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LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
MATEMÁTICA - MÓDULO 3
Objectivos de Aprendizagem
Lição
No
4
RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO
RACIONAL
No fim desta lição, você será capaz de:
Determinar a raiz quadrada de um número inteiro.
T
T
T
T
Tem
em
em
em
empo necessár
po necessár
po necessár
po necessár
po necessário par
io par
io par
io par
io para com
a com
a com
a com
a comple
ple
ple
ple
plet
t
t
t
tar a lição:
ar a lição:
ar a lição:
ar a lição:
ar a lição:
45 minutos
Introdução
Em lições anteriores aprendeu a determinar quadrados perfeitos.Ainda se
lembra?Vejamos... por exemplo, 36 é um quadrado perfeito porque existe um
número que elevado a dois é igual a trinta seis. Esse número é o 6.
Agora imagine que tem um certo número, que é um quadrado perfeito. No
entanto, você não conhece o valor que elevado a dois tenha como resultado
esse quadrado. Como é que procederia para descobrir esse número? Ora
bem, é isso que vai ver já a seguir. Bom trabalho!
Consideremososeguinteproblema:
Um quadrado tem uma área de 25 cm2
. Qual é a medida do lado do
quadrado?
A = 25cm2
28 MATEMÁTICA - MÓDULO 3
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
Sabe que a área do quadrado é determinada pela fórmula:
2
A= A=
l l l
⇒
i
Então, se a área do quadrado é 25, pode-se determinar que:
2 2 2
25= 5 = =5
l l l
⇒ ⇒
Podemos daqui deduzir que o lado do quadrado mede 5 cm, porque cinco ao
quadrado é igual vinte e cinco.
A = l2
= 52
= 25 cm2
Portanto, neste caso chegou à conclusão que o lado do quadrado é igual a
5 cm porque 2
5 25
= .
Então, a partir de agora vai aprender uma operação que facilmente ajuda a
determinar o lado de qualquer quadrado, conhecendo a sua área. Siga com
atenção.
Achar o lado do quadrado dada a sua área é a operação inversa de achar a
área do quadrado, sabendo o seu lado. Esta operação chama-se raiz
quadrada ou raiz e é a operação inversa de achar o quadrado de um
número.
5 ao quadrado
Raiz quadrada de 25
5 25
Por volta de 1540, o matemático
Rudolff introduziuosímbolo
(chamado radical) para indicar a
raiz quadrada. Embora o símbolo de
radicalsófosseintroduzidonesta
época,omatemáticoAlkarismijátinha
descoberto esta operação em 830.
29
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
MATEMÁTICA - MÓDULO 3
Representação de raiz quadrada
1
1
1
1
1o
Escreve-se o radical ou símbolo da raíz: (espécie de “V” com
prolongamentoespecíficodoladodireito).
2o
Coloca-se o radicando (número do qual se pretende determinar a
raiz) dentro do radical.
Veja a representação que se segue:
x = y
Lê-se: Raiz quadrada de x é igual a y.
Diz-se x = y porque y2
= x
Onde:
x é o radicando.
é o radical ou símbolo de raiz.
y é a raiz.
Tome nota…
Quando se lê “raiz quadrada de x” parte-se do princípio que o 2 seria o
índicedaraiz,representando-sedaseguintemaneira:
2
x = y
No entanto, quando se trata de raiz quadrada, o 2 não se escreve, ficando só:
x = y
Vejamos um exemplo de representação de raiz
quadrada:
A raiz quadrada de um número representa-se da seguinte maneira:
30 MATEMÁTICA - MÓDULO 3
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
Exemplo:
Raiz
25 = 5
Radical Radicando
Índice
Portanto, a raiz quadrada de 25 é 5, porque 52
é igual a 25.
Veja a seguir mais uns exemplos de raízes quadradas:
2
49 7(porque 7 = 49)
=
2
0,04 0,2 (porque (0,2) = 0,04)
=
2
1 1 1 1
(porque )
9 3 3 9
 
= =
 
 
2
1 1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 64 64 8
       
= ⇒ = ⇒ =
       
       
i
A raiz quadrada de qualquer número ao quadrado é igual
a esse número. Como pode ver na resolução detalhada ao
calcular a raiz quadrada de
2
1
8
 
 
 
chega-se ao resultado que
é igual ao radicando:
1
8
.Assim, pode-se considerar como se
estivessemos a simplificar o 2 (dois) do expoente com o
dois que seria do índice da raiz quadrada e fica-se com o
radicando como resultado.
31
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
MATEMÁTICA - MÓDULO 3
Portanto,determinararaizquadradadeumnúmerosignificaencontrarum
número que elevado a dois seja igual ao radicando.
Já vimos que para determinar a raiz quadrada de um número, o raciocínio é o
seguinte:
2
a = x (porque x = a)
Então, qual será o valor de 9 ?
−
Será –3?
Resposta: Não, porque (–3)2
= (–3)i(–3) = 9
Será +3?
Resposta: Não porque (+3)2
= 9
Não existe nenhum número cujo quadrado seja igual a
–9. Portanto, 9
− não existe.
Como pode concluir, qualquer número negativo ao quadrado (ou elevado a
dois) tem como resultado um número positivo. Portanto, não existem raízes
quadradas de números negativos. No entanto, existem raízes quadradas
negativas, como vai aprender a seguir.
Vejamos:
9
− não existe, mas existe 9 3
− = − pois (3 3) (9)
− = −
i . O nove (9) do
qualsedeterminouaraizéumvalorpositivo.
9 3
9 3
⇒ + =
⇒ − = −
O sinal negativo que aparece antes do último três não provém da
determinação directa da raiz mas sim da operação. Na realidade está-se a
determinar a 9 que é um valor positivo.
32 MATEMÁTICA - MÓDULO 3
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
Vejaasituaçãoseguinte:
( ) ( ) ( )
2 2
2
9 9 9 9 81
9 9 9=81
− = − − = =
=
i
i
Pois bem, pode-se concluir então que:
81 = 9 – 81 = –9
Raiz quadrada
negativa
Raiz quadrada
positiva
81 tem duas raízes quadradas:
Portanto: a = x; a= x
− −
Então, quando se diz que a raiz quadrada de a é x, conclui-se que 2
x =a e
que a é um número positivo. Portanto, quando se diz que a raiz quadrada de
81 é 9, conclui-se que 92
é igual a 81 e que 81 é um número positivo.
Tome nota…
A raiz quadrada negativa de a representa-se por a
− e é um número
negativo.
9 para 81 e 9para 81
+ − −
33
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
MATEMÁTICA - MÓDULO 3
RESUMINDO
Raiz quadrada de um número é o número
que elevado a dois é igual ao radicando.
Raiz quadrada de um número negativo
não existe pois, todo o número ao quadrado
éigualaumvalorpositivo.
Raiz quadrada negativa de um número
( x
− ) é um número negativo (-x).
Aseguirdamos-lhemaisunexemplosparavocêseguircomatenção:
1) 2
121 11 11 121
= ⇒ =
2) 2
1,44 1,2 (1,2) 1,44
= ⇒ =
3) 169
− = nãoexiste
4) 9
− = nãoexiste
5) 2
169 13 (13) 169
− = − ⇒ − = −
6) 2
4 2 (2) 4
− = − ⇒ − = −
Esperamos que esteja a gostar desta matéria. Entretanto
sugerimos que resolva os exercícios que se seguem para
avaliar se está a aprender bem a calcular a raiz quadrada
deumnúmero.
34 MATEMÁTICA - MÓDULO 3
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
Exercícios
Calculeasseguintesraízesquadradas:
a) 81 =
b) 144 =
c)
1
16
=
d)
1
25
− =
e) 0,25 =
f) 0,16 =
g) 0,49 =
h) 1 =
i) 100
− =
j) 10.000 =
k) 1.000.000 =
l)
1
100
=
m) 0,01 =
n)
1
10.000
=
o) 0,0001=
35
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
MATEMÁTICA - MÓDULO 3
Excelente trabalho! Compare as suas soluções com as
que lhe sugerimos na Chave de Correcção a seguir.
CHAVE DE CORRECÇÃO
CHAVE DE CORRECÇÃO
CHAVE DE CORRECÇÃO
CHAVE DE CORRECÇÃO
CHAVE DE CORRECÇÃO
a) 2
9 81 9 9 81
⇒ = ⇒ =
b) 2
12 144 12 12 144
⇒ = ⇒ =
c)
2
1 1 1 1 1
4 16 4 4 16
 
⇒ = ⇒ =
 
 
d)
2
1 1 1 1 1
5 25 5 5 25
 
− ⇒− =− ⇒ − =
 
 
e) ( )
2
0,5 0,25 0,5 0,5 0,25
⇒ = ⇒ =
f) ( )
2
0,4 0,16 0,4 0,4 0,16
⇒ = ⇒ =
g) ( )
2
0,7 0,49 0,7 0,7 0,49
⇒ = ⇒ =
h) 2
1 1 1 1 1
⇒ = ⇒ =
i) ( )
2
10 100 10 10 100
− ⇒− =− ⇒ − =
j) ( )
2
100 10000 100 100 10000
⇒ = ⇒ =
k) ( )
2
1000 1000000 1000 1000 1000000
⇒ = ⇒ =
l)
2
1 1 1 1 1
10 100 10 10 100
 
⇒ = ⇒ =
 
 
36 MATEMÁTICA - MÓDULO 3
LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL
m) ( )
2
0,1 0,01 0,1 0,1 0,01
⇒ = ⇒ =
n)
2
1 1 1 1 1
100 10000 100 100 10000
 
⇒ = ⇒ =
 
 
o) ( )
2
0,01 0,0001 0,01 0,01 0,0001
⇒ = ⇒ =
Então em quantas respostas acertou?Acertou em
todas? Bravo! Está de parabéns! Continue com o
estudo da próxima lição.
Se teve dificuldades não desanime, procure estudar
com um colega e depois volte a resolver os exercícios.
Semesmoassimacharestamatériaumpoucodifícil,
não hesite em visitar o CAApara pedir ajuda aoTutor.
Não desista e continue a esforçar-se. Verá que obterá
sucesso!
Diga não à SIDA
não à SIDA
não à SIDA
não à SIDA
não à SIDA e ajude o
país a crescer!

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  • 1. 27 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL MATEMÁTICA - MÓDULO 3 Objectivos de Aprendizagem Lição No 4 RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL No fim desta lição, você será capaz de: Determinar a raiz quadrada de um número inteiro. T T T T Tem em em em empo necessár po necessár po necessár po necessár po necessário par io par io par io par io para com a com a com a com a comple ple ple ple plet t t t tar a lição: ar a lição: ar a lição: ar a lição: ar a lição: 45 minutos Introdução Em lições anteriores aprendeu a determinar quadrados perfeitos.Ainda se lembra?Vejamos... por exemplo, 36 é um quadrado perfeito porque existe um número que elevado a dois é igual a trinta seis. Esse número é o 6. Agora imagine que tem um certo número, que é um quadrado perfeito. No entanto, você não conhece o valor que elevado a dois tenha como resultado esse quadrado. Como é que procederia para descobrir esse número? Ora bem, é isso que vai ver já a seguir. Bom trabalho! Consideremososeguinteproblema: Um quadrado tem uma área de 25 cm2 . Qual é a medida do lado do quadrado? A = 25cm2
  • 2. 28 MATEMÁTICA - MÓDULO 3 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL Sabe que a área do quadrado é determinada pela fórmula: 2 A= A= l l l ⇒ i Então, se a área do quadrado é 25, pode-se determinar que: 2 2 2 25= 5 = =5 l l l ⇒ ⇒ Podemos daqui deduzir que o lado do quadrado mede 5 cm, porque cinco ao quadrado é igual vinte e cinco. A = l2 = 52 = 25 cm2 Portanto, neste caso chegou à conclusão que o lado do quadrado é igual a 5 cm porque 2 5 25 = . Então, a partir de agora vai aprender uma operação que facilmente ajuda a determinar o lado de qualquer quadrado, conhecendo a sua área. Siga com atenção. Achar o lado do quadrado dada a sua área é a operação inversa de achar a área do quadrado, sabendo o seu lado. Esta operação chama-se raiz quadrada ou raiz e é a operação inversa de achar o quadrado de um número. 5 ao quadrado Raiz quadrada de 25 5 25 Por volta de 1540, o matemático Rudolff introduziuosímbolo (chamado radical) para indicar a raiz quadrada. Embora o símbolo de radicalsófosseintroduzidonesta época,omatemáticoAlkarismijátinha descoberto esta operação em 830.
  • 3. 29 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL MATEMÁTICA - MÓDULO 3 Representação de raiz quadrada 1 1 1 1 1o Escreve-se o radical ou símbolo da raíz: (espécie de “V” com prolongamentoespecíficodoladodireito). 2o Coloca-se o radicando (número do qual se pretende determinar a raiz) dentro do radical. Veja a representação que se segue: x = y Lê-se: Raiz quadrada de x é igual a y. Diz-se x = y porque y2 = x Onde: x é o radicando. é o radical ou símbolo de raiz. y é a raiz. Tome nota… Quando se lê “raiz quadrada de x” parte-se do princípio que o 2 seria o índicedaraiz,representando-sedaseguintemaneira: 2 x = y No entanto, quando se trata de raiz quadrada, o 2 não se escreve, ficando só: x = y Vejamos um exemplo de representação de raiz quadrada: A raiz quadrada de um número representa-se da seguinte maneira:
  • 4. 30 MATEMÁTICA - MÓDULO 3 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL Exemplo: Raiz 25 = 5 Radical Radicando Índice Portanto, a raiz quadrada de 25 é 5, porque 52 é igual a 25. Veja a seguir mais uns exemplos de raízes quadradas: 2 49 7(porque 7 = 49) = 2 0,04 0,2 (porque (0,2) = 0,04) = 2 1 1 1 1 (porque ) 9 3 3 9   = =     2 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 64 64 8         = ⇒ = ⇒ =                 i A raiz quadrada de qualquer número ao quadrado é igual a esse número. Como pode ver na resolução detalhada ao calcular a raiz quadrada de 2 1 8       chega-se ao resultado que é igual ao radicando: 1 8 .Assim, pode-se considerar como se estivessemos a simplificar o 2 (dois) do expoente com o dois que seria do índice da raiz quadrada e fica-se com o radicando como resultado.
  • 5. 31 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL MATEMÁTICA - MÓDULO 3 Portanto,determinararaizquadradadeumnúmerosignificaencontrarum número que elevado a dois seja igual ao radicando. Já vimos que para determinar a raiz quadrada de um número, o raciocínio é o seguinte: 2 a = x (porque x = a) Então, qual será o valor de 9 ? − Será –3? Resposta: Não, porque (–3)2 = (–3)i(–3) = 9 Será +3? Resposta: Não porque (+3)2 = 9 Não existe nenhum número cujo quadrado seja igual a –9. Portanto, 9 − não existe. Como pode concluir, qualquer número negativo ao quadrado (ou elevado a dois) tem como resultado um número positivo. Portanto, não existem raízes quadradas de números negativos. No entanto, existem raízes quadradas negativas, como vai aprender a seguir. Vejamos: 9 − não existe, mas existe 9 3 − = − pois (3 3) (9) − = − i . O nove (9) do qualsedeterminouaraizéumvalorpositivo. 9 3 9 3 ⇒ + = ⇒ − = − O sinal negativo que aparece antes do último três não provém da determinação directa da raiz mas sim da operação. Na realidade está-se a determinar a 9 que é um valor positivo.
  • 6. 32 MATEMÁTICA - MÓDULO 3 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL Vejaasituaçãoseguinte: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 9 9 9 81 9 9 9=81 − = − − = = = i i Pois bem, pode-se concluir então que: 81 = 9 – 81 = –9 Raiz quadrada negativa Raiz quadrada positiva 81 tem duas raízes quadradas: Portanto: a = x; a= x − − Então, quando se diz que a raiz quadrada de a é x, conclui-se que 2 x =a e que a é um número positivo. Portanto, quando se diz que a raiz quadrada de 81 é 9, conclui-se que 92 é igual a 81 e que 81 é um número positivo. Tome nota… A raiz quadrada negativa de a representa-se por a − e é um número negativo. 9 para 81 e 9para 81 + − −
  • 7. 33 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL MATEMÁTICA - MÓDULO 3 RESUMINDO Raiz quadrada de um número é o número que elevado a dois é igual ao radicando. Raiz quadrada de um número negativo não existe pois, todo o número ao quadrado éigualaumvalorpositivo. Raiz quadrada negativa de um número ( x − ) é um número negativo (-x). Aseguirdamos-lhemaisunexemplosparavocêseguircomatenção: 1) 2 121 11 11 121 = ⇒ = 2) 2 1,44 1,2 (1,2) 1,44 = ⇒ = 3) 169 − = nãoexiste 4) 9 − = nãoexiste 5) 2 169 13 (13) 169 − = − ⇒ − = − 6) 2 4 2 (2) 4 − = − ⇒ − = − Esperamos que esteja a gostar desta matéria. Entretanto sugerimos que resolva os exercícios que se seguem para avaliar se está a aprender bem a calcular a raiz quadrada deumnúmero.
  • 8. 34 MATEMÁTICA - MÓDULO 3 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL Exercícios Calculeasseguintesraízesquadradas: a) 81 = b) 144 = c) 1 16 = d) 1 25 − = e) 0,25 = f) 0,16 = g) 0,49 = h) 1 = i) 100 − = j) 10.000 = k) 1.000.000 = l) 1 100 = m) 0,01 = n) 1 10.000 = o) 0,0001=
  • 9. 35 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL MATEMÁTICA - MÓDULO 3 Excelente trabalho! Compare as suas soluções com as que lhe sugerimos na Chave de Correcção a seguir. CHAVE DE CORRECÇÃO CHAVE DE CORRECÇÃO CHAVE DE CORRECÇÃO CHAVE DE CORRECÇÃO CHAVE DE CORRECÇÃO a) 2 9 81 9 9 81 ⇒ = ⇒ = b) 2 12 144 12 12 144 ⇒ = ⇒ = c) 2 1 1 1 1 1 4 16 4 4 16   ⇒ = ⇒ =     d) 2 1 1 1 1 1 5 25 5 5 25   − ⇒− =− ⇒ − =     e) ( ) 2 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 ⇒ = ⇒ = f) ( ) 2 0,4 0,16 0,4 0,4 0,16 ⇒ = ⇒ = g) ( ) 2 0,7 0,49 0,7 0,7 0,49 ⇒ = ⇒ = h) 2 1 1 1 1 1 ⇒ = ⇒ = i) ( ) 2 10 100 10 10 100 − ⇒− =− ⇒ − = j) ( ) 2 100 10000 100 100 10000 ⇒ = ⇒ = k) ( ) 2 1000 1000000 1000 1000 1000000 ⇒ = ⇒ = l) 2 1 1 1 1 1 10 100 10 10 100   ⇒ = ⇒ =    
  • 10. 36 MATEMÁTICA - MÓDULO 3 LIÇÃO 4 - RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO RACIONAL m) ( ) 2 0,1 0,01 0,1 0,1 0,01 ⇒ = ⇒ = n) 2 1 1 1 1 1 100 10000 100 100 10000   ⇒ = ⇒ =     o) ( ) 2 0,01 0,0001 0,01 0,01 0,0001 ⇒ = ⇒ = Então em quantas respostas acertou?Acertou em todas? Bravo! Está de parabéns! Continue com o estudo da próxima lição. Se teve dificuldades não desanime, procure estudar com um colega e depois volte a resolver os exercícios. Semesmoassimacharestamatériaumpoucodifícil, não hesite em visitar o CAApara pedir ajuda aoTutor. Não desista e continue a esforçar-se. Verá que obterá sucesso! Diga não à SIDA não à SIDA não à SIDA não à SIDA não à SIDA e ajude o país a crescer!