1. TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações
trigonométricas num triângulo retângulo.
ˆ ˆ
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B e por C as medidas dos ângulos
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
a2  b2  c 2
Definições:
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
ˆ
cateto oposto ao ângulo B b
sen B 
ˆ 
hipotenusa a
ˆ
ˆ cateto oposto ao ângulo C  c
sen C 
hipotenusa a
2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
ˆ
cateto adjacente ao ângulo B c
cos B 
ˆ 
hipotenusa a
ˆ
ˆ cateto adjacente ao ângulo C  b
cos C 
hipotenusa a

2. 3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
ˆ
cateto oposto ao ângulo B b
tg B 
ˆ 
ˆ
cateto adjacente ao ângulo B c
ˆ
cateto oposto ao ângulo C c
ˆ
tg C  
ˆ
cateto adjacente ao ângulo C b
Observação:
b ˆ
ˆ  b  a  sen B .
Note que tg B
c c ˆ
cos B
a
sen x
Em geral, utilizaremos tg x  , para o ângulo x.
cos x
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
a a 3 a
sen(30  )  21 cos(30  )  2  3
tg(30  )  2  1  3
a 2 a 2 a 3 3 3
2
a 3 a a 3
3 21
sen(60  )  2  cos(60  )  tg(60  )  2  3
a 2 a 2 a
2

3. 2) Considere o quadrado de medida de lado a.
a 1 2 a 1 2 a
sen( 45  )    cos( 45  )    tg( 45  )  1
a 2 2 2 a 2 2 2 a
Resumindo:
30o 45o 60o
Seno 1 2 3
2 2 2
Cosseno 3 2 1
2 2 2
Tangente 3 1 3
3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,
denominadas arcos, que indicaremos por ou .
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.

4. MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
1
GRAU: é o arco unitário correspondente a da circunferência que contém o arco a ser
360
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o
arco a ser medido. ( 1radiano  57 o )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três
simples, em que  é a medida em graus e  em radianos.
medida em graus medida em radianos
 
180 
 
 
180 
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2  .

5. A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo
correspondente, de onde calculamos:
xp yp
cos    x p ; sen   y p ; x p  y p  1 obtendo-se cos 2   sen 2   1
2 2
1 1
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,
definindo o chamado ciclo trigonométrico.

6. Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1
sen  = yB = 1 cos  =xB = 0
2 2
sen  = yC = 0 cos  =xC = -1
sen 3  = yD = 1 cos 3  =xD = 0
2 2
sen2  = yA = 0 cos2  =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),
x  Dom f . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.

7. Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2  ) = sen(x + 4  ) =..... = sen(x + k2  ), k  Z.
Seno é função periódica de período 2 
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2  ) = cos(x + 4  ) =..... = cos(x + k2  ), k  Z.
Cosseno é função periódica de período 2 
3) Tangente
tg(x) = tg(x +  ) = tg(x+ 2  ) =..... = tg(x + k  ), k  Z.
Tangente é função periódica de período 
2
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p=
k

Generalizando: y = a tg(kx) p=
k
Exemplos:
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x) p = 2
2
b) y = 3 sen(2x) p= 
2
2
c). y = 2 sen(x/2) p=  4
1/ 2
2
d) y = 3 cos(2x) p= 
2
2 10
e) y = cos(3x/5) p= 
3/5 3
2) Determine o período de cada função:

a). y = tg(2x) p=
2
b). y = 2 tg(x) p= 

a). y = tg(x/2) p=  2
1/ 2

8. GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x
Propriedades
a) Dom = { x   / x   2  k}
b) Img = 
c) Período = 
d) tg (-x) = -tg (x)
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
senx  sen2x + cos2x = 1, para x  R
tg x = , para x   k com k  Z
cos x 2
cos x 
cotg x = , para x  k com k  Z sec2x = 1 + tg2x, para x   k com k  Z
senx 2
1  cossec2x = 1 + cotg2x, para x  k com k  Z
sec x = , para x   k com k  Z
cos x 2
1
cossec x = , para x  k com k  Z
senx

9. FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tga  tgb tga  tgb
tg(a + b) = tg(a - b) =
1  tga.tgb 1  tga.tgb
Exemplos
1) Calcule
a) cos(15  )
Solução:
cos(15  )  cos( 45   30  )  cos( 45  )  cos(30  )  sen( 45  )  sen(30  ) 
2 3 2 1 6 2
    
2 2 2 2 4
b) sen(15  )
Solução:
sen(15  )  sen( 45   30  )  sen( 45  )  cos(30  )  sen( 45  )  cos(30  ) 
2 3 2 1 6 2
    
2 2 2 2 4
b) tg(15  )
Solução:
3 3 3
1
tg( 45  )  tg(30  ) 3 3
tg(15  )  tg( 45   30  )   3  3  
1  tg( 45  )  tg(30  ) 3 3 3 3 3
1  1
3 3

3  3 3  3 32  2  3 3  3
 
2

 
9  6 3  3 12  6 3 6 2  3
   2 3
 
3 3 3 3 3 2 3 2   93 6 6

10. FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de
multiplicação:
cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =
=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tga  tga 2tga
tg(2a) = tg (a+a) = 
1  tga.tga 1  tg 2 a
Ou seja,
cos 2a = cos 2 a  sen 2 a sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = 2 cos2a – 1 2tga
tg 2a =
1  tg2 a.
cos 2a= 1 – 2 sen2a
Exemplos
1
1) Sabendo que tg( x )  , calcule tg(2x).
3
Solução
1 2
2
2 tg x 3  3  29  3
tg(2x) = 
1  tg 2 x. 1  1 8 3 8 4
9 9
2) Resolva a equação cos( 2x )  3 sen( x )  1 .
Solução
cos( 2x )  3 sen( x )  1
cos 2 ( x )  sen 2 ( x )  3 sen( x )  1
1  sen 2 ( x )  sen 2 ( x )  3 sen( x )  1
2 sen 2 ( x )  3 sen( x )  2  0
Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
  3 2  4  2  ( 2)  9  16  25

11. 35 1  5
  x   2k ou x   2k
35 4 2 6 6
sen( x )   ou
4 35
 2  não existe x
4
  5 
Conjunto solução: S  x  R x   2k ou x   2k , k  Z 
 6 6 
FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
1  cos( 2b) a
cos( 2b)  1  2sen 2b  2sen 2 b  1  cos( 2b)  sen 2 b  e, se considerarmos b= ,
2 2
a 1  cos a
obtemos sen 2  .
2 2
Seguindo essa idéia, temos
a 1  cos a
sen 2 
2 2
a 1  cos a
cos 2 
2 2
a 1  cos a
tg 2 
2 1  cos a
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE
 pq
a  b  p a  2

Fazendo  , ou seja,  e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,
a  b  q b  p  q
  2
obtemos as relações de prostaférese dadas por
pq pq
sen p + sen q = 2  sen  cos
2 2
pq pq
sen p - sen q = 2  sen  cos
2 2

12. pq pq
cos p + cos q = 2  cos  cos
2 2
pq pq
cos p - cos q =  2  sen  sen
2 2
sen(p  q)
tg p + tg q =
cos(p ). cos( q)
sen(p  q)
tg p - tg q =
cos(p ). cos( q)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,
lembrando que  1  x  1 .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o
 
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição y .
2 2
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.
1) Função arco-seno (arcsen)
   
A cada x  [–1,1] associa-se um único y   ,  tais que sen y = x.
 2 2
Assim, definimos a função
   
arcsen : [–1,1]   , 
 2 2
x  y  arcsen( x )

13. Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
   
y = arcsen(1/2)  sen y = 1/2 . Lembrando que y   ,  , temos y =  /6, ou seja,
 2 2
 1 
arcsen   .
2 6
b) y = arcsen(0)
Solução
   
y = arcsen(0)  sen y = 0 . Lembrando que y   ,  , temos y = 0, ou seja, arcsen0   0 .
 2 2
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
   
y = arcsen(-1/2)  sen y = -1/2 . Lembrando que y   ,  , temos y =   /6, ou seja,
 2 2
 1 
arcsen     .
 2 6
d) y = arcsen(1)
Solução
    
y = arcsen(1)  sen y = 1 . Lembrando que y   ,  , temos y =  /2, ou seja, arcsen1  .
 2 2 2

14. 2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y  0,   tais que cos y = x.
Assim, definimos a função
arccos : [–1,1]  0,  
x  y  arccos( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
 1 
y = arccos(1/2)  cos y = 1/2 . Lembrando que y  0,   , temos y =  /3, ou seja, arccos   .
2 3
b) y = arccos(0)
Solução

y = arccos(0)  cos y = 0 . Lembrando que y  0,   , temos y =  /2, ou seja, arccos0   .
2
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2)  cos y = -1/2. Lembrando que y  0,   temos y = 2 /3, ou seja,
 1  2
arccos    .
 2 3
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1)  cos y = 1 . Lembrando que y  0,   temos y =  , ou seja, arccos1   .

15. 3) Função arco-tangente (arctg)
 
A cada x  [–1,1] associa-se um único y   ,  tais que tg y = x.
 2 2
Assim, definimos a função
  
arcsen : [–1,1]   , 
 2 2
x  y  arctg( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução
  
y = arctg(1)  tg y = 1 . Lembrando que y   ,  , temos y =  /4, ou seja, arctg1  .
 2 2 4
b) y = arcsen( 3 )
Solução
 
y = arctg( 3 )  tg y = 3 . Lembrando que y   ,  , temos y =  /3, ou seja,
 2 2
arctg 3 3 .

c) y = arctg(-1)
Solução
  
y = arctg(-1)  tg y = -1 . Lembrando que y   ,  , temos y =   /4, ou seja, arctg 1   .
 2 2 4

16. EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível
traçar um triângulo retângulo.
(norte) A
Se o barco percorreu 5 milhas na direção
5 milhas
leste, quanto ele teve que andar para
(leste)
retornar á rota original?
(sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,
cosseno e tangente.
25 5
a)1470º b) –1020º c) d) 
4 2
5) Determine o valor de
(a) sen 1620º (b) sen (-990º)
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)

17. 7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (/6)- cos (2/3)-3*sen()
b) y = tg(/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a) sen(9  x )  sen (5  x ) b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9/4) e cos (9/4)
b) sen (-2/3) e sen (-2/3)
c) sen 8 e cos8
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2) que satisfaça as equações:
a) sen  =1; cos  =-1; tg  =1; sec  =1;
b) sen  =0; cos  =0; tg  =0; sec  =0;
c) sen  = -1/2; cos  = 1/2; tg  = -1; sec  =2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8) b) z= 4 sen (8)
c) x = cos (4/7) d) p=3 cos(/4+/2)
 
14. Simplifique a expressão sen( )  sen(   )  sen     cos  .
2 
15. Sabendo-se que sen  = -1/3, calcule:
a) sen (  - ) b) sen (  + ) c) cos (/2 - )
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (+/2) b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3)
17. Mostre que sen 2  2 sen  cos  .
1 cos 2
18. Mostre que cos 2    .
2 2

18. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA
5 2 5 1 3 4 3
1) a) sen   , cos   , tg   b) sen   , cos   , tg  
5 5 2 5 5 4
2) 5 2
3) a) /14 rad b) 770.000  km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3 /2 e tg 30º = 3 /3
b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3
c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 = 2 /2 , cos /4 = 2 /2 e tg /4 = 1
d) -5/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida
5) a) zero b) 1
6) a) 1 b) 3 /2 c)indefinido
7) a) -1 b) 2
8) e
9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x
10) a) Dom =  , Im = [-4, 4], p=2 b) ) Dom =  , Im = [0, 1], p=2
c) Dom =  , Im = [-2, 2], p=8
11) a) 2 /2 e 2 /2 b) - 3 /2 e -1/2 c) 0 e 1
12) a) /2, , /4 e 5/4, 0
b) 0 e , /2 e 3/2, 0 e , /2 e 3/2
c) 7/6 e 11/6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3
13) a) /4 b) /4 c) 7/2 d) 8
14) –2sen
15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2
16) a) - 3 /2 b)  6  2 /4 c) - 3 /2