Fraçoes

1. Essencial:
Números racionais não
negativos

2. Números racionais
Os números que podem ser representados através de uma fração dizem-se
números racionais.
Exemplos:
 O número natural 2 é racional.
De facto, 2 =
10
5
, por exemplo.
 Os numerais decimais 0,27 e 12,1 são números racionais.
De facto, 0,27 =
27
100
e 12,1 =
121
10
.
 29% é um número racional.
Neste caso, 29% =
29
100
.

3. Simplificação de frações
Simplificar uma fração é encontrar uma fração equivalente dividindo ambos
os termos por um divisor comum superior à unidade.
Quando não for possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível.
Exemplos:
 é a fração irredutível equivalente a . 8
12
=
2
3
÷ 4
÷ 4
2
3
 é a fração irredutível equivalente a .
450
500
=
45
50
÷ 10
÷ 10
9
10
8
12
450
500
=
9
10
÷ 5
÷ 5

4. Comparação de frações
Para comparar frações com numeradores e denominadores diferentes,
determinam-se frações que lhes sejam equivalentes, com o mesmo
denominador, e, de seguida, comparam-se os numeradores.
Exemplo: Qual é maior?
7
9
ou
5
6
?
7
9
=
14
18
× 2
× 2
5
6
=
15
18
× 3
× 3
14
18
<
15
18
𝟕
𝟗
<
𝟓
𝟔

5. Adição e subtração de números racionais
Para adicionar frações com denominadores diferentes, substituem-se as
frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o
mesmo denominador, e, de seguida, adicionam-se os numeradores,
mantendo-se o denominador.
Exemplo:
2
3
+
1
6
=
4
6
+
1
6
=
5
6
Para subtrair frações com denominadores diferentes, substituem-se as
frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o
mesmo denominador, e, de seguida, subtraem-se os numeradores,
mantendo-se o denominador.
Exemplo:
2
4
−
1
6
=
6
12
−
2
12
=
4
12
=
1
3

6. Multiplicação de números racionais
representados por frações
Para multiplicar números racionais representados por frações,
multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores.
Exemplo:
2
3
×
1
6
=
2 × 1
3 × 6
=
2
18
=
1
9

7. Inverso de um número
Dois números racionais dizem-se inversos um do outro quando o seu
produto é 𝟏.
Exemplos:
5
3
×
3
5
= 𝟏
5
3
e
3
5
são números inversos um do outro.
7 ×
1
7
= 𝟏
0,9 ×
10
9
= 𝟏 0,9 e
10
9
são números inversos um do outro.
1,25 ×
4
5
= 𝟏
125
100
=
5
4
÷ 25
÷ 25
1,25 =
Nota:
7 e
1
7
são números inversos um do outro.
1,25 e
4
5
são números inversos um do outro.

8. Divisão de números racionais
representados por frações
Para dividir dois números racionais representados por frações, multiplica-
se o dividendo pelo inverso do divisor.
Exemplo:
10
7
÷
𝟐
𝟓
=
10
7
×
𝟓
𝟐
=
50
14
=
25
7
=
10 × 5
7 × 2
é o inverso de .
2
5
5
2

9. O quociente como razão
Desta forma,
O quociente pode ser representado pela razão .
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝒂
𝒃
×
𝒅
𝒄
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
A representação anterior designa-se por razão de dois números racionais.
Exemplos:
5
7
3
= 5 ×
3
7
=
15
7
 =
1
6
×
4
3
=
4
18

1
6
3
4
=
2
9

10. Numerais mistos
Uma fração diz-se imprópria quando o numerador é maior do que o
denominador.
Um numeral misto é a representação simplificada da soma de um número
natural com um número fracionário menor do que 𝟏.
Exemplo:
29 > 9
29
9
A fração é imprópria, dado que .
29
9
= 3 +
2
9
= 3
2
9
29 9
2 3
29 = 3 × 9 + 2
29
9
=
3 × 9
9
+
2
9
29
9
= 3 +
2
9
Numeral
misto

11. Adição e subtração de numerais mistos
Para adicionar dois numerais mistos, adicionam-se as partes inteiras e as
frações próprias respetivas.
Exemplo:
Para subtrair dois numerais mistos, subtraem-se as partes inteiras e as
frações próprias respetivas.
3
2
3
+ 2
1
6
= 3 + 2 +
2
3
+
1
6
= 5 +
4
6
+
1
6
= 5 +
5
6
= 5
5
6
Exemplo:
3
2
3
− 2
1
6
= 3 − 2 +
2
3
−
1
6
= 1 +
4
6
−
1
6
= 1 +
3
6
= 1
3
6
= 1
1
2

12. Percentagens
Uma percentagem é uma razão onde o denominador é 𝟏𝟎𝟎.
O símbolo % lê-se «por cento».
Exemplo:
=
3
10
30% = 0,3
Percentagem
=
30
100
Fração
Fração
irredutível
Dízima finita
(numeral decimal)
30
100
A fração representa uma percentagem, pois o seu denominador é 100.

13. Valores aproximados
Aproximação por defeito
O valor aproximado de um número é menor do que esse número.
Aproximação por excesso
O valor aproximado de um número é maior do que esse número.
Método do arredondamento
 Se o primeiro algarismo a omitir for igual ou superior 5, faz-se uma
aproximação por excesso;
 Se o primeiro algarismo a omitir for inferior a 5, faz-se uma aproximação
por defeito.

14. Valores aproximados
Exemplo:
40
7
Aproximação…
Arredondamento…
…por defeito… …por excesso…
…às unidades
(0 𝑐. 𝑑.)
…às décimas
(1 𝑐. 𝑑.)
…às centésimas
(2 𝑐. 𝑑.)
…às milésimas
(3 𝑐. 𝑑.)
Na divisão de 40 por 7 obtemos a dízima infinita parcialmente representada.
= 5,714 285 714 285 714 …
5 6 6
5,7 5,8 5,7
5,71 5,72 5,71
5,714 5,714
5,715

15. Propriedades da adição
 Propriedade comutativa: a soma de dois números não se altera quando
se troca a ordem das parcelas.
Exemplo:
2
5
+
8
5
=
8
5
+
2
5
 Propriedade associativa: a soma não se altera quando se associam as
parcelas de um modo diferente.
Exemplo: 0,3 + 1,45 + 0,7 = 0,3 + 1,45 + 0,7
0,3 + 1,45 + 0,7
De facto,
2 2
= 1,75 + 0,7 = 2,45
0,3 + (1,45 + 0,7) = 0,3 + 2,15 = 2,45

16. Propriedades da adição
 Existência de elemento neutro: o zero.
Exemplo:
3
7
+ 0 = 0 +
3
7
=
3
7
Assim, a soma de qualquer número com 0 é sempre o próprio número.
As propriedades da adição podem facilitar o cálculo do valor de
uma expressão numérica.
Exemplo:
1
2
+ 1,75 +
1
2
Propriedade comutativa da adição
Propriedade associativa da adição
= 2,75
= 1,75 +
1
2
+
1
2
= 1,75 + 1
1

17. Propriedades da multiplicação
 Propriedade comutativa: quando se troca a ordem dos fatores o produto
não se altera.
Exemplo: 4 ×
3
5
=
3
5
× 4
 Propriedade associativa: o produto não se altera quando se associam os
fatores de um modo diferente.
Exemplo: 3 ×
1
3
× 0,2 = 3 ×
1
3
× 0,2
=
12
5
3 ×
1
3
× 0,2 = 1 ×
2
10
=
2
10
=
1
5
3 ×
1
3
× 0,2 = 3 ×
1
3
×
2
10
= 3 ×
2
30
=
6
30
=
1
5

18. Propriedades da multiplicação
 Existência de elemento neutro: o número 1.
Exemplo:
5
7
× 1 = 1 ×
5
7
=
5
7
 Existência de elemento absorvente: o número zero.
Exemplo: 1,37 × 0 = 0 × 1,37 = 0
 Existência de elemento inverso: todo o número racional não nulo tem
inverso.
Exemplo: O inverso de
3
7
é
7
3
.
3
7
×
7
3
= 1
Repara que .
Nota que zero não tem inverso.

19. Propriedade distributiva
 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
O produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse
número por cada uma das parcelas da soma.
Exemplo:
5
2
×
4
3
+ 0,1 =
 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração
O produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o
produto desse número pelo aditivo e o produto desse número pelo subtrativo.
5
2
×
4
3
+
5
2
× 0,1
Exemplo:
4
7
×
10
3
−
1
6
=
4
7
×
10
3
−
4
7
×
1
6

20. Expressões numéricas
Para determinar o valor de uma expressão numérica, deve-se proceder do
seguinte modo:
Exemplo:
1.º calcular o valor das expressões que se encontram dentro de parênteses;
2.º ter em atenção que a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a
adição e a subtração;
3.º efetuar as operações que têm a mesma prioridade pela ordem em que
aparecem.
2
5
× 2 +
3
2
÷
1
5
− 1,2 =
2
5
× 2 +
3
2
× 5 − 1,2 =
2
5
× 2 +
15
2
− 1,2 =
=
2
5
×
4
2
+
15
2
− 1,2 =
2
5
×
19
2
− 1,2 =
=
38
10
−
12
10
=
26
10
=
13
5