soluçoes

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RESOLUÇÕES DO MANUAL MATemática 6
VOLUME 1
CAPÍTULO 1
Ficha de diagnóstico (págs. 8 e 9)
1. C O produto é o resultado da multiplicação.
2. C Um número é divisível por 3 se e só se a soma dos seus
algarismos for múltiplo de 3.
2113 → 2 + 1 + 1 + 3 = 7; 7 não é divisível por 3.
3. C 43 = 4 × 4 × 4 = 64
4. C Divisores de 9:
1 × 9 = 9 1, 3 e 9 são os divisores de 9.
3 × 3 = 9
5. B 18 não é múltiplo de 4 porque não há um número inteiro
que multiplicado por 4 dê 18.
30 não é múltiplo de 4 porque não há um número inteiro
que multiplicado por 4 dê 30. Mas, 18 e 30 são múltiplos
de 6, 3 e 2.
6. B Numa divisão inteira, os restos possíveis são sempre
menores do que o divisor. Se o divisor é 3, os restos
possíveis são 0, 1 e 2.
7. F 9 não é divisor de 56 porque não existe um número inteiro
que multiplicado por 9 dê 56.
V Dois números são primos entre si se o seu máximo divisor
comum for 1.
Divisores de 5: 1 e 5 Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6
m.d.c. (5, 6) = 1
8.1 Metade de 20 o triplo de 3 é 3 × 3 = 9
metade de 20 é 20 : 2 = 10 e 10 9
8.2 O dobro de 5 a terça parte de 18 é 18 : 3 = 6
o dobro de 5 é 2 × 5 = 10 e 10 6
9.1 18 3 × … = 54 … = 54 : 3 … = 18
A divisão é a operação inversa da
multiplicação.
9.2 91 … : 7 = 13
O dividendo é igual ao produto do divisor pelo
quociente, logo … = 7 × 13 … = 91
9.3 165 … – 126 = 39
O aditivo é igual à soma do subtrativo com a
diferença, logo … = 126 + 39 … = 165
9.4 1 23 + … = 32 … = 32 – 23 … = 3 × 3 – 2 × 2 × 2
… = 9 – 8 = 1
A subtração é a operação inversa da adição.
10.1 Se um número natural é divisor de outros dois, também é
divisor da respetiva soma.
9 é divisor de 18, 2 × 9 = 18
9 é divisor de 81, 9 × 9 = 81
10.2 Num produto de números naturais, um divisor de um dos
fatores é divisor do produto.
9 é divisor de 27, então 9 é divisor de 27 × 5 .
10.3 Se um número natural é divisor de outros dois, também é
divisor da respetiva diferença.
9 é divisor de 144
9 não é divisor de 41
10.4 9 não é divisor nem de 21 nem de 14, então 9 não é divisor do
produto de 21 por 14.
11.1 • Efetuamos a divisão inteira de 108 por 24.
• Efetuamos a divisão inteira do divisor pelo
resto.
O resto é zero, então m.d.c. (24, 108) = 12 .
11.2 • Efetuamos a divisão inteira de 150 por 40.
• Efetuamos a divisão inteira do divisor pelo
resto.
• Repetimos o processo, efetuando a divisão
inteira do divisor pelo resto.
O resto é zero, então m.d.c. (40, 150) = 10 .
12. O produto de dois números naturais é igual ao produto do seu
máximo divisor comum pelo seu mínimo múltiplo comum:
a × b = m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b)
Se a = 21, m.d.c (a, b) = 3 e m.m.c. (a, b) = 840
Teremos:
21 × b = 3 × 840
21 × b = 2520
b = 2520 : 21
b = 120
O outro número é 120.
13. Um número natural é divisível por 9 se e só se a soma dos seus
algarismos for um múltiplo de 9.
5016 → 5 + 0 + 1 + 6 = 12 ; 12 não é múltiplo de 9
E, assim, 5016 não é divisível por 9.
Para obter o número inferior a 5016 que seja múltiplo de 9
basta subtrair-lhe 3. Vejamos se é ímpar:
5013 → 5 + 0 + 1 + 3 = 9 ; 9 é múltiplo de 9
5013 é número ímpar, logo é a solução.
O maior número ímpar inferior a 5016 que é divisível por 9 é
5013.
14. Dos quatro números dados, são pares os números:
1952 e 1954.
Vejamos qual deles é divisível por 4.
Um número é divisível por 4 se e só se os dois últimos
algarismos são zeros ou um múltiplo de 4.
dividendo
↓
↑
divisor
quociente
↓
aditivo
↓
↑
diferença
subtrativo
↓
]então 9 é divisor de 18 + 81 .
]então 9 não é divisor de 144 – 41 .
108
12
24
4
(o resto não é zero)
150
30
40
3
40
10
30
1
30
00
10
3
24
0
12
2
MATemática6–Resoluçõesdomanual–

2
1952 → 52 é múltiplo de 4 (13 × 4 = 52)
Então, 1952 é divisível por 4.
1954 → 54 não é múltiplo de 4
Então, 1954 não é divisível por 4.
O tio avô do Zé nasceu em 1952.
15.1 Numa divisão inteira, se um número for divisor de d e de um
dos números, D ou r , então é divisor de ambos.
15.2 Na divisão inteira, D = d × q + r r d
D = 27 × 32 + 18
D = 882
16. Os dois eventos ocorrerão em simultâneo quando tiver passado
um número de dias que seja múltiplo de 7 e de 30. Para
determinar a primeira ocorrência, vamos determinar o mínimo
múltiplo comum de 7 e 30.
Múltiplos naturais de 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77,
84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147,
154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210,
217,…
Múltiplos naturais de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240,…
m.m.c. (7, 30) = 210
210 dias depois de 30 de agosto, a feira e o mercado de gado
realizar-se-ão em simultâneo naquela vila.
Pág. 11
1. Os números 17 e 29 são números primos porque admitem apenas
dois divisores: a unidade e o próprio número.
2. Num quadrado mágico, é constante a soma dos números de
cada linha, coluna ou diagonal.
Calculemos essa soma: 71 + 89 + 17 = 177
Então:
177 – (71 + 47) = 59 → número central
177 – (17 + 47) = 113 → número que falta na 3.a coluna
177 – (59 + 113) = 5 → número que falta na 2.a linha
177 – (71 + 5) = 101 → primeiro número da 3.a linha
177 – (89 + 59) = 29 → segundo número da 3.a linha
Todos os números do quadrado mágico são números primos
porque só têm dois divisores.
3. Na tabela de números naturais até 105, corta-se o 1 e:
• cortam-se todos os números divisíveis por 2, exceto o 2;
• cortam-se todos os
números divisíveis por 7,
exceto o 7.
Osnúmerosquesobrarem
sãoosnúmerosprimos
menoresdoque105.
Consultandoentãoatabela,
verificamosqueocaminho
docoelhopassapor:
11 – 5 – 3 – 23 – 47 – 29 – 83
– 7 – 97 – 2 – 13 – 43 – 103
– 31 – 17
4.1 O maior número primo que se representa com um algarismo é 7.
4.2 O maior número primo que se representa com dois algarismos
é 97.
4.3 O único número primo par é 2.
4.4 O menor número composto é 4. → 4 tem três divisores: 1, 2 e 4.
4.5 O maior número composto menor do que 50 é 49. → 49 tem
três divisores: 1, 7 e 49.
5. O número 68 é composto porque tem mais de dois divisores: 1, 2,
4, 17, 34 e 68 são divisores de 68.
6.1 A soma de dois números primos ímpares não é um número
primo. Vejamos: a soma de dois números ímpares é um número
par. Então, a soma de dois números primos ímpares também é
par, e maior do que 2 — admite pelo menos os divisores 1, 2 e a
própria soma.
6.2 O produto de dois números primos nunca é um número primo
porque admite mais de dois divisores: 1, cada um dos números
primos dados e o seu produto.
7. 2, 3, 5, 7, 11, 13,… são números primos
Verificamos que 5 – 2 = 3 .
Os números primos pedidos são 5 e 2.
Pág. 13
1.1 7 × 7 × 7 = 73 1.2 13 × 13 × 13 × 13 × 13 = 135
1.3 10 × 10 × 10 × 10 = 104
2.1 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 2.2 52 = 5 × 5 = 25
2.3 15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 2.4 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
2.5 171 = 17
3.1 81 = 9 × 9 = 92
3.2 100 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105
3.3 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26
3.4 8 = 2 × 2 × 2 = 23
3.5 121 = 11 × 11 = 112
3.6 25 = 251
4. 106 = 1 000 000 → Um milhão
105 = 100 000 → Cem milhares
102 = 100 → Uma centena
109 = 1 000 000 000 → Um milhar de milhão
5. 64 = 4 × 4 × 4 = 43 144 = 12 × 12 = 122
6. Usando a máquina de calcular, teclamos: Visor
4 4 →41
× × = 16 →42
= 64 →43
= 256 →44
= 1024 →45
= 4096 →46
= 16384 →47
= 65536 →48
= 262144 →49
7.1 62 – 24 = 6 × 6 – 2 × 2 × 2 × 2
= 36 – 16
= 20
(•) A multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
D
18
27
9
D
r
d
q3 é divisor de d , 27
3 é divisor de r , 18
Então, 3 é divisor do dividendo
ou o dividendo é múltiplo de 3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105
A menor potencia de 4 que é maior
do que 100 000 é 49.
← expoente
← base
(•)]
71 89 17
5 59 113
101 29 47

3
7.2 103 – 102 + 10 = 10 × 10 × 10 – 10 × 10 + 10
= 1000 – 100 + 10
= 910
(•) A multiplicação tem prioridade sobre a adição e a subtração.
(••) As adições e as subtrações efetuam-se pela ordem indicada, isto é, da
esquerda para a direita.
7.3 102 – 26 + (9 – 4)3 = 102 – 26 + 53 →
= 10 × 10 – 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 + 5 × 5 × 5
= 100 – 64 + 125
= 161
(•) Efetuam-se primeiro os cálculos dentro de parênteses.
(••) A multiplicação tem prioridade sobre a adição e a subtração.
(•••) As adições e as subtrações efetuam-se pela ordem indicada, ou seja, da
esquerda para a direita.
7.4 25 – 21 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 – 2
= 32 – 2
= 30
(•) A multiplicação tem prioridade em relação à subtração.
7.5 (4 + 5)2 = 92 → (•)
= 9 × 9
= 81
(•) Efetuam-se os cálculos dentro de parênteses.
(••) Calcula-se o valor da potência.
7.6 4 × 52 = 4 × 5 × 5
= 100
8. 33 + 53 = 3 × 3 × 3 + 5 × 5 × 5 = 27 + 125 = 152
(3 + 5)3 = 83 = 8 × 8 × 8 = 512
9. (7 + 3)2 72 + 32 porque (7 + 3)2 = 102 = 100 e 72 + 32 = 49 + 9 = 58
O quadrado da soma de sete com três é maior.
Pág. 15
1.1 4 = 2 × 2 1.3 9 = 3 × 3 1.5 15 = 3 × 5
1.2 6 = 2 × 3 1.4 10 = 2 × 5 1.6 21 = 3 × 7
Recorda: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… são números primos.
2. 20 36 36
2 × 10 6 × 6 ou 4 × 9
2 × 2 × 5 2 × 3 × 2 × 3 2 × 2 × 3 × 3
3.1 3.2 3.3
12 = 22 × 3 18 = 2 × 32 28 = 22 × 7
3.4 28 é múltiplo de 7 7 × 22 = 28
12 é múltiplo de 3 3 × 22 = 12
18 é múltiplo de 3 3 × 6 = 18
4.1 24 × 5 × 13 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 13 = 1040
4.2 52 × 7 × 11 = 5 × 5 × 7 × 11 = 1925
5. 23 × 6 não é a decomposição em fatores primos de 48 porque 6
não é um número primo (6 = 2 × 3).
Então, a decomposição em fatores primos de 48 é:
23 × 2 × 3 = 24 × 3
6.1 Num produto de números naturais, um divisor de um dos
fatores é divisor do produto.
• 10 = 2 × 5 e 2 é divisor de 22 , logo de 22 × 5
5 é divisor de 5 , logo de 22 × 5
Então, o número dado é divisível por 10.
• 7 não é divisor dos fatores de 22 × 5, logo o número dado não
é divisível por 7.
6.2 Divisores de 22 × 5 , isto é, de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20, porque:
1 × 20 = 20
2 × 10 = 20
4 × 5 = 20 O número 22 × 5 tem 6 divisores.
6.3 Por 5 porque:
22 × 5 × 5 = 22 × 52 = 102
7.
8. Quadrados de um número natural: 1, 9, 49, 81
Divisores de 15: 1, 3, 5, 15
Múltiplos de 11: 77, 66, 242
Números primos: 17, 23
O número que ficou foi o 96.
Pág. 17
1.1 (A) (B) (C)
240 =24 × 3 × 5 360 = 23 × 32 × 5 567 = 34 × 7
1.2 240 tem 5 × 2 × 2 , isto é, 20 divisores.
360 tem 4 × 3 × 2 , isto é, 24 divisores.
567 tem 5 × 2 , isto é, 10 divisores.
1.3 Um divisor de um dos fatores do produto é divisor do produto.
Se 240 = 24 × 3 × 5 então: 1 2 22 23 24 isto é 1 2 4 8 16
1 3 isto é 1 3
1 5 isto é 1 5
são divisores de 240.
Multiplicam-se os números da primeira linha do quadro por
cada número da segunda linha, e obtêm-se 1, 3, 2, 6, 4, 12, 8, 24,
16 e 48.
Multiplica-se cada um dos números obtidos por cada número
da terceira linha do quadro, e obtêm-se os divisores de 240:
1, 3, 2, 6, 4, 12, 8, 24, 16, 48, 5, 15, 10, 30, 20, 60, 40, 120, 80 e 240.
Ordenando os divisores de 240, obtêm-se:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 e 240.
• Divisores de 360 360 = 23 × 32 × 5
Então: 1 21 22 23 isto é 1 2 4 8 são divisores de 360.
1 31 32 isto é 1 3 9
1 5 isto é 1 5
Multiplica-se cada número da primeira linha por cada número
da segunda linha do quadro, e obtêm-se:
1, 3, 9, 2, 6, 18, 4, 12, 36, 8, 24 e 72
Multiplicam-se os números obtidos por cada número da 3.a linha:
1, 3, 9, 2, 6, 18, 4, 12, 36, 8, 24, 72, 5, 15, 45, 10, 30, 90, 20, 60, 180,
40, 120 e 360
12
6
3
1
2
2
3
18
9
3
1
2
3
3
28
14
7
1
2
2
7
8
4
2
1
2
2
2
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
567
189
63
21
7
1
3
3
3
3
7
27
9
3
1
3
3
3
125
25
5
1
5
5
5
8 = 23
27 = 33
125 = 53
8, 27 e 125 são cubos de
números naturais.
(•)](••)]
(•••)]
(••)]
(•)]
(••)]
(•)

4
Ordenando: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45,
60, 72, 90, 120, 180 e 360
• Divisores de 567 567 = 34 × 7
Então, 1 3 32 33 34 isto é 1 3 9 27 81 são divisores de 567
1 7 isto é 1 7
Multiplicando cada número da primeira linha por cada número
da segunda linha e ordenando, obtêm-se os divisores de 567:
1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 81, 189 e 567
2. Por exemplo:
Sabemos que 54 tem cinco divisores : 1, 5, 52, 53, 54
e 32 tem três divisores: 1, 3, 32
Então, 54 × 32 tem 5 × 3 divisores, isto é, 15 divisores.
3.1 A = 23 × 5 × 72 tem 4 × 2 × 3 divisores, isto é, 24 divisores.
B = 24 × 3 × 112 tem 5 × 2 × 3 divisores, isto é, 30 divisores.
O número B tem mais divisores do que o número A.
3.2 O número B é divisível por 11 porque 11 é divisor de 112, logo de B.
O número A é divisível por 35 = 5 × 7 porque 5 é divisor de 5 e 7
de 72 , logo 5 × 7 é divisor de 23 × 5 × 72 = A .
O número A é divisível por 10 = 2 × 5 porque 5 é divisor de 5 e 2
de 23 , logo 2 × 5 é divisor 23 × 5 × 72 = A .
4.1
429
39
=
3 × 11 × 13
3 × 13
= 11
4.3
253
88
=
11 × 23
23 × 11
=
23
8
5.1
2 × 3 × 7
3 × 5 × 7 × 11
=
2
55
6. A medida de cada lado de um retângulo com 60 m2 de área, e
em que a medida dos lados são números naturais, tem de ser
divisor de 60 (A = c × l) .
Logo, calculemos os divisores de 60:
1 × 60 = 60 4 × 15 = 60
2 × 30 = 60 5 × 12 = 60
3 × 20 = 60 6 × 10 = 60
Há seis retângulos, sendo a medida dos lados:
1 e 60 2 e 30 3 e 20 4 e 15 5 e 12 6 e 10
7.1 Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, teremos:
28 : 22 = 28 : 4 = 7
7.2 147 : 72 = 147 : 49 = 3
7.3 136 : 17 = 8 = 23
Nota: também se podia decompor os números em fatores
primos e completar.
Pág. 19
1. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18
Divisores de 27: 1, 3, 9 e 27
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36
Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45
1.1 Divisores comuns a 18 e 27: 1, 3 e 9
Divisores comuns a 36 e 45: 1, 3 e 9
1.2 O máximo divisor comum de dois números é o maior número
que é divisor desses números.
Então, m.d.c. (18, 27) = 9 e m.d.c. (36, 45) = 9
2. Dados dois números naturais, se um dos números é divisor
do outro, então o máximo divisor comum desses números é o
menor dos números.
Sendo assim, é fácil de calcular mentalmente.
m.d.c. (9, 18) = 9 porque 9 é divisor de 18 (9 × 2 = 18)
3.1 Por exemplo: 3 e 5 são números primos, apenas têm dois
divisores.
Divisores de 3: 1 e 3
1 é o único divisor comum, logo m.d.c. (3, 5) = 1
Outro exemplo: 11 e 17 são números primos.
3.2 Por exemplo: 20 e 21 são números naturais consecutivos.
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Por exemplo: 35 e 36 também são números naturais
consecutivos.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36
3.3 Por exemplo: 2 e 4 são números pares consecutivos.
Divisores de 4: 1, 2 e 4
1 e 2 são os divisores comuns a 2 e 4, e como 2 é o maior desses
divisores comuns: m.d.c (2, 4) = 2
Por exemplo: 16 e 18 são números pares consecutivos.
Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18
1 e 2 são os divisores comuns, e 2 é o maior desses divisores:
m.d.c. (16, 18) = 2
3.4 Por exemplo: 7 e 9 são números ímpares consecutivos.
Por exemplo: 13 e 15
4. Vamos utilizar as afirmações do exercício 3 para resolver o
exercício 4.
4.1 3, porque 3 é divisor de 6, logo m.d.c. (3, 6) = 3
4.2 Por exemplo, 15, porque 15 e 17 são números ímpares
consecutivos: m.d.c. (15, 17) = 1
Há outras soluções; por exemplo:
5, porque 5 e 17 são números primos: m.d.c. (5, 17) = 1
16, porque 16 e 17 são números naturais consecutivos:
m.d.c. (16, 17) = 1
4.3 Por exemplo: 7 é divisor de 14, logo m.d.c. (7, 14) = 7
4.4 Por exemplo: 7, porque 5 e 7 são primos, logo m.d.c. (5, 7) = 1
Há outras soluções; por exemplo: 6 porque 5 e 6 são números
inteiros consecutivos, logo m.d.c. (5, 6) = 1
4.5 Por exemplo: 34 porque 32 e 34 são números pares
consecutivos, logo m.d.c (32, 34) = 2
Há outras soluções; por exemplo: 2 pois 2 é divisor de 32, logo
m.d.c. (32, 2) = 2
4.6 Qualquer múltiplo natural de 12 é solução.
Por exemplo, 120, porque 12 é divisor de 120, logo:
m.d.c. (12, 120) = 12
↑
não é primo
4.2
7 × 19
5 × 19
=
7
5
5.2
11 × 13 × 2 × 5
11 × 13 × 5
= 2

5
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6. Temos 77 gomas e 165 caramelos para dividir igualmente por
crianças. O número de crianças tem de ser divisor de 77 e de 165.
Como se pretende o maior número possível de crianças, então
deve procurar-se o maior divisor comum de 77 e de 165. Trata-se,
assim, do m.d.c. (77, 165) .
• Usando a decomposição em fatores primos:
• Ou pelo método das divisões sucessivas:
m.d.c. (77, 165) = 11
77 : 11 = 7 → Número de gomas que cada criança recebe.
165 : 11 = 15 → Número de caramelos que cada criança recebe.
Podemos distribuir as gomas e os caramelos por 11 crianças,
recebendo cada uma 7 gomas e 15 caramelos.
7. Temos vigas com 120 cm e 252 cm.
Pretende-se dividir as vigas em partes iguais, sendo o
comprimento de cada uma o maior possível.
O comprimento de cada parte das vigas tem de ser divisor de 120
e de 252, para serem partes iguais.
Como se pretende que o comprimento de cada parte seja o
maior possível, determina-se o m.d.c. (120, 252) :
• Usando a decomposição em fatores primos:
• Ou usando o método das divisões sucessivas:

m.d.c. (252, 120) = 12
Então:
120 : 12 = 10 partes
252 : 12 = 21 partes
Cada parte das vigas terá 12 cm de comprimento: a viga com
120 cm será dividida em 10 partes e a de 252 cm em 21.
8. Observando a decomposição dos números e de 20:
a × 3 × 52 × 11
23 × b × 13
20 = 22 × 5
O m.d.c. é 20, isto é, 22 e 5 são os fatores comuns aos números e
com menor expoente, logo a = 22 e b = 5 .
Pág. 21
1. Múltiplo natural de um número natural é todo o número que se
obtém multiplicando o número dado por um número natural.
Então, os múltiplos de 4 menores do que 60 são:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56.
Os múltiplos de 7 menores do que 60 são:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56.
1.1 Os múltiplos naturais comuns a 4 e 7 menores do que 60 são 28
e 56.
1.2 O menor dos múltiplos naturais comuns a 4 e 7 é o 28, isto é, o
mínimo múltiplo comum de 4 e 7 é o 28.
m.m.c. (4, 7) = 28
2. Dados dois números naturais, se um dos números é múltiplo de
outro, o mínimo múltiplo comum desses números é o maior dos
números.
Então, é fácil de calcular mentalmente:
• m.m.c. (2, 90) = 90 porque 90 é múltiplo de 2 (45 × 2 = 90);
• m.m.c. (5, 25) = 25 porque 25 é múltiplo de 5 ( 5 × 5 = 25);
• m.m.c.(20,200)=200 porque200émúltiplode20(10×20=200).
3. Por exemplo, 7 e 9 são números ímpares consecutivos.
7 = 7 m.d.c. (7, 9) = 1 7 e 9 são primos entre si.
9 = 32 m.m.c. (7, 9) = 7 × 32 = 63
Por exemplo, 3 e 4 são números inteiros consecutivos.
3 = 3 m.d.c. (3, 4) = 1
4 = 22 m.m.c. (3, 4) = 3 × 22 = 12
28
14
7
1
2
2
7
42
21
7
1
2
3
7
28 = 22 × 7
42 = 2 × 3 × 7
Multiplicam-se os fatores comuns
com o menor expoente (2 × 7):
m.d.c. (28, 42) = 14
175
35
7
1
5
5
7
60
30
15
5
1
2
2
3
5
16
8
4
2
1
2
2
2
2
75
25
5
1
3
5
5
84
42
21
7
1
2
2
3
7
12
6
3
1
2
2
3
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
30
15
5
1
2
3
5
105
21
7
1
5
3
7
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
40
20
10
5
1
2
2
2
5
90
45
15
5
1
2
3
3
5
270
135
45
15
5
1
2
3
3
3
5
20
10
5
1
2
2
5
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
3
100
50
25
5
1
2
2
5
5
175 = 52 × 7
105 = 3 × 5 × 7
m.d.c. (175, 105) = 35
60 = 22 × 3 × 5
72 = 23 × 32
m.d.c. (60, 72) = 12
16 = 24
40 = 23 × 5
com o menor expoente (23):
m.d.c. (16, 40) = 8
75 = 3 × 52
90 = 2 × 32 × 5
m.d.c. (75, 90) = 15
84 = 22 × 3 × 7
270 = 2 × 33 × 5
m.d.c. (84, 270) = 6
12 = 22 × 3
20 = 22 × 5
com o menor expoente (22):
m.d.c. (12, 20) = 4
72 = 23 × 32
96 = 25 × 3
m.d.c. (72, 96) = 24
30 = 2 × 3 × 5
100 = 22 × 52
m.d.c. (30, 100) = 10
77
11
1
7
11
165
55
11
1
3
5
11
77 = 7 × 11
165 = 3 × 5 × 11
m.d.c. (77, 165) = 11 → número de
crianças
165
11
77
2
77
0
11
7
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
252
126
63
21
7
1
2
2
3
3
7
120 = 23 × 3 × 5
252 = 22 × 32 × 7
m.d.c. (120, 252) = 3 × 22 = 12
252
12
120
2
120
0
12
10

6
396
198
99
33
11
1
2
2
3
3
11
396 = 22 × 32 × 11
Um divisor de um dos fatores do produto é divisor
do produto.
Então:
1 2 22 Isto é 1 2 4 são divisores de 396.
1 11 Isto é 1 11 são divisores de 396.
Nota: podíamos ilustrar usando a propriedade:
«O produto de dois números naturais é igual ao produto do seu
máximo divisor comum pelo seu mínimo múltiplo comum.»
Nos exemplos anteriores:
7×9=m.d.c.(7,9)×m.m.c.(7,9) 3×4=m.d.c.(3,4)×m.m.c.(3,4)
63 = 1 × m.m.c. (7, 9) 12 = 1 × m.m.c. (3, 4)
m.m.c. (7, 9) = 63 m.m.c. (3, 4) = 12
4. Vamos usar as propriedades mencionadas nos exercícios 2 e 3
para responder às questões 4.1, 4.2 e 4.3.
Por exemplo:
4.1 40; 40 é múltiplo de 5, então m.m.c. (5, 40) = 40
Ou 8; 5 e 8 são números primos entre si: m.m.c. (5, 8) = 40
4.2 35; 35 é múltiplo de 7, então m.m.c. (7, 35) = 35
Ou 5; 5 e 7 são primos entre si, então m.m.c. (5, 7) = 35
4.3 11; 10 e 11 são primos entre si, então m.m.c. (10, 11) = 110
Ou 110; 110 é múltiplo de 10, então m.m.c. (10, 110) = 110
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6. A Ana e o Zé voltam a encontrar-se em casa da avó daqui a um
número de dias que seja simultaneamente múltiplo de 6 e de 8.
Calculemos, então, o menor número de dias possível, isto é, o
mínimo múltiplo comum de 6 e 8:
6 , 12 , 18 , 24 , 30 , … m.m.c. (6, 8) = 24
8 , 16 , 24 , 32 , …
24 dias depois de 1 de janeiro, a Ana e o Zé encontrar-se-ão em
casa da avó.
7. Observemos as decomposições em fatores primos dos números
A, B, C e D (B e D incompletas).
Se m.m.c. (A, B) = 22 × 34 , o número 34 tem de ser fator de A ou
B; não é de A, logo tem de ser de B, e B = 22 × 34.
Se m.m.c. (D, C) = 23 × 53 × 72 , os números 53 e 72 têm de ser
fatores de C ou D , e C está completo, logo D = 23 × 53 × 72
m.d.c (A, B) = 22 × 33 = 4 × 27 = 108 e m.d.c. (C, D) = 22 × 52 × 7 = 700
8.1 Por exemplo, utilizamos a propriedade «Se um número natural
é múltiplo de outro, então ele é mínimo múltiplo comum dos
dois números considerados.»
Uma das muitas situações possíveis é 12 e 120, porque 120 é
múltiplo de 12. Logo, m.m.c. (12, 120) = 120
8.2 Por exemplo, utilizamos a propriedade: «O mínimo múltiplo
comum de dois números primos entre si é o seu produto.»
Escolhem-se dois números primos entre si cujo produto seja 28.
Por exemplo, como 28 = 22 × 7, os números pedidos são 4 e 7.
Nota: Como 28 é múltiplo de 2, os números 2 e 28 são também
solução.
Como 28 é múltiplo 14, os números 14 e 28 são também solução.
8.3. 35 = 5 × 7 Observa-se que 5 e 7 são números primos, logo o
m.d.c. (5, 7) = 1 e o m.m.c. (5, 7) = 5 × 7 .
Os números 5 e 7 são os números pedidos.
Problemas para resolver (pág. 23)
1.1
12
6
3
1
2
2
3
88
44
22
11
1
2
2
2
11
100
50
25
5
1
2
2
5
5
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
20
10
5
1
2
2
5
18
9
3
1
2
3
3
66
33
11
1
2
3
11
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
54
27
9
3
1
2
3
3
3
25
5
1
5
5
12 = 22 × 3
18 = 2 × 32
Multiplicam-se todos os fatores primos,
elevando cada um deles ao maior expoente
com que figura na decomposição em
fatores primos desses números: 22 × 32
m.m.c. (18, 12) = 22 × 32 = 36
88 = 23 × 11
66 = 2 × 3 × 11
fatores primos desses números: 23 × 3 × 11
m.m.c. (88, 66) = 264
100 = 22 × 52
120 = 23 × 3 × 5
fatores primos desses números: 23 × 3 × 52
m.m.c. (100, 120) = 600
32 = 25
54 = 2 × 33
m.m.c. (32, 54) = 864
20 = 22 × 5
25 = 52
m.m.c. (20, 25) = 100
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
120 = 23 × 3 × 5
144 = 24 × 32
Multiplicam-se todos os fatores primos
(comuns e não comuns) com o maior
expoente: 24 × 32 × 5
m.m.c. (120, 144) = 16 × 9 × 5 = 720
20
10
5
1
2
2
5
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
20 = 22 × 5
72 = 23 × 32
expoente: 23 × 5 × 32
m.m.c. (20, 72) = 23 × 5 × 32 = 8 × 5 × 9 = 360
8
4
2
1
2
2
2
76
38
19
1
2
2
19
125
25
5
1
5
5
5
114
57
19
1
2
3
19
8 = 23
125 = 53
expoente: 23 × 53
m.m.c. (8, 125) = 8 × 125 = 1000
76 = 22 × 19
114 = 2 × 3 × 19
expoente: 22 × 3 × 19
m.m.c. (76, 114) = 228

7
MATemática6–Resoluçõesdomanual– • Multiplica-se cada número da 1.a linha do quadro
sucessivamente por cada número da 2.a linha, e obtêm-se: 1, 3,
9, 2, 6, 18, 4, 12 e 36.
• Multiplicam-se os números obtidos por cada número da 3.a linha,
e obtêm-se os divisores de 396: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 4, 12, 36, 17, 22, 33,
99, 66, 198, 44, 132 e 396.
1.2
• Multiplica-se cada número da 1.a linha do quadro por cada
número da 2.a linha, e obtêm-se: 1, 3, 9, 2, 6 e 18.
• Multiplica-se cada número obtido por cada número da
3.a linha, e obtêm-se os divisores de 450: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15,
45, 10, 30, 90, 25, 75, 225, 50, 150 e 450.
2.1 5 é divisor do fator 5, logo é divisor do produto 32 × 5 × 13 ;
32 × 5 × 13 : 5 = 32 × 13 = 3 × 3 × 13 = 117
13 é divisor do fator 13, logo é divisor do produto 32 × 5 × 13 ;
32 × 5 × 13 : 13 = 32 × 5 = 3 × 3 × 5 = 45
2.2 45 = 32 × 5 , e como 32 e 5 são divisores do produto 32 × 5 × 13 ,
o número 45 é divisor do número dado.
32 × 5 × 13
32 × 5
= 13
2.3 Divisores de 32 × 5 × 13 = 585 .
• Multiplica-se cada número da 1.a linha do quadro,
sucessivamente, por cada número da 2.a linha, e obtêm-se:
1, 5, 3, 15, 9 e 45.
• Multiplicam-se os números obtidos por cada número da
3.a linha, e obtêm-se os divisores de 585: 1, 5, 3, 15, 9, 45, 13, 65,
39, 195, 117 e 585.
3. Sejam os pares de números (15, 6) e (20, 10) :
• (15, 6); 15 = 3 × 5 m.d.c. (6, 15) = 3 ; m.m.c. (6, 15) = 2 × 3 × 5 = 30
6 = 2 × 3 m.d.c. (6, 15) × m.m.c. (6, 15) = 6 × 15
3 × 30 = 90
90 = 90 verdadeiro
• (20, 10); 20 é múltiplo de 10, logo m.d.c. (20,10) = 10 e
m.m.c. (20, 10) = 20
m.d.c. (20, 10) × m.m.c. (20, 10) = 10 × 20
10 × 20 = 200
200 = 200 verdadeiro
4. Sabe-se que sendo a e b dois números naturais:
m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b) = a × b
Se a = 50 , b = 75 e m.d.c. (50, 75) = 25 , substituindo na
igualdade anterior, obtém-se:
25 × m.m.c. (50, 75) = 50 × 75
25 × m.m.c. (50, 75) = 3750
m.m.c. (50, 75) = 3750 : 25 – a divisão é a operação inversa
da multiplicação
m.m.c. (50, 75) = 150
O mínimo múltiplo comum de 50 e 75 é 150.
5. Estratégia 1: Determinar a hora a que cada um dos sinos toca e
verificar o momento em que ambos coincidem:
• o sino da igreja A toca às: 9h 9h30 10h 10h30 11h 11h30
• o sino da igreja B toca às: 9h 9h45 10h30 11h15 12h
Voltam a tocar em simultâneo às 10h30.
Estratégia 2: Determinar o mínimo múltiplo comum.
Os sinos tocam em simultâneo quando o número de minutos
decorridos for múltiplo de 30 e de 45. Como se pretende a
próxima vez em que tocam em simultâneo, deve procurar-se o
menor dos múltiplos comuns a 30 e 45, isto é, o m.m.c. (30, 45) .
30 = 2 × 3 × 5 45 = 32 × 5 m.m.c. (30, 45) = 2 × 32 × 5 = 90
Os sinos voltam a tocar em simultâneo 90 minutos depois das
9h, isto é, às 10h30.
6. 7… × 112
73 × 11… × …
m.m.c. = 74 × 112 × 19
Como o mínimo múltiplo comum de dois números decompostos
em fatores primos é o produto dos fatores primos comuns e
não comuns, cada um elevado ao maior expoente, podemos,
observando os dados, concluir que:
• O expoente em 7… tem de ser o 4, pois no segundo número
aparece 73.
• O expoente em 11…, no segundo número, não pode ser maior do
que 2, porque no mínimo múltiplo comum aparece 112.
• 19 é o fator que falta no segundo número, uma vez que aparece
no m.m.c. dos dois números e não é fator do primeiro número.
Teremos então: 74 × 112 e 73 × 112 × 19 → o m.d.c. é 73 × 112 .
Ou 74 × 112 e 73 × 111 × 19 → o m.d.c. é 73 × 11.
7.
Tarefas finais (págs. 24 e 25)
1. Números primos, por exemplo:
2, 17, 43 e 89 (os números primos têm apenas dois divisores)
Números compostos, por exemplo:
4, 9, 50, 99 (os números compostos têm mais de dois divisores)
2. 13, 19, 37 e 97
3. Observando o crivo de Erastóstenes (obtido na tarefa da pág. 10):
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 e 67 são os números
primos maiores do que 10 e menores do que 70.
4. Teorema fundamental da aritmética:
«Todo o número natural composto pode ser decomposto num
produto de fatores primos, sendo essa decomposição única.»
5. 10 = 2 × 5 33 = 3 × 11 51 = 3 × 17 85 = 5 × 17
Observamos que:
• 10 é par, logo divisível por 2;
• 33 e 51 são divisíveis por 3 porque a soma dos seus algarismos
é divisível por 3;
• 85 é divisível por 5 porque termina em 5.
450
225
75
25
5
1
2
3
3
5
5
450 = 2 × 32 × 52
Um divisor de um dos fatores do produto é divisor
do produto.
Então:
693
231
77
11
1
3
3
7
11
294
147
49
7
1
2
3
7
7
693 = 32 × 7 × 11
294 = 2 × 3 × 72 m.d.c. (693, 294) = 3 × 7 = 21
693 : 21
294 : 21
=
33
14

8
6.1 6.2 6.3 6.4
100 = 22 × 52 1000 = 23 × 53 120 = 23 × 3 × 5 924 = 22 × 3 × 7 × 11
6.5 6.6
250 = 2 × 53 7200 = 25 × 52 × 32
7.1
154 = 2 × 7 × 11 33 = 3 × 11
Ou m.d.c. (154, 33) = 11
7.2
210 = 2 × 5 × 3 × 7 231 = 3 × 7 × 11
Ou m.d.c. (210, 231) = 3 × 7
8.1
m.d.c. (60, 80) = 22 × 5 = 20
O máximo divisor comum de dois números decompostos em
fatores primos é igual ao produto dos fatores primos comuns,
elevado cada um ao menor expoente com que aparece nas
decomposições.
8.2 60 = 22 × 3 × 5
80 = 24 × 5 Então: m.m.c. (60, 80) = 24 × 3 × 5 = 240
O mínimo múltiplo comum de dois números decompostos em
fatores primos é igual ao produto de todos os fatores primos
(comuns e não comuns), elevado cada um ao maior expoente
com que aparece na decomposição desses números.
8.3
8.4 560 = 24 × 5 × 7 630 = 2 × 32 × 5 × 7
m.m.c. (560, 630) = 24 × 32 × 5 × 7 = 5040
8.5
8.6 125 = 53 m.m.c. (125, 175) = 53 × 7 = 875
175 = 52 × 7
9.
(1) 11 e 13 são números primos, logo m.d.c. (11, 13) = 1
e m.m.c. (11, 13) = 11 × 13
(2) escolhem-se dois números primos entre si cujo produto seja
72 = 23 × 32
(3) 80 é múltiplo de 16; 80 = 24 × 5
(4) utiliza-se a propriedade:
a × b = m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b)
42 × b = 14 × 84
10. Vamos procurar o algarismo x , sabendo que 41x representa
um número primo.
Se 41x é número primo, então x não pode ser 0, 2, 4, 6 e 8
porque só há um número primo par, o 2.
Se x = 1 , 411 não é primo porque é divisível por 1, 411 e 3
(4 + 1 + 1 = 6 e 6 é divisível por 3).
Se x = 3 , 413 não é primo porque é divisível por 1, 411, 7 e 59.
Se x = 5 , 415 não é primo porque é divisível por 1, 415 e 5.
Se x = 7 , 417 não é primo porque é divisível por 1, 417 e 3.
Se x = 9 , 419 é número primo porque não é divisível por 2, 3,
5, 7 e 11, e:
419
029
03
13
32
419
079
11
17
24
419
039
01
19
22
419
189
05
23
18
32 13 24 17 22 19 18 23
O número 419 é o número pedido.
11. Os dois cometas serão vistos em simultâneo quando o número
de anos decorridos for múltiplo de 140 e de 700. Como se
pretende saber o menor número de anos necessários para que
os cometas sejam vistos em simultâneo, vamos determinar o
mínimo múltiplo comum de 140 e 700.
• Decompomos 140 e 700 em fatores primos e calculamos o
m.m.c. (140, 700) :
140
70
35
7
1
2
2
5
7
140 = 22 × 5 × 7
700 = 22 × 52 × 7
m.m.c. (140, 700) = 22 × 52 × 7
= 700
700
350
175
35
7
1
2
2
5
5
7
• Ou 700 é múltiplo de 140, então o mínimo múltiplo comum
dos dois números é o maior deles (700).
• Ou escrevemos os múltiplos naturais de 140 e de 700 e
determinamos o menor número natural que é múltiplo de
ambos os números:
– múltiplos de 140: 140, 280, 420, 560, 700, 840,…
– múltiplos de 700: 700, 1400,…
700 é o m.m.c. (140, 700) .
Os dois cometas voltarão a ser vistos em simultâneo passados
700 anos.
154
77
11
1
2
7
11
210
105
21
7
1
2
5
3
7
60
30
15
5
1
2
2
3
5
560
280
140
70
35
7
1
2
2
2
2
5
7
33
11
1
3
11
231
77
11
1
3
7
11
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
630
315
105
35
7
1
2
3
3
5
7
Então:
154
33
=
2 × 7 × 11
3 × 11
=
14
3
Então:
210
231
=
2 × 3 × 5 × 7
3 × 7 × 11
=
10
11
154 : 11
33 : 11
=
14
3
210 : 21
231 : 21
=
10
11
60 = 22 × 3 × 5
80 = 24 × 5
560 = 24 × 5 × 7
630 = 2 × 32 × 5 × 7
m.d.c. (560, 630) = 2 × 5 × 7 = 70
125
25
5
1
5
5
5
175
35
7
1
5
5
7
125 = 53
175 = 52 × 7
m.d.c. (125, 175) = 52 = 25
7200
3600
1800
900
450
225
45
9
3
1
2
2
2
2
2
5
5
3
3
250
125
25
5
1
2
5
5
5
100
50
25
5
1
2
2
5
5
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
924
462
231
77
11
1
2
2
3
7
11
1000
500
250
125
25
5
1
2
2
2
5
5
5
a b m.d.c. (a, b) m.m.c. (a, b)
11 13 1 143 (1)
8 9 1 72 (2)
16 80 16 80 (3)
42 28 14 84 (4)

9
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 12. A medida do lado do quadrado é um divisor de 192 e 128. Como
se pretende o maior lado possível para as placas quadradas,
determinamos o maior dos divisores comuns a 192 e 128, isto é,
o máximo divisor comum dos números dados.
Podemos listar todos os divisores de 192 e 128 e escolher o
maior divisor comum ou usar a decomposição em fatores
primos. Vamos usar o segundo método.
Decompomos 192 e 128 em fatores primos e determinamos o
m.d.c. (128, 192) .
192
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
2
3
192 = 26 × 3
128 = 27
m.d.c. (128, 192) = 26 (fator primo comum
= 64 com menor
expoente)
O lado do quadrado tem 64 cm.
128
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
2
Número de placas: 192 : 64 = 3
128 : 64 = 2
3 × 2 = 6 placas quadradas
13. 247 não é divisível por 2, 3, 5, 7 e 11. Vejamos se é por 13.
247
117
00
13
19
O resto é zero, então o número dado não é
primo, porque tem mais de dois divisores: 1, 13,
19 e 247 são divisores de 247.
247 não é número primo.
14. Sendo a e b dois números naturais:
a × b = m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b)
x × 45 = m.d.c. (x, 45) × m.m.c. (x, 45)
x × 45 = 15 × 360
x = 5400 : 45
x = 120
O valor de x é 120.
15. As árvores encontram-se de 35 em 35 metros e os postes
encontram-se de 50 em 50 metros.
Para que se encontre novamente um poste em frente de uma
árvore, o número de metros a percorrer tem de ser múltiplo
de 35 e de 50 e o menor possível. Calculamos, assim, o mínimo
múltiplo comum de 35 e 50:
35 = 7 × 5
50 = 2 × 52 m.m.c. (50, 35) = 2 × 7 × 52 = 350
A cada 350 metros da avenida, teremos uma árvore em frente
a um poste.
Nota: Também podíamos resolver o problema escrevendo os
múltiplos naturais de 35 e os múltiplos naturais de 50 até
aparecer o menor número que é simultaneamente múltiplo
dos dois números, isto é, o seu mínimo múltiplo comum.
16. O Cristiano treinou nos dias ímpares de janeiro:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
O Sérgio treinou nos dias múltiplos de 3 de janeiro:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
Em janeiro, treinaram juntos nos dias 3, 9, 15, 21 e 27, isto é,
treinaram no mesmo dia 5 vezes.
Ficha formativa (págs. 28 e 29)
1. A: 9 : 3 = 3 3 tem dois divisores: 1 e 3.
B: 2 × 3 = 6 6 tem quatro divisores: 1, 2, 3 e 6.
C: 23 = 8 8 tem quatro divisores: 1, 2, 4 e 8.
D: 32 = 9 9 tem três divisores: 1, 3 e 9.
Resposta D.
2. A: 99 é número composto, logo é o maior número composto
inferior a 100; 99 98 97 96
Resposta A.
3. A: 286 × 2 O número não está decomposto em
fatores primos; 286 não é número primo.
B: 44 × 13 Não está decomposto em fatores primos;
44 não é primo.
C: 2 × 11 × 13 = 286 E 286 ≠ 572
D: 22 × 11 × 13 = 572 E 2, 11 e 13 são números primos.
Resposta D.
4. A: 1042 não é divisível nem por 3 nem por 4.
B: 1043 não é número par.
C: 1044 é divisível por 3 e por 4.
D: 1045 não é número par.
Resposta C.
5. Se A = 23 × 52 × 13
B = 24 × 5 × 132
o m.d.c. (A, B) = 23 × 5 × 13 Produto dos fatores primos comuns
aos números, cada um elevado ao
menor expoente.
Resposta D.
6. Sabemos que dados dois números naturais a e b :
a × b = m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b)
75 × 45 = 15 × m.m.c. (75, 45)
m.m.c. (75, 45) = 225
Resposta A.
7. Se a = 5 então m.m.c. (5, 14) = 5 × 14 = 70 porque 5 e 14 são
números primos entre si.
Resposta B.
8.1 96 + 72 = 168 alunos
168 : 21 = 8 Há 8 turmas de 21 alunos de 6.o ano.
8.2 O número de alunos de cada turma deverá ser divisor de 96
e de 72 para que todas tenham o mesmo número de alunos.
Como se pretende o número máximo de alunos por turma,
determina-se o máximo divisor comum de 96 e 72. Sendo
assim, utiliza-se, por exemplo, a decomposição em fatores
primos de 96 e 72:
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
3
96 = 25 × 3
72 = 23 × 32
m.d.c. (96, 72) = 23 × 3 = 24
Produto dos fatores primos comuns
a 96 e 72, cada um elevado ao menor
expoente.
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
Cada turma terá 24 alunos.
Há 72 raparigas distribuídas por turmas de 24 alunos.
72 : 24 = 3 → turmas femininas
Cada turma pode ter no máximo 24 alunos.
As turmas femininas seriam 3.
64cm
64 cm64 cm64 cm
128cm
192 cm
64cm
Obtemos seis quadrados, sendo
o comprimento do lado de cada
quadrado igual a 64 cm.

10
9.1 m.m.c. (120, 168)
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
120 = 23 × 3 × 5
168 = 23 × 3 × 7
m.m.c. (120, 168) = 23 × 3 × 5 × 7 = 840
168
84
42
21
7
1
2
2
2
3
7
9.2 m.d.c. (144, 192)
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
144 = 24 × 32
192 = 26 × 3
m.d.c. (144, 192) = 24 × 3 = 48
192
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
2
2
3
10. Divisores de 392:
392
196
98
49
7
1
2
2
2
7
7
392 = 23 × 72
1 2 22 23 Isto é 1 2 4 8 são divisores de
23 , logo de 392.
1 7 72 Isto é 1 7 49 são divisores de
72 , logo de 392.
Multiplicam-se os números da 1.a linha por cada um dos
números da 2.a linha do quadro:
1, 7, 49, 2, 14, 98, 4, 28, 196, 8, 56 e 392
Os divisores de 392 são: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 49, 56, 98, 196 e 398
11. 455
91
13
1
5
7
13
455
770
=
5 × 7 × 13
2 × 5 × 7 × 11
=
13
22
770
385
77
11
1
2
5
7
11
ou: 455 = 5 × 7 × 13
770 = 2 × 5 × 7 × 11
m.d.c. (455, 770) = 5 × 7 = 35 455 : 35
770 : 35
=
13
22
12. Vamos decompor os dois números em fatores primos:
2268
1134
567
81
27
9
3
1
2
2
7
3
3
3
3
2268 = 22 × 7 × 34
168 = 23 × 3 × 7
168
84
42
21
7
1
2
2
2
3
7
Verificamos que 168 = 23 × 3 × 7 e que 23, um dos seus divisores,
não é divisor de 2268. Então, 168 não é divisor de 2268, pelo que
2268 não é divisível por 168.
13. O número de páginas de cada fascículo tem de ser divisor de
224 e 256, visto que todos os fascículos têm o mesmo número
de páginas. Mas se o número de páginas de cada fascículo deve
ser o maior possível, então deve determinar-se o maior divisor
comum a 224 e 256:
• pelo método das decisões sucessivas, vem:
256
032
224
1
224
00
32
7
m.d.c. (224, 256) = 32
• ou pela decomposição em fatores primos:
224
112
56
28
14
7
1
2
2
2
2
2
7
224 = 25 × 7
256 = 28
m.d.c. (224, 256) = 25 = 32
256
128
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
Calculemos o número de fascículos de cada livro: 224 : 32 = 7
256 : 32 = 8
O livro com 224 páginas tem 7 fascículos e o livro com
256 páginas tem 8 fascículos.
14. Observemos as decomposições em fatores primos dos
números:
165 = 3 × 5 × 11
45 = 32 × 5
Para que um número seja múltiplo 45 tem de ser múltiplo
de 32 e de 5. Então, o menor número pelo qual devemos
multiplicar 165 para obter um múltiplo de 45 é 3.
Verificação: 3 × 5 × 11 × 3 = 32 × 5 × 11 → Número múltiplo de 32
e de 5, logo múltiplo
de 45.
15. A medida de lado de cada lote quadrado tem de ser divisor de
72 e de 108 para que os lotes sejam iguais. Como queremos que
a área de cada lote quadrado seja a maior possível, então o lado
tem de ser o maior possível, isto é, vamos determinar o maior
divisor comum a 72 e 108:
Vamos usar a decomposição de fatores primos de 72 e 108 para
calcular o m.d.c. (72, 108) :
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 × 32
108 = 22 × 33
m.d.c. (72, 108) = 22 × 32 = 36
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
Número de lotes: 72 : 36 = 2
108 : 36 = 3
2 × 3 = 6 lotes
O lado de cada lote tem 36 m e vão formar-se 6 lotes.
16. O menor número divisível por 110 e 286 é o menor múltiplo
comum de 110 e 286. Vamos, por exemplo, decompor os
números dados em fatores primos e calcular o
m.m.c. (110, 286) :
110
55
11
1
2
5
11
110 = 2 × 5 × 11
286 = 2 × 11 × 13
m.m.c. (110, 286) = 2 × 5 × 11 × 13
= 1430
286
143
13
1
2
11
13
↑
número de páginas
de cada fascículo
36cm36cm36cm
36 cm 36 cm
108cm
72 cm

11
MATemática6–Resoluçõesdomanual– CAPÍTULO 2
1.1 62
1.2 124
1.3 105
2.1 4 × 4 × 4 = 64
2.2 12 × 12 = 144
2.3 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
3.1 33 = 3 × 3 × 3 = 27
3.2 16 = 4 × 4 ; 4
3.3 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
3.4 3 × 13 = 3 × 1 × 1 × 1 = 3
4. 25 = 5 × 5 = 52
5. 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27
6. 1000 = 10 × 10 × 10 = 103
7. 1100 + 102 – 177 = 1 + 10 × 10 – 1 = 1 + 100 – 1 = 100
8. A: 22 – 1 + 5 = 2 × 2 – 1 + 5 = 4 – 1 + 5 = 3 + 5 = 8
B: 102 – 4 × 10 = 10 × 10 – 4 × 10 = 100 – 40 = 60
C: 33 – 150 = 3 × 3 × 3 – 1 = 27 – 1 = 26
D: 23 + 82 = 2 × 2 × 2 + 8 × 8 = 8 + 64 = 72
O Bruno resolveu a expressão B.
9.
A: Falsa, porque a área do quadrado é A = l × l = l2 (sendo l o lado).
Logo, 3 × 3 , isto é, 9 cm2.
B: Falsa, porque o perímetro do quadrado é P = 4 × l . Logo,
4 × 3, isto é, 12 cm.
10.1 Por exemplo:
10.2 A. 12 × 2 → medida do comprimento total das arestas do
cubo
B. 6 × 22 → medida da área total do cubo
C. 23 → medida do volume do cubo
Pág. 35
1.1 0,7 × 0,7 = 0,72
1.2
1
6
×
1
6
×
1
6
×
1
6
= 1
6 
4
=
1
64
1.3
3
10
×
3
10
×
3
10
×
3
10
×
3
10
×
3
10
= 3
10
6
= 0,36
1.4 1
1
5
×
6
5
=
6
5
×
6
5
= 6
5 
2
2.1
3
2
×
3
2
×
3
2
=
27
8
2.2
3
2 × 2 × 2
=
3
8
2.3
3 × 3 × 3
2
=
27
2
2.4 0 × 0 × ... × 0 = 0
2.5 0,01 × 0,01 = 0,0001
2.6 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331
2.7 1 × 3 + 1
3 
2
= 3 + 1
3 
2
= 4
3
2
=
4
3
×
4
3
=
16
9
2.8
1 × 1 × 1 × 1
5
=
1
5
3.1 0,04 = 0,2 × 0,2 = 0,22
3.2
9
16
=
3 × 3
4 × 4
= 3
4
2
3.3
27
1000
= 3
10
3
4.1 4
7 
2
=
42
72

4.2
16
7

16
49
porque 16 = 16 e 7 49
4.3
1
4
= 0,25
1
4
= 1 : 4 = 0,25
4.4 2,5 (2,5)2 5
2
= 5 : 2 = 2,5
5.1 3 × 0,22 = 3 × 0,2 × 0,2 = 0,6 × 0,2 = 0,12
5.2 2 × 2
3 
3
=
2
1
×
2
3
×
2
3
×
2
3
=
2
1
×
8
27
=
16
27
5.3 2 ×
2
3 
3
= 4
3 
3
=
4 × 4 × 4
3 × 3 × 3
= 64
27
5.4 32 – 0,14 = 3 × 3 – 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 = 9 – 0,0001 = 8,9999
6. 0,2 × 0,2 + 0,3 × 0,3 + 0,5 × 0,5 =
= 0,04 + 0,09 + 0,25 = 0,38
(0,2 + 0,3 + 0,5)2 = 12 = 1 × 1 = 1 Não.
7.1
7
8
×
7
8
=
49
64
7.2 3
2 
4
=
3
2
×
3
2
×
3
2
×
3
2
=
81
16
7.3
1
2
×
1
2
+
2
3
×
2
3
=
1
4
+
4
9
=
9 + 16
36
=
25
36
7.4 2 × 2 × 2 –
3
2
×
3
2
= 8 –
9
4
=
32 – 9
4
=
23
4
7.5 3
6
–
1
6
4
= 2
6
4
= 1
3
4
=
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
81
7.6 7
6
–
3
6
2
×
5
11
= 4
6
2
×
5
11
= 2
3
2
×
5
11
=
2
3
×
2
3
×
5
11
=
20
99
Pág. 37
1.1 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 57
1.2
3 × 3 × 3 × 3 × 3
3 × 3
= 33
1.3 2 × 2 × … × 2 × 2 × 2 × … × 2 = 2n + m
n vezes m vezes
1.4
11 × 11 × … × 11
11 × … × 11
→ m vezes
m n

=
11 × 11 × … × 11
1
→ m – n vezes
2.1 93 + 2 = 95 2.5 108 + 2 = 1010
2.2 105 – 2 = 103 2.6 71 + 3 + 5 = 79
2.3 57 + 2 – 6 = 53 2.7 86 – 2 = 84
2.4 2525 – 23 = 252 2.8 65 – 2 = 63
Matemática 6º ano
TEEE112C06MA00101
DT058
2prova · 22 Outubro 2010
Luis Almeida
3 cm
3 cm
Matemática 6º ano
TEEE112C06MA00101
DT059
Luis Almeida
2 cm
→ n vezes



12
2.9 97 – 4 – 2 = 91 2.12 2
7
33 – 32
= 2
7
1
=
2
7
2.10 213 – 12 + 5 = 26 2.13 5
6
10 – 7
= 5
6
3
2.11 0,72 + 1 = 0,73 2.14 0,15 × 0,1 = 0,15 + 1 = 0,16
3.1 57 = 55 × 52 3.9 105 = 107 : 102
3.2 152 + 3 = 152 × 153 3.10 94 – 3 = 94 : 93
3.3 57 : 55 = 57 – 5 = 52
3.4 910 : 95 : 92 = 910 – 5 – 2 = 93 3.11 63 × 69 = 612
3.5 29 = 24 × 25 3.12 55 : 53 = 52
3.6 103 = 102 × 10 3.13 2,33 × 2,34 = 2,37
3.7 43 × 42 = 45 3.14 5
4
12
= 5
4
13
:
5
4
3.8 105 : 103 = 102 = 100 3.15 0,512 : 0,55 = 0,57
3.16 0,756 = 0,752 × 0,754
4.1 Falsa, porque não há regra para adicionar potências com a
mesma base.
4.2 104 – 2 – 1 = 10 Verdadeira
4.3 23 – 2 8 – 4 2 4 Falsa
4.4 75 + 2 = 77 Verdadeira
4.5 100 : 1 = 100 100 = 10 Falsa
4.6 1 1 Falsa
4.7 10 000 – 100 = 9900 9900 = 100 Falsa
4.8 (10 : 5)7 = 27 Verdadeira
4.9 0,53 0,54 – 1 0,53 0,53 Falsa
4.10 1 0 Falsa
4.11 0,253 = 1
4
3
1
4
3
= 1
4
3
Verdadeira
5.1 Por exemplo, 74 × 7
5.2 Por exemplo, 97 : 93
5.3 Por exemplo, 0,3 × 0,33
Pág. 39
1.1 4
5
2
; 1,25
3,33
4
1.2 (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) =
= a × a × a × a × a × a × b × b × b × b × b × b =
= a6 × b6
2.1 (6 × 2)7 = 127 2.8 (2 × 10 : 5)7 = 47
2.2 (10 : 5)4 = 24 2.9 (10 × 2 : 4)2 = 52
2.3 (9 : 3)7 = 37 2.10 (11 × 4 : 2)5 = 225
2.4 (18 : 6)6 = 36 2.11 (0,2 × 0,7)5 = 0,145
2.5 (24 : 6 : 2)3 = 23 2.12 1
3
× 3= 14
2.6 (2 × 5 × 6)3 = 603 2.13 (0,25 : 0,5)3 = 0,53
2.7 (144 : 12 : 4)3 = 33 2.14 (1,5 : 0,5)7 = 37
2.15 (2 : 2)3 = 13
3.1 63 = 65 : 62
3.2 86 × 26 = 166
3.3 712 : 76 = 76 ou 496 : 76 = 76
3.4 287 : 77 = 47
3.5 1209 : 109 = 129
3.6 135 × 35 = 395
3.7 1117 : 1115 = 112
3.8 28 × 88 × 38 = 488
3.9 157 : 37 = 57
3.10 (103 : 23 ) × 53 = 253
3.11 5
3
4
: 1
3
4
= 5
3
× 3 
4
= 54
3.12 404 × 0,14 = 44
3.13 (0,6 : 0,2)3 = 33
3.14 1
7
×
14
1 
3
= 23
4.1 24 + 2 = 210 – 4 26 = 26 V
4.2 (12 : 2)5 × 62 = 65 × 62 = 65 + 2 = 67 F
4.3 23 + 5 – 2 26 26 26 F
4.4 (12 : 6)18 = 218 ≠ 236 F
4.5 (10 : 0,1)5 = (10 × 10)5 = 1005 V
4.6 2
3
×
3
5
9
= 2
5
9
= 0,49 V
5.1 Por exemplo, 1
2
4
× 164
5.2 Por exemplo, 9,65 : 35
Pág. 41
1. 35 × 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 310
2.1 35 × 2 = 310
2.2 24 × 3 = 212
2.3 25 × 7 = 235
2.4 x4 × 2 = x8
2.5 1,25 × 3 = 1,215
3.1 1
2
2

3
= 1
2
3 × 2
= 1
2
6
=
1
64
3.2 (105)2
= 1010 = 10 000 000 000
3.3 (13)5
= 115 = 1
4.1 O cubo do quadrado de sete.
4.2 O cubo da quarta potência de onze.
4.3 O quadrado do quadrado de dezassete décimas.
5.1 223
= 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
5.2 22 × 3 = 26 = 64
5.3 0,16 = 0,000 001
5.4 0,19 = 0,000 000 001
6.1 216 = 28 F
6.2 56 ≠ 56 F
6.3 a16 = a16 V
6.4 a10 ≠ a10 F
6.5 2
5
6
= (2 : 5)6 = 0,46 V
6.6 0,21 = 0,2 V
7.1 (23)
2
+ 44 : 42 = 23 × 2 + 44 – 2 = 26 + 42 = 64 + 16 = 80
7.2 (0,12)
2
+ 0,512 : 0,511 = 0,12 × 2 + 0,512 – 11 = 0,0001 + 0,5 = 0,5001
7.3 123
+
1
3
× 1
3
2
= 18 + 1
3
2 + 1
= 1 +
1
27
=
28
27
7.4 42 : 22 – ( 110)
3
= (4 : 2)2 – 110 × 3 = 22 – 1 = 3
7.5
423
× 42
(42)5
=
48 × 42
410
=
48 + 2
410
= 1
7.6 62 + 32 = 36 + 9 = 45
7.7 62 × 32 = (6 × 3)2 = 182 = 324
7.8 62 : 32 = (6 : 3)2 = 22 = 4
7.9 62 – 32 = 36 – 9 = 27
7.10 32 × 0,13 = 9 × 0,001 = 0,009
8. 1501 = 150 (130)
5
= 130 × 5 = 1150 = 1
150 1150
Pág. 43
1.1 2 + 33 : 32 = 2 + 33 – 2 = 5

13
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 1.2 52 – 1514 : 1513 = 25 – 1514 – 13 = 25 – 15 = 10
1.3 22 × 3 – 4 : 22 = 4 × 3 – 4 : 4 = 12 – 1 = 11
1.4 52 + 44 : 24 = 25 + (4 : 2)4 = 25 + 16 = 41
1.5 33 × 23 + 43 : 23 = (3 × 2)3 + (4 : 2)3 = 63 + 23 = 216 + 8 = 224
1.6 204 : 44 × 24 = (20 : 4)4 × 24 = (5 × 2)4 = 10 000
1.7 (2 + 3)5 × 25 = (5 × 2)5 = 100 000
1.8 (2 + 4 : 4)2 × 22 = (2 + 1)2 × 22 = (3 × 2)2 = 36
1.9 (5 – 2 × 1)13 : 313 = (5 – 2)13 : 313 = 313 : 313 = 1
1.10 64 × 65 : 68 + 18 = 65 + 4 : 68 + 18 = 69 – 8 + 1 = 7
1.11 22 – 134 : 133 + 1100 = 22 – 134 - 3 + 1 = 10
1.12 (1 + 2 + 3)3 : (3 × 2)2 = 63 : 62 = 63 – 2 = 6
2.1
5
4
2
– 5
4
2
+
5
4
×
1
5
=
25
4
–
25
16
+
5
20
=
100
16
–
25
16
+
1
4
=
=
75
16
+
4
16
=
79
16
2.2 3 × 1
3
3
+ (32 – 5) × ( 32 – 23) = 3 ×
1
27
+ (9 – 5) × (9 – 8) =
=
1
9
+ 4 × 1 =
1
9
+ 4 =
37
9
2.3 3
2
2
:
2
3
– 1,52 = 3
2
2
×
3
2
– 2,25 = 3
2
2 + 1
– 2,25 =
= 1,53 – 2,25 = 3,375 – 2,25 = 1,125 =
9
8
2.4 (0,12)
3
:  1
10
5
+ 0,3 × 23 =  1
10
6
:  1
10
5
+ 0,3 × 8 =
=  1
10
6 – 5
+ 2,4 = 0,1 + 2,4 = 2,5
2.5
0,29 : 0,27
3
5
+ 050 =
0,29 – 7
0,62
+ 0 = 0,22 : 0,62 + 0 = 2
6
2
=
1
9
2.6 1 –
1
2
3
× 23 + 1
2
3

2
= 1
2
3
× 23 + 1
2
6
= 13 +
1
64
=
65
64
2.7 0,12 × 200 + 125
= 0,01 × 200 + 132 = 3
2.8 7 × 1
7
2
:
1
7
+ (22)
2
= 7 ×
1
49
×
7
1
+ 24 = 1 + 16 = 17
2.9 0,511 : 1
2
10
+ 0,12 × 102 + 152
= 0,511 – 10 + 12 + 125 =
= 0,5 + 1 + 1 = 2,5
2.10 323
: 37 + (22)
3
× 0,1 = 38 : 37 + 26 × 0,1 = 3 + 6,4 = 9,4
3.1 3,5 +
5
2
2
– 5
2
2
= (3,5 + 2,5)2 – (2,5)2 = 36 – 6,25 = 29,75
29,75 m2
3.2 72 – (7 – 1,4)2 = 49 – (5,6)2 = 49 – 31,36 = 17,64
17,64 m2
4. Sr. Fonseca: 122 – (32)
2
= 144 – 81 = 63
Sr. Pereira: 3 + (22)
3
= 3 + 26 = 67
O sr. Pereira é mais velho, tem 67 anos.
1. 6 1 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 66 = 46 656
É o 6, porque todas as potências de base 6 e expoente natural
terminam em 6.
2.1 66 6672 = 4 444 488 889. Devido à regularidade que se observa
nas potências dadas.
2.2 33 3342 = 1 111 155 556. Devido à regularidade que se observa
nas potências dadas.
3.1 154 = (3 × 5)4 = 34 × 54
3.2 163 = (2 × 2 × 2 × 2 )3 = (24)
3
= 212
3.3 183 × 144 = (2 × 32)
3
× (2 × 7)4 =
= 23 × 36 × 24 × 74 =
= 23 × 24 × 36 × 74 = 27 × 36 × 74
4. Se A e B são equivalentes, têm áreas iguais.
AB =
4 ×
9
2
2
= 9 AB = 9 cm2
Logo, o quadrado também tem 9 cm2 de área.
Como AA = 9 cm2 , então lA = 3 cm , e o perímetro do quadrado é
4 × 3 = 12 , isto é, 12 cm.
5. lA = 1 cm
lB =
1
3
cm
lC =
1
3
×
1
3
=
1
9
, isto é, lC =
1
9
cm
AA + B + C = 1 × 1 +
1
3
×
1
3
+
1
9
×
1
9
= 1 +
1
9
+
1
81
=
81
81
+
9
81
+
1
81
=
91
81
AA + B + C =
91
81
m2
Tarefas finais (págs. 46 e 47)
1. Por exemplo, 5 × 53
2. Por exemplo, 109 : 106
3. Por exemplo, 73 × 1
3
3
4. Por exemplo, 45 : 85
5.1 a. A medida da área de uma face do cubo.
b. A medida da área total da superfície do cubo.
c. A medida do volume do cubo.
5.2 5
3
2
=
5
3
×
5
3
=
25
9
6 × 5
3
2
= 6 ×
25
9
=
150
9
=
=
50
3
5.3 5
3
3
=
53
33
=
125
27
6.1
7
2
+
7
2
+
7
2
= 3 ×
7
2
≠ 7
2
3
6.2
7
2
×
7
2
×
7
2
= 7
2
3
≠ 3 ×
7
2
6.3 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37 ≠ 3 × 7
6.4 1
2
3

2
= 1
2
6
≠ 1
2
9
6.5 0,2 × 32 = 0,2 × 9 = 1,8 ≠ 0,62
↑Prioridade
6.6 1
3
2
+ 1
3
3
=
1
9
+
1
27
=
3
27
+
1
27
=
4
27
= 1
3
5
7. 43 : 4 = 43 – 1 = 42 = 16
23 × 21 = 23 + 1 = 24 = 16
82 : 22 = (8 : 2)2 = 42 = 16
8. 1,32 – 1
2
3
= 1,69 – 0,125 = 1,565
9.1 (23)
2
× 1
2
5
=
= 26 × 1
2
5
=
= 64 ×
1
32
= 2
Produto do quadrado do cubo de dois
pela quinta potência de um meio.

14
9.2

1
2
3

3
=
= 3
2
3
=
27
8
10.1
4
3
×
1
22
+
1
3
× 32 =
4
3
×
1
4
+
1
3
× 9 =
=
1
3
+ 3 =
10
3
10.2 5
6
–
7
12– 1
3
2
×
3
4
=
3
12
–
1
9
×
3
4
=
3
12
–
1
12
=
1
6
10.3 3
8
14
: 1
2
–
1
8
13
+
2
3
×
1
8
= 3
8
14
: 3
8
13
+
1
12
=
3
8
+
1
12
=
44
96
=
11
24
10.4 1100 + 0,813 : 4
5
12
+ 0,2 = 1 + 0,813 – 12 + 0,2 = 2
10.5
1
2
× (2 + 1)2 + 07 =
1
2
× 9 = 4,5
10.6
22
5
+ 2
5
2

3
: 2
5
5
=
4
5
+ 2
5
6 – 5
=
6
5
= 1
1
5
Investiga
131 = 13
132 = 169
133 = 2 197
134 = 28 561
135 = 371 293
136 = 4 826 809
137 = 62 748 517
138 = 815 730 721
As potências de base 13 e expoente ímpar terminam em 3 ou em 7.
Assim sendo, 1313 vai terminar em 3.
Ficha formativa (págs. 51 a 53)
1. 5
3
4
× 5
3
2
= 5
3
4 + 2
= 5
3
6
C
2. 0,95 : 0,92 = 0,95 – 2 = 0,93 = 0,92 × 0,9 C
3. 2
3
5
× 35 = 2
3
× 3
5
= 25 = 65 : 35 = (6 : 3)5 B
4. 102 : 22 +
1
2
× (22)
2
= 52 +
1
2
× 24 = 25 + 8 = 33 D
5. 2
4
7
– 213 : 212 =
18
7
– 213 – 12 =
4
7
=
2
7
2
A
6. 33 – 32 = 27 – 9 = 18 = 2 × 32 = 2 × 9 D
7. ? + 10 = 102 ? = 90 = 32 × 10 B
8. (45)
2
= 410 = (22)
10
D
9.1 2 × 5
2
2
= 2 ×
25
4
=
25
2
9.2 3 × 1
3
3
= 3 ×
1
27
=
1
9
9.3 (0,13)
2
=  1
10
3 × 2
=  1
10
6
=
1
1 000 000
= 0,000 001
9.4 (3 + 22)
3
= (3 + 4)3 = 73 = 343
10.1 2
3
2
× 2
3
3
= 2
3
2 + 3
= 2
3
5
10.2 1
4
12
: 1
4
10
= 1
4
12 – 10
= 1
4
2
= 1
2
4
10.3 1
2
3
× 23 = 1
2
× 2
3
= 13
10.4 2,22 : 22 = (2,2 : 2)2 = 1,12
11. P = 8 × 4 = 23 × 22 = 25 P = 25 m
A = 8 × 8 = 23 × 23 = 26 A = 26 m2
A
2
=
26
2
= 26 – 1 = 25
A
2
= 25 m2
3 × A = 3 × 26 3 × A = 3 × 26 m2
A afirmação verdadeira é a C porque (23 × 23 : 2) = 26 : 2 = 26 – 1 = 25 .
12. Por exemplo, 5
3
11
× 5
3
2
13. Por exemplo, (22)
3
14.1 7m × 7n = 7 × 7 × … × 7 × 7 × 7 × … × 7 =
m vezes n vezes
= 7 × … × 7 = 7m + n
m + n vezes
14.2 (7n)
m
= 7n × 7n × … × 7n = (7 × … × 7) × … × (7× … × 7)
m vezes n vezes n vezes
Logo, m × n fatores iguais a 7, isto é, 7n × m .
15. 123 = (22 × 3)3 = 26 × 33
152 = (3 × 5)2 = 32 × 52 m.d.c. (123, 152) = 32 = 9
a vezes a – b vezes
16.
7,9a
7,9b
=
7,9 × 7,9 × … × 7,9 × 7,9
7,9 × … × 7,9
=
7,9 × 7,9 × … × 7,9
1
=
b vezes
= 7,9a – b
17. 3 × 42 – 3
4
3
: 3
2
3
– 7 × 0,53 = 3 × 16 – 3
4
×
2
3
3
– 7 ×
1
8
=
= 48 –
1
8
–
7
8
= 47
123
+ 5
1
2
–
1
2
2
– 1,43 : 1,42 × 10 = 18 + 25 – 1,43 – 2 × 10 =
= 26 – 14 = 12
O professor tem 47 anos e o aluno tem 12 anos.
18. A: 0,514 : 0,513 + 22 : 22 =
3
2
0,514 – 13 + 1 = 0,5 + 1 = 1,5 =
3
2
V
B:  1
0,5
3
= 23 = 8 F, porque 8 ≠
1
8
.




O cubo do inverso de dois terços.



15
MATemática6–Resoluçõesdomanual– CAPÍTULO 3
1.1 81 : 3 = 27 Divisãocomooperaçãoinversadamultiplicação.
1.2 83 – 55 = 28 Subtração como operação inversa da adição.
1.3 12 + 21 = 33 aditivo = subtrativo + resto
1.4 2 × 43 = 86 dividendo = divisor × quociente
1.5 10 : 2,5 = 4 Divisãocomooperaçãoinversadamultiplicação.
1.6 5,9 – 3,5 = 2,4 Subtração como operação inversa da adição.
1.7 0,01 × 15 = 0,15 dividendo = divisor × quociente
1.8 2 : 0,01 = 200 Divisãocomooperaçãoinversadamultiplicação.
1.9 1,5 : 0,75 = 2 Divisãocomooperaçãoinversadamultiplicação.
2.1
3
2
× 24 =
72
2
= 36
2.2
1
3
+
2
10
=
16
10
=
8
15
2.3
1
5
×
2
3
=
2
15
2.4
2
3
×
1
2
=
1
3
2.5
1
2
× 4 = 2
2.6 1,25 – 0,3 = 0,95
2.7 0,05 × 20 = 1
2.8 0,25 × 2,8 = 0,7
2.9 0,5 × 22,4 = 11,2
3.1 2 × 1,2 = 2,4
3.2 2 × 1,22 = 2 × 1,44 = 2,88
3.3 1,2 + 3 × 1,22 = 1,2 + 3 × 1,44 = 1,2 + 4,32 = 5,52
3.4 1,2 : 4 = 0,3
3.5 1,2 : 0,1 = 12
3.6 1,22 – 1,2 = 1,44 – 1,2 = 0,24
4.1
3
5
ou 3 : 5
4.2
5
8
ou 5 : 8
4.3 A razão entre o número de moedas de 1 euro e o total de
moedas que o Alexandre tirou do saco.
5.1 0,5 × 3,80 = 1,90 1,90 €
5.2 3,5 × 3,80 = 13,30 13,30 €
6. Sim, porque 50% de 320 são 160, logo 58% de 320 não pode ser
inferior a 160.
7. 5, 10, 15, 20,… múltiplos naturais de 5; os termos de ordem par
terminam em zero, logo é o zero.
8. Esferas: 7 × 4 = 28 28 kg
Como a balança está em equilíbrio:
3 × a + 4 = 28 a – massa do cubo
3 × a = 28 – 4 Subtração como operação inversa da
adição.
3 × a = 24
a = 24 : 3 Divisão como operação inversa da
multiplicação.
a = 8
A massa do cubo é 8 kg.
Pág. 59
1.1 Cada linha de cada figura aumenta 1 bola.
1.2 3 bolas.
1.3 1, 3, 6, 10, 15
1.4 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
↑
ordem 7
2.1 Cada termo é um múltiplo natural de 11, ou, em alternativa,
adiciona-se 11 ao termo imediatamente anterior.
2.2 55; 77
2.3 Não, porque 68 não é múltiplo natural de 11.
2.4 Ordem 8.
3. 2, 5, 7, 12, 19, 31
4.1 2018, 2022, 2026, 2030 e 2034
4.2 Não, porque se adicionarmos a 2010 múltiplos naturais de 4
não obteremos 2044.
5.1 1, 3, 9, 27, 81, … O 1.o termo é 1 e cada termo seguinte obtém-se
multiplicando o termo anterior por 3.
5.2 0,1, 1, 10, 100, 1000, 10 000, … O 1.o termo é 0,1 e cada termo
seguinte obtém-se multiplicando
o termo anterior por 10.
5.3 17, 15, 25, 23, 33, 31, … O 1.o termo é 17 e subtrai-se 2 e adiciona-se
10, alternadamente, ao termo anterior.
5.4
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
,… O1.o termo é
1
2
e cada termo seguinte obtém-se
adicionando 1 ao numerador e 1 ao denominador.
Pág. 61
1.1
Ordem
Termo
(medida do perímetro)
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
É 15.
1.2 3 × n . É a opção B.
1.3 Não, porque os termos da sequência são os múltiplos naturais
de 3 e 100 não é múltiplo natural de 3.
1.4 Múltiplos naturais de 3.
2.
42 52
Quadrados de números naturais; n2 .




Matemática 6º ano
TEEE112C06MA00101
dt262
1prova · 10 Novembro 2010
Luis Almeida
Matemática 6º ano
TEEE112C06MA00101
dt267
1prova · 10 Novembro 2010
Luis Almeida

16
3.
Cristina: Bruno:
n
1
2
3
4
5
2n + 1
3
5
7
9
11
n
1
2
3
4
5
6
n2 + 2
12 + 2 = 3
22 + 2 = 4 + 2 = 6
32 + 2 = 9 + 2 = 11
42 + 2 = 16 + 2 = 18
52 + 2 = 25 + 2 = 27
62 + 2 = 36 + 2 = 38
4.1 4.2
1 + 2n2
1 + 2 × 12 = 1 + 2 = 3
1 + 2 × 22 = 1 + 23 = 9
1 + 2 × 32 = 1 + 2 × 9 = 19
1 + 2 × 42 = 1 + 2 × 16 = 33
1 + 2 × 52 = 1 + 2 × 25 = 51
n
1
2
3
4
5
4.3
Pág. 63
1.1
6
5
ou 6 : 5
1.2
6
3
ou 6 : 3 ou 2 : 1
1.3
6
14
ou 6 : 14 ou 3 : 7
2.1
12
42
ou 2 : 7
2.2
10
40
ou 1 : 4
3.1 4,5%
3.2 8 : 50 = 16 : 100 é 16%
3.3 18 : 200 = 9 : 100 é 9%
4.1
27
30
=
9
10
4.2 2,5 : 3,5 =
5
7
ou 5 : 7
4.3 1,2 : 4,4 =
12
44
=
3
11
ou 3 : 11
5.
36
72 000
=
1
2000
: 36
: 36
60
150 000
=
1
2500
Embora a cidade B tenha mais táxis do que a cidade A, está mais
mal servida de táxis, porque na cidade A há 1 táxi por cada
2000 habitantes, enquanto na cidade B há um táxi por cada
2500 habitantes.
6.1 PA = 4 × 2 , isto é, 8 cm
PB = 5 × 4 , isto é, 20 cm
PA
PB
=
8
20
=
2
5
ou 2 : 5
6.2 AA = 2 × 2 = 4 ; 4 cm2
AB = 5 × 5 = 25 ; 25 cm2
AA
AB
=
4
25
ou 4 : 25
Pág. 65
1.1
2
1
=
4
2
Meios: 1 e 4
Extremos: 2 e 2
1.2 Dois está para um, assim como quatro está para dois.
2.1
13
100
=
39
300
ou 13 : 100 = 39 : 300
2.2
0,5
3
=
5
30
ou 0,5 : 3 = 5 : 30
3.1 0,5 e 12 → extremos 7 e 24 → extremos
4 e 1,5 → meios 8 e 21 → meios
3.2 Antecedentes: 0,5 e 1,5; e 7 e 21.
Consequentes: 4 e 12; e 8 e 24.
4.
400
600
=
500
750
equivalente a
4
6
=
50
75
Equivalente a
2
3
=
10
15
e a
2
3
=
2
3
Sim.
5.1 A manteiga de 125 g a 0,48 €, pois 250 g custariam 0,96 €,
menos do que 1,05 €.
O cesto com 5 kg, pois o quilograma custa 0,64 € e, no saco, o
quilograma custa 0,90 €.
5.2 Por exemplo: receitas de cozinha, misturas de tintas e estudos
estatísticos.
6.
6
4
≠
8
6
pois
3
2
≠
4
3
Não.
Pág. 67
1.1 Por exemplo,
2
3
=
32
48
porque 2 × 48 = 3 × 32
1.2 Por exemplo,
32
2
=
48
3
1.3 Por exemplo,
2
32
=
3
48
2.1 Por exemplo,
0,25
2
=
0,5
4
2.2 Por exemplo,
1
5
0,1
=
1
1
2
½
3.1 8 × 15 = 6 × 20 V
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
3.2 0,5 × 2,5 = 1 × 1,25 V
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
3.3 Falsa, porque 12 × 8 ≠ 3 × 30
3.4 Falsa, porque
5
2
× 7 ≠ 1,4 × 5
4.1 ? =
5 × 3
6
? =
5
2
4.2 ? =
2 × 72
4
? = 36
4.3 ? =
3 × 8
12
? = 2
2 +
4
n
2 + 4 = 6
2 +
4
2
= 4
2 +
4
3
=
10
3
2 +
4
4
= 3
2 +
4
5
=
14
5
n
1
2
3
4
5
1
2
+ 5n
1
2
+ 5 = 5,5
1
2
+ 10 = 10,5
1
2
+ 15 = 15,5
1
2
+ 20 = 20,5
1
2
+ 25 = 25,5
n
1
2
3
4
5

17
4.4 ? =
4 × 10
2,5
? = 16
4.5 ? =
8 × 13
2,6
? = 40
4.6 ? =
20 × 120
150
? = 16
4.7 ? =
12 × 12
8
? = 18
5.
180
600
=
?
100
? =
180 × 100
600
? = 30
30% dos clientes compraram produtos biológicos.
6.
120
40
=
90
?
? =
40 × 90
120
? = 30
A mesa deve ter 30 cm de largura.
Pág. 69
1.1 Sim;
1,6
2
=
2,4
3
=
4
5
=
8
10
= 0,8
O quociente do preço, em euros, pelo correspondente número
de palmiers é constante.
A constante de proporcionalidade é 0,8, e representa o preço,
em euros, de 1 palmier.
1.2 Não, porque
2,4
2
=
3,6
3
≠
4
4
O quociente entre o preço, em euros, e o correspondente
número de esferográficas não é constante.
2.
8
100
=
20
250
≠
30
400
≠
42
1000
O quociente entre o preço do puzzle, em euros, e o
correspondente número de peças não é sempre constante.
3.1
N.o de embalagens 1 3 4 5
Preço (euros) 1,10 3,30 4,40 6,60
1,10
1
=
3,30
3
=
4,40
4
=
6,60
6
= 1,10
3.2
N.o de embalagens 1 3 4 6
Preço (euros) 1,50 3 4,5 6
Não, porque
1,00
1
≠
3
3
≠
4,50
4
≠
6
6
O quociente entre o preço, em euros, e o correspondente número
de embalagens não é constante.
Pág. 71
1.1 Por exemplo: 1 cm no mapa representa 5 m na realidade.
1.2 Por exemplo: 2 cm na imagem correspondem a 1 cm na
realidade; o apara-lápis foi ampliado para o dobro.
2.1 A imagem têm 3 cm por 5 cm.
Comprimento real (cm) 125 75 25
Comprimento da imagem (cm) 5 3 1
2.2
5
125
=
3
75
=
1
25
A escala é a razão entre a medida do
comprimento do objeto representado e a
respetiva medida do comprimento real.
A escala é
1
25
.
Sim, dadas duas grandezas, A e B , diz-se que B é diretamente
proporcional a A quando é constante o quociente dos valores
de B pelos valores correspondentes de A ; a constante de
proporcionalidade é 1 : 25 .
3. 1 cm 50 km
x 75 km
1 cm 50 km
5 cm x
1 cm 50 km
x 325 km
Distância real (km) 50 75 250 325
Distância no mapa (cm) 1 1,5 5 6,5
4. 130% de 2,5 cm corresponde a 1,3 × 2,5 = 3,25 .
Ou seja, 3,25 cm é o comprimento do lado do quadrado ampliado.
O perímetro deste novo quadrado é 3,25 × 4 = 13 , isto é, 13 cm.
5.1 40% de 25 = 0,4 × 25 = 10 10 €
40% de 50 = 0,4 × 50 = 20 20 €
40% de 100 = 0,4 × 100 = 40 40 €
40% de 175 = 0,4 × 175 = 70 70 €
25 – 10 = 15
50 – 20 = 30
100 – 40 = 60
175 – 70 = 105
5.2
10
25
=
20
50
=
40
100
=
70
175
= 0,4 = 40%
Sim, é constante o quociente dos valores do desconto pelos
valores correspondentes do preço inicial. E:
15
25
=
30
50
=
60
100
=
105
175
= 0,6 = 60%
Sim, é constante o quociente dos valores do preço em saldo
pelos valores correspondentes do preço inicial.
1. 80 cópias 2 minutos
600 cópias a
a =
600 × 2
80
a = 15 minutos
2. A.
30
5
=
?
10
? =
30 × 10
5
? = 60
30
5
=
120
?
? =
5 × 120
30
? = 20
Distância (m) 30 60 120
Tempo (s) 5 10 20
B.
9,8
36,26
=
7
?
? =
7 × 36,26
9,8
? = 25,9
9,8
36,26
=
2
?
? =
36,26 × 2
9,8
? = 7,4
Massa (kg) 2 7 9,8
Custo (euros) 7,4 25,9 36,26
3.
8
5
=
80
?
? =
5 × 80
8
A mãe «pesa» 50 kg.
x =
75 × 1
50
= 1,5 1,5 cm
x =
5 × 50
1
= 250 250 km
x =
325 × 1
50
= 6,5 6,5 cm
Preço inicial (€) 25 50 100 175
Desconto (€) 10 20 40 70
Preço em saldo (€) 15 30 60 105
× 3 × 4 × 6

18
4. 2 ovos 50 g (farinha) a =
2 × 175
50
a 175 g a = 7 ovos
2 ovos 5 cl (leite) b =
7 × 5
2
7 ovos b b = 17,5 cl de leite
2 ovos 2 colheres de sopa (manteiga) c =
7 × 12
2
7 ovos c c = 7 colheres de sopa
de manteiga
2 ovos 1 colher de chá (açúcar) d =
7 × 1
2
= 3,5
7 ovos d d = 3,5 colheres de chá
de açúcar
5.1
Quantidade (litros) 18 36 12 30
Preço (euros) 28,08 56,16 18,72 46,8
5.2
28,08
18
=
56,16
36
=
18,72
12
=
46,8
30
= 1,56
O quociente dos valores do preço, em euros, pelos
correspondentes valores da quantidade de litros de gasolina é
constante. 1,56 é a constante e representa o preço, em euros,
de 1 litro de gasolina.
Tarefas finais (págs. 74 a 79)
1. 1,68 – 0,08 = 1,60
1,60 – 0,08 = 1,52 1,68; 1,60; 1,52; 1,44; 1,36; 1,28
1,52 – 0,08 = 1,44
1,44 – 0,08 = 1,36
1,36 – 0,08 = 1,28
2.1 1, 8, 27, 64,… são os cubos dos números naturais.
13, 23, 33, 43, 53, 63, 73
Portanto: 125, 216, 343
2.2
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
O numerador é sempre 1.
O denominador são as potências de base 2 e expoente natural.
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
Logo:
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
1
64
,
1
128
2.3 100, 10, 1
O primeiro termo é 100 e cada termo seguinte obtém-se
dividindo o termo anterior por 10 (ou multiplicando por
1
10
).
Logo: 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001,…
3. É 6n – 1 porque:
n = 1 6 × 1 – 1 = 5
n = 2 6 × 2 – 1 = 11
n = 3 6 × 3 – 1 = 17
n = 4 6 × 4 – 1 = 23
4. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
6,25 12,5 25 50 100 200
5. n + 1
1
2
= n +
3
2
n = 1 1 +
3
2
=
2
2
+
3
2
=
5
2
= 2,5
n = 2 2 + 1,5 = 3,5
n = 3 3 + 1,5 = 4,5
2,5; 3,5; 4,5 ou
5
2
,
7
2
,
9
2
n × 0,4
n = 1 1 × 0,4 = 0,4
n = 2 2 × 0,4 = 0,8
n = 3 3 × 0,4 = 1,2
0,4; 0,8; 1,2
2n –
1
2
= 2n – 0,5
n = 1 2 × 1 – 0,5 = 1,5
n = 2 2 × 2 – 0,5 = 4 – 0,5 = 3,5
n = 3 2 × 3 – 0,5 = 6 – 0,5 = 5,5
1,5; 3,5; 5,5
6.
2
7
1
7
1
14
1
28
Porque:
2
7
: 2 =
2
7
×
1
2
=
1
7
1
7
: 2 =
1
7
×
1
2
=
1
14
2
7
,
1
7
,
1
14
,
1
28
1
14
: 2 =
1
14
×
1
2
=
1
28
7.1 4, 7, 10,…
A expressão geradora desta sequência é 3 × n + 1 .
Para n = 40 vem 3 × 40 + 1 = 121
São necessários 121 fósforos.
7.2 3 × n + 1 = 100
Para determinarmos a parcela 3 × n , desconhecida,
recorremos à subtração como operação inversa da adição:
3 × n = 99
Para determinarmos o fator n , desconhecido, recorremos
à divisão como operação inversa da multiplicação: n = 99 : 3
n = 33 Formamos, assim, 33 quadrados.
8. 2, 5, 8, 11, 14,… Múltiplos naturais de 3, consecutivos, menos 1.
3 × n – 1 ou 3n – 1
Para n = 10 vem 3 × 10 – 1 = 29
6, 11, 16, 21,… Múltiplos naturais de 5, consecutivos, mais 1.
5 × n + 1 ou 5n + 1
Para n = 10 vem 5 × 10 + 1 = 51
9.1 O número de punaises é sempre mais um do que o número de
folhas, logo para 20 folhas são necessários 21 punaises.
9.2 n + 1
10. 3 9 15 21 27 33
11. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
Porque:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
× 2
× 2
×
1
3
×
1
3
× 2,5
× 2,5
: 2 : 2 : 2 × 2 × 2
: 2 : 2 : 2
+ 6 + 6 + 6 + 6 + 6

19
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 12. Zé: 3 6 9 12 15 18 …
Múltiplos naturais de 3.
Rui: 3 6 9 15 24 39 …
Cada termo depois do segundo é a soma dos dois termos
imediatamente anteriores.
Sim, por exemplo, 3, 6, 9, 18, 33, 60,…
Cada termo depois do terceiro é a soma dos três termos
imediatamente anteriores.
13. 19, 38, 57, 76,…
Múltiplos naturais de 19; 19 × n ou 19n
3, 5, 7, 9,…
Números ímpares consecutivos maiores do que 1; 2 × n + 1 ou
2n + 1
14. 1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111
1234 × 9 + 5 = 11 111
Conjetura:
12 345 × 9 + 6 = 111 111
123 456 × 9 + 7 = 1 111 111
15. 1,5 colheres de chá 12 kg
x 8 kg
x =
1,5 × 8
12
x = 1 colher de chá
Deve tomar 1 colher de chá.
16. Os divisores de 4 são 1, 2 e 4.
Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
A razão é um quociente, logo
3
6
, isto é,
1
2
ou 1 : 2 .
17.1 Supermercado A:
3
6
=
6
12
=
9
18
=
15
30
=
1
2
O quociente entre os valores do preço e os correspondentes
números de lápis é constante, logo há proporcionalidade
direta.
Supermercado B:
4,5
6
=
9
12
=
18
24
≠
22,5
36
O quociente não é constante, logo não há proporcionalidade
direta.
17.2 A constante é
1
2
e representa o preço de um lápis;
50 cêntimos, isto é, 0,50 euros.
18. 5 horas e 30 minutos = 5 × 60 + 30 = 330 minutos
1350 km 330 minutos
2790 km ?
? =
2790 × 330
1350
? = 682 minutos
1 hora 60 minutos
? 682 minutos ? =
682
60
≈ 11,37 horas
11,37 h = 11 h + 0,37 h
0,37 × 60 = 22,2 minutos
Aproximadamente, 11 horas e 22 minutos.
19. 100 g (cereais) 14 g (proteínas)
40 g (cereais) ?
? =
40 × 14
100
= 5,6
100 g (cereais) 27 g (fibras)
40 g (cereais) ?
? =
40 × 27
100
= 10,8
Ingeres 5,6 g de proteínas e 10,8 g de fibras.
20.1
30
20
=
75
50
=
120
80
= 1,5 O quociente é constante.
A constante de proporcionalidade é 1,5 e representa o preço,
em euros, de cada DVD.
20.2 10 × 1,5 = 15
O preço de cada DVD é de 15 €.
21. 1,50 + 4 + 2 = 7,50 12 × 5 = 60
7,50 € 60 castanhas
1,50 € ?
? =
1,50 × 60
7,5
= 12
O amigo que contribuiu com 1,50 €, comeu 12 castanhas.
4 € ?
? =
4 × 60
7,5
= 32
O amigo que contribuiu com 4 €, comeu 32 castanhas.
2 € ?
? =
2 × 60
7,5
= 16
O amigo que contribuiu com 2 €, comeu 16 castanhas.
22. Loja A: 650 × 0,21 = 136,5
O computador custa 136,5 + 650, isto é, 786,50 €.
Loja B: 30% de 1050 = 0,3 × 1050 = 315
Desconto de 315 €:
1050 – 315 = 735
O computador custa 735 €.
Loja C: 50% de 1444 = 0,5 × 1444 = 722
Desconto de 722 €:
1444 – 722 = 722
O computador custa 722 €.
Comprar o computador na loja C é a proposta mais vantajosa,
pois é a mais barata.
23. No desenho, a sala tem 5 cm por 3 cm e está desenhada à
escala 1 : 150 .
1
150
=
5
?
? = 750 Isto é, 7,5 m.
1
150
=
3
?
? = 3 × 150 = 450 Isto é, 4,5 m.
A área da sala é 4,5 × 7,5 , isto é, 33,75 m2.
24. 12 m = 1200 cm
Escala =
medida no desenho
medida real
=
6
1200
=
1
200
25.
1
12
=
1,5
?
? = 18
A medida real do lápis é 18 cm, logo, num desenho à escala 1 : 5,
deverá ter:
1
5
=
?
18
? =
18 × 1
5
= 3,6 Isto é, 3,6 cm.
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3
+
+

20
26.
1
2 500 000
=
?
26 000 000
? =
26 000 000
2 500 000
= 10,4
A distância no mapa entre as duas cidades é 10,4 cm.
27.1 Se há proporcionalidade direta entre a quantidade de açúcar
e o seu preço, então:
2
2,40
=
0,25
?
? = 0,30
2
2,40
=
5,50
?
? = 6,60
Açúcar (kg) 2 0,25 5,50
Preço (€) 2,40 0,30 6,60
27.2
2,40
2
=
0,30
0,25
=
6,60
5,50
= 1,20
A constante é 1,20, e significa o preço, em euros, de 1 kg de
açúcar.
Investiga
1. A razão é um quociente, logo:
• o cubo da figura tem 5 cm de aresta, uma face do cubo tem de
área 5 × 5 = 25 cm2 e as seis faces têm de área 25 × 6 = 150 cm2;
• o novo cubo tem de aresta 5 + 50% × 5 = 5 + 2,5 = 7,5 cm ,
uma face tem de área 7,5 × 7,5 = 56,25 cm2 e as seis faces têm
de área 337,5 cm2.
Assim sendo, a razão é
337,5
150
ou, simplificando,
9
4
.
2. Sim, a razão mantém-se para qualquer aresta do cubo nas
condições do problema.
Jogo 1 – Números cruzados
Horizontais:
1. ? =
6 × 408
2
= 1224
2. 10% × 500 = 50 ; 20% × 700 = 140
3. ? =
100 × 65
2
= 3250
4. (32 – 0,5 × 6 + 2) : 0,01 = ( 9 – 3 + 2) × 100 = 8 × 100 = 800
6. 25% × 56 680 =
1
4
× 56 680 = 14 170
56 680 – 14 170 = 42 510
Verticais:
A. 10% × 5380 = 538 ;
Como o perímetro de um quadrado é P = 4 × l , o perímetro e o
lado do quadrado são grandezas diretamente proporcionais,
e 4 é a constante de proporcionalidade.
P = 4 × l P : l = 4
B. 25% × 4080 = 1020 ; 200% × 1 = 2
C. 1% × 200 = 2 ; 80% = 0,8
D. 30 × 7 = 210 ; 92 = 81
E.
1
50
=
?
2200
? =
1 × 2200
50
= 44 ;
10% × 3800 = 380
F. 0; 5% × 300 = 15
A B C D E F
1 1 2 2 4
2 5 0 1 4 0
3 3 2 5 0
4 8 0 0 3 1
5 5 8 8 5
6 4 2 5 1 0
Ficha formativa (págs. 85 a 87)
1. 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 A
↑
nono
termo
↑
décimo
termo
1 + 3 = 4
3 + 4 = 7
4 + 7 = 11
7 + 11 = 18
11 + 18 = 29
18 + 29 = 47
29 + 47 = 76
47 + 76 = 123
2.
3
5
×
1
3
=
1
5

3
5
,
1
5
,
1
15
,
1
45
↑
1
5
×
1
3
=
1
15
C
1
15
×
1
3
=
1
45
3. 1 + 5n2 n = 2 vem 1 + 5 × 22 = 1 + 5 × 4 = 21 C
4. 19 + 5 = 24 24
48
=
1
2
= 1 : 2 B
43 + 5 = 48
5.
0,5
2
=
1
4
0,5 × 4 = 2 × 1 2 = 2 Verdadeiro B
6. 5 m 12,50 €
24 cm ? ? =
24 × 12,50
5
= 60 B
7. 2, 6, 12, 20, 30 C
8.1 16; 128
8.2 2n
8.3 Não, porque as potências de base 2 é expoente natural são
números pares.
9.1 3 chocolates 3,60 €
1 chocolate ? ? =
1 × 3,60
3
1 chocolate custa 1,20 €.
N.o de chocolates 1 3 4 5 7
Preço (euros) 1,20 3,60 4,80 6,00 8,40
9.2
N.o de chocolates 1 3 4 6
Preço (euros) 1,50 3,00 4,50 6,00
1,5
1
≠
3
3
≠
4,5
4
≠
6
6
Não é constante o quociente entre o preço e o número de
chocolates; não há proporcionalidade direta.
0,8 4044
1 ?
? =
1 × 4044
0,8
= 5055
4.o termo

21
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 10. 9 cadeiras 135 €
12 cadeiras ? ? =
12 × 135
9
= 180
Custam 180 €.
9 cadeiras 135 €
18 cadeiras ? ? =
18 × 135
9
= 270
18 cadeiras custam 270 €, logo com 225 € não compro
18 cadeiras.
11.1 Usando a régua:
c = 3,5 cm
l = 2,5 cm
1
1000
=
2,5
?
? = 2 500 cm
? = 25 m
1
1000
=
3,5
?
? = 3 500 cm
? = 35 m
Na realidade, o terreno tem 35 m de comprimento por 25 m de
largura.
11.2 A = c × l A = 35 × 25 A = 875 m2
40% × 875 = 350
875 – 350 = 525
Ou 60% × 875 = 525
A casa ocupa 525 m2.
11.3 20% × 60 000 = 12 000
60 000 – 12 000 = 48 000
Faltam pagar 48 000 €.
12.1
2 + 15
35
=
20
7
a

17
35
=
20
7
a
a =
35 ×
20
7
17
a =
700
7
17
a =
100
17
12.2
14
3
4
5
=
a
18
14
a =
14
3
×
18
14
4
5
a =
18
3
4
5
a =
6
4
5
a =
30
4
a = 7,5
13.
2
5
18 minutos ? =
5
9
× 18
2
5
=
10
2
5
= 25
5
9
?
Enche em 25 minutos.
14. a = 2 V = 23 = 8
a = 0,5 V = 0,53 = 0,125
a = 10 V = 103 = 1000
Aresta (cm) 2 0,5 10
Volume (cm3) 8 0,125 1000
8
2
≠
0,125
0,5
≠
1000
10
Não é constante o quociente entre os valores do volume e os
respetivos valores da aresta, logo não há proporcionalidade
direta.
15.1 2700
3300
+ 1500
7500
3300
7500
=
?
100
? =
3300 × 100
7500
? = 44%
O vencedor obteve 44% dos votos.
15.2
5
10
≠
1500
3300
5
10
≠
5
11
Não.
16. 12 kg 26,16 € ? =
23 × 26,16
12
= 50,14
23 ?
Pagou 50,14 €.
17.1 Sim, porque P = 3 × l , logo
P
l
= 3 , sendo 3 a constante de
proporcionalidade.
17.2 Não, porque A = l2 .

22
CAPÍTULO 4
1.1 Por exemplo, [OB] .
Outras soluções possíveis: [OA] , [OC] , [OD] e [OF] .
1.2 Por exemplo, [AD] .
Outra solução: [FC] .
1.3 Por exemplo, B .
Outras soluções: A , F , E , D e C .
1.4 G
1.5 O
2.1 A , D , E , F , H e I (porção de plano limitada por uma linha
poligonal fechada)
2.2 D e F (têm quatro lados)
2.3 I e H (têm um ângulo reto)
2.4 A e E (têm seis lados)
3.
Número de lados Nome do polígono
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
3.1 Um polígono é regular quando tem todos os lados com
o mesmo comprimento e todos os ângulos com
a mesma amplitude.
3.2
Mat. 6 – Metas – Volume 1
DT4_Mat6_015a — 1.ª prova
31 - 10 - 2013
RCoelho
QuadradoTriângulo equilátero
DT4_Mat6_015a — 1.ª prova
31 - 10 - 2013
RCoelho
4.1 Os ângulos ECD e ACB são ângulos verticalmente opostos,
e os ângulos verticalmente opostos são iguais.
Então, os ângulos ECD e ACB são iguais; têm a mesma
amplitude.
4.2 Os dois triângulos são iguais porque:
• o ângulo ECD é igual ao ângulo ACB , pois são
verticalmente opostos;
• EC
—
= CA
—
e DC
—
= BC
—
, porque são raios da circunferência.
Dois triângulos são iguais se tiverem, de um para o outro, dois
lados iguais e o ângulo por eles formado também igual
– critério LAL.
4.3 Os triângulos [ABC] e [DEC] são iguais, e, em triângulos
iguais, a ângulos iguais opoêm-se lados iguais.
Então, se o ângulo ECD é igual ao ângulo ACB , os lados
opostos a esses ângulos, respetivamente os lados [ED] e [AB] ,
são iguais, donde AB
—
= DE
—
.
4.4 A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a porção
de plano limitada por uma circunferência, incluindo essa
circunferência.
5. Usando régua e compasso, desenha-se um triângulo de que se
conheçam os três lados. O triângulo é isósceles, pois tem dois
lados iguais.
AC
—
= 3 cm (7 – 3) : 2 = 2 logo AB
—
= BC
—
= 2 cm
B
A C
DT4_Mat6_015 — 2.ª prova
10 - 02 - 2014
RCoelho
Usando material de desenho, traça-se a altura, sabendo que a
altura referente a um lado é o segmento de reta traçado,
na perpendicular, do vértice oposto para esse lado ou para
o seu prolongamento.
No exercício, o vértice oposto ao lado [BC] é A e, como se pode
observar, é necessário prolongar o lado [BC] para traçar a
altura pedida.
6. 1 cm
1 cm
10 - 02 - 2014
RCoelho
7.1 Para esta construção, devemos colocar a régua e o esquadro,
como se indica.
P
I
1,5cm
r
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_1
30 set 2014
Paulo Amorim
Traçamos a reta perpendicular a r que passa por um ponto
de r , por exemplo, I , e assinala-se nessa reta o ponto P que
dista 1,5 cm da reta r (PI
—
= 1,5 cm).
A distância do ponto P a r é 1,5 cm.
7.2 Devemos usar régua e esquadro e colocá-los, por exemplo,
como se pode observar na figura.
a
b
B
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_2
30 set 2014
Paulo Amorim
• Traçamos a reta a .
• Colocamos a régua e o esquadro como se ilustra na figura.
• Deslizamos o esquadro, ao longo da régua, e por B , que dista
1 cm da reta a , traçamos a reta b — a // b .
Justificação: a distância entre duas retas paralelas
é a distância de um qualquer ponto de uma delas à outra.
7.3 Usamos um esquadro e traçamos dois segmentos de reta
perpendiculares.
Usando régua graduada, ou compasso, fazemos com que
AB
—
= BC
—
.
01234567891011121314151617181920
CB
A
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01

23
MATemática6–Resoluçõesdomanual– 8.1 A soma das amplitiudes dos ângulos internos de um triângulo
é 180˚.
8.2 A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo
é 360˚.
8.3 A soma das amplitudes dos ângulos internos de um
quadrilátero é 360°.
Pág. 93
1.
80°
10 - 02 - 2014
RCoelho
B
A
O

20 : 2 = 10 O raio é 10 mm.
Desenha-se um ângulo com vértice
a coincidir com o centro O da
circunferência – ângulo ao centro.
O ângulo ao centro AOB tem
de amplitude 80˚.
2. Setor circular (é a interseção do círculo com um ângulo ao
centro). ACˆB = 135˚ – usa-se o transferidor para medir a
amplitude do ângulo.
3.
O 1,5 cm
10 - 02 - 2014
RCoelho

0,3 dm = 3 cm 3 : 2 = 1,5
O raio é 1,5 cm.
Pentágono inscrito na circunferência –
polígono com cinco lados, em que todos os
vértices são pontos da circunferência.
Há muitas soluções possíveis. Na figura,
representou-se um dos pentágonos
inscritos na circunferência dada.
4.1 Falso, porque o vértice D do ângulo ADC não coincide com
o centro O da circunferência.
4.2 Falso, porque num polígono inscrito na circunferência todos
os vértices são pontos da circunferência e, na figura, o vértice
D do triângulo não é ponto da circunferência.
5.
10 - 02 - 2014
RCoelho

A circunferência fica dividida em
quatro partes iguais.
O paralelogramo (quadrado) está inscrito
na circunferência porque os seus vértices
são pontos da circunferência.
Os apótemas do quadrado estão
desenhados a verde – são segmentos
da perpendicular baixada do centro
do polígono para um lado.
6.
10 - 02 - 2014
RCoelho
O segmento da perpendicular
baixada do centro de um
polígono regular para
um lado é o apótema.
Corda é um segmento de reta que une dois pontos
da circunferência.
Por exemplo, com o compasso, e uma abertura do compasso
igual ao raio, assinala-se sobre a circunferência os extremos
consecutivos dessas cordas.
Traçam-se as cordas e obtém-se um hexágono regular com os
vértices sobre a circunferência e cujo lado é igual ao raio.
Usando material de desenho, por exemplo, o esquadro,
traçam-se os apótemas do polígono.
7. BCÂ = DCÊ porque os ângulos BCA e DCE são ângulos
verticalmente opostos, logo iguais.
Nos triângulos [ACB] e [DCE] , verifica-se que:
• os ângulos BCA e DCE são iguais porque são verticalmente
opostos;
• AC
—
= BC
—
= DC
—
= CE
—
porque são raios da circunferência.
Então, os triângulos [ACB] e [DCE] são congruentes pelo
critério LAL: dois triângulos são iguais se tiverem, de um para
o outro, dois lados iguais e o ângulo por eles formado também
igual – em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados
iguais, AB
—
= DE
—
.
Pág. 95
1.1 Polígonos inscritos na circunferência – os seus vértices
são pontos da circunferência.
Na figura, os polígonos inscritos são os polígonos [DEFGHI] e
[JKL] .
1.2 Polígono circunscrito a uma circunferência – os seus lados são
tangentes à circunferência.
Na figura, o polígono circunscrito a uma circunferência é
[MNOPQRST] .
2.1 Por exemplo, o retângulo da figura.
Os vértices do polígono são pontos
da circunferência.
10 - 02 - 2014
RCoelho
2.2 Por exemplo, pentágono da figura.
Os lados do pentágono são tangentes
à circunferência.
10 - 02 - 2014
RCoelho
3.1 Falso.
Observamos que os lados do polígono não são tangentes
à circunferência, logo o polígono não está circunscrito
à circunferência.
3.2 Falso.
Observamos que o segmento de reta [OC] é um raio da
circunferência e não é apótema porque não é perpendicular
ao lado do polígono.
3.3 Verdadeiro
Os apótemas de polígonos regulares são iguais,
logo OD
—
= OF
—
= OJ
—
= OL
—
= OB
—
.
3.4 Verdadeiro.
Observamos que os dois triângulos têm de um para o outro dois
lados iguais, porque são raios da circunferência e o ângulo por
eles formado também é igual, pois são verticalmente opostos.
Ou, como os lados do hexágono regular inscrito numa
circunferência são iguais ao raio, os dois triângulos
são equiláteros e iguais.
3.5 Verdadeiro.
O polígono [ACEGIKA] é regular,
sendo AC
—
= CE
—
= EG
—
= GI
—
= IK
—
= KA
—
.
Os triângulos [AOC] , [COE] , [EOG] , [GOI] , [IOK] e [KOA] são
iguais pelo critério LLL.
Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
Então, os ângulos AOC , COE , EOG , GOI , IOK e KOA são
iguais, porque se opõem a lados iguais naqueles triângulos,
sendo a soma das suas amplitudes igual a 360˚.
Sendo assim: COÂ =
1
6
× 360˚ = 60˚
4.1 O triângulo [MON] é retângulo e o lado [ON] opõe-se ao maior
ângulo, logo é o maior lado.
Podemos afirmar que ON
—
OM
—
.


24
4.2 N é ponto exterior à circunferência porque ON
—
OM
—
, sendo
o segmento de reta [OM] um raio da circunferência.
4.3 A reta MN é tangente à circunferência de centro O ,
porque é perpendicular ao raio no ponto M , onde este
encontra a circunferência.
5. P = 12 cm 12 : 4 = 3 , o lado do quadrado é 3 cm.
Desenha-se o quadrado de lado 3 cm.
O centro da circunferência coincide com o centro do quadrado
circunscrito a essa circunferência. Determina-se O e desenha-
-se a circunferência de raio 1,5 cm.
O
ap
10 - 02 - 2014
RCoelho
3 cm
Observamos que o apótema
do quadrado circunscrito à
circunferência e o raio dessa
circunferência são segmentos
congruentes, logo têm
o mesmo comprimento.
Pág. 97
1.1 O polígono [ABCDE] está inscrito na circunferência
de centro O porque todos os seus vértices são pontos
dessa circunferência.
O polígono [FGHIJ] está circunscrito à circunferência
de centro O porque todos os seus lados são tangentes à
circunferência de centro O .
1.2 P = 5 × l l ≈ 3,51 cm
P ≈ 5 × 3,51
P ≈ 17,55 O perímetro do polígono inscrito é
aproximadamente 17,55 cm.
1.3 P = 5 × l l ≈ 4,39 cm
P ≈ 5 × 4,39
P ≈ 21,95 O perímetro do polígono circunscrito é
aproximadamente 21,95 cm.
1.4 Sabemos que o perímetro do polígono inscrito numa
circunferência pode ser considerado como um valor
aproximado por defeito do comprimento da circunferência
e que o perímetro do polígono regular circunscrito pode ser
uma aproximação por excesso do comprimento da
circunferência. Então, neste caso:
• 17,55 cm é um valor aproximado, por defeito, do comprimento
da circunferência de centro O .
• 21,95 cm é um valor aproximado, por excesso, do comprimento
da circunferência de centro O .
2. Um desenho ajuda.
Se o apótema é 2,8 cm, o lado do quadrado inscrito é o dobro do
apótema, isto é, 5,6 cm.

2,8
cm
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_4
30 set 2014
Paulo Amorim
Então, o perímetro do quadrado é
(4 × 5,6) cm, isto é, 22,4 cm.
Podemos considerar este valor
(22,4 cm) como um valor aproximado,
por defeito, do comprimento da
circunferência onde o quadrado está
inscrito.
3.1 Se o raio é 4 cm, o apótema do quadrado circunscrito
à circunferência é igual ao raio, e o lado do quadrado
o dobro, isto é, 8 cm.
4 cm
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_5
30 set 2014
Paulo Amorim
P = 4 l = 4 × 8 = 32
O perímetro do quadrado circunscrito é
32 cm.
3.2 Se l ≈ 5,66 cm então P ≈ 4 × 5,66
P ≈ 22,64
O perímetro do quadrado inscrito na circunferência dada
é aproximadamente 22,64 cm.
3.3 • Verdadeiro. O perímetro do polígono inscrito é um
valor aproximado por defeito do comprimento da
circunferência onde o polígono está inscrito, logo menor.
• Falso. 22,64 cm é o perímetro do polígono inscrito na
circunferência, logo é um valor aproximado por defeito do
perímetro do círculo, e não por excesso.
• Verdadeiro. O quádruplo do diâmetro é igual ao perímetro
do quadrado circunscrito à circunferência, que é um valor
aproximado por excesso do perímetro. Então, o perímetro do
círculo é menor do que o quádruplo do diâmetro.
4.1 O apótema do quadrado é igual ao raio r .
O lado do quadrado é 2r ou d .
O perímetro do quadrado é 8r ou 4d .
4.2 P = 6 × l
=6×r →porqueoladodohexágonoregularinscritoéigual
aoraio
= 6 ×
d
2
→ porque o raio é metade do diâmetro
= 3d
O perímetro do hexágono é 3d .
4.3 Na figura, o hexágono regular está inscrito na circunferência,
logo o seu perímetro é menor do que o comprimento
da circunferência.
O quadrado está circunscrito à mesma circunferência, logo
o seu perímetro é maior do que o comprimento da
circunferência.
Podemos, então, afirmar que:
P P P
3d comprimento da circunferência 4d
Pág. 99
1. P = d × π
Se d = 7 m então P = 7 × π O perímetro é 7 × π metros.
Se d =(3 × 7) m então P = 21 × π O perímetro é 21 × π metros.
Sabemos que os perímetros dos círculos são diretamente
proporcionais aos diâmetros.
Então, se o diâmetro triplica também o perímetro triplica.
2.
Matemática 5º ano
TEEE102C05MA00101
dt6_095c
Luis Almeida
3 cm
O
2.1 P = 2 × π × r
= 2 × π × 3
= 6 × π
O valor exato é (6 × π) cm.
2.2 Substitui-se π por 3,1416 em P = 6 × π e obtém-se:
P ≈ 6 × 3,1416 = 18,8496
Um valor aproximado é 18,8496 cm.

25
3.1 Por exemplo: A – d ≈ 2 cm então o perímetro será próximo de
6 cm – triplo de 2 cm
B – d ≈ 1,5 cm então o perímetro será próximo de
4,5 cm – triplo de 1,5 cm
C – d ≈ 3 cm então o perímetro será próximo de
9 cm – triplo de 3 cm
(para estimar, usamos π ≈ 3 )
3.2 A – d = 1,7 cm P = d × π = 1,7 × π O perímetro do círculo A
é 1,7 × π cm.
B – d = 1,3 cm P = d × π = 1,3 × π O perímetro do círculo B
é 1,3 × π cm.
C – d = 3,2 cm P = d × π = 3,2 × π O perímetro do círculo C
é 3,2 × π cm.
3.3 Tomando 3,14 para valor aproximado de π , vem:
A – P = d × π ≈ 1,7 × 3,14 5,34 cm é um valor aproximado
do perímetro do círculo A.
B – P = d × π ≈ 1,3 × 3,14 4,08 cm é um valor aproximado
do perímetro do círculo B.
C – P = d × π ≈ 3,2 × 3,14 10,05 cm é um valor aproximado
do perímetro do círculo C.
3.4 Os perímetros dos círculos são diretamente proporcionais aos
diâmetros, portanto, se o diâmetro do círculo C passar a metade,
o perímetro do novo círculo também passa a metade.
4. P = d × π π ≈ 3,14 P = 2 × π × r
Diâmetro
Perímetro
do círculo
Raio
Perímetro
do círculo
9 cm
9 × 3,14 = 28,26 ;
28,26 cm
7 cm
2 × 3,14 × 7 = 43,96 ;
43,96 cm
25 mm
25 × 3,14 = 78,5 ;
78,5 mm
4,5 dm
2 × 3,14 × 4,5 = 28,26 ;
28,26 dm
5 mm
5 × 3,14 = 15,7 ;
15,7 mm
1,5 dm
2 × 3,14 × 1,5 = 9,42 ;
9,42 dm
5. Figura A:
Observa-se a figura e reconhece-se que o comprimento da linha
colorida tem um comprimento igual ao de 1,5 circunferências
de diâmetro 2 cm ( 6 : 3 = 2).
PA = 1,5 × d × π
PA ≈ 1,5 × 2 × 3,14 Isto é, o comprimento da linha colorida
é aproximadamente 9,42 cm.
Figura B:
colorida é a soma de três comprimentos: da semicircunferência
de diâmetro 6 cm, da semicircunferência de diâmetro 3 cm
e do segmento de reta com 3 cm de comprimento, isto é:
Pfigura =
6 × π
2
+
3 × π
2
+ 3
= 3 × π + 1,5π + 3 = 4,5 × π + 3 e usando 3,14 para valor de π :
Pfigura ≈ 4,5 × 3,14 + 3 ≈ 17,13
O comprimento da linha colorida é aproximadamente 17,13 cm.
Figura C:
colorida é formada por duas semicircunferências, que
equivalem a uma circunferência de diâmetro 1,6 cm, e por três
segmentos de reta de comprimentos 1,6 cm, 1,6 cm e 3,2 cm:
Pfigura = 1,6 × π + 1,6 + 1,6 + 3,2
≈ 1,6 × 3,14 + 6,4
= 11,424
O comprimento da linha é aproximadamente 11,424 cm.
6. Numa volta, percorreu o equivalente ao perímetro da pista:
P = 2 × π ≈ 2 × 3,1416 × 10 isto é, 62,832 m
Em 2,5 voltas, 2,5 × 62,832 , isto é, percorreu 157,08 m.
Pág. 101
1.1 P = 8 l
= 8 × 3
= 24 O perímetro do octógono é 24 cm.
1.2 P : π = d e π ≈ 3,14 então
24 : 3,14 ≈ 7,64 — valor aproximado às centésimas do diâmetro
Um valor aproximado às centésimas do diâmetro é 7,64 cm.
2. P : π = d e π ≈ 3,14 31,4 : 3,14 = 10
Um valor aproximado do diâmetro do colar é 10 cm.
3. P : π = d , d : 2 = r e π ≈ 3,1416 , então:
r ≈ 37,68 : 3,1416 : 2
r ≈ 5,9969
O raio da piscina é aproximadamente 5,9969 m.
4. Se em duas voltas percorreu 94,2 m, numa volta andou metade,
isto é, 47,1 m, porque:
94,2 : 2 = 47,1
Mas, 47,1 m é o perímetro da pista de que se pretenda saber o
diâmetro. Então, como P : π = d vem (sendo π ≈ 3,14 ):
d ≈ 47,1 : 3,14 d ≈ 15
Um valor aproximado do diâmetro da pista é 15 m.
5.1 P : π = d e π ≈ 3,14
439,6 : 3,14 = 140 — Diâmetro da roda dianteira: 140 cm
5.2 Dez voltas da roda dianteira – dez vezes o seu perímetro, logo:
439,6 × 10 = 4396
isto é, 4396 cm
Perímetro da roda traseira – P = d × π e π ≈ 3,14
P ≈ 42 × 3,14 , isto é, 131,88 cm
Número de voltas da roda traseira quando percorre 4396 cm:
4396 : 131,88 = 33,3333…
Quando a roda dianteira completar dez voltas, a roda traseira
já deu 33 voltas completas.
6. Comprimento da linha verde – 157 : 2 = 78,5 ; 78,5 m
Comprimento da linha vermelha – é o perímetro do círculo cuja
medida do diâmetro é:
d = 157 : π : 2

diâmetro do
círculo grande
Plinha vermelha = d × π = 157 : π : 2 × π = 78,5
Os cavalos percorrem 78,5 m cada um, logo nenhum deles
percorre uma distância maior.
Pág. 103
1. Heptágono:
l7 = 12 mm ; ap7 ≈ 12 mm
A área do heptágono é equivalente à área do retângulo da figura:
A = b × a
≈ 3,5 × 12 × 12
= 504
a
l l l l
2
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_6
logo b = 3,5 × l , l = 12 mm
a = ap ; ap = 12 mm

26
A área do heptágono é 504 mm2.
Octógono:
l8 = 8 mm ; ap8 ≈ 10 mm
A área do octógono é equivalente à área do retângulo da figura:
A = b × a
≈ 32 × 10
= 320
a
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_7
30 set 2014
Paulo Amorim
l l l l
b = 4 × l a = ap ≈ 10 mm
= 4 × 8 l = 8 mm
= 32
A área do octógono é 320 mm2.
2.1 Hexágono regular: l = 1 cm ap = 0,87 cm
A =
1 × 0,87
2
= 0,435 ou Ahexágono =
P
2
× ap
=
6
2
× 0,87 = 2,61
Ahexágono = 6 × 0,435 = 2,61
A área do hexágono é 2,61 cm2.
2.2 Decágono regular: l = 1 dm ap = 1,54 dm
A =
1 × 1,54
2
= 0,77 ou Adecágono =
P
2
× ap
=
10
2
× 1,54 = 7,7
Adecágono = 10 × 0,77 = 7,7
A área do decágono é 7,7 dm2.
2.3 Eneágono regular: l = 2 cm ap = 3,748 cm
A =
2 × 3,748
2
= 3,748 ou Aeneágono =
P
2
× ap
=
18
2
× 3,748 = 33,732
Aeneágono = 9 × 3,748 = 33,732
A área do eneágono é 33,732 cm2.
3. Para calcular a medida da área do pentágono e triângulo
regulares, usamos a fórmula A =
P
2
× ap , e obtemos:
Pentágono: Triângulo:
l = 2 cm l = 3 cm
ap = 1,4 cm ap = 2 cm
A =
P
2
× ap =
5 × 2
2
× 1,4 = 7 A =
P
2
× ap =
3 × 3
2
× 2 = 9
A área do pentágono é 7 cm2. A área do triângulo é 9 cm2.
Quadrado:
Não conhecemos o lado nem o apótema, logo não
podemos usar a fórmula anterior.
Vamos decompor o quadrado em dois triângulos iguais
(como na figura ao lado), sendo a medida da área de cada um:
A =
b × a
2
=
4,6 × 2,3
2
= 5,29
C
4,6 cm
2,3 cm
MAT 6 _ CAP _metas
EE.2011.0004.24.01
DTs_M_c4_8
30 set 2014
Paulo Amorim
e então A = 2 × 5,29 = 10,58
A área do quadrado inscrito é 10,58 cm2.
4. Heptágono: l7 = 12 mm ap7 = 12 mm
A =
P
2
× ap =
7 × 12
2
× 12 = 504 A área é 504 mm2.
Octógono: l8 = 8 mm ap = 10 mm
A =
P
2
× ap =
8 × 8
2
× 10 = 320 A área é 320 mm2.
Os resultados obtidos são iguais porque cada paralelogramo
desenhado no exercício 1 é equivalente ao polígono considerado.
5. Se Aoctógono =
P
2
× ap então A : ap =
P
2
, isto é:
45,88 : 3,7 = 12,4 — semiperímetro do octógono, isto é,
comprimento de quatro lados iguais do
octógono.
12,4 : 4 = 3,1
O comprimento do lado do octógono é 3,1 dm.
6. O paralelogramo equivalente ao hexágono tem base tripla do
lado do hexágono,
P
2
, e altura igual ao apótema do hexágono.
Então: b = 3 × 3 = 9 e a = ap = 2,6 cm
9 cm
2,6 cm
10 - 02 - 2014
RCoelho
Podemos calcular a área do hexágono a partir do paralelogramo
equivalente:
Ahexágono = 9 × 2,6 = 23,4
ou usando a fórmula:
Ahexágono =
P
2
× ap =
6 × 3
2
× 2,6 = 23,4
A área do hexágono é 23,4 cm2.
Pág. 105
1.1 Se o apótema do polígono é aproximadamente igual ao raio
do círculo, e o apótema tem 2 cm, temos, tomando 2 cm
para comprimento do raio:
A = π × r 2 = π × 4
A ≈ 12,56 cm2
12,56 é um valor aproximado da área do círculo, por defeito.
1.2 O polígono de 30 lados tem uma área mais próxima da área do
círculo e o seu apótema mais próximo do raio do círculo.
1.3 Sabemos que a medida da área de um polígono regular inscrito
numa circunferência é: Apolígono =
P
2
× ap
Se o número de lados do polígono é muito grande, então
o perímetro do polígono aproxima-se muito do comprimento
da circunferência onde está inscrito e o apótema do polígono
aproxima-se muito do raio dessa circunferência.
Então, substituindo P por 2 × π × r e ap por r na fórmula
Apolígono =
P
2
× ap , obtemos:
A =
2 × π × r
2
× r = π × r 2
2.1 r = 1,5 m
A = π × r 2 = π × 1,52
A ≈ 3,14 × 1,52
A área do círculo é aproximadamente 7,065 m2,
2.2 d = 0,4 dm então r = 0,2 dm
A = π × r 2 = π × 0,22
A ≈ 3,14 × 0,22
A área do círculo é aproximadamente 0,1256 dm2 ,
ou seja, 0,001 256 m2.
3. Área da praça circular com 24 m de diâmetro:
r = d : 2 = 24 : 2 = 12 O raio da praça tem 12 metros.

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