Arco trigonometrico

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Arco trigonometrico

  1. 1. Arco trigonométrico  Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2π, 2π[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa.  A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo. Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.
  2. 2. Arco trigonométrico  A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas. O A B A’ B’ 0, 2π, 4π, 6π, ... –2π, –4π, –6π, ... Os números acima são chamados de números congruentes.
  3. 3. Arco trigonométrico – caso geral  Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2π, tenha como imagem o ponto P do ciclo. O A B A’ B’ P x O Ponto P é imagem de:  x  2π + x  4π + x  6π + x  –2π + x  –4π + x k.2π + x ou 2kπ + x Expressão geral dos números congruentes a x.
  4. 4. Arco trigonométrico  Seja x um número real, 0 ≤ x < 2π, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, com k inteiro.  Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco.  Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.
  5. 5. Encontrando a determinação principal  Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.
  6. 6. 5110º 360º1910º Exemplos  Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 1910º = 5 . 360º + 110º O A B A’ B’ P 110º 90º 0o 180º 270º k.360º + 110º
  7. 7. –6–105º 360º–2265º Exemplos  Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –2265º = –6.360º – 105º O A B A’ B’ P 255º 90º 0o 180º 270º – 105º + 360º = 255º k.360º + 255º
  8. 8. Exemplos  Achar a determinação principal de 49π/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 49π/5 = 9,8 π 8π < 49π/5 < 10π⇒ 49π 5 – 8π = 49π – 40π 5 = 9π 5 ⇒ 324º, 4º q. 2kπ + 9π/5.
  9. 9. Exemplos  Achar a determinação principal de –17π/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –17π/3 = –5,6π –6π < –17π/3 < –4π⇒ –17π 3 + 6π = –17π + 18π 3 = π 3 ⇒ 60º, 1º q. 2kπ + π/3.
  10. 10. Exemplos  No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa. O A B A’ B’ P Q 30º

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