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Unidade 6 – Equação do 1 Grau
Prof. Milton Henrique
mcouto@catolica-es.edu.br
Função do 1 Grau

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
incógnita

Equação da Reta

𝟏

𝒙 = 𝒙
Equação da Reta

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

y

a
b

Inclinação
Intercepta y

x
Exemplo – Equação da Reta
𝑦 = 5𝑥 + 2
Coeficiente Linear
Intercepta y em 2

Coeficiente Angular
Um aumento em x aumenta y em 5 unidades
𝒙

𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟐

0

7

2

12

3

17

4

22

y

2

1

𝑦 = 5𝑥 + 2

2
x
Coeficiente Linear
𝑏=2

𝑏=1

𝑏=0
𝑏 = −1

𝑏 = −2
Coeficiente Angular ou Declividade

y

𝑎=2

y

𝑎=1
1
𝑎=
2
x

x

1
𝑎=−
2

𝑎 = −1

𝑎 = −2
Declividade
y

L

Se P e Q são 2 pontos
distintos de uma reta L,
então a declividade 𝑎 é
dada por:

𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 )

𝜃

∆𝑦
𝑦2 − 𝑦1
𝑎=
=
∆𝑥
𝑥2 − 𝑥1

𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 )

0

x
Exemplo – Encontre a declividade da reta
que passa pelos pontos (-1,1) e (5,3)

P = (-1,1)
Q = (5,3)

∆𝑦
3−1
1
𝑎=
=
=
∆𝑥
5 − (−1)
3
Exercícios – Encontre a declividade da reta
que passa pelos pontos P e Q
1)
2)
3)
4)
5)

P1=(0,0) e P2=(2,4)
P1=(0,3) e P2=(8,3)
P1=(1,5;4) e P2=(2;6)
P1=(2,10) e P2=(8,1)
P1=(0,50) e P2=(8,0)
Equação da Reta dada um Ponto 𝑥1 , 𝑦1 e
uma declividade 𝑎
y

𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 )

𝜃

A equação da reta que passa pelo ponto
𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) e possui declividade 𝑎 é
dada por:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 )
0

x
Exemplo – Encontre a equação da reta que
passa pelo ponto (1,3) e tem declividade 2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 3 = 2. (𝑥 − 1)
𝑦 = 2. 𝑥 − 1 + 3
𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3

𝑦 = 2𝑥 + 1
Exercícios – Encontre a equação da reta que
passa pelo ponto P e possui declividade a
1)
2)
3)
4)
5)

P = (4,7) e a=3
P = (-3,2) e a=1
P = (4,-1) e a=-2
P = (1,-4) e a=0,5
P = (-2,-5) e a=-0,3
Retas Paralelas

𝐿 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝐿
L

y

𝑀 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝑀
M

L e M serão paralelas se
possuírem a mesma
declividade 𝑎
0

x
Retas Perpendiculares
𝑀 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝑀

y
L

𝟏
𝐿 = − 𝑥 + 𝑏𝐿
𝒂

M

L e M serão
perpendiculares se:
0

x

1
𝑎𝐿 = −
𝑎𝑀
Exercícios – Represente Graficamente
1)
2)
3)
4)

𝑦 = 2𝑥 − 4, 𝑥 ∈ 0,5
𝑦 = 6, −2 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑦 = 10 − 2𝑥, 𝑥 ∈ 0,5
𝑦 = 4𝑥

5) 𝑦 =

1
3

𝑥

3
+
4
Exemplo
Calcule a Equação da Reta que passa pelos pontos
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Equação da Reta → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑃1 = 𝑥1 = 1, 𝑦1 = 3

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Resolvendo o sistema:

𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒂= 𝟐

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Exercícios – Escreva a Equação da Reta
1)
2)
3)
4)
5)

P1=(0,0) e P2=(2,4)
P1=(0,3) e P2=(8,3)
P1=(1,5;4) e P2=(2;6)
P1=(2,10) e P2=(8,1)
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Mínimos Quadrados
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de pontos P1=(1,5), P2=(2,10), P3=(4,12) e P4=(5,17).
y

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

25
20
15
10
5

1

2

3

4

5

6

7

8

x
Mínimos Quadrados
x

y

x.y

x2

P1

1

5

5

1

P2

2

10

20

4

P3

4

12

48

16

P4

5

17

85

25

Soma

12

44

158

46

Média

3

11

39,5

11,5

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

158 − 4.3.11
𝑎=
46 − 4(3)2
𝑏 = 11 − 2,6.3

𝑎=

𝑥𝑦 − 𝑛 𝑥 𝑦
𝑥 2 − 𝑛( 𝑥)2

𝑏= 𝑦− 𝑎𝑥

𝒂 = 𝟐, 𝟔

𝐲 = 𝟐, 𝟔𝐱 + 𝟑, 𝟐
𝒃 = 𝟑, 𝟐
Exercícios – Mínimos Quadrados

1)
2)
3)
4)

P1=(0,0), P2=(2,5), P3=(3,8) e P4=(4,9)
P1=(-1,0), P2=(0,2), P3=(1,3), P4=(2,6) e P5=(3,5)
P1=(0,20), P2=(2,12), P3=(4,7), P4=(6,3) e P5=(8;0,5)
P1=(1,20), P2=(5,40), P3=(10,70) e P4=(15,90)
Fórmula da Distância
y

(𝑥2 , 𝑦2 )

𝑑=

(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

(𝑥1 , 𝑦1 )

0

x
Exemplo – Fórmula da Distância
Encontre a distância entre os pontos (-4,3) e (2,6)
𝑑=

(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

𝑑=

(2 −(−4))2 +(6 − 3)2

𝑑=

(6)2 + (3)2

𝑑=

45
Exercícios – Encontre a Distância entre P e Q

1)
2)
3)
4)
5)

P=(1,3) e Q=(4,7)
P=(-1,3) e Q=(4,9)
P=(0,2) e Q=(9,7)
P=(-5,-3) e Q=(-4,-8)
P=(-9,3) e Q=(-4,7)
Sistema de Equações do 1º Grau
Forma Geral

𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 = 𝐶
𝐴′. 𝑥 + 𝐵′. 𝑦 = 𝐶′

Exemplo

5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13
−4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1

3 Formas de Resolução

• Por adição
• Por comparação
• Por substituição
Por adição
5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13
−4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1

Multiplicando-se a 1ª equação por (-3)

−15. 𝑥 − 9. 𝑦 = −39 Somando membro a membro as 2 equações
−4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1
−19. 𝑥 = −38

Fazendo x = 2 na 2ª equação, temos

𝒙= 𝟐
−4. (2) + 9. 𝑦 = 1
9. 𝑦 = 9

𝒚= 𝟏
Por comparação
13 − 5. 𝑥
𝑦=
3

5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13
−4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1

1 + 4. (2)
𝑦=
9

𝒚= 𝟏

1 + 4. 𝑥
𝑦=
9
𝒙= 𝟐

13 − 5. 𝑥
1 + 4. 𝑥
=
3
9
9. (13 − 5. 𝑥)
= 1 + 4. x
3
39 − 15. 𝑥 = 1 + 4. 𝑥
Por substituição
5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13
−4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1

13 − 5. 𝑥
𝑦=
3
Substituindo o valor de y na 2ª equação

13 − 5. 𝑥
−4. 𝑥 + 9.
=1
3

𝒙= 𝟐

Substituindo o valor de x na equação

13 − 5. (2)
𝑦=
3

𝒚= 𝟏
Exercícios – Resolver os Sistemas
1) 10𝑥 + 𝑦 = 11

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2) 2𝑥 − 9𝑦 = −47
−𝑥 + 20𝑦 = 101
3) 𝑥 = 4𝑦 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1

4)

1
4

𝑥+ 𝑦=6

𝑥+

2
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Quem sou eu?
Prof. Milton Henrique do Couto Neto
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MBA em Gestão Empresarial, UVV
MBA em Marketing Empresarial, UVV
Mestre em Administração, UFES
Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
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Equações de 1o Grau e Retas

  • 1. Unidade 6 – Equação do 1 Grau Prof. Milton Henrique mcouto@catolica-es.edu.br
  • 2. Função do 1 Grau 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 incógnita Equação da Reta 𝟏 𝒙 = 𝒙
  • 3. Equação da Reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 y a b Inclinação Intercepta y x
  • 4. Exemplo – Equação da Reta 𝑦 = 5𝑥 + 2 Coeficiente Linear Intercepta y em 2 Coeficiente Angular Um aumento em x aumenta y em 5 unidades 𝒙 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟐 0 7 2 12 3 17 4 22 y 2 1 𝑦 = 5𝑥 + 2 2 x
  • 6. Coeficiente Angular ou Declividade y 𝑎=2 y 𝑎=1 1 𝑎= 2 x x 1 𝑎=− 2 𝑎 = −1 𝑎 = −2
  • 7. Declividade y L Se P e Q são 2 pontos distintos de uma reta L, então a declividade 𝑎 é dada por: 𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝜃 ∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 𝑎= = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) 0 x
  • 8. Exemplo – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos (-1,1) e (5,3) P = (-1,1) Q = (5,3) ∆𝑦 3−1 1 𝑎= = = ∆𝑥 5 − (−1) 3
  • 9. Exercícios – Encontre a declividade da reta que passa pelos pontos P e Q 1) 2) 3) 4) 5) P1=(0,0) e P2=(2,4) P1=(0,3) e P2=(8,3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6) P1=(2,10) e P2=(8,1) P1=(0,50) e P2=(8,0)
  • 10. Equação da Reta dada um Ponto 𝑥1 , 𝑦1 e uma declividade 𝑎 y 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) 𝜃 A equação da reta que passa pelo ponto 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) e possui declividade 𝑎 é dada por: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ) 0 x
  • 11. Exemplo – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem declividade 2 𝑦 − 𝑦1 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 3 = 2. (𝑥 − 1) 𝑦 = 2. 𝑥 − 1 + 3 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3 𝑦 = 2𝑥 + 1
  • 12. Exercícios – Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P e possui declividade a 1) 2) 3) 4) 5) P = (4,7) e a=3 P = (-3,2) e a=1 P = (4,-1) e a=-2 P = (1,-4) e a=0,5 P = (-2,-5) e a=-0,3
  • 13. Retas Paralelas 𝐿 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝐿 L y 𝑀 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝑀 M L e M serão paralelas se possuírem a mesma declividade 𝑎 0 x
  • 14. Retas Perpendiculares 𝑀 = 𝒂𝑥 + 𝑏 𝑀 y L 𝟏 𝐿 = − 𝑥 + 𝑏𝐿 𝒂 M L e M serão perpendiculares se: 0 x 1 𝑎𝐿 = − 𝑎𝑀
  • 15. Exercícios – Represente Graficamente 1) 2) 3) 4) 𝑦 = 2𝑥 − 4, 𝑥 ∈ 0,5 𝑦 = 6, −2 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑦 = 10 − 2𝑥, 𝑥 ∈ 0,5 𝑦 = 4𝑥 5) 𝑦 = 1 3 𝑥 3 + 4
  • 16. Exemplo Calcule a Equação da Reta que passa pelos pontos P1=(1,3) e P2=(3,7) Equação da Reta → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑃1 = 𝑥1 = 1, 𝑦1 = 3 3 = 1𝑎 + 𝑏 𝑃2 = 𝑥2 = 3, 𝑦2 = 7 7 = 3𝑎 + 𝑏 Resolvendo o sistema: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒂= 𝟐 𝒃= 𝟏
  • 17. Exercícios – Escreva a Equação da Reta 1) 2) 3) 4) 5) P1=(0,0) e P2=(2,4) P1=(0,3) e P2=(8,3) P1=(1,5;4) e P2=(2;6) P1=(2,10) e P2=(8,1) P1=(0,50) e P2=(8,0)
  • 18. Mínimos Quadrados Construir a equação da reta que aproxima um conjunto de pontos P1=(1,5), P2=(2,10), P3=(4,12) e P4=(5,17). y 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 x
  • 19. Mínimos Quadrados x y x.y x2 P1 1 5 5 1 P2 2 10 20 4 P3 4 12 48 16 P4 5 17 85 25 Soma 12 44 158 46 Média 3 11 39,5 11,5 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 158 − 4.3.11 𝑎= 46 − 4(3)2 𝑏 = 11 − 2,6.3 𝑎= 𝑥𝑦 − 𝑛 𝑥 𝑦 𝑥 2 − 𝑛( 𝑥)2 𝑏= 𝑦− 𝑎𝑥 𝒂 = 𝟐, 𝟔 𝐲 = 𝟐, 𝟔𝐱 + 𝟑, 𝟐 𝒃 = 𝟑, 𝟐
  • 20. Exercícios – Mínimos Quadrados 1) 2) 3) 4) P1=(0,0), P2=(2,5), P3=(3,8) e P4=(4,9) P1=(-1,0), P2=(0,2), P3=(1,3), P4=(2,6) e P5=(3,5) P1=(0,20), P2=(2,12), P3=(4,7), P4=(6,3) e P5=(8;0,5) P1=(1,20), P2=(5,40), P3=(10,70) e P4=(15,90)
  • 21. Fórmula da Distância y (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝑑= (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 (𝑥1 , 𝑦1 ) 0 x
  • 22. Exemplo – Fórmula da Distância Encontre a distância entre os pontos (-4,3) e (2,6) 𝑑= (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑑= (2 −(−4))2 +(6 − 3)2 𝑑= (6)2 + (3)2 𝑑= 45
  • 23. Exercícios – Encontre a Distância entre P e Q 1) 2) 3) 4) 5) P=(1,3) e Q=(4,7) P=(-1,3) e Q=(4,9) P=(0,2) e Q=(9,7) P=(-5,-3) e Q=(-4,-8) P=(-9,3) e Q=(-4,7)
  • 24. Sistema de Equações do 1º Grau Forma Geral 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 = 𝐶 𝐴′. 𝑥 + 𝐵′. 𝑦 = 𝐶′ Exemplo 5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13 −4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1 3 Formas de Resolução • Por adição • Por comparação • Por substituição
  • 25. Por adição 5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13 −4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1 Multiplicando-se a 1ª equação por (-3) −15. 𝑥 − 9. 𝑦 = −39 Somando membro a membro as 2 equações −4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1 −19. 𝑥 = −38 Fazendo x = 2 na 2ª equação, temos 𝒙= 𝟐 −4. (2) + 9. 𝑦 = 1 9. 𝑦 = 9 𝒚= 𝟏
  • 26. Por comparação 13 − 5. 𝑥 𝑦= 3 5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13 −4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1 1 + 4. (2) 𝑦= 9 𝒚= 𝟏 1 + 4. 𝑥 𝑦= 9 𝒙= 𝟐 13 − 5. 𝑥 1 + 4. 𝑥 = 3 9 9. (13 − 5. 𝑥) = 1 + 4. x 3 39 − 15. 𝑥 = 1 + 4. 𝑥
  • 27. Por substituição 5. 𝑥 + 3. 𝑦 = 13 −4. 𝑥 + 9. 𝑦 = 1 13 − 5. 𝑥 𝑦= 3 Substituindo o valor de y na 2ª equação 13 − 5. 𝑥 −4. 𝑥 + 9. =1 3 𝒙= 𝟐 Substituindo o valor de x na equação 13 − 5. (2) 𝑦= 3 𝒚= 𝟏
  • 28. Exercícios – Resolver os Sistemas 1) 10𝑥 + 𝑦 = 11 5𝑥 − 3𝑦 = 2 2) 2𝑥 − 9𝑦 = −47 −𝑥 + 20𝑦 = 101 3) 𝑥 = 4𝑦 + 1 𝑦 = 2𝑥 + 1 4) 1 4 𝑥+ 𝑦=6 𝑥+ 2 5 𝑦=6
  • 29. Quem sou eu? Prof. Milton Henrique do Couto Neto mcouto@catolica-es.edu.br Engenheiro Mecânico, UFF MBA em Gestão Empresarial, UVV MBA em Marketing Empresarial, UVV Mestre em Administração, UFES Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV http://lattes.cnpq.br/8394911895758599
  • 31. Disciplinas Lecionadas Marketing Empreendedorismo Administração de Materiais Matemática Matemática Financeira Gestão Financeira Fundamentos da Administração Gestão de Processos e Empresas
  • 33. Este e outros arquivos estão disponíveis para download no www.slideshare.net/miltonh