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TRIGONOMETRIA
NOÇÕES DE GEOMETRIA E
TRIGONOMETRIA
PROFESSORA ROSÂNIA
1
NOÇÕES DE GEOMETRIA
PERÍMETRO – soma dos lados de um
polígono qualquer.
O perímetro do quadrado é: 12
O perímetro do triângulo é 12
PROFESSORA ROSÂNIA
2
ÁREA - é a medida de
superfície
 Área de um triângulo
base
altura
PROFESSORA ROSÂNIA 3
 Área do quadrado
A = a²
PROFESSORA ROSÂNIA 4
 Área do retângulo
A = a .
b
PROFESSORA ROSÂNIA 5
 Área do Paralelogramo
A = a .
b
PROFESSORA ROSÂNIA 6
 Área do losango
PROFESSORA ROSÂNIA 7
 Área do Trapézio
PROFESSORA ROSÂNIA 8
 Circunferência e Círculo
 Circunferência – lugar geométrico dos
pontos que possuem a mesma
distância de um determinado
ponto, chamado CENTRO.
.C
PROFESSORA ROSÂNIA 9
 Círculo – é a união da circunferência
com o seu anterior.
.C
PROFESSORA ROSÂNIA
1
0
CONCEITOS IMPORTANTES
 RAIO – é a distância do centro a
qualquer ponto da circunferência.
.C
O raio é a metade do diâmetro
PROFESSORA ROSÂNIA 11
 Diâmetro – é uma corda que passa
pelo centro ( mede o dobro do raio).
. C
Diâmetro é duas vezes o raio
PROFESSORA ROSÂNIA 12
O NÚMERO ∏ (Pi)
 Imagine uma circunferência e seu
respectivo diâmetro.
.
C
Imagine que o círculo seja cortado e esticado.
Se compararmos o tamanho do diâmetro com essa
linha, veremos que ela é 3,14 vezes maior.
PROFESSORA ROSÂNIA 13
Perímetro da circunferência

Área do círculo
PROFESSORA ROSÂNIA 14
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PROFESSORA ROSÂNIA 15
 1. Calcule o perímetro das figuras
abaixo:
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P = 4 . 5 = 20
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 2. Calcule a área das figuras abaixo:
QUADRADO
A = a²
A = 5² = 25
PROFESSORA ROSÂNIA 17
CÍRCULO
RETÂNGULO
PROFESSORA ROSÂNIA 18
TRIÂNGULO
PARALELOGRAMO
A = a .
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Obs: a altura é perpendicular ao lado
PROFESSORA ROSÂNIA 19
LOSANGO
PROFESSORA ROSÂNIA 20
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA
 RETA, SEMI-RETA E SEGMENTO DE
RETA
r
s
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reta
Semi-reta
Segmento de reta
PROFESSORA ROSÂNIA 21
 ÂNGULOS – é a união de duas semi-retas
distantes que possuem uma origem
comum.
r
s
O
A
B
ÂNGULO
PROFESSORA ROSÂNIA 22
 Ângulos Consecutivos – quando dois
ângulos possuem um lado em
comum. r
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O
A
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C
AÔB e AÔC são consecutivos porque tem um lado em comum
PROFESSORA ROSÂNIA 23
 Ângulos Adjacentes - quando dois ângulos
consecutivos não possuírem pontos
internos comuns eles serão adjacentes.
s
O
A
B
t
C
AÔB e BÔC são consecutivos, pois OB é um lado comum e
são adjacentes pois não possuem pontos internos comuns
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MEDIDA DE ÂNGULOS
Se dividirmos um círculo em 360 “fatias”
finas, cada uma dessas fatias poderá ser
chamada de grau.
0º
90º
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PROFESSORA ROSÂNIA 25
 Ângulo Raso – é o ângulo formado
entre um segmento de reta e o seu
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PROFESSORA ROSÂNIA 26
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TRIÂNGULO
 Figura geométrica que apresenta 3
lados e 3 ângulos internos.
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 Aquele em que um dos ângulos
internos apresenta 90°
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ELEMENTOS DO TRIÂNGULO
RETANGULO
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90°
PROFESSORA ROSÂNIA 30
TEOREMA DE PITÁGORAS
 RELAÇÃO ENTRE OS LADOS DO
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a² = b² + c²
EX: Em um triângulo retângulo os catetos
medem 3 e 4. determine a medida da
hipotenusa. a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
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PROFESSORA ROSÂNIA 31
CATETO OPOSTO E CATETO ADJACENTE
 CATETO OPOSTO – é o cateto que não participa
de um ângulo.
 CATETO ADJACENTE – é o cateto que participa
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PROFESSORA ROSÂNIA 32
Razões Trigonométricas
SENO – razão entre cateto oposto e a hipotenusa
COSSENO – razão entre cateto adjacente e a
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TANGENTE – razão entre cateto oposto e cateto
adjacente.(ou seno sobre cosseno
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PROFESSORA ROSÂNIA 34
Ângulos Notáveis
 São ângulos de 30°, 45° e 60° e seus
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tangente.
30° 45° 60°
SENO
COSSENO
TANGENTE
PROFESSORA ROSÂNIA 35
EXERCICIOS RESOLVIDOS
 1. Calcule x:
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 5
10² = x² + 8²
100 = x² + 64
- x² = 64 - 100
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PROFESSORA ROSÂNIA 36
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(x + 6)² = (x + 5)² + (x - 2)²
x² +12x + 36 = (x² + 10x + 25) + (x² - 4x + 4)
x² +12x + 36 = x² + 10x + 25 + x² - 4x + 4
x² +12x + 36 = 2x² + 6x + 29
x² +12x + 36 – 2x² - 6x – 29 = 0
- x² + 6x + 7 = 0 (-1)
x² - 6x – 7x = 0 x = -1
ou
x = 7
Obs: subst. X por
qualquer lado não pode
ficar negativo no
resultado.
Ex: x – 2
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PROFESSORA ROSÂNIA 37
2. Qual a medida da diagonal de um quadrado de lado 3?
PROFESSORA ROSÂNIA 38
3. Qual a medida da altura de um triângulo equilátero
de lado 6?
6
h
6
6h
3
273
9 3
3 3
1
PROFESSORA ROSÂNIA 39
4. Determine x e seno de alfa:
.
x
104 2
52 2
26 2
13 13
1
Seno de alfa = co/h
PROFESSORA ROSÂNIA 40
E se quiséssemos achar a Tangente de 17º ????
Desenhe um triângulo retângulo com um ângulo de
17º, meça seus lados. A razão entre o cateto oposto ao
ângulo de 17 graus e o cateto adjacente ao mesmo
ângulo dará a tangente do ângulo de 17°.
19,2cm
5,2cm
17º
PROFESSORA ROSÂNIA 41
Exemplo de aplicação
Um navegador avista do seu barco uma montanha de
altura conhecida (4000m). Observando a montanha com
um instrumento especial (ex: um astrolábio) ele
consegue medir um ângulo de 17 entre a base e o topo
vistos se sua posição atual. A qual distância está a
montanha?
x
4000m
17º
PROFESSORA ROSÂNIA 42
x
4000m
17º Cateto oposto
Cateto adjacente
PROFESSORA ROSÂNIA 43
1. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de
20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual
será a altura atingida pelo avião, aproximadamente?
(Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º =
0,364)
EXERCICIOS
A altura atingida pelo avião será de 684 metros.
PROFESSORA ROSÂNIA 44
2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória
retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º
(suponha que a região sobrevoada pelo avião seja
plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a
altura atingida pelo avião?
A altura será de 500 metros.
PROFESSORA ROSÂNIA 45
a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as
medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 =
0,42 ; tg 65 = 2,14)
cos 65° = y / 9
0,42 . 9 = y
y = 3,78
sen 65° = x /9
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x = 8,19
PROFESSORA ROSÂNIA 46
b) Considerando o triângulo retângulo ABC da
figura, determine as medidas a e b indicadas.
(Sen 60 = 0,866)
PROFESSORA ROSÂNIA 47
Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:
tg  = 48 / 14 = 24 / 7
tg Ê = 14 / 48 = 7 / 24
tg Ô = / = 1
tg Ê = / = 1
16² = 2² + x²
x² = 252
x =
tg  = 2 / = / 21
tg Ô = / 2 = 3
PROFESSORA ROSÂNIA 48
MEDIDAS DO ÂNGULO
Nossas duas principais medidas são o GRAU e o RADIANO
90°
180°
270°
400° = 360° + 40°
PROFESSORA ROSÂNIA 49
CONVERSÃO DE GRAUS EM RADIANOS
Ex: converter 30 em radianos
GRAUS RADIANOS
PROFESSORA ROSÂNIA 50
y
x
1
1- 1
- 1
0
O círculo trigonométrico
é uma circunferência de
raio unitário com centro
na origem do plano
cartesiano.
PROFESSORA ROSÂNIA 51
Qualquer ponto no círculo trigonométrico possui pelo menos 3
características:
a) Um ângulo associado
b) Uma abscissa (cosseno)
c) Uma ordenada (seno)
y
x
1
1- 1
- 1
0
30
30
PROFESSORA ROSÂNIA 52
OS QUADRANTES
90°
180°
270°
X
Y
O círculo trigonométrico possui 4 quadrantes
Para os ângulos localizados nos eixos (0°, 90°, 180°, 270° e
360° não é definido o quadrante.
PROFESSORA ROSÂNIA 53
ÂNGULOS CÔNGRUOS
Se dois valores estão relacionadas com as mesmas
posições no Ciclo Trigonométrico, dizemos que eles
são CÔNGRUOS
y
x
0
y
x
0
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405
Os ângulos de 45° e 405° são CÔNGRUOS
PROFESSORA ROSÂNIA 54
Os ângulos no círculo trigonométrico são medidos
no sentido anti-horário. Um ângulo negativo
significa que ele está sendo medido no sentido
horário.
y
x
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y
x
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PROFESSORA ROSÂNIA 55

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Noções de geometria

  • 1. TRIGONOMETRIA NOÇÕES DE GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA PROFESSORA ROSÂNIA 1
  • 2. NOÇÕES DE GEOMETRIA PERÍMETRO – soma dos lados de um polígono qualquer. O perímetro do quadrado é: 12 O perímetro do triângulo é 12 PROFESSORA ROSÂNIA 2
  • 3. ÁREA - é a medida de superfície  Área de um triângulo base altura PROFESSORA ROSÂNIA 3
  • 4.  Área do quadrado A = a² PROFESSORA ROSÂNIA 4
  • 5.  Área do retângulo A = a . b PROFESSORA ROSÂNIA 5
  • 6.  Área do Paralelogramo A = a . b PROFESSORA ROSÂNIA 6
  • 7.  Área do losango PROFESSORA ROSÂNIA 7
  • 8.  Área do Trapézio PROFESSORA ROSÂNIA 8
  • 9.  Circunferência e Círculo  Circunferência – lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma distância de um determinado ponto, chamado CENTRO. .C PROFESSORA ROSÂNIA 9
  • 10.  Círculo – é a união da circunferência com o seu anterior. .C PROFESSORA ROSÂNIA 1 0
  • 11. CONCEITOS IMPORTANTES  RAIO – é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. .C O raio é a metade do diâmetro PROFESSORA ROSÂNIA 11
  • 12.  Diâmetro – é uma corda que passa pelo centro ( mede o dobro do raio). . C Diâmetro é duas vezes o raio PROFESSORA ROSÂNIA 12
  • 13. O NÚMERO ∏ (Pi)  Imagine uma circunferência e seu respectivo diâmetro. . C Imagine que o círculo seja cortado e esticado. Se compararmos o tamanho do diâmetro com essa linha, veremos que ela é 3,14 vezes maior. PROFESSORA ROSÂNIA 13
  • 14. Perímetro da circunferência  Área do círculo PROFESSORA ROSÂNIA 14
  • 16.  1. Calcule o perímetro das figuras abaixo: P = 2 + 4 + 5 + 7 = 18 P = 4 . 5 = 20 PROFESSORA ROSÂNIA 16
  • 17.  2. Calcule a área das figuras abaixo: QUADRADO A = a² A = 5² = 25 PROFESSORA ROSÂNIA 17
  • 19. TRIÂNGULO PARALELOGRAMO A = a . bA = 5.3 = 15 Obs: a altura é perpendicular ao lado PROFESSORA ROSÂNIA 19
  • 21. NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA  RETA, SEMI-RETA E SEGMENTO DE RETA r s t reta Semi-reta Segmento de reta PROFESSORA ROSÂNIA 21
  • 22.  ÂNGULOS – é a união de duas semi-retas distantes que possuem uma origem comum. r s O A B ÂNGULO PROFESSORA ROSÂNIA 22
  • 23.  Ângulos Consecutivos – quando dois ângulos possuem um lado em comum. r s O A B t C AÔB e AÔC são consecutivos porque tem um lado em comum PROFESSORA ROSÂNIA 23
  • 24.  Ângulos Adjacentes - quando dois ângulos consecutivos não possuírem pontos internos comuns eles serão adjacentes. s O A B t C AÔB e BÔC são consecutivos, pois OB é um lado comum e são adjacentes pois não possuem pontos internos comuns PROFESSORA ROSÂNIA 2 4
  • 25. MEDIDA DE ÂNGULOS Se dividirmos um círculo em 360 “fatias” finas, cada uma dessas fatias poderá ser chamada de grau. 0º 90º 180º 270º PROFESSORA ROSÂNIA 25
  • 26.  Ângulo Raso – é o ângulo formado entre um segmento de reta e o seu prolongamento. (180º) 180º PROFESSORA ROSÂNIA 26
  • 27.  Ângulo Reto – possui a metade de um ângulo raso e mede 90º. PROFESSORA ROSÂNIA 27
  • 28. TRIÂNGULO  Figura geométrica que apresenta 3 lados e 3 ângulos internos. PROFESSORA ROSÂNIA 2 8
  • 29. Triângulo retângulo  Aquele em que um dos ângulos internos apresenta 90° “pai” da trigonometria PROFESSORA ROSÂNIA 29
  • 30. ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETANGULO  HIPOTENUSA – lado oposto ao ângulo de 90° (maior lado)  CATETOS – lados que formam o ângulo de 90° PROFESSORA ROSÂNIA 30
  • 31. TEOREMA DE PITÁGORAS  RELAÇÃO ENTRE OS LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO a² = b² + c² EX: Em um triângulo retângulo os catetos medem 3 e 4. determine a medida da hipotenusa. a² = 3² + 4² a² = 9 + 16 a² = 25 a = 5 PROFESSORA ROSÂNIA 31
  • 32. CATETO OPOSTO E CATETO ADJACENTE  CATETO OPOSTO – é o cateto que não participa de um ângulo.  CATETO ADJACENTE – é o cateto que participa de um ângulo. PROFESSORA ROSÂNIA 32
  • 33. Razões Trigonométricas SENO – razão entre cateto oposto e a hipotenusa COSSENO – razão entre cateto adjacente e a hipotenusa. TANGENTE – razão entre cateto oposto e cateto adjacente.(ou seno sobre cosseno PROFESSORA ROSÂNIA 3 3
  • 35. Ângulos Notáveis  São ângulos de 30°, 45° e 60° e seus respectivos valores de seno, cosseno e tangente. 30° 45° 60° SENO COSSENO TANGENTE PROFESSORA ROSÂNIA 35
  • 36. EXERCICIOS RESOLVIDOS  1. Calcule x: x² = 3² + 4² x² = 9 + 16 x² = 25 x = 5 10² = x² + 8² 100 = x² + 64 - x² = 64 - 100 - X² = - 36 X² = 36 x = 6 PROFESSORA ROSÂNIA 36
  • 37. x + 5 (x + 6)² = (x + 5)² + (x - 2)² x² +12x + 36 = (x² + 10x + 25) + (x² - 4x + 4) x² +12x + 36 = x² + 10x + 25 + x² - 4x + 4 x² +12x + 36 = 2x² + 6x + 29 x² +12x + 36 – 2x² - 6x – 29 = 0 - x² + 6x + 7 = 0 (-1) x² - 6x – 7x = 0 x = -1 ou x = 7 Obs: subst. X por qualquer lado não pode ficar negativo no resultado. Ex: x – 2 - 1 – 2 = 3 ??? PROFESSORA ROSÂNIA 37
  • 38. 2. Qual a medida da diagonal de um quadrado de lado 3? PROFESSORA ROSÂNIA 38
  • 39. 3. Qual a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 6? 6 h 6 6h 3 273 9 3 3 3 1 PROFESSORA ROSÂNIA 39
  • 40. 4. Determine x e seno de alfa: . x 104 2 52 2 26 2 13 13 1 Seno de alfa = co/h PROFESSORA ROSÂNIA 40
  • 41. E se quiséssemos achar a Tangente de 17º ???? Desenhe um triângulo retângulo com um ângulo de 17º, meça seus lados. A razão entre o cateto oposto ao ângulo de 17 graus e o cateto adjacente ao mesmo ângulo dará a tangente do ângulo de 17°. 19,2cm 5,2cm 17º PROFESSORA ROSÂNIA 41
  • 42. Exemplo de aplicação Um navegador avista do seu barco uma montanha de altura conhecida (4000m). Observando a montanha com um instrumento especial (ex: um astrolábio) ele consegue medir um ângulo de 17 entre a base e o topo vistos se sua posição atual. A qual distância está a montanha? x 4000m 17º PROFESSORA ROSÂNIA 42
  • 43. x 4000m 17º Cateto oposto Cateto adjacente PROFESSORA ROSÂNIA 43
  • 44. 1. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364) EXERCICIOS A altura atingida pelo avião será de 684 metros. PROFESSORA ROSÂNIA 44
  • 45. 2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião? A altura será de 500 metros. PROFESSORA ROSÂNIA 45
  • 46. a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14) cos 65° = y / 9 0,42 . 9 = y y = 3,78 sen 65° = x /9 0,91 . 9 = x x = 8,19 PROFESSORA ROSÂNIA 46
  • 47. b) Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60 = 0,866) PROFESSORA ROSÂNIA 47
  • 48. Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô: tg  = 48 / 14 = 24 / 7 tg Ê = 14 / 48 = 7 / 24 tg Ô = / = 1 tg Ê = / = 1 16² = 2² + x² x² = 252 x = tg  = 2 / = / 21 tg Ô = / 2 = 3 PROFESSORA ROSÂNIA 48
  • 49. MEDIDAS DO ÂNGULO Nossas duas principais medidas são o GRAU e o RADIANO 90° 180° 270° 400° = 360° + 40° PROFESSORA ROSÂNIA 49
  • 50. CONVERSÃO DE GRAUS EM RADIANOS Ex: converter 30 em radianos GRAUS RADIANOS PROFESSORA ROSÂNIA 50
  • 51. y x 1 1- 1 - 1 0 O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com centro na origem do plano cartesiano. PROFESSORA ROSÂNIA 51
  • 52. Qualquer ponto no círculo trigonométrico possui pelo menos 3 características: a) Um ângulo associado b) Uma abscissa (cosseno) c) Uma ordenada (seno) y x 1 1- 1 - 1 0 30 30 PROFESSORA ROSÂNIA 52
  • 53. OS QUADRANTES 90° 180° 270° X Y O círculo trigonométrico possui 4 quadrantes Para os ângulos localizados nos eixos (0°, 90°, 180°, 270° e 360° não é definido o quadrante. PROFESSORA ROSÂNIA 53
  • 54. ÂNGULOS CÔNGRUOS Se dois valores estão relacionadas com as mesmas posições no Ciclo Trigonométrico, dizemos que eles são CÔNGRUOS y x 0 y x 0 45 405 Os ângulos de 45° e 405° são CÔNGRUOS PROFESSORA ROSÂNIA 54
  • 55. Os ângulos no círculo trigonométrico são medidos no sentido anti-horário. Um ângulo negativo significa que ele está sendo medido no sentido horário. y x 0 45 y x 0 - 315 Os ângulos de 45° e - 315° são CÔNGRUOS PROFESSORA ROSÂNIA 55