Reflexão sobre a história da matemática com o ensino

296 visualizações

Publicada em

Reflexão sobre a história da matemática com o ensino

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
296
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
11
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Reflexão sobre a história da matemática com o ensino

  1. 1. -'r..I ( AUDI DA SILVA BLJENO DENISE SOBJEIRO MICHALOVSKI r ELISABETE SOBJEIRO ANDRZEJEVSKI ( REFLEXÃO SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COM O MÉTODO DE ENSINO ',' ~" :' " ',., PONTA GROSSA 2000 ------"--- -----
  2. 2. AUDI DA SILVA BlJENO DENISE SOBJEIRO MICHALOVSKI ELISABETE SOB.JEIRO ANDRZEJEVSKI REFLEXÃO SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COM O MÉTODO DE ENSINO .~, . " ...•. Monografia apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de especialista em Metodologia do Ensino Fundamental. Orientadora: Prot'a Ms Marlene Perez. Uníversidade Estadual de Ponta Grossa - Paraná. PONTA GROSSA 2000
  3. 3. AGRADECI~IENTOS À professora Marlene 'pirez. Pela preciosa orientação, constante dedicação e entusiasmo; auxiliando-nos em um trabalho, o qual nos foi muito gratificante. Abriu-nos um novo caminho, de esperança e sabedoria. Tudo por sua brilhante ajuda, "O nosso respeito e afeto". Aos familiares, pela colaboração indireta, que com paciência nos deram esperança e incentivação, para que conseguíssemos superar essa etapa de nossos estudos. A Deus, pela saúde e oportunidade que nos destes, c a coragem de lutar pelo nosso ideal.
  4. 4. SUMÁRIO r INTRODUÇAO 01 A MATEMÁTICA NO CURRÍCULO ESCOLAR 03 . A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A PRÁTICA DO PROFESSOR 13 r TÓPICOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. 22 CONSIDERA.ÇOES FINAIS 35 REFERÊNCIAS"BIBLIOGRÁFICAS 36.. " ...•. . ..' r . ".... .•
  5. 5. RESlJJYIO Com este trabalho buscamos urna melhor compreensão da importância da História da Matemática para a prática do professor. Apresentamos algumas contribuições da história para o aprendizado da Matemática, pois ela é uma ciência que envolve todo conteúdo necessário, é instrumento valioso na explicação de problemas científicos de um modo geral. Por isso faz-se necessário facilitar a inter-relação entre o conteúdo trabalhado e o cotidiano do aluno para a compreensão de conceitos e princípios inerentes à Matemática e sua aprendizagem. ',' ,..,.
  6. 6. INTRODUÇÃO A história da Matemática não tem sido trabalhada adequadamente nas salas de aula, mas também nãoaparecem nos livros didáticos adequadamente. Porém é de grande interesse e importância que na Matemática, professores c alunos conheçam sua história para que possam reconstituí-la em parte. A história da Matemática surge como uma metodologia, objetivando a melhoria do ensino- aprendizagem da Matemática. Pensamos que um bom ensino de Matemática pode ajudar os alunos a se desenvolverem, a melhorar a sociedade e, principalmente melhorar o meio em que vivem, tomando-os pessoas conscientes e críticas. Porém, não podemos ser utópicos achando que a Matemática vai solucionar todos os problemas; ela ajuda quando bem trabalhada. Para isto necessita de uma metodologia com muitas inovações que terão de vir ao encontro dos ideais do contexto educacional atual. Afirma DUARTE (1987, p.13): "0 que o educador reproduzirá com os educandos não é a história da Matemática, mas é o processo de evolução desta, isto é, reproduzirá apenas as etapas essenciais da evolução do conteúdo matemático". A História. da Matemática poderá auxiliar o professor a conhecer melhor os conteúdos matemáticos que se propõe a ensinar. Cabe a cada um de nós, fazer uma Matemática que realmente leve o cidadão a desenvolver-se. A realidade tem se tomado cada dia mais complexa, exigindo de nós um maior comprometimento com o ensino da Matemática. Assim, o problema deste trabalho prende-se à necessidade de explorar a História da Matemática como metodologia de ensino, pois apesar desta não ser uma idéia nova, é pouco conhecida, daí sentirmos a necessidade de estudá-Ia. Dessa forma,
  7. 7. 2 pensamos contribuir para a melhoria do ensino-aprendizagem da Matemática, bem como auxiliar no desenvolvimento critico dos educandos. São nossos objetivos: • Oportunizar o desenvolvimento do interesse pelos fatos históricos da Matemática. • Tecer algumas considerações sobre a História da Matemática, com especial atenção para a educação. • Buscar na História da Matemática dados que proporcionem meIOS de desenvolvimento à criatividade. Desenvolvemos nosso trabalho em fontes bibliográficas com leitura analítica e critica, pois precisamos estar abertos a aceitar mudanças. Segundo FERREmA (1968): "O homem vem se desenvolvendo e procurando descobrir formas de melhorar a sua vida", A Matemática é muito importante para esse desenvolvimento.
  8. 8. 3 A MATEMÁTICA NO CllRRÍClJLO ESCOLAR No currículo escolar, a Matemática deve ser pensada a partir de uma globalidade dentro da qual seus conteúdos possam ser entendidos como frutos da produção humana, enquanto totalidade, considerando o que é essencial para a formação do aluno como sujeito na história. Se através da Matemática conseguimos discutir e ensinar o processo de criação do conhecimento, além do próprio conhecimento matemático estaremos instrumentalizando o educando para o pensamento critico. No currículo, deve-se procurar um equilíbrio entre a relação conteúdo-forma no sentido da evolução histórica dos conteúdos e das necessidades de superação de uma das etapas desta evolução, na construção de um conhecimento matemático que seja instrumento de transformação da sociedade. Mas, para que isto ocorra, é necessário definir os conteúdos e a forma de socialização destes conteúdos, através de uma prática pedagógica intencionalmente dirigi da, levando o educando a ser capaz de realizar uma análise crítica da sociedade para que se possa nela intervir e modificar as condições existentes a partir das necessidades e possibilidades concretas. A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa medida, todos são matemáticos e fazem Matemática inconscientemente em decorrência das necessidades cotidianas. Na história da humanidade, a Matemática foi descrita, inicialmente, como ciência de quantidade e do espaço, e os matemáticos, devido à necessidade de comunicação, estabeleceram convenções, criando o simbolismo relacionado ao cálculo das quantidades e medidas do espaço.
  9. 9. "';" A própria nanireza forneceu elementos para que as noções inICIaIS sobre quantidades e forma se desenvolvessem paralelamente no processo do conhecimento matemático pela humanidade. Na ânsia de compreender a realidade, o homem foi desenvolvendo e aprimorando esse conhecimento através da observação, análise, comparação e interpretação. A Matemática tem sido componente básico no cunículo devido à necessidade da aplicação de habilidades matemáticas a situações práticas, da formação de uma base conceitual a partir da qual outras idéias matemáticas serão organizadas e do desenvolvimento de habilidades do pensamento lógico, tais como: o pensamento proporcional, o combinatório e o raciocínio hipotético-dedutivo que levam à formação de uma concepção científica do mundo. A transmissão dos conteúdos deve-se processar de forma que o aluno perceba as regras do conhecimento e da ação humana não são absolutas. São criadas a partir de necessidades concretas, e é preciso analisar quando podem ser aplicada'). A importância das conquistas da Matemática na superação dos problemas vitais, tornando o aluno um agente na aplicação desse saber, não esperando um ato mágico para as tr~nsfonnações SOCIaIS,mas SIm, formando um pensamento lógico, utilizando-o para uma reflexão critica sobre a realidade. Jogos, livros, vídcos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem , ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática. Os alunos trazem para a escola, conhecimento, idéias e intuições, construí dos através das experiências que vivenciam com seu grupo sócio-cultural. Eles chegam às ••
  10. 10. 5 salas de aula com diferenciadas ferramentas básicas para, por exemplo, classificar, ordenar, quantíficar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os recursos, dependências e restrições de seu meio. A par desses esquemas de pensamento e práticas, todo aluno brasileiro faz parte de uma sociedade em que se fala a mesma língua, utiliza o mesmo sistema de numeração, o mesmo sistema de medidas, o mesmo sistema monetário, além disso, recebe informações veiculadas por meio de mídias abrangentes que se utilizam de linguagens e recursos gráficos comuns, independentemente das características particulares dos grupos receptores. Desse modo, um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado, para a valorização da pluralidade socioculrural, impedindo o processo de submissão no confronto com outras culturas; de outro, criar condições para que o aluno transceda um modo de vida restrito a um determinado espaço social e se tome ativo na transformação de seu ambiente. A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de comunicação. Ou ~eja, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, ele. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade, depende cada vez mais de . " ',." conhecimento. Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão
  11. 11. além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de informações e propondo problemas em equipe. Para tanto, o ensino da Matemática prestará sua contribuição a medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito critico; e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua estética e de sua imaginação. Para que isso aconteça é preciso que cada professor construa dentro de SI mesmo, na sua ação pedagógica, em cada momento de interação com o aluno visto como um sujeito histórico alargando os horizontes para além ele Sl41 sala de aula, ao encontro da realidade, vivida como forma de ser no mundo. Tradicionalmente, a prática mais frequente no ensino de Matemática era aquela em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidas de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupunha que o aluno aprendia pela reprodução. Considerava- se que uma reprodução correta era evidência de qUI: ocorrera a aprendizagem. Essa prática de ensino mostrou-se ineficaz, pois a reprodução correta poderia ser apenas uma síntese indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não aprendeu o conteúdo. É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. Naturalmente, à
  12. 12. 7 medida que se redefine o papel do aluno perante o saber, é preciso redimensionar também o papel do professor que ensina Matemática no ensino fundamental. Numa perspectiva de trabalho em que se considere a criança como protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha nOV,ISdimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem, para desempenhá-Ia, além de conhecer as condições socioculrurais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos, procedimentos a alimentar o processo, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir. Além de organtzador, o professor é consultor nesse processo. Não mais aquele que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz explanações, oferece materiais, textos, etc. Outra das funções é como mediador, ao promover a confrontação das propostas dos alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para expor sua solução, questionar, contestar, Nesse papel, o professor 6 responsável por arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e~métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é momento de elaborar um síntese, em função das expectativas de aprendizagem previamente estabclecidas em seu planejamento. Atua como. controlador ao estabelecer as condições para a realização das atividades e fixar prazos; 'sem esquecer de dar o tempo necessário aos alunos. Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação adulto e criança. A
  13. 13. confrontação daquilo que cada criança pensa, com que pensam seus colegas, seu professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e a de cornprová-los (convencendo, questionando). Além da interação entre professor e aluno, a intcração entre alunos desempenha um papel fundamental na formação de capacidades cognitivas e afetivas, Em geral, explora-se mais o aspecto aíctivo dessas intcraçõcs e menos sua potencialidade em termos de construção de conhecimento. Trabalhar coletivamente, por sua vez, supõe uma série de aprendi zagcns, como: • Perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta, devem cooperar ao resolvê-Ia e chegar a um consenso . . " '..... • Saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro. • Discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias idéias. • Incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações, e desse modo, aprender. Essas aprendizagens só serão possíveis na medida em que o professor proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar idéias; fazendo com que a Matemática tome-se importante na vida do educando, pois: Matemática significa, em grego, saber pensar. É o pensar que ( nos toma humanos. Nesse sentido, o primeiro e principal ohjetivo da Matemática é o de humanizar a espécie humana. o homem desenvolveu a Matemática para resolver os problemas colocados pela necessidade de sobreviência. Com ela, resolve os grandes e pequenos problemas
  14. 14. colocados pela vida. Mas é na resolução do mais vital de nossos problemas _ o do encontro do homem' 'Com sua racionalidade e humanidade __que reside a importância " ','" desta ciência (HELP, 1995, s/p, grifos nossos) J • A Matemática que tem como um de seus estudos os números, é sem dúvida a mais antiga das ciências. Desde que tiveram de recorrer às trocas, nossos antepassados sentiram imperiosa necessidade dela. Os dedos foram para os antigos, como o são ainda para as crianças, os primeiros instrumentos de cálculo e a este fato que devemos o emprego da base da na numeração. Entretanto, o homem não se contentou só com as mãos. Ele criou alguns instrumentos para auxiliá-Ia nos cálculos. Dentre esses instrumentos, destaca-se o ábaco pel.a eficiência e simplicidade. Ele continua a ser usado até os dias de hoje. o ábaco, segundo DUARTE (1987) "foi um instrumento muito importante no qual o homem sistematizou pela primeira vez aquilo que é a lógica do atual sistema de numeração, que é o Sistema Decimal. e lambem dos algoritmos das quatro operações, que seio os processos atuais de resolução das quatro operações". O autor utiliza esse instrumento em suas aulas, para conceituar a lógica dos sistemas de numeração, bem como para concretizar a noção ele contagem, além de somar, fazer subtrações, multiplicações c divisões. Primeiramente usou o ábaco para depois utilizar o algoritrno, () que foi feito de forma progressiva, utilizando o instrumento e depois os dois processos simultâneos, para então utilizar definitivamente o processo atual, ou seja,t o algoritmo. Ainda frisa o autor que foi preciso fazer uma análise do assunto para saber quando parar de utilizar o ábaco e passar somente a utilizar o algoritmo; pois a I A citação encontra-se na introdução do Sistema de Consulta Inrerativa: IIELP. nso tendo página definitiva.
  15. 15. tO utilização do ábaco pode limitar o aJuno a ficar preso em seu processo, dificultando a aceitação do processo atual: "É preciso estar alerta para que essa limitação do instrumento mio se reproduz a no processo ensino-aprendizagem. Isto é. precisa estar alerta para que os educuudos 1/(10 fiquem presos ao ábaco. Para isso, torna-se necessário organizar li sequénct a de ensino de maneira qUI! o ábaco seja apenas um instrumento que facilite a cotnpreensáo da lógica do sistema de numeração e (J lógica dos algoritmos das operaçõos. No medida em que essa lógica vai sendo compreendida, o ábaco vai sendo progressivamente abandonado. poisjá terá cumprido a sua função dentro do aprendizado. li preciso ter cuidado para não reproduzir no processo elISIIJO- aprendizagem certas etapas negativas do p'·OC(!SSO histórico" (DU ARrE, 1987). A Matemática não para no tempo, está sempre se desenvolvendo, pois ela I,; dinâmica e humana, e nós fazemos parte deste crescimento. Segundo O' AMBRÓSIO (1996, )).14): "A Matemática é uma técnica de explicar. de conhecer, de representar, de lidar com osfatos da natureza e sociais". É uma ciência que, em sua beleza, tem sua pureza, seus valores, seus critérios de verdade e de rigor. Inegavelmente, hoje: não se pode ser operacional no mundo sem dominar a Matemática. Ela é uma ciência organizada que envolve todo conteúdo necessário para decodificação e elucidação dos problemas inerentes às relações lógicas entre os objetos, e serve de instrumento valioso na explicação de problemas científicos de modo geral. .." .," Em 1845, nosarredores de Senkerch, foram achadas duas pequenas tábuas babilônicas, cujas inscrições datam cerca de 2000 anos antes da nossa e:ra. ~ O sistema de numeração que os babilônicos adotaram era bastante complicado, tanto era variável a base como o modo de ler. Os sinais empregados para representar eram cuneiformes. Os babilônicos empregaram Sistemas Decimais e Sistema Sexagesirnal, sendo este último mais comum nas tabelas que empregavam para calcular peso e volumes. Os astrólogos, que procuravam relacionar os acontecimentos diário» com a posição dos astros promoveram algum aperfeiçoamento cmpírico, estabelecendo regras operacionais e resolvendo alguns problemas aritméticos. São conhecidos muitos documentos que contém tábuas de multiplicação, de divisão, de quadrados c raizes
  16. 16. 11 quadradas, de cubos, de progressões aritméticas e geométricas e algumas tabelas particulares provavelmente empregadas em cálculos especiats. () rnaior número que integra os documentos já decifrados é da ordem de 608. O sistema babilônico empregava também as frações sexagesimais que foram transferidas à Grécia e daí à Europa, sendo até hoje nítida a sua influência, que se perpetuou através do hábito de medir o tempo e os ângulos. A Matemática brota das preocupações reais familiares, adapta-se maravilhosamente as necessidades comuns: exploração da natureza, obrigações comerciais e utilização I?rática em questões de engenharia. Os conceitos e as operações matemáticas são abstrações sugeri das ~1S situações concretas: a Matemática não faz mais do que espelhar a realidade natural. A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam curiosidades e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estrutura do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples, como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos à salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades corno agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabiliclade. Também impulsiona áreas do conhecimento, por ser utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza, como ciências sociais; e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte c nos esportes, A Matemática transforma-se por fim, na ciência (lue estuda todas as possíveis relações e interdcpcndências quantitativas entre grandezas, cornpotando um vasto campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, mctodologias próprias de pesquisa, formas de coletar e interpretar dados.
  17. 17. 12 A Metodologia da História da Matemática tem relação com o processo de construção do conhecimento. Para que o educando entenda verdadeiramente () conteúdo, necessita reproduzir os passos pelos quais a humanidade trilhou na evolução do conteúdo matemático. Entretanto, não reproduzirá todos, apenas os essenciais. Pensamos que a História da Matemática poderá auxiliar o professor a conhecer melhor os conteúdos matemáticos que se propõe a ensinar. Cabe a cada um de nós fazer uma Matemática que realmente leve o cidadão a desenvolver-se. Essa realidade tem se tomado cada dia mais complexa, exigindo de nós um maior comprometimento com () ensino da Matemática. A Metodologia da História da Matemática poderá auxiliar a desenvolver o raciocínio do aluno e seu interesse pela disciplina; também contribuirá para que os professores e alunos entendam princípios e conceitos básicos que são inerentes a Matemática. Assim essa metodologia, quando bem aplicada, pode trazer grandes contribuições para o ensino-aprendizagem.
  18. 18. 13 IlVlPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A PRÁTICA DO PROFESSOR Durante milhares de anos, na busca para analisar c melhor interpretar o mundo no qual habita, desenvolveu conhecimentos que chamamos de ciência. Nesse período foram criados, elaborados e aprimorados muitos conhecimentos que com o passar dos anos passaram a fazer parte do cotidiano das pessoas. A Matemática é sem dúvida a mais antiga das Ciências, teve a sua necessidade reconhecida desde que o homem teve de recorrer às trocas para a sua subsistência. A partir daí, nossos antepassados foram registrando suas descobertas e dando um aprofundarnento aos seus conhecimentos. Muitos anos, foram necessários para que tais conhecimentos tivessem continuidade, pois sendo a vidc1 do homem limitada a poucos anos, no início o repasse se fez através de discípulos. Assim, esses conhecimentos foram limitados por muitos séculos a "grupos" que foram crescendo e mais tarde transformaram-se em "escolas" atingindo um grupo mais abrangcntc de pessoas que atingiram a sociedadecrescente e em evolução. Dessa forma a humanidade evoluiu a tal ponto que já não seria necessário o contato direto com O" grandes mestres da ciência. Nesse sentido, é interessante que para o ensino-aprendizagem se refaçam os passos da evolução realizados pela humanidade, para que possamos entender que o conhecimento e no nosso caso, o conhecimento matemático, é fruto do estudo de séculos e compreenda como ocorreu a construção desse conhecimento, quais foram as suas vitórias e principalmente quais foram os seus obstáculos. Assim a história da Matemática pode entrar no contexto da sala de aula como elemento nortcador para um ensino e aprendizagem críticos e que pode auxiliar o aluno na construção do seu conhecimento.
  19. 19. 1·1 Para tanto não se faz necessário e nem serra possível, refazer todos os passos que a humanidade trilhou para construir o conhecimento matemático, mas algumas partes da história são essenciais, para que possamos compreender verdadeiramente como ocorreu e ocorre a construção desse conhecimento pela humanidade. No entanto,. a história da Matemática é muito vasta; como identificar o " ,'" conhecimento necessário para o professor? Que partes da história ele deve conhecer e/ou refazer com os seus alunos na sala de aula? Vamos nos apoiar em OUARTE (1987, p.13) que diz: "O ponto de referéncia para essa tarefa é a lógica do conteúdo matemático. (..) o lógico reflete o histórico pelo fato de que o lógico formou-se 110 longo do processo historico. O logu-o é POf1(UltO o ponto de partida para o estudo do histórico, na medida em qtte o lógico reflete as etapas essenciais do processo histórico. Mas esse reflexo mio é direto nem imediato, pois, do contrário seria desnecessário o estudo do histori co. Ao mesmo tempo que o lógico orienta o estudo histórico, por sua vez, o histórico vai orientando a reformulação, o aprofundamento do lógico, numa açâo recíproca que leva a um desenvolvimento em espiral". Acreditamos que a visão histórica do conhecimento matemático poderá auxiliar o professor a uma compreensão maior do conteúdo e a inter-relacionar as áreas desse conhecimento, o que deverá apoiá-lo para um ensino que leve à compreensão da realidade social, na qual professor e educando estão inseridos, uma vez que os saberes matemáticos são retificados historicamente e construí dos para resolver problemas postos pela humanidade, Podemos afirmar ainda, que baseados em alguns estudiosos, existem duas concepções do saber matemático: Primeiro, quando se considera o conhecimento matemático como um produto acabado. Estes, defendem uma abordagem dos conteúdos segundo uma seqüência t lógica e linear. Segundo OU ARTE, "O principul problema para aqueles que defendem uma sequéncia lógica de ensino está 110 fato de que eles concebem a lógica apenas enquanto lógica do produto e não são capazes de entender a lógica do processo (...) eles analisam o conteúdo matemático que pretendem enstnar, tomando-o na sua forma
  20. 20. 15 mais acabada, na suaforma mais elaborada ..." (1987, p. 6). Temos então o ensino da Matemática elaborado em sequências didáticas que levam à simples reprodução do conhecimento. Segundo, temos o ensino e aprendizagem de Matemática como resultado de um processo histórico no qual, corre-se o risco de defender uma seqüência puramente histórica o que pode transformar esse ensino numa mera reprodução da história. DU ARTE, (1987, p. 7), relata que: ..... esses educadores se esquecem que o processo de ensino e aprendizagem, tem tomo função principal ser um processo sistemático de transmissão-assimilação do conhecimento, e, portanto, trata-se de um processo onde as situações precisam ser intencionalmente programadas e dirigidos. à diferença do processo historico, onde as situações surgem em decorrência de uma sede de fatores .. ,. Assim, para que o professor socialize o conhecimento matemático, faz-se necessário que conheça o processo histórico de desenvolvimento dessa ciência, pois assim poderá entender a lógica do seu conteúdo. E, para se conhecer o processo de evolução de um determinado conhecimento ou de um determinado aspecto da realidade, é preciso conhecer a essência da evolução histórica, onde o lógico é o ponto de partida para o estudo histórico, uma vez que revela as etapas essenciais da evolução do conhecimento matemático, bem como os seus obstáculos. Nesse processo, o conhecimento tem significado epistêmico, porque passa a ser ~ instrumento que permite compreender como se situar diante dos problemas que aparecem no dia a dia de cada ser humano. Dessa forma o trabalho com a Matemática.' ~ enquanto processo, poderá contribuir para que o educando compreenda a realidade social da qual faz parte e a possibilidade de modificar esta mesma realidade. ! Portanto, a participação da história da Matemática como recurso didático, toma- se imprescindível. Deve-se levar em conta que o desenvolvimento histórico não deve ser utilizado, somente como elemento de motivação c que os conceitos matemáticos tiveram uma ordem de construção histórica que não é a mesma presente nas propostas
  21. 21. 1(, de ensino atuais. Mas que a história deve servir como instrumento adequado para a compreensão e estruturação de conceitos. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (pCNs: 1998, p.42) sob título O recurso à História da Matemática, recomendações para a utilização desse conhecimento na sala de aula, bem como algumas vantagens dessa utilização. Apoiadas nos PCNs, bem como em VIANNA, teceremos alguns comentários sobre a utilização da história da Matemática em sala de aula: motivação/informação e/ou estratégia didática. História da .Maternática como motivação/informação: são textos sobre a história da matemática que aparecem no inicio, no meio e/ou no final de uma unidade didática, "mas que não complementam nem auxiliam especificamente a resolução de nenhuma dificuldade do conteúdo" VIANNA (1995, p.74). Segundo os PCNs (1998, 1'.43) esse procedimento leva o professor (, a situar no tempo e no espaço cada item do programa de Matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história da Matemática (... )", o que muitas vezes leva apenas à rncmorização de datas, nomes e fatos. História da Matemática como estratégia didática: os conhecimentos históricos são utilizados par~ levar o educando a determinados tipos de procedimentos que encontram relação com o desenvolvimento do conteúdo. Esse trabalho abre muitas possibilidades e pode levar o aluno a realizar algumas atividades que auxiliam na compreensão de diversos conceitos e a desenvolver uma atitude invcstigativa. A história da Matemática consta atualmente em muitos livros didáticos, porém quase sempre a sua inclusão no texto é (I<; caráter superficial e desligada da continuidade do desenvolvimento do conteúdo. Por outro lado também não é bem utilizada pelo professor. Para têITnOS bons resultados no cnS1I1O e aprendizagem da
  22. 22. 17 Matemática utilizando entre outros caminhos a história da Matemática exige-se muito. Não é uma tarefa fácil, como diz EVES (1996, p. 43): <IA história da Matemática propriamente dita, exige muito de quem a ela se dedica em termos de experiência e conhecimento. Estudar obras do passado não é tarefa fácil, seja no original, seja em versões mais facilitadas de autoria de estudiosos competentes. Em ta/ estudo na se pode restringir apenas ao lado pitoresco e ameno, como as biografias e as pequenas histórias que cercam os personagens da história maior. Nem sempre se deve negligenciar a parte mais substancial ligada ao surgimento e desenvolvimento das idéias. E nessa tarefa o estudioso tem de famializar-se com a história da civilização que é o pano de fundo que desenha o fascinante jogo da invenção e da descoberta". Assim, acreditamos que a história da Matemática requer maiores estudos do que aqueles encontrados nos livros didáticos. De qualquer forma, quando bem utilizada, o recurso à história da Matemática, pode ·oferecer contribuições importantes ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, revelando essa ciência como uma criação humana, pois o passado ajuda a entender o presente bem como responde a muitas perguntas e soluciona dúvidas tanto de alunos como de professores, pois auxilia o na compreensão de que nada é estático que . I' '/ sempre a humanidade está aprimorando 08 seus conhecimentos. A história da Matemática pode também propiciar reflexões sobre a beleza existente no ato de criação levando-o a entender a dimensão da estética, contribuindo para o que, a nosso ver, deveria constituir o propósito mais revolucionário da educação contemporânea: o -cultívo da imaginação. A partir desta reflexão, os professores de matemática poderiam buscar situações nas quais os educandos do ensino fundamenta e médio fossem estimulados a criar Matemática. HUNrLEY (1985, p. 16), faz a seguinte afirmação referente à possibilidade de f criação da Matemática pelos estudantes: "A apreciação da beleza mal se distingue do ato de criação; no momento da apreciação reeditamos o alo criador e nós mesmos fazemos a descoberta novamente ".
  23. 23. 18 Um bom ensino faz com que o educando compreenda que a Matemática ainda está sendo descoberta, o que pode trazer emoção no desenvolvimento desse . conhecimento. Propiciará também, ao aluno a oportunidade de observar que a " ~. :. ',' '," Matemática não pára no tampo, está sempre se desenvolvendo, ela é dinâmica e que portanto ele faz parte desse crescimento. Complementamos o nosso pensamento com FERRELR A (1996, p.6): <IA matemática tem que ser vista como uma ciência dinâmica em construção pelos homens, seres sociais e históricos. Portanto esta ciência tem que ser apropriada pelos a/unos na sua formação como cidadãos vivendo em momento histôrico, mas de reflexo cultural de toda a história da humanidade construido durante séculos de maneira porticipativa, conscientes de que eles também são construtores deste saber", Acreditamos que o trabalho com a história da Matemática proporciona a alunos e professores esta visão. Cabe, portanto, ao professor de Matemática a responsabilidade de colaborar para se ter no futuro seres humanos mais criticos e conscientes que busquem soluções criativas para as mais diferentes situações e que sejam capazes de exercer conscientemente seu papel de,cidadão. Também é possível buscar na história da Matemática apoio para se atingir os objetivos pedagógicos que levam os educandos a perceber, por exemplo: a) A Matemática como uma criação humana; b) As razões pelas quais as pessoas fazem Matemática; ~ c) As necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas; d) As conexões existentes entre Matemática e Filosofia, Matemática e religião, Matemática e lógica, etc; e) A curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de idéias e teorias; f) As percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da Matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
  24. 24. l~ g) A natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova. A história da Matemática desperta o interesse do aluno pelo conteúdo que está sendo ensinado, pois alivia a tensão, conforta. Segundo .lvfESERVE (1980, p.398): ".1/ história da Matemática é útil, antes de mais nada, como um auxílio para a compreensão de tópicos que já fazem parte do C1/,.,.;cIl10. Matemática desenvolvida a partir de técnicas de resolução de problemas práticos ". A Matemática sendo desenvolvida pelo educando mediante a resolução de problemas históricos e através de apreciação e análise das soluções apresentadas a esses tais problemas no passado, passa a ser uma atividade altamente morivadora. Segundo SWETZ (1989), os problemas históricos motivam porque: • Possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que estão sendo ensinados; • Constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica, refletem as preocupações práticas ou teóricas das difere ..mtes culturas em diferentes momentos históricos; • Constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática de nossos antepassados; • Permitem mostrar a existência de uma analog.ia ou continuidade entre os conceitos-e processos matemáticos do passado e do presente. " ," Acredita-se que é no desenvolvimento histórico da Matemática que podemos perceber as diferentes formalizações de um mesmo conceito. É numa apre..mdizagem significativa e desejável que o educando tem uma visão dessas diferentes íormalizações. Assim, a história passa a ser um recurso indispensável.
  25. 25. 20 o desejo de formar cidadãos com base na construção de um pensamento independente. e crítico, exige uma concepção de problcmatização pedagógica do conhecimento matemático que ultrapasse os aspectos meramente lógicos e episternológicos da produção desse conhecimento. Ao propor à história a tarda de eliminar a dissonância entre o modo como a Matemática c! normalmente exposta ao educando c o modo corno da foi produzida, defende que não se deve ocultar do aprendiz os eITOS,as lacunas e as hesitações por que passaram os grandes matemáticos na produção do conhecimento. Isso porque a concepção dessas dissonâncias por parte do aprendiz poderia gerar nele o desenvolvimento de ..atitudes positivas, desejáveis tanto na formação do futuro " ...•.. pesquisador quanto na formação do cidadão, quais sejam: • A coragem necessária para enfrentar os problemas; • A persistência e a tenacidade na busca de soluções satisfatórias para os mesmos; • Aquelas que estão na base da formação e da prática do pensamento científico. Segundo POINCARÉ (1947, p.134-136): "Sem dúvid~ é duro para um professor ensinar aquilo que não lhe satisfaz inteiramente; mas a satisfação do professor não é a única coisa que deve ser levada em consideração no ensino; deve também preocupar-se com o espírito do aluno e com aquilo que se quer que ele se tome ... Mais tarde, quando o espírito do aluno, familiarizado com o raciocínio matemático, estiver amadurecido, as dúvidas nascerão por si só e então (J demonstração será bem vinda. Ela será um estimulo às no vitÚJ des, e as questões se colocarão sucessivamente à criança assim como elas se colocaram sucessivamente aos nossos ant epassa dos, até que somente o rigor perfeito possa satisfazê-Ia. Não é suficiente duvidar de tudo, é preciso saber por que se duvida ". A última frase dessa passagem parece atestar a importância dada por POINcARÉ, não é a inculcação da mente do aluno dos padrões atualizados de rigor a qualquer preço, mas o fato de, no ensino da Matemática, recorrermos a procedimentos que estimulem a formação da consciência da necessidade ele se submeter a esses
  26. 26. 21 padrões. Caberia à história da Matemática desempenhar esse papel pedagógico r consc ienrizador, A história da Matemática não deve aparecer como um ponto de partida e não como algo pronto e acabado que pudesse se constituir em objeto de uso e abuso por parte dos educadores. Para GRA TT AN-GUINNESS (1973, p.446): "O caminho histórico está o mundo real de idéias, visto em gênese, desenvolvendo-se e deteriorando-se, mais do que uma imitação artificial da qual o problema central é removido. Este é o sentido em que a aprendizagem é 'mais fácil': um sentido pessoal no qual o estudante põe em relevo o trabalho criativo e imita a descoberta individual rios resultados li. A história da Matemática pedagogicamente orientada, sendo VIva, esclarecedora e dinâmica, que estimule a imaginação e a criatividadc, prestará grande auxílio aos professores.
  27. 27. 22 TÓPICOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Conforme os objetivos propostos para o trabalho, vamos tecer algumas considerações sobre a História da Matemática, com atenção especial às séries iniciais do Ensino Fundamental (1a à 53 séries). Fundamentadas em autores como DUARTE (1987), pesquisarnos tópicos do desenvolvimento do conhecimento matemático tomando por parárnetro a lógica do conteúdo. Consideramos corno ([.1 mais alta importância, o estudo sobre o sistema de numeração, uma vez que este conhecimento faz parte dos conteúdos trabalhados pelos professores no nível de ensino citado e que sem a compreensão dos princípios do sistema de numeração, toma-se impossível entender as técnicas operatórias, os números decimais e o sistema métrico decimal. O que compromete a atuação do cidadão na sociedade em que vive. Assim, vamos analisar as características do sistema de numeração indo- arábico, que hoje é utilizado quase no mundo todo. Como surgiram os números'? Alguma vez você parou para pensar nisso? Certamente você já imaginou que um dia alguém teve uma idéia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim. A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. t O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisas. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso ...
  28. 28. 23 Os caçadores para registrar os arumars mortos numa caçada, se limitavam a fazer marca') numa vara. Quando descobriu o fogo, o homem aprendeu a cozinhar os alimentos c proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar o homem fazia rISCOSnum pedaço de madeira ou em ossos de animais. Um pescador~ por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso. Mais ou menos há 10.000 anos o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raizes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais. Era o início da agricultura, graças a qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor. E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de lias e lagos e abandonou o hábito de abrigar-se em cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: de construir sua própria moradia. Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe e divisão do trabalhoentre as pessoas, etc. Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.Os pastores de ovelhas tinham necessidade de controlar os rebanhos, e algumas pesquisas indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras. Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras ficaria sabendo que havia
  29. 29. 24 perdido ovelhas, se faltassem pedras saberia que o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle. Esses pastores jamais poderiam imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado cálculo, que em latim quer dizer: contas com pedras. A correspondência um a um foi o passo decisivo para o surgimento da noção do número. OS PRIlVIEIROS REGISTROS DE N(JlVIEROS o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. Para registrar o total de objetos de usava a correspondência um a um. Uma marca para cada objeto. Foi contado os objetos com outros objetos que a humanidade começou a dar início ao primeiro registro de números. Para o homem primitivo, o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco hastões, cinco animais e assim por diante. A idéia de contagem estava relacionada com os dedos das mãos. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo, os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, de cinco em cinco. É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto. Entretanto surgiu um novo problema: levantar dedos permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa informação. Era fácil
  30. 30. 25 esquecer quantos dedos tinham sido levantados; separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas não era muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades. Quando precisamos contar uma quantidade grande de coisas, vamos separando os objetos em monte ou em grupos, pois isto facilita a contagem. Por exemplo, quando contamos por dúzia, é uma forma de agrupar: de doze em doze. Em muitas situações, os agrupamentos são necessários e facilitam o trabalho do homem. Observe, por exemplo, como são embaladas muitas coisas que compramos. Os fabricantes agrupam um determinado número de unidades em cada embalagem. As balinhas de dropes vem sempre com o mesmo número de balas, os maços de cigarro vem sempre com o mesmo número de cigarros. Você já viu alguma vez um pacote grande de fósforos? Um pacote grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e cada caixa com 40 palitos de fósforo. Mas em que época de sua história o homem percebeu que agrupar ajuda a .,' ',' -..... contar? Sabemos que .não foi de um dia para o outro e sabemos também que as primeiras formas de agrupar provavelmente se relacionavam com as mãos e também com os pés. O homem deve ter começado a agrupar de cinco em cinco, de dez em dez, de vinte em vinte, fizendo a correspondência com os dedos c11S mãos e dos pés. COMO OS EGÍPCIOS ESCREVIAM OS NÚMEROS Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração. Os egípcios da antigüidade cnaram um sistema muito interessante para escrever números baseados em agrupamento:
  31. 31. 1 era representado por wna marca que parecia um bastão I 2 por duas marcas 11, e assim por diante: 3111 4/1/1 511111 6111111 71111111 811111111 .. ' -Ó,' .•..•.. Quando chegavam a 10, eles trocavam as 10 marcas 1111111111 por um n, que indicava o agrupamento. Continuavam então com este símbolo até o 19: 10n 11 nl 12nll 13nlll o 20 era representado por (Y e continuavam: 30nnn 40nnnn SOnnnnn Para registrar o 100 ao invés de dez marcas n(l{"Ylnnn()(Y'), eles trocavam esse agrupamento por wn símbolo novo que parecia wn pedaço de corda: 26
  32. 32. 27 Juntando vários símbolos de 100 escreviam o 200, o 300, ctc até 900, Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo que era a figura da flor de lótus: ~ Dessa forma, trocando cada vez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam, Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca: .---------------------------_._---_._-_ ... - ----- -- -- . -._- ----_._---------_. Símbolo egípcio descrição novo símbolo ;---------;---_._---------_ ..--_._----- ---_.__._--------_ .. _._--- ~ I I f-------------------------------------------·---i calcanhar )O I I --I bastão rolo de corda 100 flor de lórus 1000 Usando o sistema egípcio ficava trabalhoso registrar certas quantidades, Os romanos foram muito espertos, eles não inventaram símbolos novos, para representar os números usaram as próprias letras do alfabeto: r v x L C D M. Como eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números chaves: I tinha o valor 1 V valia 5 "';" . I • ~••• -' X representava 10 unidades C valia 100 D valia 500 M valia 1000. Quando apareciam vários números, os romanos somavam os seus valores: II=l+l
  33. 33. 28 XX::; 10+ 10 xxx = 10+ 10+ 10 Quando dois números diferentes vinham juntos, c o menor vinha antes do maior, subtraiam seus valores: IV = 4 porque 5- 1 = 4 IX == 9 porque 10 -1 = 9 xc = 90 porque 100 - 10 = 90 Por fim, somavam ao resultado os valores das letras que vem depois de C: XCVI = 90+6 XCVI = 96 Através de pesquisas ficamos sabendo que o exército de Roma fez numa certa época: MCDV prisioneiros de guerra. Para ler o número MCOV, veja os cálculos que os romanos faziam: Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor: M == 1000. Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a Segunda letra de maior valor: 0=500. Depois tiravam de O o valor da letra que vem antes: D-C= 500-100 = 400. Somavam 400 ao v~lor de M, porque CO está depois de 1''1:M+DC =: 1000+400 = 1400. Sobrava apenas o V, então MCDV = 1400+5 = 1405. Como acabamos de ver, o número 1000 era representado pela letra M. Assim, Mtv1correspondiam a 2000 e MMtv1 a 3000. " ,., Para escrever 40'00 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números: v= 5000 Vil = 7000 x = 10000 IV = 4000 VI tz: 6000 VIII == 8000
  34. 34. 29 Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1000. Dois traços sobre o M davam-lhe () valor de I milhão. Veja alguns exemplos: XD = 10500 XXVC = 25100 CDL = 100550 M = 1000000 o sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era dificil efetuar cálculos com este sistema. OS ÁRABES DIVlJLGAM AO MlJNDO OS NlnVIEROS Segundo a equipe do Programa de Educação Continuada do lNEP/FU1'<13EC (1998); o matemático árabe al-Khowarizrni, que estudou os liTOSde matemática vindos da Índia e os traduziu para a língua árabe, surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam até um ovo de ganso: E da surpsesa para a admiração foi apenas um passo. Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto. Com aquele sistema de numeração todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido. Era possível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. o matemático al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas novas. Escreveu um livro sobre a arte hindu de calcular explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
  35. 35. )Ij Com o livro de al-Khowarizrni, todo o mundo tomou conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos: O - 1 - 2 - 3 -- 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 , ficaram conhecidos como a anotação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algansmus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos , pelo árabe al-Khowarizmi, que constiruern o nosso sistema de numeração decimal. Daí a serem conhecidos como algarismos indo-arábicos. Segundo a equipe do Programa de Educação Continuada do fNEP/FUl'-.'TIE(' (1988), com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos escrever qualquer número. A<; dificuldades dos outros sistemas de numeração foram superadas pelo sistema de numeração indo-arábico ( nosso sistema de numeração) que, reuruu três características, já existentes nos outros sistemas de numeração da Antigüidade, inclusive nos sistemas egípcio e romano, aqui apresentados: o sistema de numeração indo-arábico 0 decimal (o egípcio e o chinês também o eram), o sistema indo-arábico I! posicional ( o babilónico também o era). O sisrcrpa de numeração indo-arábico tem o zero, isto é um símbolo que indica ausência. Agrupar de 10 em 10 é um dos princípios do nosso sistema de numeração, que, por isso, é chamado sistema de numeração decimal. Também dizemos que nosso sistema de numeração tem base dez. o hábito de agrupar de 10 em 10, está presente em vários sistemas de numeração da antigüidade e certamente se relaciona com a utilização dos dedos das mãos para a
  36. 36. 31 contagem. Entretanto o homem criou também instrumentos para a contagem e para os cálculos. Destacamos dentre estes instrumentos o ábaco. Existem vários tipos de ábaco. Vamos nos referir aos ábacos abertos, que são feitos utilizando-se uma base de madeira com vários fios de arame fixados verticalmente á base. O primeiro fio de arame representa a ordem das unidades, o segundo a ordem das dezenas, o terceiro fio a ordem das centenas, sendo que essas três ordens representam a classe das unidades, depois vem a classe do milhar que também é composta de unidade, dezena e centena, depois a classe dos milhões, bilhões, e assim sucessivamente ... , Nesses fios de arame são colocadas contas ou bolinhas para serem manuseadas. No ábaco essas contas são todas iguais, mas o valor de cada uma delas depende do fio de arame em que ela está. Certamente esse foi um grande avanço, a idéia de dar a um mesmo algarismo valores diferentes, dependendo da posição que ele ocupa. Por exemplo: UM C O U o conjunto de um elemento forma a unidade - 1 unidade O conjunto de dez elementos forma a dezena - 10 unid ades () conjunto de cem elementos forma a centena - 100 unidades O conjunto de mil elementos forma uma milhar - 1000 unidades Historicarnente antes de ser utilizado no sistema de numeração indo-arábico, o valor posicional já existia em outros sistemas de numeração, como °babilónico. Assim desde que o homem fez as suas primeiras contagens até o aparecimento do sistema de numeração decimal decorreram milhares de anos. Um dos obstáculos possíveis para que civilizações como a dos babilônicos, dos egípcios e outros não
  37. 37. 32 í chegarem a esse sistema antes pode ter sido a demora para o aparecimento do zero, o símbolo para o nada e a demora para ser aceito. Para compreender o por quê dessa '. demora é necessário pensar que os números foram criados pelos homens como um recurso de auxílio nas diversas contagens do seu cotidiano, ou seja os números surgiram da necessidade de determinar quantidades; assim ninguém sentiu falta de um símbolo para o nada. Assim o zero surgiu quando houve a necessidade de uma representação numérica. Diversas civilizações da antigüidade, como a romana, a egípcia, os babilônicos e outras desenvolveram seus sistemas de numeração. Podemos levantar alguns vestígios desses sistemas de numeração na atualidade. Por exemplo, na contagem do tempo, os agrupamentos são formados de 60 em 60: sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora, conseqüência da numeração desenvolvida na Mesopotârnia, há mais de 4000 anos, cuja base era sessenta; nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros, entre outras, são utilizados símbolos da numeração romana. Além da utilização colocada, na sala de aula uma ótima estratégia para se trabalhar com a história da matemática, seria estabelecer a comparação entre os alguns sistemas de numeração antiga com o sistema de numeração decimal. Entendemos que essa forma de trabalho favorecerá a compreensão do sistema de numeração atual, pois para isso será necessário estudar as leis e os princípios presentes nos diversos sistemas de numeração. A seguir levantaremos algumas características dos sistemas de numeração egípcio, romano e indo-arábico, comparando-os: Base: a bases de um sistema é a quantidade escolhida no processo de agrupar e reagrupar quantidades. no nosso sistema a base é dez;
  38. 38. 33 no egípcio a base é dez; no romano a base é dez. 2. Valor posicional nosso sistema é posicional; 12 é diferente de 21; o egípcio não é posicional; é indiferente escrever doze assim n I I ou assim II n; o romano não é posicional, no sentido do nosso sistema, mas não é indiferente escrever VI ou IV. 3. Zero nosso sistema tem um símbolo para o nada; o egípcio não tem o zero; romano não tem zero. 4. Princípio multiplicativo: todo sistema posicional, como o nosso, baseia-se no princípio multiplicativo: cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo valor de sua posição. No sistema romano e egípcio não vale o princípio multiplicativo. Por :xemPlO: Ir :5 x I = 5 4 x 10::;:40 ,--_.2 x 100 :: 200 5. Princípio aditivo: o número representado é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa. O princípio aditivo comparece nos três sistemas.. '.' ....• no nosso' sistema, 245 = 200 + 40 + 5
  39. 39. '-100+10+10+1+1+1 no romano) C X X V 11 100+10+10+5+1+1 Entretanto, no sistema romano, o princípio aditivo precisa ser aplicado. ,"" .. com cuidado) porque nele existe também o princípio subtr ativo. Por exemplo: c X L I X 100+(50-10)+(10-1)= 149 6, Quantidade de símbolos diferentes: quantos símbolos diferentes são necessários para escrever qualquer número'? no nosso sistema com apenas dez algarismos podemos escrevemos qualquer número; no egípcio e no romano, para cada novo número pensado seria necessário criar um novo símbolo. Assim seriam necessários infinitos símbolos. Estes são somente alguns tópicos da I Iistória da Matemática, que julgamos sejam úteis ao professor para trabalhar o Sistema de Numeração Decimal em sala de aula. A comparaçãç entre os sistemas ajudam o aluno a entender a superioridade do nosso sistema em relação aos demais) bem corno a estabelecer relações entre os mesmos, percebendo que a Matemática tem história que é uma criação a partir dos problemas do cotidiano da humanidade. Pode aguçar a curiosidade e o interesse dos alunos em relação ao conhecimento matemático e ajudar alunos c: professores a criar um ambiente de investigação na sala de aula.
  40. 40. 35 CONSIDERAÇÕES FINAIS Concluímos, assim, o nosso pensamento de que a História da Matemática é importante para a prática pedagógica do professor; ajuda a responder os "porquês" que freqüentemente surgem em nossos estudos ou em nossas aulas. Ela ajuda no processo de construção do conhecimento matemático, demonstrando aos educandos que a Matemática não é pronta e acabada, que ela não foi construída sozinha por um gênio, e sim por pessoas (estudiosos) para resolver problemas do cotidiano referente à época em . que foi desenvolvida. Assim, 08 alunos perceberão a importância da Matemática, mesmo que ela não tenha urna aplicação imediata. Ela não foi desenvolvida com a finalidade de criar alguma coisa, mas com o intuito de resolver problemas da humanidade. Lembramos que cabe a nós, professores, estarmos em constante busca da aprendizagem e pesquisar mais e mais, procurando fazer o possível para que nossos alunos tenham urn bomentendimento dessa ciência. Assim, a História da Matemática aparece como urna alternativa nesta tarefa. Basta que os educandos tenham em mente que a cada mudança ocorrida estaremos inovando e buscando alternativas para simplificar o aprendizado. Isso não significa somente tornar o aprendizado acessível aos nossos alunos, mas fazer com que compreendam e gostem da Matemática; pois é mergulhando no passado, que nós entendemos o presente, levando-nos a ter um maior entrosamento do saber, tendo assimilação dos conteúdos e também compreensão. Para que isso aconteça, basta abrir as portas para a história, que a evolução do conhecimento matemático será desvendada para auxiliar-nos na melhoria da qualidade do ensino-aprendizagem da Matemática . . ,-
  41. 41. 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS " BOLEMA. Boletim de Educação Matemática. UNESP. Rio Claro, Ano 8, n. 9, 1993. BRASIL. Secretaria-de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasíliâ: MEC/SEF, 1998. D' AMBRÓSIO, Ubiratan, História da Matemática e Educação. In: História e Educação Matemática. Cadernos Cedes 40, 18 ed. Centro de Estudos e Sociedade (CEDES): Campinas, SP, 1996. DUARTE, Newton. A Relação entre o lógico e o Histórico no Ensino da Matemática Elementar. Dissertação de Mestrado. São Carlos, 1987. ENCICLOPÉDIA DEL TA-LAROUSE. Tradução adaptação e ampliação da última edição da Encycolédie Larouse Methadiqué por Paul Augé. Rio de Janeiro: Delta, 1960. EVES, Howard. História da Matemática. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n. 31, 1996. FERREmA, Eduardo Sebastiani. História e Educação Matemática. Cadernos CEDES n.40, Campinas, 1996. GRA TI AN-GUINNESS, I not from nowhere: history and philosophy behing mathematical education.J. Math.Educ.Technol.d.p. 421-453,1973. INEPIFUNBEC. Programa de Educação Continuada: Matemática. São Paulo: Arte e Produção Gráfica, 1990. U1vIA; LUCIANO; MOISÉS, Roberto P. HELP! Sistema de Consulta Interativa: Matemática. Jornal °Estado de SP. São Paulo: Klick Editora, 1995 . ., MlGUEL, Antonio. As Potencialidades Pedagógicas da História da Matemática em Questão. Campinas: Faculdade de Educação,UNICAMP, 1993. POINcARÉ, H. Science et Methode. Paris: Flamarion, 1947. SWETZ, F. J. Using Problems from the History of Mathernatics in Clasroom Instruction. Mathematics teacher, 82, mag, p.370-377, 1989. VIANNA, Carlos R. Matemática e História: algumas relações e implicações pedagógicas. Dissertação de Mestrado. São Paulo: USP, 1995.

×