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Início Sair
Elementos de um triângulo retângulo
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
( é reto)
O lado oposto ao ângulo reto
é chamado de hipotenusa.
Os outros dois lados são
chamados catetos.
Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa.
a
A
B C
bc
hipotenusa
CB
A
b
c
a
h
m n
H
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Teorema ou relação de Pitágoras
25 = 16 + 9
A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).
a2 = b2 + c2
5
a c
b
C
B
A
4
3 = +
a = 5
b = 4
c = 3
a2 b2
c2
Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um
caso particular:
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
CB
A
b
c
a
h
m n
H
Demonstração do teorema de Pitágoras
Vejamos uma demonstração, baseada na semelhança de triângulos.
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura relativa à
hipotenusa.
Temos que: a = m + n 1
1 2
3
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os ângulos e os lados
correspondentes.
Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum.
O que eles têm em comum?
Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.
c2 = am 2
ah = bc 3
ch = bm 4
= =
c h
m
c b
a
m h
c
c b
a
1 3
1
3
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum; portanto, são
semelhantes.
Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.
b2 = an
bc = ah
bh = nc
5
3
6 c2 = am 2
b2 + c2 = an + am
b2 + c2 = a(n + m)
1a = m + nComo:
Então: b2 + c2 = a2
c
b
a
A
CB
A
CH n
b
h
3 2
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo
1ª relação
Assim como fizemos anteriormente,
ao observar os dois triângulos
podemos verificar que eles são
semelhantes.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre
a hipotenusa.
A
HB
c h
m
CH
h
b
n
= =
De , obtemos que .=
Logo:
h2 = mn
A
1 2
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
2ª relação
c2 = am b2 = an
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual
ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto
sobre a hipotenusa.
Da demonstração do teorema de Pitágoras, podemos notar que foram
estabelecidas outras relações:
3ª relação
Também da demonstração, temos outra relação:
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
c
b
a
A
CB
A
CH n
b
h
A
CH n
b
h
bc = ah
3 2
3
2
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
c2 = am
bc = aha = m + n
Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são:
a2 = b2 + c2
h2 = mn
b2 = an
c b
a
m n
h
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Aplicações importantes do teorema de Pitágoras
Diagonal de um quadrado
O triângulo ADC é retângulo em D.
Aplicamos então o teorema de Pitágoras:
Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da
medida de um lado por .
Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a
medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ?ℓ
A B
CD
d
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
d2 = 2 + 2ℓ ℓ
d2 = 2ℓ 2
d = ℓ
d = ℓ 2
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Altura de um triângulo equilátero
O triângulo ABH é retângulo em H.
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos
encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ?
Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um
lado por .
h2 + = ℓ 2ℓ
h = ou
2ℓ
h2 = 2 _
2ℓℓ
h2 =
2ℓ
h = ouℓ
h = .ℓ
A
B C
h
H
ℓ ℓ
ℓ
ℓℓ
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Diagonal de um bloco retangular
Caso particular: diagonal do cubo
Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b e c, e cuja
diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco retangular mede D.
O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D. Mas, para
calcular o valor de D, precisamos encontrar o valor de d.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + b2
D2 = a2 + b2 + c2
O cubo é um caso particular do bloco
retangular em que a = b = c = ℓ. Assim:
A
B C
I
E F
HH
D
d
a
b
c
D =
A
B C
D
I
F
HG
E
d
ℓ
ℓ
ℓ
= =D = ℓ2 + 2 + 2ℓ ℓ ℓℓ2
D2 = d2 + c2
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Triângulo inscrito em uma semicircunferência
Quando um vértice de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros
dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está
inscrito em uma semicircunferência.
Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é triângulo retângulo.
A
B
OC
A
B
OC
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Outras situações que envolvem as relações métricas
no triângulo retângulo
Os ternos pitagóricos
Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação
a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos.
Tente pensar em um terno pitagórico!
O mais conhecido é: 3, 4 e 5.
3, 4, 5
5
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3
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
conhecendo-se as medidas de seus três lados
Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma
unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior.
Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos:
• Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo.
• Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo
obtusângulo.
• Se a2 < b2 + c2, temos
um triângulo acutângulo.
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Relações métricas na circunferência
Relação entre duas cordas concorrentes em uma circunferência
Considerando os triângulos APC e DPB, temos:
ângulos inscritos de mesmo arco
ângulos opostos pelo vértice
Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo:
Assim, demonstramos que:
Em toda circunferência, quando duas cordas se
cruzam, o produto das medidas das duas partes
de uma é igual ao produto das medidas das duas
partes de outra.
C
D
B
A
P
Na circunferência ao lado, e são duas cordas que
se cruzam no ponto P.
AP . BP = CP . DP
= =
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Relação entre dois segmentos de reta secantes a uma circunferência
Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos de reta secantes a partir
de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua
parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte
externa.
PA . PB = PC . PD
A B
D
C
P
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Relação entre um segmento de reta secante e um segmento de
reta tangente a uma circunferência
Observando os triângulos PAC e PBA, temos:
ângulo comum
ângulo de segmento e ângulo inscrito
de mesmo arco
A
B
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P
Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento de reta
tangente e um segmento de reta secante .
Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados
homólogos têm medidas proporcionais:
Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um
segmento de reta tangente e um segmento de reta secante, o quadrado da
medida do segmento de reta tangente é igual ao produto da medida do
segmento de reta secante pela medida da sua parte externa.
(PA)2 = PB . PC= =

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Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

  • 1. Início Sair Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . ( é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados catetos. Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. • h: medida da altura relativa à hipotenusa; • m: medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa; • n: medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa. a A B C bc hipotenusa CB A b c a h m n H
  • 2. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Teorema ou relação de Pitágoras 25 = 16 + 9 A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c). a2 = b2 + c2 5 a c b C B A 4 3 = + a = 5 b = 4 c = 3 a2 b2 c2 Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um caso particular:
  • 3. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência CB A b c a h m n H Demonstração do teorema de Pitágoras Vejamos uma demonstração, baseada na semelhança de triângulos. Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura relativa à hipotenusa. Temos que: a = m + n 1 1 2 3
  • 4. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os ângulos e os lados correspondentes. Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC. Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum. O que eles têm em comum? Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA. c2 = am 2 ah = bc 3 ch = bm 4 = = c h m c b a m h c c b a 1 3 1 3
  • 5. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC. Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum; portanto, são semelhantes. Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum. b2 = an bc = ah bh = nc 5 3 6 c2 = am 2 b2 + c2 = an + am b2 + c2 = a(n + m) 1a = m + nComo: Então: b2 + c2 = a2 c b a A CB A CH n b h 3 2
  • 6. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo 1ª relação Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. A HB c h m CH h b n = = De , obtemos que .= Logo: h2 = mn A 1 2
  • 7. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência 2ª relação c2 = am b2 = an Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Da demonstração do teorema de Pitágoras, podemos notar que foram estabelecidas outras relações: 3ª relação Também da demonstração, temos outra relação: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa. c b a A CB A CH n b h A CH n b h bc = ah 3 2 3 2
  • 8. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência c2 = am bc = aha = m + n Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: a2 = b2 + c2 h2 = mn b2 = an c b a m n h
  • 9. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Aplicações importantes do teorema de Pitágoras Diagonal de um quadrado O triângulo ADC é retângulo em D. Aplicamos então o teorema de Pitágoras: Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da medida de um lado por . Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ?ℓ A B CD d ℓ ℓ ℓ ℓ d2 = 2 + 2ℓ ℓ d2 = 2ℓ 2 d = ℓ d = ℓ 2
  • 10. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Altura de um triângulo equilátero O triângulo ABH é retângulo em H. Vamos aplicar o teorema de Pitágoras: Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ? Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um lado por . h2 + = ℓ 2ℓ h = ou 2ℓ h2 = 2 _ 2ℓℓ h2 = 2ℓ h = ouℓ h = .ℓ A B C h H ℓ ℓ ℓ ℓℓ
  • 11. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Diagonal de um bloco retangular Caso particular: diagonal do cubo Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b e c, e cuja diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco retangular mede D. O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D. Mas, para calcular o valor de D, precisamos encontrar o valor de d. Aplicando o teorema de Pitágoras: d2 = a2 + b2 D2 = a2 + b2 + c2 O cubo é um caso particular do bloco retangular em que a = b = c = ℓ. Assim: A B C I E F HH D d a b c D = A B C D I F HG E d ℓ ℓ ℓ = =D = ℓ2 + 2 + 2ℓ ℓ ℓℓ2 D2 = d2 + c2
  • 12. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Triângulo inscrito em uma semicircunferência Quando um vértice de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está inscrito em uma semicircunferência. Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é triângulo retângulo. A B OC A B OC
  • 13. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Outras situações que envolvem as relações métricas no triângulo retângulo Os ternos pitagóricos Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos. Tente pensar em um terno pitagórico! O mais conhecido é: 3, 4 e 5. 3, 4, 5 5 4 3
  • 14. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior. Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos: • Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo. • Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo obtusângulo. • Se a2 < b2 + c2, temos um triângulo acutângulo.
  • 15. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Relações métricas na circunferência Relação entre duas cordas concorrentes em uma circunferência Considerando os triângulos APC e DPB, temos: ângulos inscritos de mesmo arco ângulos opostos pelo vértice Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo: Assim, demonstramos que: Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes de outra. C D B A P Na circunferência ao lado, e são duas cordas que se cruzam no ponto P. AP . BP = CP . DP = =
  • 16. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Relação entre dois segmentos de reta secantes a uma circunferência Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos de reta secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa. PA . PB = PC . PD A B D C P
  • 17. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Relação entre um segmento de reta secante e um segmento de reta tangente a uma circunferência Observando os triângulos PAC e PBA, temos: ângulo comum ângulo de segmento e ângulo inscrito de mesmo arco A B C P Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante .
  • 18. Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados homólogos têm medidas proporcionais: Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante, o quadrado da medida do segmento de reta tangente é igual ao produto da medida do segmento de reta secante pela medida da sua parte externa. (PA)2 = PB . PC= =