1) O documento descreve dois métodos para aproximar a raiz quadrada de 5 por números racionais. 2) O primeiro método utiliza a identidade x2 - a2 = (x - a)(x + a) para gerar uma sequência de aproximações cada vez mais precisas. 3) O segundo método testa valores decimais crescentes entre 2 e 3 até encontrar um número cujo quadrado esteja suficientemente próximo de 5.

1. Aluna: Carla Soares Restier Lima Carvalho
Polo: Volta Redonda
Tarefa da semana I:
Descreva um método para aproximar, por racionais, a raiz quadrada de 5. Você pode
se inspirar no exemplo acima.
Conforme exemplo da apostila, segue desenvolvimento:
Utilizando a identidade válida para qualquer número real x e a:
x² - a² = (x –a).(x+a).
Se x estiver próximo de a, x+a estará próximo de 2a, e então x² - a² estará próximo
de (x - a)2a.
Consideremos a equação x² -a² = (x - a)2a. Se x² = 5, temos 5 – a² = (x -a).2a
5− ² 5 5 5
− = → − = − → = − + ∴ = +
2 2 2 2 2 2 2
Sabe-se que √5 tem como resultado um número compreendido entre 2 e 3, pois está
entre os quadrados perfeitos 4 e 9.
Começamos então por =2
2 5 5 9
= + = 1+ ∴ = = 2,25
2 2.2 4 4
P

2. Isto significa que 2,25 é um número racional mais próximo de √5 do que o número 2
Aproximando ainda mais, façamos =
9
5 9 20 162 + 160 322
= 4+ → = + → = ∴ = = 2,2361111
2 2. 9 8 18 144 144
4
Percebemos que 2,23611111 está mais próximo de √5 do que o número 2,25.
Façamos =
322
5 322 720 207368 + 207360
= 144 + → = + → = =
2 322 288 644 185472
2. 144
414728
∴ = = 2,236067978
185472
Assim 2,236067978 está mais próximo da √5 do que 2,23611111.
Desta forma, podemos aproximar o quanto se queira √5 por números racionais, o
próximo passo seria utilizar = , e assim sucessivamente
P

3. Outra maneira que já sabia....
Sabemos que 5 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9 então, sua raiz quadrada estará
compreendida entre os números 2 e 3.
Aí vêm as tentativas:
(2)², (2,1)², (2,2)² ..... e assim teremos:
2² = 4
(2,2)² = 4,84 (pouco ainda)
(2,3)² = 5,29 ( passou de 5)
Começamos a experimentar novamente:
(2,21)²= 4,8841
(2,22)²= 4,9284
(2,23)² = 4,9729
(2,24)² = 5,0176 (passou de 5)
E assim:
(2,231)²= 4,977361 ( vamos tentar aproximar um pouco mais)
(2,232)² = 4,981824
(2,233)² = 4,986289
(2,234)² = 4,990756
(2,235)² = 4,995225
(2,236)² = 4,999696
P

4. (2,237)² = 5,004169 ( passou de 5, esta é a resposta correta)
Para verificar se existe um número mais aproximado (com certeza sempre irá
existir), devemos fazer:
(2,23601)² = 4,99974072
(2,23602)² = 4,99978544
...
(2,23606)² = 49999,64324
(2,236061)² = 4,9999687796
....
(2,236067)² = 4,999995628
E assim sucessivamente para obter a aproximação de quantas casas decimais
desejar.
Logo, a resposta para aproximação de √ (poderá ser) será 2,236067.
P