Tópicos deMétodos Numéricos em   Zeros de funçõesRodolfo Maduro Almeida
FunçãoDefinição: Uma função consta de três partes:  o um conjunto A chamado de domínio de f  o um conjunto B chamado de im...
Raízes ou Zeros de Funções Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma fun...
Raízes ou Zeros de FunçõesFormas de obter zeros de uma função:   o Método gráfico   o Métodos numéricos
Método gráficoMétodo gráfico• Interpretação visual:   f ( x)   ex   3xXR1 [0,5; 1]XR2 [1,5; 2]• Estimativa grosseira:XR1 0...
Raízes de funçõesMétodos numéricos para encontrar raízes de funçõesTratam-se de procedimentos numéricos para resoluçãode e...
Métodos Iterativos1.   Método da bisseção2.   Método da falsa posição3.   Método de Newton4.   Método da Secante5.   Métod...
Método da BissecçãoTeorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda desinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, en...
Método da Bissecção• Passo 1: forneça um intervalo inicial       y                                  y =f(x)    f(b)       ...
Método da Bissecção• Passo 2: Calcula o Xm       y                             y =f(x)    f(b)                   a       c...
Método da Bissecção• Passo 2: Testa onde se encontra a raiz:        y                                        y =f(x)     f...
AlgoritmoDados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol.   1: Para n = 0:NMAX, faça   2:      c = (a+b)/2   3:       S...
Método da Falsa PosiçãoTeorema: É um método semelhante ao método dabisseção, porém o cálculo do valor intermediário é mais...
Algoritmo
Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes     y                    y =f(x)     0                           ...
Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes     y                    y =f(x)     0                           ...
Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes     y                    y =f(x)     0                           ...
Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes     y                             y =f(x)     0                  ...
Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes     y                    y =f(x)     0                           ...
Algoritmo
Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante      y                     ...
Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante      y                     ...
Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante      y                     ...
Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante      y                     ...
Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante      y                     ...
Algoritmo
Método do ponto fixo
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Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções

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  1. 1. Tópicos deMétodos Numéricos em Zeros de funçõesRodolfo Maduro Almeida
  2. 2. FunçãoDefinição: Uma função consta de três partes: o um conjunto A chamado de domínio de f o um conjunto B chamado de imagem ou contra-domínio o uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento a A, um único elemento b=f(a) B.
  3. 3. Raízes ou Zeros de Funções Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma função f(x), basta resolver a equação: f(x) = 0 f ( x) x2 4x 3 Raízes: X1 = 1 X2 = 3 Interseção com o eixo-x
  4. 4. Raízes ou Zeros de FunçõesFormas de obter zeros de uma função: o Método gráfico o Métodos numéricos
  5. 5. Método gráficoMétodo gráfico• Interpretação visual: f ( x) ex 3xXR1 [0,5; 1]XR2 [1,5; 2]• Estimativa grosseira:XR1 0,6XR2 1,5f(0,6) = 0,0221f(1,5) =-0,0183
  6. 6. Raízes de funçõesMétodos numéricos para encontrar raízes de funçõesTratam-se de procedimentos numéricos para resoluçãode equações.Como resolver??Métodos iterativos:• Conjunto de operações aplicadas sucessivas vezes até que um critério de solução seja estabelecido.• Sucessivas soluções do problema são encontradas
  7. 7. Métodos Iterativos1. Método da bisseção2. Método da falsa posição3. Método de Newton4. Método da Secante5. Método do ponto fixo
  8. 8. Método da BissecçãoTeorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda desinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, então existepelo menos um ponto x* [a,b] tal que f(x*)=0. Alémdisso, se f’(x) não muda de sinal em *a,b+ então x* é aúnica raiz de f(x) nesse intervalo. y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  9. 9. Método da Bissecção• Passo 1: forneça um intervalo inicial y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  10. 10. Método da Bissecção• Passo 2: Calcula o Xm y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a) a b c 2
  11. 11. Método da Bissecção• Passo 2: Testa onde se encontra a raiz: y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a)Se f(c)f(a) < 0 então a raiz está entre a e c.Caso contrário, está entre b e c.
  12. 12. AlgoritmoDados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol. 1: Para n = 0:NMAX, faça 2: c = (a+b)/2 3: Se f(a)f(c)<0 entao 4: b = c 5: Caso Contrario 6: a = c 7: FimSe 8: Se |f(c)| < tol entao 9: solucao = (b+a)/2 10: pare 11: FimSe 12: Se n = KMAX entao 13: pare: metodo não convergiu. 14: FimSe 15: FimPara
  13. 13. Método da Falsa PosiçãoTeorema: É um método semelhante ao método dabisseção, porém o cálculo do valor intermediário é maiselaborado. y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a)
  14. 14. Algoritmo
  15. 15. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  16. 16. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  17. 17. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  18. 18. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x Este procedimento é repetido várias vezes...
  19. 19. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  20. 20. Algoritmo
  21. 21. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  22. 22. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  23. 23. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  24. 24. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  25. 25. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  26. 26. Algoritmo
  27. 27. Método do ponto fixo
  28. 28. Método do ponto fixo
  29. 29. Método do ponto fixo
  30. 30. Algoritmo

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