Este documento apresenta uma proposta de aula sobre sólidos de Platão utilizando recursos como a história da matemática e tecnologias digitais. A aula introduz os conceitos de poliedros regulares e não regulares e apresenta os sólidos de Platão, discutindo suas propriedades matemáticas e o significado filosófico atribuído por Platão. Faz uso do software SISEULER para simular os sólidos e verificar a fórmula de Euler de forma interativa.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
IME - Instituto de Matemática e Estatística
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DE PROBLEMAS
SÓLIDOS DE PLATÃO:
História e tecnologia se encontram
Carla Soares Restier Lima Carvalho
VOLTA REDONDA/RJ
2012

2. NOME: Carla Soares Restier Lima Carvalho
PÓLO: Volta Redonda
GRUPO: 08
INTRODUÇÃO:
É habitual encontrarmos poliedros regulares no nosso cotidiano. Estas misteriosas
formas estão presentes desde estruturas de cristais, dados de jogos e até mesmo em
construções antigas e atuais também. Nessa aula através de recursos como a história da
matemática, o uso de novas tecnologias e a construção dos sólidos pretende-se oferecer
caminhos facilitadores para que o professor desperte o interesse e a curiosidade dos
alunos pela geometria, além de apresentar e oferecer a possibilidade de explorar os
poliedros regulares de Platão de uma forma divertida e significativa para os alunos.

3. OBJETIVOS:
Este trabalho tem como objetivo propor de forma significativa e adequada a introdução
do conceito de POLIEDROS, tendo como recurso a história da matemática. Pretende-se
apresentar aos alunos a origem dos poliedros tendo em vista as dificuldades que os
discentes apresentam para identificar os mesmos e possibilitar que os alunos
compreendam as noções e definições envolvendo os sólidos de Platão.

4. METODOLOGIA e APRESENTAÇÃO DE MATERIAIS:
Para introduzir o conceito de Sólidos Platônicos, acredito que os alunos dominem
conceitos necessários para inserção de tal assunto. A aula será conduzida por
apresentação de slides.
Apresentação do que é poliedro através de apresentação de slides apresentando as
figuras como, por exemplo:
POLIEDROS
Logo após a apresentação, conceituar o que são poliedros ou sólidos.
A construção (com materiais previamente pedidos) de alguns poliedros possibilitará
aos discentes melhor entendimento e visualização de alguns conceitos como: vértice,
aresta e faces.
Material:
Papel cartão, canetinha, régua,
tesoura e cola.
.
Através da manipulação desses sólidos, conceituar o que são sólidos convexos e não
convexos, explicando que entre os sólidos convexos existem ainda os que são regulares
e os não regulares.

5. Apresentação do que são os poliedros regulares convexos: Sólidos de Platão
Utilizar a História da Matemática para o principal assunto da aula: Sólidos de Platão.
Iniciar dizendo que (segundo LIMA et. al) desde da antiguidade são conhecidos os
poliedros regulares e que esses sólidos recebem o nome de Platão ( segundo BOYER, p.
58) por ter sido ele que pôs suas ideias sobre os sólidos regulares, essas ideias foram
registradas num diário chamado Timaeus . No diário, Platão atribui aos sólidos,
explicações de fenômenos científicos, pois para Platão o Universo era formado por um
corpo e uma alma, ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou
quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas
superfícies periféricas.
 Se fossem quadrados teríamos o Cubo- elemento terra
 Se fossem triângulos eqüiláteros teríamos:
 Tetraedro - elemento fogo
 Octaedro - elemento ar
 Icosaedro – elemento água

6.  E se fossem pentágonos, teríamos o Dodecaedro que representava o Universo:
A este sólido, Platão atribui papel especial como representante do universo, dizendo em
Timaeus que “Deus usou-o para todo”. Platão considerava o dodecaedro como
composto de 360 triângulos retângulos escalenos, pois quando em cada uma das faces
pentagonais são traçadas as cinco diagonais e as cinco medianas, cada uma das doze
faces conterá trinta triângulos retângulos.
Sugiro aqui neste momento, um breve debate sobre as ideias de Platão, citando ainda
como curiosidade que alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, inspira-se nos
poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos
(Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra "The
Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas
concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um
octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.
Neste momento passar o vídeo de apenas 7 minutos e 17 segundos, com o título:
Matemática: Poliedros
Disponível em:
http://www.youtube.com/watch?v=soMZjpyx5t4

7. Logo após este momento, através do software SISEULER construir e verificar a
fórmula de Euler: V + F = 2 + A
Leonhard Euler (1707- 1783) foi um matemático suíço que descobriu uma importante
relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F)
de um poliedro convexo.
 Por ter sido um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, foi
representado na sexta série das notas do banco Suíço e em numerosos selos da
Suíça, Alemanha e da Rússia.
Antiga nota de 10 francos suiços homenageando Euler.
 O asteroide 2002 foi chamado Euler em sua homenagem.
 É também comemorado pela Igreja Luterana no dia 24 de Maio, no Calendário
dos Santos.
 Euler foi também uma das inspirações na criação do jogo Sudoku. Um puzzle
inspirado (provavelmente) no quadrado latino, invenção do século XVIII de
Euler.
Eis o software a ser trabalhado:
SISEULER: Um software para apoio ao entendimento da relação de Euler
De acordo com LEMOS, o objetivo deste software é atuar como um objeto de
aprendizagem, proporcionando para o aluno, através da visualização e manipulação de
objetos, um melhor entendimento da relação descoberta por Leonhard Euler.
Neste trabalho a relação é utilizada para verificar o número de vértices, faces e arestas
nos poliedros de Platão.
O sistema foi desenvolvido em linguagem C sendo que para a construção dos desenhos

8. virtuais utilizou o sistema gráfico OPENGL.Todo o desenvolvimento de identificação
dos marcadores foi feito usando a biblioteca ARToolkit .
O SISEULER é software livre licenciado pelos termos da GPL (General Public
License).
Segundo CARVALHO, o software SISEULER foi desenvolvido utilizando a tecnologia
de Realidade Aumentada e é uma ferramenta para o ensino da relação de Euler. O
trabalho é resultado da dissertação de Mestrado em Educação Matemática da USS do
Professor Bruno M. Lemos. O download pode ser feito no
link: https://sites.google.com/site/siseuler/home.
Através da visualização e manipulação do software SISEULER o aluno poderá construir
de maneira concreta a fórmula de Euler, além disso, também poderá visualizar o número
de vértices, faces e arestas.
Dodecaedro no SISEULER
Por fim, um breve debate sobre a aula como um todo, apontando a importância do saber
histórico e o uso de novas tecnologias.

9. ROTEIRO DETALHADO DA PROPOSTA:
O primeiro momento se dará através de apresentação de slides, mostrando aos alunos
alguns sólidos e ainda indagá-los onde encontramos tais sólidos no nosso dia a dia,
mostrando figuras como por exemplo: dado (jogos), pirâmides,balão poliédrico e um
icosaedro feito em pedra e que curiosamente está sendo leiloado.
Na própria apresentação conceituar formalmente o que é de fato um poliedro, que
segundo LIMA et al “ poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos
planos, onde cada lado de um desses polígonos é também um lado de um, e apenas um,
outro polígono.”
O segundo momento terá como atividade a construção de alguns sólidos. Neste
instante, a turma se dividirá em grupos (pelo menos 5) e cada grupo construirá um
sólido apresentado previamente:
Sugestão:
Grupo 1: CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO
Grupo 2: CONSTRUÇÃO DO CUBO
Grupo 3: CONSTRUÇÃO DA OCTAEDRO
Grupo 4: CONSTRUÇÃO DO DODECAEDRO
Grupo 5: CONSTRUÇÃO DO ICOSAEDRO
Os alunos deverão com o auxílio de régua e canetinha, riscar o papel cartão conforme
molde sugerido (em anexo) dobrarão e cortarão nas marcas feitas e colarão as bordas.
Durante a construção buscar que os próprios discentes identifiquem o que é aresta, o
que é vértice e o que é face.
Os grupos trocarão de sólidos e o professor enquanto mediador, tocará na questão que
existem dois tipos de sólidos: os convexos e os não convexos.

10. Os alunos poderão perceber que as figuras que eles construíram se tratam de sólidos
convexos e o professor se limitará a mostrar um sólido não convexo no slide (devido a
dificuldade de construção).
Após esta experiência, formalizar o conceito de sólidos convexos e não convexos.
Conceituando segundo DANTE (2008, p. 363), “ Poliedro convexo é regular quando
todas as faces são regiões poligonais regulares e congruentes e em todos os vértices
concorre o mesmo número de arestas” e para poliedros não regulares DANTE apenas
dá um contra exemplo como:
Poliedro não regular: as faces não têm o mesmo número de lados
Ainda por conta das construções dos sólidos levantar o seguinte questionamento: ‘e o
que seria sólidos regulares e sólidos não regulares?’
Buscar dentro dos exemplos vistos (pela apresentação de slides e os sólidos construídos)
sólidos que representem cada item: sólidos regulares e sólidos não regulares.
No terceiro momento, apresentar os poliedros regulares convexos ou sólidos de Platão
e buscar responder o seguinte questionamento: Por que só existem cinco poliedros
regulares convexos?
Utilizando a História da Matemática como subsídio, contar porque esse tipo de
poliedro recebe o nome de Platão. Dizer quem foi Platão e suas contribuições para nossa
conhecida matemática, como era as escolas da antiguidade e que na escola de Platão
(que na época era chamada de Academia) ele ordenou que escrevessem em cima das
portas: "Não entre aqui ninguém que não seja geômetra."
Acredito que através do vídeo poderá ser explicado porque Platão valorizava tanto os
triângulos e explorar as conceitos como vértices, arestas e faces, inclusive o volume das
figuras espaciais.

11. Nesta parte vale à pena explorar as figuras que Platão valorizava: os triângulos, pois as
propriedades de todos os sólidos giravam em torno do triângulo. Para Platão as figuras
geométricas tinham importância divina!
A explicação história (tendo como auxílio à apresentação de slides) do porque que
existem somente cinco sólidos platônicos: Para Platão, o cubo representava o elemento
sol, o tetraedro representava o fogo, o octaedro representava o elemento ar, o icosaedro
representava o elemento água e o dodecaedro representava o universo.
Creio que seja propício demonstrar matematicamente esta propriedade. E segundo
Dante:
Consideremos um poliedro regular em que n é o número de lados de cada face e p é o
número de arestas que concorrem em cada vértice. Assim temos: 2A = nF = PV
O que acarreta:
= =
2
Substituindo esses valores na relação de Euler, , temos:
2 − +2 4
− + =2→ = →
2 2 2
4
→ (2 + 2 − )= 4 → =
2 +2 −
Precisamos ter 2n + 2p – np > 0, isto é:
2
2 > − 2 → 2 > ( − 2) →
−2
≥ 3, :
2
> ≥ 3 → 2 > 3 − 6 → − > −6 ∴ <6
−2

12. , : = 3, =4 =5
= 3: = p = 3  F = 4 ( tetraedro)
p = 4  F = 8 ( octaedro)
p = 5  F = 20 ( icosaedro)
= 4: = p = 3  F = 6 ( cubo)
= 5: = p = 3  F = 12 (dodecaedro)
Citar que Kleper inspirou-se nos sólidos platônicos para estudar os planetas até
conhecidos, deixando como legado outros quatro sólidos regulares não convexos.
Mostrar no slide quais seriam esses sólidos regulares não convexos.
No quarto momento, sugiro a utilização do software SISEULER (o roteiro de como
se dará essa utilização encontra-se em anexo), para levantar questionamentos acerca
dos conceitos apresentados: arestas, faces e vértices.
Este software permite visualizar através da REALIDADE AUMENTADA, o sólido
gerado em um marcador próprio (em anexo); o sólido só é gerado se os marcadores
estiverem dispostos de forma correta.
Além disso, através de atalhos (em anexo) temos opções de mostrar/esconder somente
os vértices ou somente as arestas ou ainda somente as faces, desta forma fica mais fácil
contar a quantidade de cada item dos sólidos.
Após este experimento conceituar a relação de Euler (definição no slide) , dando ênfase
na parte histórica que cerca este importante matemático. Apresentar algumas
curiosidades sobre Euler, buscar misturar a matemática da antiguidade com a nossa
matemática atual, visando criar nos alunos a curiosidade de saber como foi? Quem fez?
Por que fez?

13. Através de alguns exercícios (em anexo) fazer a verificação da relação de Euler.
Cabe ressaltar que a avaliação será contínua, valorizando a participação ativa de cada
aluno.

14. REFERÊNCIAS DE PESQUISA
BOYER, Carl B. História da Matemática, revista por Uta C. Merzbach; tradução: Elza
F. Gomide- 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
LIMA, Elon Lages, et al. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2. 6ª Ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Volume Único – 1ª Ed. São Paulo, Ática: 2005.
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. São
Paulo:Campinas, Unicamp, 1995.
Lexicoteca - Moderna Enciclopédia Universal ; Círculo de Leitores, Tomo VIII, XI,
XV
ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 20/03/2012):
https://sites.google.com/site/siseuler/home.
http://carlosvitor-blog.blogspot.com.br/
http://toca-de-dinossauros.blogspot.com.br/2012/02/solidos-geometricos-os-nossos-
trabalhos.html
http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/solidos-
geometricos.html.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm205/historia.htm.

15. ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 24/03/2012):
http://qfojo.net/poliedros/poliedros.html
http://www.webquestfacil.com.br/webquest.php?pg=introducao&wq=28.
http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/Modulo3PolidrosEuler.html.
ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 25/03/2012)
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/tvmultimidia/imagens/6matemat
ica/2_balao_poliedrico.jpg.
http://escolaagricolacolina.blogspot.com.br/2011/08/professora-silvania-aplicando.html.
http://www.mundogump.com.br/dado-romano-de-20-lados-da-antiguidade-a-venda/
http://www.youtube.com/watch?v=soMZjpyx5t4
http://www.benitopepe.com.br/tag/platao/
http://educacao.uol.com.br/matematica/relacao-de-euler.jhtm

16. ANEXOS

17. Apresentação de slides

22. Moldes para construção dos sólidos platônicos: (planificação)
 Tetraedro

23.  Cubo ou Hexaedro:

24.  Octaedro:

25.  Dodecaedro

26.  Icosaedro

27. Orientação para utilização do software SISEULER:
Texto extraído da dissertação de mestrado de Bruno de Moraes Lemos.
Título: SISEULER: Um software para apoio ao ensino da Relação de Euler.
(páginas 38 à 51)
O SISEULER, foi pensado com o intuito de desenvolver uma atividade lúdica, para
favorecer o ensino da Relação de Euler e os pré-requisitos para o desenvolvimento desta
atividade, são que cada aluno ou dupla de alunos, conforme for mais conveniente, além
do software, tenha a sua disposição: Suporte para Realidade Aumentada (SRA) (Figura
3.3), marcadores ( exemplo na figura 3.5) , um computador e para realizar a captura das
imagens, uma webcam ligada ao computador. A atividade será realizada conforme se
descreve a seguir.
Figura 3.3: Suporte para realidade aumentada (SRA) – Visão frontal.
Em um primeiro momento, são fornecidos para o desenvolvimento da atividade,
diversos marcadores, sendo um deles, denominado quadrado, destinado a exibição da
imagem. Os demais, correspondem ao número de vértices, faces e arestas de um
poliedro qualquer. Para melhor exemplificar, este trabalho irá chamá-los de: 8V, 6F,
12A, 4V, 4F, 6A,6V, 8F, 20V, 12F, 20F, 12V e 30A (Apêndice A). Esses marcadores
representam respectivamente: 8 vértices, 6 faces, 12 arestas, 4 vértices, 4 faces, 6

28. arestas, 6 vértices, 8 faces, 20 arestas, 12 faces, 20 faces, 12 vértices e 30 arestas. A
Figuras 3.5 mostra um dos marcadores.
Figura 3.5: Exemplo do marcador 6 faces.
O marcador quadrado indica onde o software desenhará o objeto virtual e isso ocorrerá
somente após o aluno descobrir qual a relação que há entre eles.
O SRA possui duas bases para colocação dos marcadores, em ambas têm-se espaços
destinados a colocação do marcador quadrado para exibir o resultado, e os marcadores
que correspondem ao número vértices, faces e arestas. A primeira base é exibida na
Figura 3.7.
Figura 3.7: Primeira base do SRA
A diferença entre a primeira e a segunda base do SRA é que a primeira tem apenas os
espaços destinados a colocação dos marcadores e a segunda além dos espaços
destinados aos marcadores, também tem os sinais da soma (+), igualdade (=) e o
número dois (2), compondo assim a Relação de Euler (Figura 3.8). Essa opção justifica-
se, pois se houvesse apenas a segunda base, a fórmula da relação seria entregue pronta

29. para os alunos e como o principal objetivo desta atividade é que o aluno construa o
conceito da Relação de Euler, optou-se por desenvolver duas bases para os marcadores,
devendo a segunda ser exibida para o aluno apenas ao final da atividade, após o próprio
ter conjecturado a relação.
Figura 3.8:
Inicialmente é sugerido que o professor ao desenvolver essa atividade, realize uma
intervenção didática, orientando os alunos para primeiramente, colocar o marcador
quadrado no espaço destinado ao resultado, o marcador 8V no espaço destinado ao
número de vértices, o marcador 6F no espaço destinado ao número de faces e em
seguida, usando os marcadores restantes, descobrir qual deles deve ser colocado no
espaço destinado ao número de arestas.
Ao colocar esses marcadores nos espaços designados, o aluno perceberá que ao inserir o
marcador 12A, o software desenhará como forma de premiação um Cubo virtual sobre o
marcador quadrado (Figura 3.9). O professor poderá aproveitar esse momento para
chamar a atenção a respeito do nome do sólido geométrico virtual projetado na base do
SRA.

30. Figura 3.9: Reconhecimento da relação do Cubo.
Sugere-se que neste momento seja fornecido pelo professor que estiver conduzindo a
atividade uma cartilha que contém a função das teclas que podem ser utilizadas. Essas
teclas tem função de exibir apenas os vértices (Figura 3.10), apenas as arestas (Figura
3.11) e as faces do sólido geométrico virtual (Figura 3.9).
Figura 3.10 e 3.11:

31. CARTILHA:
O professor deverá também chamar a atenção para o fato de que o Cubo pode ser
manipulado (Figura 3.12). Neste momento, será importante ressaltar que os marcadores
podem sofrer problemas de oclusão, devendo o aluno tomar cuidado para não colocar
sua mão e/ou qualquer outro objeto sobre qualquer um dos marcadores que estejam no
campo de visão da câmera, impedindo assim seu reconhecimento.
Figura 3.12: Cubo virtual sendo manipulado.

32. Sendo assim, o aluno que estiver utilizando o software poderá, com a mediação do
professor, colocar sobre o SRA os marcadores e verificar qual combinação desses
marcadores que representam vértices, faces e arestas, resultam na projeção de um sólido
platônico virtual.A sugestão é que a cada constatação se registre em uma tabela,
conforme Tabela 2, o número de vértices, faces, arestas e o poliedro projetado.
Em seguida o professor usando uma metodologia análoga, poderá explorar os demais
sólidos platônicos. Arbitrariamente esta atividade propõem que o próximo sólido a ser
construído seja o Tetraedro, portanto o professor deverá solicitar que os alunos,
coloquem o marcador 4V no espaço destinado aos vértices, o marcador 4F no espaço
destinado as faces e deixe que os alunos descubram qual o marcador referente ao
número de arestas irá projetar o próximo poliedro.
Acredita-se ser importante que os alunos experimentem os marcadores oferecidos e
consigam encontrar a relação adequada sozinhos, pois será através deste processo de
experimentação e significação que o aluno poderá construir o conhecimento. Entretanto,
é claro que ao tentar descobrir os marcadores que traduzem a relação verificada no
Tetraedro (4V + 4F = 6A +2) – como de qualquer outro poliedro - o aluno, poderá
escolher o marcador referente ao número de arestas errado.
Apenas após a exploração através da manipulação, visualização, discussão e registro por
parte dos alunos, é que o professor deve levar os alunos a inferir sobre a relação que
poderá ser observada entre esses elementos. Espera-se que, naturalmente, os alunos
construam o conhecimento e verifiquem a validade da Relação de Euler para os sólidos
de Platão. Neste momento o professor pode aproveitar para pedir que os alunos
escrevam na própria folha onde se encontra a Tabela 2, qual a relação que pode ser
observada entre os vértices faces e arestas de cada poliedro.

33. Esta atividade sugere que, apenas após a conjectura dos próprios alunos, o professor
deverá explicar que a relação V+F=A+2 é conhecida como Relação de Euler e é uma
relação válida para todo prisma convexo e também para alguns não convexos, ou seja,
que a mesma se aplica não somente ao Cubo, também conhecido como Hexaedro, mas
além dele, aplica-se, entre outros poliedros convexos como, ao Tetraedro, Octaedro,
Dodecaedro e Icosaedro, explicando que cada um deles possui respectivamente, 4, 8, 12
e 20 faces.
OBSERVAÇÃO:
Este arquivo é particular, pois já tive aula com o autor da dissertação e por isso possuo o
arquivo, o endereço que achei na internet não está abrindo
http://www.uss.br/arquivos/Mestrado_Edumat/dissertacao_bruno_lemos.pdf) .

34. Exercícios:
Além da tabela a ser preenchida no decorrer da utilização do software SISEULER.
Sugiro também:
(FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices
em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos:
A=V+6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:
V+F=2+A
V+F=2+V+6
Eliminando V:
F=8
O número de faces é igual a 8.

35. (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4
faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?
Resolução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas
de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela.
Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro.
Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V+F=2+A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.