a   b   c   d   mintermo          maxtermo
                  0   0   0   0   abcd              a+b+c+d
                  0   0   0   1   abcd              a+b+c+d
                  0   0   1   0   abcd              a+b+c+d
                  0   0   1   1   abcd              a+b+c+d
                  0   1   0   0   abcd              a+b+c+d
                  0   1   0   1   abcd              a+b+c+d
                  0   1   1   0   abcd              a+b+c+d
                  0   1   1   1   abcd              a+b+c+d
                  1   0   0   0   abcd              a+b+c+d
                  1   0   0   1   abcd              a+b+c+d
                  1   0   1   0   abcd              a+b+c+d
                  1   0   1   1   abcd              a+b+c+d
                  1   1   0   0   abcd              a+b+c+d
                  1   1   0   1   abcd              a+b+c+d
                  1   1   1   0   abcd              a+b+c+d
                  1   1   1   1   abcd              a+b+c+d

Tabela 4: Mintermos e maxtermos equivalentes a cada um dos poss´
                                                               ıveis valores
de entrada de uma fun¸˜o de 4 vari´veis.
                     ca           a


                              A    B        C   f
                              0    0        0   0
                              0    0        1   0
                              0    1        0   0
                              0    1        1   1
                              1    0        0   0
                              1    0        1   1
                              1    1        0   1
                              1    1        1   1

                   Tabela 5: Tabela verdade da fun¸˜o f .
                                                  ca



   E ent˜o basta aplicar os postulados e teoremas cab´
        a                                            ıveis a equa¸ao 3 para
                                                           `     c˜




                                       12
minimizar a fun¸ao.
               c˜

                 f (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC
                                                    AB (T 6)

                            = ABC + ABC + AB
                                         AC+AB (T 7)

                            = ABC + AC +AB
                               BC+AC (T 7)

                 f (A, B, C) = BC + AC + AB                                (4)

Resolu¸˜o (Usando maxtermos):
       ca
Reanalisando a tabela 5, obtemos a equa¸ao de f na forma pdm.
                                       c˜

       f (A, B, C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)          (5)

   E novamente aplicando os postulados e teoremas cab´
                                                     ıveis:

       f (A, B, C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)
                            A+B (T 6)

                  = (A + B) (A + B + C)(A + B + C)
                              A+C (T 7)

                  = (A + B)(A + C) (A + B + C)
                                        B+C (T 7)

       f (A, B, C) = (A + B)(A + C)(B + C)                                 (6)

    ´ a
   E f´cil mostrar que a equa¸ao 6 ´ equivalente a 4. Para tanto basta aplicar
                              c˜     e             `
repetidas vezes o postulado da distributividade (P5).




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Algebra

  • 1. ´ Algebra de Boole Jo˜o Paulo Cerquinho Cajueiro a 19 de agosto de 2009 A ´lgebra de Boole foi desenvolvida por George Boole(1815–1864) em seu a livro An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathe- matical Theories of Logic and Probabilities de 1854. Ela buscava uma base ma- tem´tica formal para a l´gica e probabilidade e passou um longo tempo sendo a o conhecida apenas por matem´ticos, sem encontrar uma utilidade pr´tica. Foi, a a de certo modo, descoberta por Claude Shannon(1916–2001), que a utilizou em sua tese de mestrado A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits em 1937 para desenvolver circuitos el´tricos que realizassem fun¸˜es l´gicas. e co o 1 Postulados Pensando em probabilidade, a id´ia b´sica da ´lgebra booleana ´ de utilizar e a a e conceitos de ´lgebra para expressar quest˜es de probabilidade ou de l´gica. a o o Neste sentido o n´mero 1 expressa o conceito l´gico de verdadeiro ou o conceito u o probabil´ıstico (ou melhor, de teoria de conjuntos) de todo o espa¸o amostral, c o 0 ´ o equivalente l´gico de falso ou de conjunto nulo, a soma + equivale e o ao ou l´gico e a uni˜o (∪) de conjuntos e a multiplica¸˜o equivale a opera¸˜o o a ca ca l´gica e e a intersec¸˜o (∩) de conjuntos. Os potulados s˜o feitos de modo a o ca a garantir esta equivalˆncia. e Postulado 1 – Opera¸˜es: co A algebra de Boole tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas opera¸oes: ´ c˜ · e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K: (a) a·b ∈ K (P1) (b) a+b∈K Postulado 2 – Valores Neutros: Existem valores 0 e 1 tais que: (a) a+0=a (P2) (b) a·1 = 1 Postulado 3 – comutatividade: (a) a+b=b+a (P3) (b) a·b = b·a 1
  • 2. Postulado 4 – associatividade: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (P4) (b) a · (b · c) = (a · b) · c Postulado 5 – distributividade: (a) a + (b · c) = (a + b) · (a + c) (P5) (b) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) Postulado 6 – existˆncia de complemento: e Para todo a ∈ K, existe um e apenas um a ∈ K, chamado o complemento de a, tal que: (a) a + a = 1 (P6) (b) a · a = 0 2 Teoremas V´rias caracter´ a ısticas da ´lgebra de Boole n˜o aparecem diretamente nos pos- a a tulados, mas podem ser inferidas a partir deles. Muitas destas caracter´ısticas ser˜o uteis para n´s, e abaixo descrevemos 10 teoremas, provados a partir dos a ´ o postulados (ou de teoremas j´ provados, o que d´ no mesmo). a a Dentre os 10 teoremas mostrados, 9 deles tem 2 formas, aqui chamadas de (a) e (b), que s˜o as formas duais dos teoremas. A dualidade ser´ melhor discutida a a usando o teorema 1 como exemplo. Teorema 1: A soma ou o produto de um valor por ele mesmo ´ igual a ele mesmo. e (a) a+a=a (T1) (b) a·a = a E a prova deste teorema encontra-se abaixo: a=a+0 a = a·1 Prova: = a + a·a = a · (a + a) = (a + a) · (a + a) = (a · a) + (a · a) = (a + a) · 1 = (a · a) + 0 a=a+a a = a·a Note que a prova de T1(a) ´ idˆntica a de T1(b), ao se trocar as opera¸˜es e e co de soma por multiplica¸˜o e vice-versa e os 0’s por 1’s e vice-versa. Isto n˜o ´ ca a e uma coincidˆncia, mas vem diretamente do fato de que os postulados tem esta e simetria. Em ´lgebra de Boole isto ´ chamado de dualidade. Diz-se ent˜o que a e a uma express˜o ´ o dual da outra quando se trocam os · por + e vice-versa e os a e 0’s por 1’s e vice-versa. Al´m disso, a simetria dos postulados garante que: se uma express˜o f ´ e a e verdadeira, logo a express˜o dual fd tamb´m ´ verdadeira. Por conta disto, para a e e todos os teoremas subsequentes que tenham express˜es duais, s´ provaremaos o o uma delas, j´ que o dual do teorema ´ automaticamente verdadeiro. a e 2
  • 3. Teorema 2: (a) a+1=1 (T2) (b) a·0 = 0 Prova: a + 1 = a + (a + a) = (a + a) + a =a+a a+1=1 Teorema 3: a=a (T3) Prova: Seja a = b: b·a = a·b = a·a 0 b+a=a+b=a+a 1 logo: a b=a Teorema 4: (a) a + a·b = a (T4) (b) a · (a + b) = a Prova: a + a·b = a·1 + a·b = a(b + b + a · b = a·b + a·b + a·b = a·b + a·b = a·1 a + a·b = a O significado deste teorema ´ melhor visto atrav´s de um diagrama de Venn1 , e e mostrando a e a · b (lembrando que a multiplica¸˜o equivale ` intersec¸˜o e a ca a ca soma ` uni˜o). A figura 1 mostra justamente isto. a a Teorema 5: (a) a + a·b = a + b (T5) (b) a · (a + b) = a · b 3
  • 4. a a·b b Figura 1: Diagrama de Venn demostrando o teorema T4. a a·b Figura 2: Diagrama de Venn demonstrando o teorema T5. Prova: a + a · b = (a + a · b) + a · b = a + b(a + a) = a + b·1 a + a·b = a + b Teorema 6: (a) a·b + a·b = a (T6) (b) (a + b) · (a + b) = a Prova: a · b + a · b = a(b + b) = a·1 a·b + a·b = a 1 na verdade, este ´ um diagrama de Johnston. Um diagrama de Venn mostraria todas as e possibilidades: a · b, a · b, a · b e a · b. 4
  • 5. a·b a·b Figura 3: Diagrama de Venn demonstrando o teorema T6. c a·b·c a·b a b Figura 4: Diagrama de Venn demostrando o teorema T7. Teorema 7: (a) a·b + a·b·c = a·b + a·c (T7) (b) (a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c) Prova: a·b + a·b·c = a·b·1 + a·b·c = a · b · (1 + c) + a · b · c = a·b·1 + a·b·c + a·b·c = a · b + a · c(b + b) a·b + a·b·c = a·b + a·c Teorema 8 – Leis de DeMorgan2 : (a) a + b = a·b (T8) (b) a·b = a + b 5
  • 6. a+b a·b a·b a+b Figura 5: Diagrama de Venn mostrando que a)a · b ´ o complemento de a + b e e que b)a + b ´ o complemento de a · b para provar as Leis de deMorgan (T8). e Prova: (a + b)a · b = a · a · b + b · a · b Prova-se mostrando que a · b ´ o complemento de a+b: e =0+0 (a + b)a · b = 0 (a + b) + a · b = (a + b + a)(a + b + b) = (1 + b)(1 + a) Logo: = 1·1 (a + b) + a · b = 1 a+b a·b ´ E poss´ ainda aplicar o teorema repetidas vezes e provar que: ıvel f (x1 , x2 , . . . , xn ) = fd (x1 , x2 , . . . , xn ) Teorema 9 – Teorema do consenso: (a) a·b + a·c + b·c = a·b + a·c (T9) (b) (a + b) · (a + c) · (b + c) = (a + b) · (a + c) Prova: a · b + a · c + b · c = (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c) = (a · b · c + a · b · c) + a · b · c + (a · b · c + a · b · c) + a · b · c = a·b·c + a·b·c + a·b·c + a·b·c = (a · b · c + a · b · c) + (a · b · c + a · b · c) a·b + a·c + b·c = a·b + a·c 6
  • 7. a·c a·b Figura 6: Diagrama de Venn demonstrando o teorema do consenso. Teorema 10 – Expans˜o de Shannon3 : a (a) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn ) + x1 · f (0, x2 , . . . , xn ) (b) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = [x1 + f (0, x2 , . . . , xn )] · [x1 + f (1, x2 , . . . , xn )] (T10) Prova: Considerando que x1 · x1 = x1 · 1 e que x1 · x1 = x1 · x1 · x1 = x1 · 0, podemos afirmar que: x1 · f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn ) E pelo mesmo racioc´ ınio chegamos a: x1 · f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · f (0, x2 , . . . , xn ) Podemos ent˜o separar a fun¸ao e aplicar estas igualdades: a c˜ f (. . .) = 1 · f (. . .) = x1 · f (. . .) + x1 · f (. . .) f (. . .) = x1 · f (1, x2 , . . . , xn ) + x1 · f (0, x2 , . . . , xn ) 3 Aplica¸˜o dos postulados e teoremas ca Podemos aplicar os postulados e teoremas da ´lgebra de Boole para simplificar a equa¸˜es booleanas. Como estas equa¸˜es ser˜o ou s˜o implementadas por um co co a a circuito, isto significa um circuito menor e, consequentemente, mais barato e mais r´pido. A tabela 1 condensa todas os postulados e teoremas at´ ent˜o a e a desenvolvidos para facilitar o acesso. Exemplo 1: Minimize o circuito l´gico mostrado na figura 7. o 7
  • 8. P1 ∀a, b ∈ K : a · b ∈ K ∀a, b ∈ K : a + b ∈ K P2 a+0=a a·1 = 1 P3 a+b=b+a a·b = b·a P4 a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c P5 a + (b · c) = (a + b) · (a + c) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) P6 a+a=1 a·a = 0 T1 a+a=a a·a = a T2 a+1=1 a·0 = 0 T3 a=a T4 a + a·b = a a · (a + b) = a T5 a + a·b = a + b a · (a + b) = a · b T6 a·b + a·b = a (a + b) · (a + b) = a T7 a·b + a·b·c = a·b + a·c (a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c) T8 a + b = a·b a·b = a + b T9 a·b + a·c + b·c = a·b + a·c (a + b) · (a + c) · (b + c) = (a + b) · (a + c) T10 f (x1 , . . .) = x1 · f (1, . . .) + x1 · f (0, . . .) f (x1 , . . .) = [x1 + f (0, . . .)] · [x1 + f (1, . . .)] Tabela 1: Resumo dos postulados e Teoremas. a b z c Figura 7: Circuito do exemplo 1. Resolu¸˜o: ca Pela an´lise do circuito obtemos z = abc+ac · ab. Aplicamos agora os postulados a 8
  • 9. e teoremas cab´ ıveis: z(a, b, c) = abc + ac · ab T8 = abc + ac · (a + b) T3 = abc + ac(a + b) P5 = abc + aca + acb P3 P3 = abc + aa · c + abc T1 = abc + ac + abc P3 = abc + abc +ac T6 = ab + ac P5 z(a, b, c) = a(b + c) O circuito simplificado ´ mostrado na figura 8. e a b z c Figura 8: Circuito simplificado do exemplo 1. 4 Formas canˆnicas o H´ casos em que ´ necess´rio obter uma equa¸˜o booleana a partir de uma ta- a e a ca bela verdade. Nestas situa¸˜es s˜o bastante uteis as formas canˆnicas (tamb´m co a ´ o e conhecidas de formas padr˜es) de soma de mintermos ou produto de maxtermos. o Obviamente para entendˆ-las precisamos primeiro saber o que s˜o mintermos e e a maxtermos. Vamos come¸ar pela defini¸˜o de mintermos e analisar a forma de c ca soma de mintermos. Um mintermo ´ um produto n˜o barrado de todas as vari´veis da e a a fun¸˜o, sejam elas barradas ou n˜o. ca a Considerando uma fun¸˜o de 4 vari´veis, s˜o exemplos de mintermos: abcd, ca a a abcd e abcd. 9
  • 10. N˜o s˜o mintermos abc (pois n˜o tem todas as vari´veis), ab + cd (pois n˜o ´ a a a a a e um produto das 4 vari´veis), ab(cd) (pois as vari´veis tem que ser barradas uma a a a uma) e nem abcdd (pois a vari´vel d est´ repetida). a a Um exemplo de fun¸˜o descrita na forma soma de mintermos (por sim- ca plicidade referido por sdm- soma de mintermos) ´ a fun¸˜o de 3 vari´veis e ca a g = abc + abc + abc. Para entender a utilidade desta forma, observe a ta- bela 2, que ´ uma tabela verdade da fun¸˜o g e de cada um dos mintermos e ca presentes nela. a b c abc abc abc g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Tabela 2: tabela verdade da fun¸˜o g = abc + abc + abc e seus mintermos. ca Um mintermo, sendo um produto de todas as vari´veis presentes, s´ pode a o ser 1 em um unico caso, o que ´ exemplificado na tabela. Al´m disso mintermos ´ e e diferentes representam um 1 em posi¸˜es diferentes da tabela verdade, logo a co soma de mintermos indica qual das posi¸˜es da tabela-verdade ´ 1. Com base co e nisto, ´ poss´ descrever qualquer fun¸˜o l´gica no formato sdm. e ıvel ca o Fica ent˜o f´cil obter uma tabela verdade a partir de uma equa¸˜o na forma a a ca sdm ou vice-versa. Dada uma tabela verdade qualquer, cada linha em que a fun¸˜o ´ 1 corresponde a um mintermo. O mintermo abc s´ ser´ 1 quando a ca e o a etrada for abc = 111; abc ser´ 1 quando abc = 011 e assim por diante. Ou seja, a para uma vari´vel n˜o barrada num mintermo corresponde aquela vari´vel ser a a a 1 na tabela verdade e uma vari´vel barrada corresponde a um 0. a A tabela 4 apresenta todos os mintermos de uma fun¸˜o de 4 vari´veis junto ca a com a respectiva entrada que faz ele ser 1. Obviamente, com 2 vari´veis temos a 4 mintermos poss´ ıveis (ab, ab, ab e ab), com 3 vari´veis temos 8 mintermos a poss´ıveis, com 4 temos 16 e assim por diante. ´ E bastante usual se trabalhar com equa¸˜es na forma sdm. Uma das ra- co z˜es para isso ´ que uma sdm ´ uma soma de produtos, obviamente, e estamos o e e acostumados a trabalhar com equa¸˜es na forma de soma de produtos devido co `s propriedades da ´lgebra convencional. Mas a ´lgebra de Boole abre a opor- a a a tunidade de trabalharmos com uma equa¸˜o na forma produto de somas, o que ca leva a uma forma padr˜o alternativa: a forma padr˜o produto de maxtermos a a (ou pdm). Um maxtermo ´ uma soma n˜o barrada de todas as vari´veis da e a a fun¸˜o, sejam elas barradas ou n˜o. ca a Considerando uma fun¸˜o de 4 vari´veis, s˜o exemplos de maxtermos: a + ca a a b + c + d, a + b + c + d e a + b + c + d. N˜o s˜o maxtermos a + b + c (pois n˜o tem todas as vari´veis), ab + cd (pois a a a a 10
  • 11. n˜o ´ um produto das 4 vari´veis), a + b + (c + d) (pois as vari´veis tem que ser a e a a barradas uma a uma) e nem a + b + c + d + d (pois a vari´vel d est´ repetida). a a Da mesma forma que fizemos com mintermos, vamos analisar a fun¸˜o exem- ca plo g ′ = (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c) para entender a utilidade da forma pdm, observe a tabela 3, que ´ uma tabela verdade da fun¸˜o g e de cada um e ca dos maxtermos presentes nela. a b c a+b+c a+b+c a+b+c g′ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tabela 3: tabela verdade da fun¸˜o g ′ = (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c) e ca seus maxtermos. Observa-se analisando a tabela que cada maxtermo s´ ´ 0 para um unico o e ´ vetor de entrada e 1 para qualquer outra entrada. Pegando como exemplo o maxtermo a + b + c, como se trata de uma soma, ele ´ 1 sempre que a = 1, que e b = 1 ou que c = 0 (pois c est´ barrado), logo ele s´ ´ 0 quando a = b = 0 a o e e c = 1. Isto quer dizer que, enquanto cada mintermo representava uma linha da tabela verdade com sa´ 1, cada maxtermo representa uma linha na tabela ıda verdade com sa´ 0. ıda E para unir diferentes maxtermos, faz-se o produto deles, pois assim os 0’s se somam na f´rmula final. Da´ a forma ser o produto dos maxtermos. Fica o ı ent˜o f´cil descrever qualquer fun¸˜o como sdm ou pdm a partir de uma tabela a a ca verdade. Ou de uma equa¸˜o em uma das duas forma padr˜es, obter a tabela ca o verdade. A tabela 4 mostra tamb´m os 16 maxtermos equivalentes a cada e entrada poss´ com 4 vari´veis. ıvel a Exemplo 2: Reanalisando as tabelas 2 e 3, ´ f´cil chegar nas equa¸oes das fun¸oes g na e a c˜ c˜ forma pdm e g ′ na forma sdm: g = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c) (1) ′ g = abc + abc + abc + abc + abc (2) Exemplo 3: Deseja-se implementar um circuito que acione uma sa´ f caso 2 ou mais de ıda suas 3 entradas A, B e C forem 1. Resolu¸˜o (Usando Mintermos): ca O primeiro passo ´ montar a tabela verdade da fun¸ao f , vide tabela 5 e c˜ Analisando a tabela 5, podemos obter a equa¸ao de f na forma sdm. c˜ f (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC (3) 11
  • 12. a b c d mintermo maxtermo 0 0 0 0 abcd a+b+c+d 0 0 0 1 abcd a+b+c+d 0 0 1 0 abcd a+b+c+d 0 0 1 1 abcd a+b+c+d 0 1 0 0 abcd a+b+c+d 0 1 0 1 abcd a+b+c+d 0 1 1 0 abcd a+b+c+d 0 1 1 1 abcd a+b+c+d 1 0 0 0 abcd a+b+c+d 1 0 0 1 abcd a+b+c+d 1 0 1 0 abcd a+b+c+d 1 0 1 1 abcd a+b+c+d 1 1 0 0 abcd a+b+c+d 1 1 0 1 abcd a+b+c+d 1 1 1 0 abcd a+b+c+d 1 1 1 1 abcd a+b+c+d Tabela 4: Mintermos e maxtermos equivalentes a cada um dos poss´ ıveis valores de entrada de uma fun¸˜o de 4 vari´veis. ca a A B C f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Tabela 5: Tabela verdade da fun¸˜o f . ca E ent˜o basta aplicar os postulados e teoremas cab´ a ıveis a equa¸ao 3 para ` c˜ 12
  • 13. minimizar a fun¸ao. c˜ f (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC AB (T 6) = ABC + ABC + AB AC+AB (T 7) = ABC + AC +AB BC+AC (T 7) f (A, B, C) = BC + AC + AB (4) Resolu¸˜o (Usando maxtermos): ca Reanalisando a tabela 5, obtemos a equa¸ao de f na forma pdm. c˜ f (A, B, C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) (5) E novamente aplicando os postulados e teoremas cab´ ıveis: f (A, B, C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) A+B (T 6) = (A + B) (A + B + C)(A + B + C) A+C (T 7) = (A + B)(A + C) (A + B + C) B+C (T 7) f (A, B, C) = (A + B)(A + C)(B + C) (6) ´ a E f´cil mostrar que a equa¸ao 6 ´ equivalente a 4. Para tanto basta aplicar c˜ e ` repetidas vezes o postulado da distributividade (P5). 13