Soluções de Equações Não Lineares

Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares
Soluções de Equações
não-lineares
(Zeros de funções reais)

2
• Estudar métodos numéricos para a resolução de
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de
uma função f(x)f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx
tal que f(x) = 0f(x) = 0)
 Fundamentar a necessidade de uso de métodos
numéricos para a resolução de equações não lineares
 Discutir o princípio básico que rege os métodos
numéricos para a resolução de equações não lineares
 Apresentar uma série de métodos destinados à
resolução de equações não lineares
Cálculo Numérico – Objetivos

3
Necessidade de resolução de
equações do tipo f(x) = 0
Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação
 MomentoMomento
 EnergiaEnergia
 MassaMassa
Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação
 MomentoMomento
 EnergiaEnergia
 MassaMassa
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó :
∑ FH = 0
∑ FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
ReatoresE1
E2 S
E S
Em um dado intervalo:
∑massa = entradas - saídas

-número de raízes
-métodos iterativos
-métodos intervalares
-bissecções sucessivas
-falsa posição
-métodos abertos
-iteração de ponto fixo
-Newton-Raphson
-Secante
-critérios de parada
Resolução de equações não lineares
Pontos mais importantes:
4

Raízes das funções
f(x)=ax2
+bx+c f(x)=log(2x)+sinh(3x)
x= ? tal como f(x)=0Raíz(es): x= ? tal como f(x)=0
explícito implícito
métodos numéricos
5

6
n Determinação das raízes em função de aa, bb e
cc
ax2
+ bx + c = 0
n Polinômios de grau mais elevado e funções
com maior grau de complexidade
 Impossibilidade de determinação exata dos
zeros
x = -b ± √ b2
– 4ac
2a
n A partir de uma equação de 2º grau da forma

)e1(
c
gm
)t(v m
ct
−
−=-exemplo de queda livre:
m=0.5 kg, c=0.29, g=9.81 m/s2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12
analitica
numérica (dt=1 sec)
numérica (dt=0.5 sec)
tempo, s
velocidade,m/s
7
- se for c uma incognita? -------> 0v)e1(
c
gm
)c(f m
ct
=−−=
−

Método gráfico
-exemplo de queda livre: 0v)e1(
c
gm
)c(f m
ct
=−−=
−
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
c
f(c)
c
8

Número de zeros
-f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b], o número de zeros é:
Teoremas
-ímpar (pelo menos uma) se f(a)*f(b)<0
-par (pode ser 0) se f(a)*f(b)>0
-se mais do que um f ’(x) também tem pelo menos uma raíz
9

Métodos iterativos
-carácter iterativo: a partir de alguns valores iniciais (x1, x2,...xs-1)
da raiz (z) construímos uma nova aproximação xs supostamente
melhor:
10

 Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas
fases:
Fase I - Localização ou isolamento das raízes:
Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém
uma única raiz;
Fase II - Refinamento:
Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo
[a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma
aproximação para a raiz dentro de uma precisão
prefixada.
ε

12
Princípio Básico dos Métodos Numéricos
VALORVALOR
INICIALINICIAL
VALORVALOR
INICIALINICIAL
APRIMORAMENTOAPRIMORAMENTO
DOS VALORESDOS VALORES
APRIMORAMENTOAPRIMORAMENTO
DOS VALORESDOS VALORESMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROS
VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ
VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ

13
n Etapas Usuais para a Determinação de Raízes
a partir de Métodos Numéricos
FASE I
Isolamento das
raízes
FASE I
Isolamento das
raízes
Determinação de um
intervalo (o menor
possível) que contenha
apenas uma raiz
Determinação de um
intervalo (o menor
possível) que contenha
apenas uma raiz
FASE II
Refinamento das
raízes
FASE II
Refinamento das
raízes
Melhoramento do valor da
raiz aproximada
(refinamento até a
precisão desejada).
Melhoramento do valor da
raiz aproximada
(refinamento até a
precisão desejada).
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS

Métodos de localização de zeros
1, Métodos intervalares: -mudança de sinais na vizinhança de zero
-duas estimativas iniciais
-método gráfico
14

15
Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33
– 9x +3– 9x +3
n f(x)f(x) é contínua para ∀xx ∈RR.
n II11 = [= [-5-5,, -3-3]]
n II22 = [= [00,, 11]]
n II33 == [[22,, 33]]
Cada um dos intervalosCada um dos intervalos
contém pcontém peloelo menosmenos umum zerozero..
Cada um dos intervalosCada um dos intervalos
contém pcontém peloelo menosmenos umum zerozero..
++++++––––++++++––––––––f(x)
543210-1-3-5-10-100-∞x

16
n f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no intervalo [o intervalo [11,, 22]]
OO zerozero é únicoúnico??
Análise do sinal deAnálise do sinal de f’(x)f’(x)
......++++––––f(x)
...3210x
n f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2√√x )+ 5ex )+ 5e-x-x
> 0> 0,, ∀x > 0x > 0
f(x)f(x) admite umadmite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de
definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] ..
f(x)f(x) admite umadmite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de
definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] ..
Exemplo 02: f(x) =f(x) = √√ x – 5ex – 5e-x-x

17
n OBSERVAÇÃO:
Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações
no intervalo [a,[a, b]b].
b
f(x)
xa
f(x) a
ξξ
f(x)
xb
ξξ11 ξξ22
xa b

18
FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES
 Realização de uma análise teórica e gráfica da
função de interesse
 Precisão das análises é relevante para o
sucesso da fase posterior

19
• Estudo Detalhado do Comportamento de uma
Função a partir de seu Gráfico
 Domínio da funçãoDomínio da função
 Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e decrescimentoIntervalos de crescimento e decrescimento
 Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo
 ConcavidadeConcavidade
 Pontos de inflexãoPontos de inflexão
 Assíntotas da funçãoAssíntotas da função

20
Construção dos gráficos de g(x)g(x) e h(x)h(x)
no mesmo sistema cartesiano
Construção dos gráficos de g(x)g(x) e h(x)h(x)
no mesmo sistema cartesiano
Localização dos pontos xx nos quais
g(x)g(x) e h(x)h(x) se interceptam
(f(f(ξξ) = 0) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ)) )
Localização dos pontos xx nos quais
g(x)g(x) e h(x)h(x) se interceptam
(f(f(ξξ) = 0) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ)) )
Localização das abscissas dos pontos
nos quais a curva intercepta o eixo oxox
Localização das abscissas dos pontos
nos quais a curva intercepta o eixo oxoxConstrução do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)
I
Obtenção da equação equivalente g(x) =g(x) =
h(x)h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0
Obtenção da equação equivalente g(x) =g(x) =
h(x)h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0
II
Uso de programas para traçar gráficos de
funções
Uso de programas para traçar gráficos de
funções
III
ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA

Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 21
– 9x +3– 9x +3
(Uso do método II ) ν ξξ11 ∈[-4, -3][-4, -3]
ν ξξ22 ∈[0, 1][0, 1]
ν ξξ33 ∈[2, 3][2, 3]
n f’(x) = 3xf’(x) = 3x22
- 9- 9
n f’(x) = 0 <=> x =f’(x) = 0 <=> x = ±√±√33
33
-72
-7,3923√√ 3
-51
30
11-1
13,3923- √√ 3
3-3
-25-4
f(x)x
ξ3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
ξ2ξ1

22
n g(x) = xg(x) = x33
n h(x) = 9x -3h(x) = 9x -3
– 9x +3– 9x +3
ξ3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
ξ2
ξ1
h(x)
y

23
 MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
9*x-3
(Uso do método IIIIII )
ν ξξ11 ∈ ((-4-4,, -3-3))
ν ξξ 22 ∈ ((00,, 11))
ν ξξ 33 ∈ ((22,, 33))

24
FASE II: REFINAMENTO
Aplicação de métodos numéricos destinados ao
refinamento de raízes
 Diferenciação dos métodos  Modo de
refinamento
 Método IterativoIterativo  Caracterizado por uma
série de instruções executáveis
sequencialmente, algumas das quais repetidas
em ciclos (iteraçõesiterações)

25
CRITÉRIOS DE PARADA
 Teste: xxkk suficientemente próximo da raiz
exata?
 Como verificar tal questionamento?
 Interpretações para raiz aproximada
 xx é raiz aproximada com precisão εε se:
i.i. |x -|x - ξξ | <| < εε
ou
ii.ii. |f( x )| <|f( x )| < εε
Como proceder se não se
conhece ξξ ?
Como proceder se não se
conhece ξξ ?

26
Redução do intervalo que contém a raiz a cada
iteração
 Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal que:
 ξξ ∈∈ [a,b][a,b]
e
 b – a <b – a < εε
||xx -- ξξ || << εε ,, ∀∀ xx ∈∈ [[aa,,bb]]
∀∀xx ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado
como xx
∀∀xx ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado
como xx
ξξ b
f(x)
x
a
b – a <b – a < εε

27
• Métodos Iterativos para a Obtenção de Zeros
Reais de Funções
– BissecçãoBissecção
– Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado
– Ponto FixoPonto Fixo
– Newton-RaphsonNewton-Raphson
– SecanteSecante
Cálculo Numérico –

28
• Método da BissecçãoBissecção
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde
existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém
pelo ponto médio de aa e bb.
Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção

29
• Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalointervalo inicialinicial
• a0 = aa
• b0 = bb
– Condições de Aplicação
• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0
• Sinal da derivada constanteconstante

30
Determina-se qual o subintervalo – [a , x[a , x11]] ou
[x[x11 , b], b] – que contém a raizraiz
Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
Se verdadeiroverdadeiro  ξξ ∈∈ (a, x(a, x11))
(Logo a = aa e b = xx11
)
Caso contrarioCaso contrario  ξξ ∈∈ (x(x11 , b), b)
(Logo a = xx11
e b = bb)
 Definição de Novos Intervalos
 Repete-se o processo até que o valor de
xx atenda às condições de paradacondições de parada.

31
 Análise Gráfica
x
a = a0
ξ
f(x)
b = b0
xx11 = (a + b)/2= (a + b)/2
xx11
x
a = a1
ξ
f(x)
x1 = b1
xx22 = (a + x= (a + x11 )/2)/2
xx22
x
ξ
f(x)
x1=b2
xx33 = (x= (x22 + x+ x11 )/2)/2
x2=a2
xx33
Repete-se o processo até que o
valor de xx atenda às condiçõescondições
de paradade parada.
de paradade parada.

32
Após nn iterações, a raiz estará contida no intervalo:
,
de modo que ξξ é tal que:
 Generalização










=



−
− n
00
nn
2
ab
ab














++
−
<−ξ 1n
00
1n
2
ab
x

33
Aproximação de zero, dependente do equipamento
utilizado e da precisão necessária para a solução do
problema
 TolerânciaTolerância ( εε )
A tolerânciatolerância é uma
estimativa para o erroerro
absolutoabsoluto desta
aproximação.
A tolerânciatolerância é uma
estimativa para o erroerro
absolutoabsoluto desta
aproximação.

34
Considerando :
deve-se escolher nn tal que:
⇒
 TolerânciaTolerância ( εε )










++
−
<−ξ 1n
00
1n
2
ab
x
ε<
−














+1n
00
2
ab
1
)2ln(
abln
n
00
−






ε
−
≥

35
 Condições de Parada
 Se os valores fossem exatosexatos
 f(x) = 0f(x) = 0
 (x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk = 0= 0
 Uma vez que são aproximadosaproximados
 ||f(x)f(x)|| ≤≤ tolerânciatolerância
 ||(x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk || ≤≤ tolerânciatolerância

36
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;
xk+1 := (ak + bk)/2;
while critério de parada não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x, xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhile
if k > L
parada falhou
endif

37
Vantagens:Vantagens:
• Facilidade de implementação;
• Estabilidade e convergência para a solução procurada;
• Desempenho regular e previsível.
O número de interações é
dependentedependente da tolerânciatolerância
considerada
O número de interações é
dependentedependente da tolerânciatolerância
considerada

38
Desvantagens:Desvantagens:
• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo
de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);
• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é
possível);
• Complexidade da extensão do método para problemas
multivariáveis.

39
Exemplo 06: Resgatando o Exemplo 05Exemplo 05, f(x) =f(x) =
xlogx - 1xlogx - 1
h(x)
y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
ξ2 3
 Verificou-se que ξξ ∈ [2, 3][2, 3]

40
 Cálculo da 1ª
aproximação
 x1
= (a0
+ b0
)/2 = (2,00000 + 3,00000)/2 ⇒
x1
= 2,500002,50000
 f(x1
) = f(2,50000) = -0,00510-0,00510
 f(a0
) = f(2,00000) = -0,39794-0,39794
 Teste de Parada
 |f(x1
)| =|-0,00510| = 0,005100,00510 > 0,002
Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1
Considerando o método da bissecção com tol = 0,002tol = 0,002 e
adotando [a[a00 ,b,b00] = [2, 3]] = [2, 3] como intervalo inicial, tem-se:

41
 Cálculo da 2ª
aproximação
Novo Intervalo
 f(a0
).f(x1
) = (-0,39794).(-0,00510) > 0
logo:a1 = x1 = 2,500002,50000 e b1 = b0 = 3,000003,00000
 x2 = (2,50000 + 3,00000)/2 =
x2 = 2,750002,75000
 f(2,50000) = -0,051000,05100 < 0
 f(3,00000) = 0,431400,43140 > 0
 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0
 ξξ ∈∈ [2,5 ; 2,75][2,5 ; 2,75]
a2 = a1 = 2,500002,50000 e b2 = x2 = 2,750002,75000

42
Exemplo 06:
 x3 = (2,50000 + 2,75000)/2 = 2,625002,62500
 f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0
 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0
 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0
 x4 = (2,50000 + 2,62500)/2 = 2,562502,56250
 f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0
 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0
 f(2,56250) = 0,047200,04720 > 0
 ξξ ∈∈ [2,5 , 2,625][2,5 , 2,625]
a3 = a2 = 2,500002,50000
b3 = x3 = 2,625002,62500
 ξξ ∈∈ [2,5 , 2,5625][2,5 , 2,5625]
a3 = a2 = 2,500002,50000
b3 = x4 = 2,562502,56250

43
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1)
0 2,50000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,500002,50000 -0,00510-0,00510
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,750002,75000 0,208200,20820
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,625002,62500 0,100210,10021
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,562502,56250 0,047200,04720
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,531252,53125 0,020900,02090
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,515632,51563 0,007900,00790
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,507812,50781 0,001400,00140
εε == 0,0020,002

44
Exemplo 07: Seja f(x) = xf(x) = x33
– x – 1– x – 1
Intervalo inicial atribuído: [1, 2][1, 2]
Considerando-se ε = 0,0020,002
f(a0
) = -1-1
f(b0
) = 55
f’(x) = 3x3x22
– 1– 1
f(a0
) * f(b0
) = -5 < 0-5 < 0
Sinal da derivada constanteconstante
(f’(a0
) = 22 e f’(b0
) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1

45
 Cálculo da 1ª aproximação
 x1
= (a0
+b0
)/2 = (1,000000+2,000000)/2 = x1 =
1,5000001,500000
 f(x1
) = 1,51,533
– 1,51,5 – 11 = 0,8750000,875000
 Teste de Parada
 |f(x1
)| =|0,875| = 0,8750000,875000 > 0,002
 Escolha do Novo Intervalo
 f(a0
).f(x1
) = (-1).0,8750,875 = -0,875-0,875
logo: a1
=a0
=1,0000001,000000 e b1
=x1
= 1,500001,50000
– x – 1– x – 1

46
k ak
bk
f(ak
) f(bk
) xk+1
f(xk+1
)
0 1,0000000 2,0000000 -1,000000 5,000000 1,500000001,50000000 0,8750000,875000
1 1,0000000 1,5000000 -1,000000 0,875000 1,250000001,25000000 -0,296875-0,296875
2 1,2500000 1,5000000 -0,296875 0,875000 1,375000001,37500000 0,2246090,224609
3 1,2500000 1,3750000 -0,296875 0,224609 1,312500001,31250000 -0,051514-0,051514
4 1,3125000 1,3750000 -0,051514 0,224609 1,343750001,34375000 0,0826110,082611
5 1,3125000 1,3437500 -0,051514 0,082611 1,328125001,32812500 0,0145760,014576
6 1,3125000 1,3281250 -0,051514 0,014576 1,320312501,32031250 -0,018711-0,018711
– x – 1– x – 1
εε == 0,0020,002

47
• Método da BissecçãoBissecção
– Calcula a média aritméticaaritmética dos limites do intervalo
que contém a raiz ([aa, bb] )
• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo
Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição

48
• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo
)a(f)b(f
)a(fb)b(fa
x
−
−
=
)a(f)b(f
)a(bf)b(af
x
−
−
=
xa ξ
f(x)
bxx
f(b)
f(a)

49
 Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial
• a0 = aa
• b0 = bb
• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0

50
 Definição dos Subintervalos
– Subdivide-se o intervalo pelo pontoponto dede intersecçãointersecção
da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
– Verifica-se se, através do teste de parada, se xx11
é uma
aproximaçãoaproximação dada raizraiz da equação (ξ)
• Se verdadeiroverdadeiro  xx11
é a raizraiz procurada
• CasoCaso contráriocontrário  define-se um novonovo intervalo

51
– Determina-se qual subintervalo - [a[a00 , x, x11]] ou [x[x11 , b, b00]]
- contém a raiz ξξ
• Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
– Se verdadeiroverdadeiro  ξ ∈ (a0, x1)
Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11
– CasoCaso contrariocontrario  ξ ∈ (x1, b0)
Logo a1 = xx11 e b1 = bb00
 Definição do Novo Intervalo
Repete-se o processo até que o valor de
xx atenda às condições de paradacondições de parada.

52
Repete-se o processo
até que o valor de xx
atenda às condições decondições de
paradaparada.
Repete-se o processo
até que o valor de xx
atenda às condições decondições de
paradaparada.
xa = a0
ξ
f(x)
b = b0xx11
xa = a1
ξ
f(x)
x1 = b1xx22
xξ
f(x)
x1 = b2x2 = a2
xx33
)()(
)()(
00
0000
1
afbf
afbbfa
x
−
−
=
)()(
)()(
11
1111
2
afbf
afbbfa
x
−
−
=
)()(
)()(
22
2222
3
afbf
afbbfa
x
−
−
=

53
 Condições de Parada
Se os valores fossem exatosexatos
f(x) = 0f(x) = 0
(x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk = 0= 0
Não o sendoNão o sendo
||f(x)f(x)|| ≤≤ tolerânciatolerância
||(x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk || ≤≤ tolerânciatolerância

54
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); ou xk+1 := (akGk- bkFk)/(Gk – Fk);
while critério de convergência não satisfeito and k≤L
if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x, xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
endwhile
if k>L
convergência falhou

55
Exemplo 08: Considerando f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1
h(x)
y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Considerando-se ε = 0,0020,002 f(a0
)
= - 0,3979- 0,3979
f(b0
) = 0,43140,4314
f’(x) = logxlogx ++ 1/xln101/xln10
f(a0
) * f(b0
) = -- 0,0171650,017165<< 00
Sinal da derivada constante
(f’(a0
) = 0,520,52 e f’(b0
) = 0,6220,622)

56
Exemplo 08:
 Cálculo da 1ª aproximação: a0 == 22 b0 == 33
f(a0) = - 0,3979- 0,3979 < 00
f(b0) = 0,43140,4314 > 00
x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798
[0,4314 – (- 0,3979)]
Teste de Parada
 |f(x1
)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00
logo: a1
= x1
= 2,47982,4798 e b1
= b0
= 33

57
Exemplo 08:
 Cálculo da 2ª aproximação: a1 == 2,47982,4798 b1 == 33
f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00
f(b1) = 0,43140,4314 > 00
x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(- 0,0219)] = 2,50492,5049
[0,4314 – (- 0,0219)]
 Teste de Parada
 |f(x2
)| =|- 0,0011| = 0,00110,0011 < tolerânciatolerância
 f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(- 0,0011) > 00
logo: a2
= x2
= 2,50492,5049 e b2
= b1
= 33

58
Exemplo 08:
 Cálculo da 3ª aproximação a2 == 2,50492,5049 b2 = 33
f(a2) = - 0,0011- 0,0011 < 00
f(b2) = 0,43140,4314 > 00
x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(- 0,0011)] = 2,50612,5061
[0,4314 – (- 0,0011)]
 Teste de Parada
 |f(x3)| = |- 7,0118.10-5
| = 7,0118.107,0118.10-5-5
< toltol
(valor aceitável de raiz)(valor aceitável de raiz)

59
k ak
bk
f(ak
) f(bk
) xk+1
f(xk+1
)
0
2,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900
1
2,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,50490002,5049000 -0,001100-0,001100
2
2,504900 3,000000 -0,0011000 0,431400 2,50610002,5061000 -0,000070-0,000070
εε = 0,0020,002

60
Exemplo 09: Seja a função do Exemplo 07, f(x) = xf(x) = x33
– x– x
– 1– 1
tol = 0,0020,002
f(a0
) = -1-1
f(b0
) = 55
f’(x) = 3x3x22
– 1– 1
f(a0
)*f(b0
) = -5-5 < 00
(f’(a0
) = 22 e f’(b0
) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1

61
Exemplo 09:
 Cálculo da 1ª aproximação a0 == 11 b0 == 22
f(a0) = - 1- 1 < 00
f(b0) = 55 > 00
x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667
[5 – (- 1)]
 Teste de Parada
 |f(x1
)| =|- 0,5787037| = 0,57870370,5787037 > toltol
 f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787037) > 00
logo: a1
= x1
= 1,166671,16667 e b1
= b0
= 22

62
k ak
bk
f(ak
) f(bk
) xk+1
f(xk+1
)
0
1,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16666671,1666667 -0,578704-0,578704
1
1,166667 2,000000 -0,5787037 5,000000 1,25311201,2531120 -0,285363-0,285363
2
1,253112 2,000000 -0,2853630 5,000000 1,29343741,2934374 -0,129542-0,129542
3
1,293437 2,000000 -0,1295421 5,000000 1,31128121,3112812 -0,056588-0,056588
4
1,311281 2,000000 -0,0565885 5,000000 1,31898851,3189885 -0,024304-0,024304
5
1,318988 2,000000 -0,0243037 5,000000 1,32228271,3222827 -0,010362-0,010362
6
1,322283 2,000000 -0,0103618 5,000000 1,32368431,3236843 -0,004404-0,004404
– x – 1– x – 1
εε = 0,0020,002

63
• Estabilidade e convergência para a solução procurada;
• Desempenho regular e previsível;
• Cálculos mais simples que o método de Newton.

64
• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo
de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);
• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é
possível).

65
• Método da Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado
(FPMFPM )
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b], o qual
contém uma raiz única, é possível determinar tal raiz a
partir de subdivisões sucessivas do intervalo que a
contém, evitando, ao mesmo tempo, que as aproximações
geradas pela fórmula de iteração se aproximem da raiz
por um único lado.
Cálculo Numérico – FPMFPM

66
 Definição do Intervalo Inicial
– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial
• a0 = aa
• b0 = bb
• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0

67
 Definição dos Subintervalos
– Subdivide-se o intervalo pelo ponto de intersecçãoponto de intersecção
da reta que liga f(a)f(a) a f(b)f(b) e o eixo das abscissas
– Verifica-se se xx11 é uma aproximaçãoaproximação dada raizraiz da
equação (ξξ)
• Se verdadeiroverdadeiro  xx11 é a raizraiz procuradaprocurada
• CasoCaso contráriocontrário  define-se um novonovo intervalo

68
– Determina-se em qual dos subintervalos [a[a00 , x, x11]] ou
[x[x11 , b, b00]] - se encontra a raiz ξ
– 1º Teste
• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 00
– Se verdadeiroverdadeiro  ξξ ∈ (aa00 ,, xx11)
Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11
– Caso contrarioCaso contrario  ξ ∈ (xx11 ,, bb00)
Logo a1 = xx11 e b1 = bb00
 Definição do Novo Intervalo

69
 Repete-se o processo até que o valor
de xx atenda às condições de paradacondições de parada.
 Definição do novo valor de xx
– 2º Teste
– Verifica-se se f(xf(xii )*f(x)*f(xi+1i+1)) > 00
• Caso seja verdadeiroverdadeiro
– Se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 00
Se verdadeiro faz-se f(a)/2f(a)/2
Caso contrário faz-se f(b)/2f(b)/2
• Caso contrarioCaso contrario  Permanecem os valores

70
de paradade parada.
de paradade parada.
x
a = a1
ξ
f(x)
b1 = x1
xx22 = (a|f(x= (a|f(x11 )| - x)| - x11 |f(a)| )|f(a)| )
(|f(x(|f(x11 )| - |f(a)|))| - |f(a)|)
xx22
f(a1)/2
x
a = a0
ξ
f(x)
b = b0xx11
xx11 = (a|f(b)| - x= (a|f(b)| - x11 |f(a)| )|f(a)| )
(|f(b)| - |f(a)|)(|f(b)| - |f(a)|)

71
 Condições de parada
f(x) = 0f(x) = 0
(x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk = 0= 0
||f(x)f(x)|| ≤≤ tolerânciatolerância
||(x(xkk – x– xk+1k+1 )/x)/xkk || ≤≤ tolerânciatolerância

72
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
while critério de convergência não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x, xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; Gk+1 = f(xk+1)
if f(xk)f(xk+1) > 0 then Fk+1 = Fk/2
endif
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; Fk+1 = f(xk+1)
if f(xk)f(xk+1) > 0 then Gk+1 = Gk/2
endif
endif
k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
endwhile
if k ≤ L
xk+1 é uma aproximação aceitável para a raiz

73
Exemplo 10: Considerando f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1
h(x)
y
ξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Considerando-se εε = 0,0020,002 f(a0
)
= - 0,3979- 0,3979
f(b0
) = 0,43140,4314
f’(xx) = logx + 1/xln10logx + 1/xln10
f(a0
) * f(b0
) = - 0,017165< 0- 0,017165< 0
(f’(a0
) = 0,520,52 e f’(b0
) = 0,6220,622)

74
Exemplo 10:
 Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 22 b0 = 33
f(a0) = - 0,3979- 0,3979 < 00
f(b0) = 0,43140,4314 > 00
x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798
[0,4314 – (- 0,3979)]
Teste de Parada
 |f(x1
)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância
 f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00
logo: a1
= x1
= 2,47982,4798 e b1
= b0
= 33

75
Exemplo 10:
 Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,47982,4798 b1 = 33
f(x0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00
f(a0).f(x1) = (- 0,3979 ).(- 0,0219) > 00
f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00
f(b1) = 0,43140,4314 > 00
x2 = [2,4798.(0,4314/2) – 3.(- 0,0219)] ⇒
[(0,4314/2) – (- 0,0219)]
x2 = 2,52772,5277
( faz f(b)/2f(b)/2 )

76
Exemplo 10:
 Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,47982,4798 b1 = 33
Teste de Parada
 |f(xx22
)| =|0,018| = 0,0180,018 > εε
 f(aa11).f(xx22) = (- 0,0219).(0,018) < 00
logo: a2
= a1
= 2,47982,4798 e b2
= x2
= 2,52772,5277

77
Exemplo 10:
 Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =
2,52772,5277
f(x1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00
f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00
f(a2) = -- 0,02190,0219 < 00
f(b2) = 0,0180,018 > 00
x3 = [2,4798.(0,018) – 2,5277.(- 0,0219)] ⇒
[(0,018) – (- 0,0219)]
x3 = 2,50602,5060
( Permanece
f(a)f(a) e f(b)f(b) )

78
Exemplo 10:
 Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =
2,52772,5277
Teste de Parada
 |f(x3
)| =|- 0,000153| = 0,0001530,000153 < εε
(valor aceitável de raizvalor aceitável de raiz)

79
k ak
bk
f(ak
) f(bk
) xk+1
f(xk+1
)
0
2,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900
1
2,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,52770002,5277000 0,0180000,018000
2
2,479800 2,527700 -0,0219000 0,018000 2,50600002,5060000 -0,000153-0,000153
Exemplo 10: f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1
εε = 0,0020,002

80
Exemplo 11: Seja a função do Exemplo 7, f(x) = xf(x) = x33
– x– x
– 1– 1
Considerando-se ε = 0,0020,002
f(a0
) = -1-1
f(b0
) = 55
f’(x) = 3x3x22
– 1– 1
f(a0
) * f(b0
) = -5 < 0-5 < 0
Sinal da derivada constanteconstante
(f’(a0
) = 22 e f’(b0
) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1

81
f(a0) = - 1- 1 < 00
f(b0) = 55 > 00
x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667
[5 – (- 1)]
 Teste de Parada
 |f(x1
)| =|- 0,5787| = 0,57870,5787 > εε
Exemplo 11:

82
 f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
logo: a1
= x1
= 1,166671,16667 e b1
= b0
= 22
Exemplo 11:

83
 Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 1,166671,16667 e b1 = 22
f(x0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00
f(a1) = - 0,5787- 0,5787 < 00
f(b1) = 55 > 00
x2 = [1,16667.(5/2) – 2.(- 0,5787)] = 1,32331,3233
[(5/2) – (- 0,5787)]
(Faz f(b)/2f(b)/2 )
Exemplo 11:

84
 Teste de Parada
 |f(x2
)| =|- 0,00604| = 0,006040,00604 > εε
 f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
logo: a2
= x2
= 1,32331,3233 e b2
= b1
= 22
Exemplo 11:

85
Exemplo 11:
f(x1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00
f(a2) = - 0,00604- 0,00604 < 00
f(b2) = 55 > 00
x3 = [1,3233.(5/2) – 2.(- 0,0064)] = 1,324931,32493
[(5/2) – (- 0,0064)]
(Faz f(b)/2f(b)/2 )

86
Exemplo 11:
 Teste de Parada
 |f(x3
)| =|0,00078| = 0,000780,00078 < εε
(valor aceitável de raizvalor aceitável de raiz )

87
– x – 1– x – 1
k ak
bk
f(ak
) f(bk
) xk+1
f(xk+1
)
0
1,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16667001,1666700 -0,578700-0,578700
1
1,166670 2,000000 -0,5787000 5,000000 1,32330001,3233000 -0,006040-0,006040
2
1,323300 2,000000 -0,0060400 5,000000 1,32493001,3249300 0,0007800,000780
εε = 0,0020,002

88
Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo
• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)
existe uma raiz única, f(x) = 0f(x) = 0, é possível transformar tal
equação em uma equação equivalente x = g(x)x = g(x) e, a partir
de uma aproximação inicial xx00
, gerar uma seqüência {x{xkk}}
de aproximações para ξξ pela relação xxk+1k+1 = g(x= g(xkk)), uma
vez que g(x)g(x) é tal que f(f(ξξ) = 0) = 0 se e somente se g(g(ξξ)) == ξξ.

89
Implicação de tal procedimento:
Problema de determinação
de um zero de f(x)f(x)
de um zero de f(x)f(x)
de um ponto fixo de g(x)g(x)
de um ponto fixo de g(x)g(x)
Função de
iteração

90
Forma geral das funções de iteração:
com A(A(ξξ)) ≠≠ 00 em ξξ, ponto fixo de g(x)g(x).
• Interpretação Gráfica
– x = g(x)x = g(x) tem como raizraiz a abcissa do ponto de
intersecção da reta r(x) = xr(x) = x e da curva g(x)g(x).
)x(f)x(Ax)x(g +=

91
Exemplo 12:
Seja a equação xx22
+ x – 6+ x – 6 = 0= 0.
Funções de iteração possíveis:
gg11(x)(x) = 6 -= 6 - xx22
gg22(x)(x) = ±√6 -= ±√6 - xx
gg33(x)(x) = 6/= 6/x – 1x – 1
gg (x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)
Dada uma equação do
tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal
equação mais de umamais de uma
funçãofunção de iteração g(x)g(x),
tal que: f(x) = 0f(x) = 0 ⇔ x =x =
g(x)g(x)

92
 Análise Gráfica da Convergência
Situação 1
xk ↑ ξ quando k → ∞

93
 Análise gráfica da Convergência
Situação 2
ξ2ξξ22
xx00
gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½
xx11
xx33
{x{xkk}} →→ ξξ quandoquando kk →→ ∞∞
ξ2ξξ22
xx00
gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½
xx11
xx33

94
 Análise Gráfica da Convergência
Situação 3
xk ↑ ξ quando k → ∞xk ↑ ξ quando k → ∞

95
 Análise gráfica da Convergência
Situação 4
ξ1ξξ11
xx00ξ2ξξ22
gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)
xx11
xx33
ξ1ξξ11
xx00ξ2ξξ22
gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)
xx11
xx33

96
Exemplo 13: Seja a seguinte equação xx22
+ x+ x
– 6– 6 = 0= 0 ::
 Não há necessidade de uso de método
numérico para a determinação das raízes
ξξ11 = -3= -3 ee ξξ22 = 2= 2
 Utilização desta exemplo para demonstrar
a convergência ou divergência numérica e
gráfica do processo iterativo
 Seja a raiz ξξ22 = 2= 2 ee gg11 (x) = 6 - x(x) = 6 - x22
 Considere-se xx00 = 1,5= 1,5 e g(x)g(x) = gg11 (x)(x)

97
 x1
= g(x0
) = 6 – 1,52
= 3,753,75
 x2
= g(x1
) = 6 – 3,752
= -8,0625-8,0625
 x3
= g(x2
) = 6 – (-8,0625)2
= -59,003906-59,003906
 Conclui-se que {xxkk }} não convergirá para
ξξ22 == 22
 xx44 = g(= g(x3 ) =) = 66 –– ((-59,003906-59,003906))22
==
- 3475,4609- 3475,4609
Exemplo 13:Seja a raiz ξξ22
= 22 ,, x0
= 1,51,5 e
g1
(x) = 6 – x²6 – x²:

98
Exemplo 13: Análise Gráfica:
{x{xkk }} ↑↑ ξξ
y
xξ2
x1
g(x)g(x)
xx00
y = xy = x
x2
ξ1

99
Exemplo 14: Seja a raiz ξξ22
= 22, g2
(x) = √√6 - x6 - x e x0
= 1,51,5
 Conclui-se que {x{xkk }} tende a convergirtende a convergir
parapara ξξ22 == 22
 x1
= g(x0
) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343
 x2
= g(x1
) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380
 x3
= g(x2
) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364
 x4
= g(x3
) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499
 x5
= g(x4
) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818

100
Exemplo 14: Análise Gráfica
{x{xkk}} → ξξ22 quando kk → infinf
g(x)g(x)
x
y
y = xy = x
ξ2
x1
xx00
x2

101
 gg11(x)(x) == xx33
– 1– 1
 gg22(x)(x) = ±√1 += ±√1 + xx
 gg33(x)(x) = 1/= 1/x³ – 1x³ – 1
Dada uma equação do
tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal
equação mais de uma
função de iteração g(x)g(x),
tal que: f(x)f(x) = 00 ⇔
xx = g(x)g(x)
Exemplo 15: Seja a equação xx33
– x – 1– x – 1 ==
00, Tem-se as seguintes funções de
iteração possíveis:
3

102
Exemplo 15: Seja ξ = 1,3249301,324930, g2
(x) = √√1 + x1 + x e x0
= 11
 Conclui-se que {x{xkk }} tende a convergirtende a convergir
parapara ξξ == 1,3249301,324930
 x1
= g(x0
) = √1 + 1 = 1,2599211,259921
 x2
= g(x1
) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294
 x3
= g(x2
) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354
 x4
= g(x3
) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269
 x5
= g(x4
) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633
3
3
3
3
3
3

103
Exemplo 15: Análise Gráfica
y
x
g(x)g(x) y = xy = x
ξ2
x1
xx00
x2
x3x4
x5
{x{xkk}} → ξξ22 quando kk → infinf

104
 TEOREMA 2:
Sendo ξξ uma raiz de f(x) = 0f(x) = 0, isolada em
um intervalo II centrado em ξξ e g(x)g(x) uma
função de iteração para f(x) = 0f(x) = 0. Se
1.1. g(x)g(x) e g’(x)g’(x) são contínuas em I
2. ||g’(x)g’(x)|| ≤≤ M < 1M < 1, ∀∀ xx ∈∈ II e
3. xx11 ∈∈ II
então a seqüência {x{xkk }} gerada pelo
processo iterativo xxk+1k+1 = g(x= g(xkk )) convergirá
para ξξ .

105
• gg11(x)(x)  geração de uma seqüência divergente de ξξ22 = 2= 2
• gg22(x)(x)  geração de uma seqüência convergente p/ ξξ22 = 2= 2
• g1
(x) = 6 - x6 - x22
e g’1
(x) = - 2x- 2x  contínuas em II
Exemplo 16: Resgatando os ExemplosExemplos
1313 e 1414, verificou-se que:

106
• |g’1
(x)| < 11 ⇔ |-|-2x2x| < 1 ⇔ -½-½ < x < ½½
• Não existe um intervalo II centrado em ξξ22=2=2, tal que ||g’(x)g’(x)|| <
11, ∀∀ xx ∈∈ II  gg11 (x)(x) não satisfaz a condição 2 do Teorema 2
com relação a ξξ22=2=2 .
Exemplo 16: Resgatando os ExemplosExemplos
1313 e 1414, verificou-se que:

107
 gg22 (x)(x) = √ 6 - x6 - x e g’2
(x) = - (1/21/2 √ 6 - x6 - x )
 gg22 (x)(x) é contínua em S = { xx ∈ R | xx ≤≤ 66}
 g’g’22 (x)(x) é contínua em S’ = { xx ∈ R | x < 6x < 6}
 |g’g’22 (x)(x)| < 11 ⇔ |1/1/22 √ 6 - x6 - x | < 11 ⇔ x < 5,755,75
 É possível obter um intervalo II centrado em
ξξ22 =2=2, tal que todastodas as condições do
Teorema 2 sejam satisfeitas.
Exemplo 16:

108
 Critérios de parada
 f(xf(xkk ) = 0) = 0
 ||xxkk – x– xk-1k-1 || = 0= 0
 ||f(xf(xkk ))|| ≤≤ tolerânciatolerância
 ||xxkk – x– xk-1k-1 || ≤≤ tolerânciatolerância

109
Algoritmo
k := 0; x0 := x;
while critério de interrupção não satisfeito and kk ≤≤ LL
k := k +1;
xk+1 := g(xk);
endwhile

110
Algoritmo Completo I
(1) Seja f(x) = 0f(x) = 0 e a equação equivalente x = g(x)x = g(x)
Dados: xx00 (aprox. inicial) e εε11 e εε22 (precisões)
Supor que as hipóteses do Teorema 2 foram
satisfeitas
(2) Se: lf(x0)l < εε11 , então: x´= xx´= x00 . FIMFIM
(3) Senão: k = 0k = 0; NI = 1NI = 1;

111
Algoritmo Completo II
(4) xk+1 = g(xk);
(5) Se (lf(xk+1)l < εε11 ou l xk+1 – xk l < εε22 ou NI >L )
Então x´= xx´= xk+1k+1. FIMFIM
(6) xk =xk+1 ; NI = NI+1
Volta para (4)
x’x’  Raiz aproximadax’x’  Raiz aproximada

112
• Rapidez processo de convergência;
• Desempenho regular e previsível.

113
• Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma
função de iteração g(x)g(x);
• Difícil sua implementação.

114
• Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson
existe uma raiz única, é possível determinar uma
aproximação de tal raiz a partir da interseção da
tangente à curva em um ponto xx00 com o eixo das
abscissas.
xx00 - atribuído em função da geometria do método e do
comportamento da curva da equação nas proximidades
da raiz.
Cálculo Numérico – Newton-Newton-
RaphsonRaphson

115
 Considerações Iniciais
– Deste modo, escolhido xx00
, a seqüência {x{xkk}} será
determinada por
,
onde k = 0, 1, 2, ...k = 0, 1, 2, ...
RaphsonRaphson
)x(f
)x(f
xx
k
k
k1k
′
−=+

116
x
ξξ
f(x)
x1xx00
x2
x3
1a
iteração
2a
iteração
3a
iteração
4a
iteração
Repete-se o processo até que
o valor de xx atenda às
condições de paradacondições de parada.
Repete-se o processo até que
o valor de xx atenda às
condições de paradacondições de parada.
RaphsonRaphson

117
 Estudo da Convergência
TEOREMA 3:
Sendo f(x)f(x), f’(x)f’(x) e f”(x)f”(x) contínuas em um
intervalo II que contém uma raiz x =x = ξξ de f(x) =f(x) =
00 e supondo f’(f’(ξξ)) ≠≠ 00, existirá um intervalo ĪĪ ⊆⊆
II contendo a raiz ξξ, tal que se xx00 ∈∈ ĪĪ, a
seqüência {x{xkk }} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
RaphsonRaphson
)x(f
)x(f
xx
k
k
k1k
′
−=+

118
• Testes de Parada
– A cada iteração, testa-se se a aproximação
encontrada poderá ser considerada como a solução
do problema.
• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerânciatolerância
• ||((x((xk+1k+1 – x– xkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ tolerânciatolerância
RaphsonRaphson

119
Algoritmo
k := 0; x0 := x;
k := k +1;
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
endwhile
RaphsonRaphson

120
Exemplo 17: No Exemplo 13, no qual
xx22
+ x – 6+ x – 6 = 0= 0 :
 Seja a raiz ξ2
= 2 e x0
= 1,51,5
 Assim:
x1
= g(x0
) = 1,5 – (1,52
+ 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1)
x1
= 2,0625000002,062500000
x2
= g(x1
) = 2,0007621952,000762195
x3
= g(x2
) = 2,0000001162,000000116
g(x) = x - f(x)/f’(x) = x – (x 2
+ x – 6)/(2x + 1)
RaphsonRaphson

121
Exemplo 17: Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a
iteração
( x = 2,000000116x = 2,000000116), caso a
precisão do cálculo com 6 casas decimais
for satisfatória para o contexto do trabalho
 Observe-se que no Exemplo 10, no Método
do Ponto Fixo com g(x) =g(x) = √√6 - x6 - x só veio a
produzir x = 2,000476818x = 2,000476818 na 5a
iteração
RaphsonRaphson

122
ξ1
∈ I1
= (-1-1, 00), ξξ22
∈ I2
= (11, 22)
 Seja x0
= 11
 xk+1
= xk
- f(xk
)/f’(xk
)
 e g(x) = xx – (x3
- x - 1)/(3x3x22
– 1– 1))
Exemplo 18: Considere-se a função
f(x) =f(x) = xx33
- x - 1- x - 1 , e tol = 0,002tol = 0,002 cujos
zeros encontram-se nos intervalos:
RaphsonRaphson

123
g(xx00) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,51,5
[ 3*(1)² – 1 ]
Teste de Parada
 |f(xx00
)| =| 0,875 | = 0,8750,875 > εε
RaphsonRaphson
Exemplo 18:

124
g(xx11) = 1.5 – [ (1.5)³ – 1.5 – 1 ] = 1,34782611,3478261
[ 3*(1.5)² – 1 ]
Teste de Parada
 |f(xx11
)| =| 0,100682 | = 0,1006820,100682 > εε
RaphsonRaphson
Exemplo 18:

125
g(xx22) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3*(1,3478261)² - 1 ]
g(xx22) = 1,32520041,3252004
Teste de Parada
 |f(xx22
)| =| 0,0020584 | = 0,00205840,0020584 > εε
RaphsonRaphson
Exemplo 18:

126
A seqüência {x{xkk}} gerada pelo método de Newton será:
Exemplo 18:
Iteração x F(x)
1 1,51,5 0,8750,875
2 1,34782611,3478261 0,10068220,1006822
3 1,32520041,3252004 0,00205840,0020584
4 1,32471821,3247182 9,24378.109,24378.10
5 1,32471781,3247178 1,86517.101,86517.10
RaphsonRaphson
-7-7
-13-13
εε = 0,0020,002

127
• Desempenho elevado.
RaphsonRaphson

128
• Necessidade da obtenção de f’(x)f’(x) , o que pode ser
impossível em determinados casos;
• O cálculo do valor numérico de f’(x)f’(x) a cada iteração;
• Difícil implementação.
RaphsonRaphson

129
• Método da SecanteSecante
existe uma raiz única, é possível determinar uma
aproximação de tal raiz a partir da interseção da secante
à curva em dois pontos xx00 e xx11 com o eixo das abscissas.
xx00 e xx11 - atribuídos em função da geometria do método e
do comportamento da curva da equação nas
proximidades da raiz.
Cálculo Numérico – SecanteSecante

130
 Considerações Iniciais
– Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson
• Um grande inconveniente é a necessidade da
obtenção de f’(x)f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a
cada iteração
– Forma de desvio do inconveniente
• Substituição da derivada f’(xf’(xkk)) pelo quociente das
diferenças
f’(xf’(xkk) ≈ [f(x) ≈ [f(xkk) - f(x) - f(xk-1k-1)]/(x)]/(xkk - x- xk-1k-1))
onde xxk-1k-1
e xxkk
são duas aproximações para a raiz

131
 Interpretação Geométrica
 A partir de duas aproximações xxk-1k-1
e xxkk
 Obtém-se o ponto xxk+1k+1
como sendo a
abscissa do ponto de intersecção do
eixo oxox e da reta que passa pelos
pontos (xxk-1k-1 , f(x, f(xk-1k-1 )) ) e (xxkk , f(x, f(xkk )) )
(secante à curva da função)

• Com esse método,
determinamos um ponto a
partir da assimilação da
curva com um segmento
passando pelos pontos
(XE, f(XE)) e (XD, f(YD)).
O candidato para ser raiz é
o ponto de interseção desse
segmento com o eixo x.

 O segmento (XN,f(XN));
(XD,f(XD)) é usado para
determinar o valor do
passo seguinte.

134
• Testes de Parada
– A cada iteração, testa-se se a aproximação
encontrada poderá ser considerada como a solução
do problema.
• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ εε
• ||((x((xk+1k+1 – x– xkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ εε

135
Algoritmo
k := 0; x0 := X0; x1 := X1
k := k +1;
xk+1 := (xk-1
*f(xk
) - xk
*f(xk-1
))/(f(xk
) - f(xk-1
)) endwhile

136
• Cálculos mais convenientes que do método de Newton;
• Desempenho elevado.

137
• Se o cálculo f’(x)f’(x) não for difícil, então o método logo
será substituído pelo de Newton-Raphson;
• Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos,
logo não se deve usar o método da SecanteSecante ;
• Difícil implementação.

138
Análise Comparativa dos
Métodos
• Garantias de ConvergênciaGarantias de Convergência
• Rapidez de ConvergênciaRapidez de Convergência
• Esforço ComputacionalEsforço Computacional
 Critérios de Comparação

139
Métodos
• BissecçãoBissecção e Falsa PosiçãoFalsa Posição
– Convergência garantidaConvergência garantida, desde que a função
seja contínuacontínua num intervalo [aa,bb], tal que
f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0
 Garantias de Convergência dos Métodos
Ponto FixoPonto Fixo , Newton-RaphsonNewton-Raphson e SecanteSecante
 Condições mais restritivasmais restritivas de
convergência
 Se as condições de convergência forem
satisfeitassatisfeitas, os dois últimos métodos são
mais rápidosmais rápidos do que os demais estudados

140
Métodos
• Número de IteraçõesNúmero de Iterações  Medida
usualmente adotada para a determinação da
rapidez de convergênciarapidez de convergência de um método
• Não deve ser uma medida conclusivaconclusiva sobre
o tempo de execução do programa
• Tempo gastoTempo gasto na execução de uma
iteração  VariávelVariável de método para
método
 Rapidez de Convergência

141
Métodos
• Indicadores
– Número de operaçõesoperações efetuadas a cada
iteração;
– ComplexidadeComplexidade das operações;
– Número de decisõesdecisões lógicas;
– Número de avaliaçõesavaliações de função a cada
iteração; e
– Número total de iteraçõesiterações.
 Esforço Computacional

142
Métodos
• Conclusões gerais sobre a eficiência
computacional de um método.
– BissecçãoBissecção  Cálculos mais simplessimples por
iteração
– NewtonNewton  Cálculos mais elaboradoselaborados
– Número de iterações da BissecçãoBissecção é, na grande
maioria das vezes, muito maiormuito maior do que o
número de iterações efetuadas por NewtonNewton
 Esforço Computacional

143
Métodos
• Convergência asseguradaConvergência assegurada
• Ordem de convergência altaOrdem de convergência alta
• Cálculos por iteração simplesCálculos por iteração simples
 Condições a Serem Satisfeitas pelo
Método Ideal

144
Métodos
• Newton-RaphsonNewton-Raphson  Caso seja fácil a
verificação das condições de convergência
e o cálculo de f´(x)f´(x)
• SecanteSecante  Caso seja trabalhoso obter e/ou
avaliar f´(x)f´(x), uma vez que não é necessária
a obtenção de f´(x)f´(x)
 Escolha do Melhor Método

145
Métodos
• Se o objetivo for a reduçãoredução do intervalo
que contém a raiz  BissecçãoBissecção ou FalsaFalsa
PosiçãoPosição ModificadoModificado (nãonão usar o Método da
FalsaFalsa PosiçãoPosição)
• Se a escolha parte de um valor inicialvalor inicial para
a raiz  Newton-RaphsonNewton-Raphson ou da SecanteSecante
(pois trabalham com aproximações xxkk para
a raiz exata)
 Critério de Parada  Detalhe importanteimportante
na escolha do método

146
Métodos
• Situações nas quais se deve evitar o uso do
Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson e da SecanteSecante
– Tendência da curva ao paralelelismoparalelelismo a
qualquer um dos eixos
– Tendência da função à tangênciatangência ao eixo das
abscissas em um ou mais pontos.
 Observações Importantes

147
Métodos
• Escolha do método  Diretamente
relacionada com a equaçãoequação cuja solução é
desejada
– Comportamento da função na região da raiz
exata
– Dificuldades com o cálculo de f´(x)f´(x)
– Critério de parada, etc.
 Conclusão

148
Métodos Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33
– x – 1– x – 1
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
ξξ ∈ [11, 22 ],], ε1
= ε2
= 1010 -6-6

149
Métodos
 Exemplo 01:
φ(x) = (x+1)φ(x) = (x+1)1/31/3
441,598683 x 101,598683 x 10--44
--1,186057 x 101,186057 x 10--66
1,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM
881,221868 x 101,221868 x 10--66
1,417347 x 101,417347 x 10--99
1,3247181,324718
xx00 = 0,2= 0,2
xx11 = 0,5= 0,5
SecanteSecante
21216,275822 x 106,275822 x 10--77
2,746469 x 102,746469 x 10--1212
1,3247181,324718xx00 = 0= 0New tonNew ton
991,882665 x 101,882665 x 10--66
2,493994 x 102,493994 x 10--66
1,3247181,324718xx00 = 1= 1Ponto FixoPonto Fixo
34342,614434 x 102,614434 x 10--66
--1,087390 x 101,087390 x 10--55
1,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
18182,879637 x 102,879637 x 10--66
2,209495 x 102,209495 x 10--66
1,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão
## dede
iteraiteraççõesõesErro em xErro em x
f(x)f(x)xx
DadosDados
iniciaisiniciais
441,598683 x 101,598683 x 10--44
--1,186057 x 101,186057 x 10--66
1,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM
881,221868 x 101,221868 x 10--66
1,417347 x 101,417347 x 10--99
1,3247181,324718
xx00 = 0,2= 0,2
xx11 = 0,5= 0,5
SecanteSecante
21216,275822 x 106,275822 x 10--77
2,746469 x 102,746469 x 10--1212
1,3247181,324718xx00 = 0= 0New tonNew ton
991,882665 x 101,882665 x 10--66
2,493994 x 102,493994 x 10--66
34342,614434 x 102,614434 x 10--66
--1,087390 x 101,087390 x 10--55
1,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
18182,879637 x 102,879637 x 10--66
2,209495 x 102,209495 x 10--66
1,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão
## dede
iteraiteraççõesõesErro em xErro em x
f(x)f(x)xx
DadosDados
iniciaisiniciais

150
Métodos Exemplo 02: xx22
+ x – 6+ x – 6 = 0= 0
g(x)g(x)
x
y
1 3 4 50-1-2-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-6
-5
-3 2
ξξ ∈ [11, 33 ],], ε1
= ε2
= 1010 -6-6

151
 Exemplo 02:
Métodos
φ(x) = (6 - x)φ(x) = (6 - x)1/21/2
18182,450482 x 102,450482 x 10--77
--2,397253 x 102,397253 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10--66
--4,230246 x 104,230246 x 10--88
2,0000002,000000
xx00 = 1,0= 1,0
xx11 = 1,2= 1,2
SecanteSecante
445,820766 x 105,820766 x 10--1010
5,820766 x 105,820766 x 10--99
2,0000002,000000xx00 = 1= 1New tonNew ton
11115,696906 x 105,696906 x 10--77
1,139381 x 101,139381 x 10--66
42428,548295 x 108,548295 x 10--88--2,479001 x 102,479001 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10--77
2,384186 x 102,384186 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão
# de# de
iteraiteraççõesões
Erro em xErro em xf(x)f(x)xx
DadosDados
iniciaisiniciais
18182,450482 x 102,450482 x 10--77
--2,397253 x 102,397253 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10--66
--4,230246 x 104,230246 x 10--88
2,0000002,000000
xx00 = 1,0= 1,0
xx11 = 1,2= 1,2
SecanteSecante
445,820766 x 105,820766 x 10--1010
5,820766 x 105,820766 x 10--99
2,0000002,000000xx00 = 1= 1New tonNew ton
11115,696906 x 105,696906 x 10--77
1,139381 x 101,139381 x 10--66
42428,548295 x 108,548295 x 10--88--2,479001 x 102,479001 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10--77
2,384186 x 102,384186 x 10--66
2,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão
# de# de
iteraiteraççõesões
Erro em xErro em xf(x)f(x)xx
DadosDados
iniciaisiniciais

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