Sinais e Sistemas
Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de 
Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
rech.cassiano@gm...
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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
• Introdução
• Propriedades dos números comp...
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3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 02
• Funções de variável complexa
– Fun...
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Funções de variável complexa
• z = qualquer ...
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• Exemplos
– w ...
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Funções de variável complexa
• Igualando as ...
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• Uma transform...
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• A função log...
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Funções de variável complexa
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• Seja z uma variável complexa
Funções harm...
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  1. 1. Sinais e Sistemas Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de  Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com
  2. 2. 1/5 2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. • Introdução • Propriedades dos números complexos • Operações com números complexos • Fundamentos axiomáticos • Funções de variável complexa • Funções harmônicas complexas • Resíduos e pólos Conteúdo da unidade Aula 01 Aula 02 Aula 03
  3. 3. 1/5 3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Aula 02 • Funções de variável complexa – Funções unívocas e plurívocas – Funções inversas e transformações – Funções elementares • Funções polinomiais • Funções racionais algébricas • Fórmula de Euler (expoentes complexos) • Funções exponenciais • Funções logarítmicas • Funções algébricas e transcendentais • Funções harmônicas complexas – Funções trigonométricas circulares – Funções  trigonométricas hiperbólicas
  4. 4. 1/5 4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • z = qualquer conjunto de números (variável complexa) • “z” muitas vezes é chamada de variável independente enquanto que “w” é chamada de variável dependente • Exemplo: f(z) = z², então, f(2j) = (2j)² = ‐4 Variáveis e funções Se podemos associar a cada variSe podemos associar a cada variáável complexa vel complexa ““zz”” um ou um ou  mais valores de uma varimais valores de uma variáável complexa vel complexa ““ww””,, dizemos que dizemos que ww éé funfunçção de ão de zz e escrevemos e escrevemos ww = = ff((zz))..
  5. 5. 1/5 5Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Exemplos – w = z²  Função unívoca (z = ‐15‐8j  w = 161+240j) – w = z1/2  Função plurívoca (z = ‐15‐8j  w = 1‐4j ou w = ‐1+4j) Funções unívocas e plurívocas Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde somente um valor de corresponde somente um valor de ww, ,  dizemos que dizemos que ww éé uma uma funfunçção unão uníívocavoca de de zz.. Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde mais de um valor de corresponde mais de um valor de ww, ,  dizemos que dizemos que ww éé uma uma funfunçção ão plurpluríívocavoca de de zz
  6. 6. 1/5 6Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Notação: z = g(w) =  f ‐1(w) Funções inversas Algumas vezes, dada uma funAlgumas vezes, dada uma funçção ão ww = = ff((zz), podemos obter o ), podemos obter o  que se conhece por que se conhece por funfunçção inversaão inversa de de ff..
  7. 7. 1/5 7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Igualando as partes reais e imaginárias temos que u = u(x, y)   e v = v(x, y) Transformações Se  Se  ww = = uu + + vjvj (onde (onde uu e e vv são funsão funçções reais) ões reais) éé uma funuma funçção ão  ununíívoca de  voca de  zz = = xx + + yjyj (onde (onde xx e e yy são reais), podemos são reais), podemos  escrever escrever uu + + vjvj = = ff((xx + + yjyj))..
  8. 8. 1/5 8Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ)  em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P’Q’) • Exercício: Seja  w = z² e  z = x + yj. a) Obtenha a transformação z  w b) Obtenha a imagem P(1, 2) (plano z) no plano w a) w = z²  u + vj = (x + yj)²  u + vj = x² ‐ y² + 2xyj Logo, u = x² ‐ y² e  v = 2xy b)  P(1, 2)  P’(‐3, 4) 
  9. 9. 1/5 9Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • As funções polinomiais são definidas por – Onde             ,  a1, …, an são constantes complexas e n é um inteiro  positivo, dito o grau do polinômio P(z) • A transformação                        é chamada de transform. linear Funções polinomiais  1 1 0 1 1 n n n nw a z a z a z a P z        w az b  0 0a 
  10. 10. 1/5 10Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • As funções racionais algébricas são definidas por – Onde P(z) e Q(z) são polinômios • O caso especial – É conhecido como transformação bilinear ou linear fracionária Funções racionais algébricas     P z w Q z      , 0 P az bz w cz d Q cz dz      
  11. 11. 1/5 11Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Seja a série infinita  ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... – A mesma possui validade quando  x = θj – Assim, expandindo a série, obtém‐se: • Observar que Fórmula de Euler θ cosθ senθ, 2,71828j e j e     θ θ cosθ senθ j z r r j z re     Forma compacta de expressar uma variável complexa
  12. 12. 1/5 12Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • As funções exponenciais são definidas por – Onde  e = 2,71828 … é a base natural dos logaritmos • Se a é real e positivo, logo – Onde  ln a é o logaritmo natural de a – Se a = e, esta reduz‐se à anterior • Propriedades: Funções exponenciais  cos sen Eulerz x yj x yj x w e e e e e y j y       lnz az w a e 1 2 1 2 1 2 1 2 a) b) z z z z z z z z e e e e e e     
  13. 13. 1/5 13Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • A função logarítmica natural é inversa da função exponencial – Onde – Notar que  ln z é uma função plurívoca cujo ramo principal é • Mudança de base: • Propriedades: Funções logarítmicas   ln ln 2 , 0, 1, 2,w z r j k k      θ π  2 , ej j k z e e r z z    θ θ π θ ln ln , 0 2w z r j    θ θ π ln log ln a z w z a    1 2 1 2log log logz z z z  
  14. 14. 1/5 14Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções de variável complexa • Se w é uma solução da equação polinomial a seguir, onde são polinômios em z e n é um  inteiro positivo, então w = f(z) é chamada função algébrica de z – Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação  anterior é chamada de função transcendental – Exemplos: funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas Funções algébricas e transcendentais        1 1 0 1 1 0n n n nP z w P z w P z w P z           0 10, , , nP z P z P z
  15. 15. 1/5 15Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. • Seja z uma variável complexa Funções harmônicas complexas Funções circulares sen 2 zj zj e e z j    cos 2 zj zj e e z      sen tg sen zj zj zj zj z e e z z j e e       0 5 10 15 -5 0 5 x 10 4 -1 0 1 2 x 10 5 Ângulo (rad)Real Imaginário wt = linspace(0,4*pi,1000);  a = 1;  b = 1; z = wt*(a + b*j);  w1 = sin(z); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)');  ylabel ('Real') zlabel ('Imaginário') wt = linspace(0,4*pi,1000);  a = 1;  b = 1; z = wt*(a + b*j);  w1 = sin(z); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)');  ylabel ('Real') zlabel ('Imaginário')
  16. 16. 1/5 16Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções harmônicas complexas • Propriedades          2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a)  sen cos 1 b)  1 tg sec c)  1 cotg csec d)  sen sen e)  cos cos    f)  sen sen cos cos sen g)  cos cos cos sen sen z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                
  17. 17. 1/5 17Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções harmônicas complexas • Seja z uma variável complexa senh 2 z z e e z    cosh 2 z z e e z    senh tgh senh z z z z z e e z z e e       wt = linspace(0,4*pi,1000);  a = 1;  b = 1; z = wt*(a + b*j);  w1 = sinh(z); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)');  ylabel ('Real') zlabel ('Imaginário') wt = linspace(0,4*pi,1000);  a = 1;  b = 1; z = wt*(a + b*j);  w1 = sinh(z); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)');  ylabel ('Real') zlabel ('Imaginário') Funções hiperbólicas 0 5 10 15 -1 0 1 2 x 10 5 -6 -4 -2 0 2 x 10 4 Ângulo (rad)Real Imaginário
  18. 18. 1/5 18Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções harmônicas complexas • Propriedades          2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a)  cosh senh 1 b)  1 tgh sech c)  cotgh 1 csech d)  senh senh e)  cosh cosh    f)  senh senh cosh cosh senh g)  cosh cosh cosh senh senh z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                
  19. 19. 1/5 19Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. Funções harmônicas complexas Relação entre funções circulares e hiperbólicas             a)  sen senh b)  cos cosh c)  tg tgh d)  senh sen e)  cosh cos f)  tgh tg zj j z zj z zj j z zj j z zj z zj j z      
  20. 20. 1/5 20Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. [1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973. [2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New  York: McGraw‐Hill, 1996. Bibliografia

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