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Anota¸c˜oes sobre n´umeros complexos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sum´ario
1 N´umeros complexos 3
1.1 N´umeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Forma alg´ebrica de um n´umero complexo . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Condi¸c˜oes para que
z
w
seja real ou imagin´ario puro . . . . . . . . . 14
1.2.2 Conjugado de um n´umero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Condi¸c˜ao de ra´ızes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Valor absoluto-m´odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5 Uso de conjugado na divis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.8 Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
Cap´ıtulo 1
N´umeros complexos
1.1 N´umeros complexos
Defini¸c˜ao 1 (Conjunto dos n´umeros complexos). Definimos a estrutura dos n´umeros
complexos, como o conjunto1
C = {(x, y) x, y ∈ R}
munido de duas opera¸c˜oes, uma adi¸c˜ao definida como
z + w = (x1, y1)
z
+ (x2, y2)
w
:= (x1 + x2, y1 + y2)
e uma multiplica¸c˜ao, definida como
z.w = (x1.x2 − y1.y2, x1.y2 + y1.x2).
Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1, y1) definimos
−z = (−x1, −y1)
e
z−1
=
1
z
=
(
x1
x2
1 + y2
1
,
−y1
x2
1 + y2
1
)
.
Denotamos tal estrutura como (C, +×) ou apenas C.
1
Perceba que ´e feita associa¸c˜ao de C com o plano R2
.
3
CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 4
Defini¸c˜ao 2 (Igualdade). Dois n´umeros complexos (x, y) e (z, w) s˜ao iguais quando
x = z e w = y.
Propriedade 1. (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos.
Demonstra¸c˜ao. A adi¸c˜ao ´e comutativa, associativa , possui elemento neutro e
inverso aditivo. (Provado para o Rn
no texto sobre espa¸cos vetoriais) ent˜ao, em rela¸c˜ao a
adi¸c˜ao temos uma estrutura de grupo abeliano (C, +).
Temos que mostrar agora que a multiplica¸c˜ao tamb´em ´e um grupo abeliano .
X O elemento neutro da multiplica¸c˜ao ´e (1, 0), pois
(1, 0)(x, y) = (1.x − 0.y, 0.x + 1.y) = (x, y).
X A multiplica¸c˜ao ´e comutativa, pois
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
e
(x2, y2)(x1, y1) = (x2.x1 − y2.y1, y2.x1 + x2.y1)
s˜ao iguais.
Perceba tamb´em que
(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).
X A multiplica¸c˜ao ´e associativa, pois
[(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)(x3, y3) =
= (x1x2x3
A1
−
A2
y1y2x3 − y1x2y3
A3
−
A4
x1y2y3 , y1x2x3
B1
+
B2
x1y2x3 + x1x2y3
B3
−
B4
y1y2y3)
e
CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 5
(x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3) =
= (x1x2x3
A1
−
A4
x1y2y3 − y1y2x3
A2
−
A3
y1x2y3 ,
B1
y1x2x3 − y1y2y3
B4
+
B2
x1y2x3 + x1x2y3
B3
)
s˜ao iguais .
X Para cada elemento n˜ao nulo z = (x1, y1) existe um inverso z−1
, tal que z.z−1
= 1,
pois
(x1, y1)
(
x1
x2
1 + y2
1
,
−y1
x2
1 + y2
1
)
=
(
x2
1 + y2
1
x2
1 + y2
1
,
y1x1
x2
1 + y2
1
−
y1x1
x2
1 + y2
1
)
= (1, 0) = 1.
X Falta mostrar apenas a propriedade distributiva. Sendo z = (x1, y1), w = (x2, y2) e
v = (x3, y3) temos w + v = (x2 + x3, y2 + y3) e
z(w + v) = (x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3 , y1x2 + y1x3 + x1y2 + x1y3)
por´em temos tamb´em zw = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) e
zv = (x1.x3 − y1y3, y1x3 + x1y3)
ent˜ao
zw + zv = (x1x2 + x1.x3 − y1y3 − y1y2, y1x3 + x1y3 + y1x2 + x1y2) = z(w + v)
ent˜ao vale a distributividade.
Tem-se ent˜ao que (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos.
Defini¸c˜ao 3 (Subtra¸c˜ao). Definimos a subtra¸c˜ao z1 − z2 como z1 + (−z2).
1.1.1 Forma alg´ebrica de um n´umero complexo
O corpo dos n´umeros complexos pode ser visto como uma extens˜ao do corpo dos
n´umero reais.
Propriedade 2. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} s˜ao isomorfos como espa¸cos
vetoriais.

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  • 1. Anota¸c˜oes sobre n´umeros complexos. Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡
  • 2. 1
  • 3. Sum´ario 1 N´umeros complexos 3 1.1 N´umeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Forma alg´ebrica de um n´umero complexo . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Condi¸c˜oes para que z w seja real ou imagin´ario puro . . . . . . . . . 14 1.2.2 Conjugado de um n´umero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Condi¸c˜ao de ra´ızes conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Valor absoluto-m´odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Uso de conjugado na divis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.8 Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2
  • 4. Cap´ıtulo 1 N´umeros complexos 1.1 N´umeros complexos Defini¸c˜ao 1 (Conjunto dos n´umeros complexos). Definimos a estrutura dos n´umeros complexos, como o conjunto1 C = {(x, y) x, y ∈ R} munido de duas opera¸c˜oes, uma adi¸c˜ao definida como z + w = (x1, y1) z + (x2, y2) w := (x1 + x2, y1 + y2) e uma multiplica¸c˜ao, definida como z.w = (x1.x2 − y1.y2, x1.y2 + y1.x2). Denotamos (1, 0) = 1 e (0, 0) = 0. Para z = (x1, y1) definimos −z = (−x1, −y1) e z−1 = 1 z = ( x1 x2 1 + y2 1 , −y1 x2 1 + y2 1 ) . Denotamos tal estrutura como (C, +×) ou apenas C. 1 Perceba que ´e feita associa¸c˜ao de C com o plano R2 . 3
  • 5. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 4 Defini¸c˜ao 2 (Igualdade). Dois n´umeros complexos (x, y) e (z, w) s˜ao iguais quando x = z e w = y. Propriedade 1. (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos. Demonstra¸c˜ao. A adi¸c˜ao ´e comutativa, associativa , possui elemento neutro e inverso aditivo. (Provado para o Rn no texto sobre espa¸cos vetoriais) ent˜ao, em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao temos uma estrutura de grupo abeliano (C, +). Temos que mostrar agora que a multiplica¸c˜ao tamb´em ´e um grupo abeliano . X O elemento neutro da multiplica¸c˜ao ´e (1, 0), pois (1, 0)(x, y) = (1.x − 0.y, 0.x + 1.y) = (x, y). X A multiplica¸c˜ao ´e comutativa, pois (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) e (x2, y2)(x1, y1) = (x2.x1 − y2.y1, y2.x1 + x2.y1) s˜ao iguais. Perceba tamb´em que (x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0). X A multiplica¸c˜ao ´e associativa, pois [(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)(x3, y3) = = (x1x2x3 A1 − A2 y1y2x3 − y1x2y3 A3 − A4 x1y2y3 , y1x2x3 B1 + B2 x1y2x3 + x1x2y3 B3 − B4 y1y2y3) e
  • 6. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 5 (x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3) = = (x1x2x3 A1 − A4 x1y2y3 − y1y2x3 A2 − A3 y1x2y3 , B1 y1x2x3 − y1y2y3 B4 + B2 x1y2x3 + x1x2y3 B3 ) s˜ao iguais . X Para cada elemento n˜ao nulo z = (x1, y1) existe um inverso z−1 , tal que z.z−1 = 1, pois (x1, y1) ( x1 x2 1 + y2 1 , −y1 x2 1 + y2 1 ) = ( x2 1 + y2 1 x2 1 + y2 1 , y1x1 x2 1 + y2 1 − y1x1 x2 1 + y2 1 ) = (1, 0) = 1. X Falta mostrar apenas a propriedade distributiva. Sendo z = (x1, y1), w = (x2, y2) e v = (x3, y3) temos w + v = (x2 + x3, y2 + y3) e z(w + v) = (x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3 , y1x2 + y1x3 + x1y2 + x1y3) por´em temos tamb´em zw = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) e zv = (x1.x3 − y1y3, y1x3 + x1y3) ent˜ao zw + zv = (x1x2 + x1.x3 − y1y3 − y1y2, y1x3 + x1y3 + y1x2 + x1y2) = z(w + v) ent˜ao vale a distributividade. Tem-se ent˜ao que (C, +, ×) ´e um corpo, chamado de corpo dos n´umeros complexos. Defini¸c˜ao 3 (Subtra¸c˜ao). Definimos a subtra¸c˜ao z1 − z2 como z1 + (−z2). 1.1.1 Forma alg´ebrica de um n´umero complexo O corpo dos n´umeros complexos pode ser visto como uma extens˜ao do corpo dos n´umero reais. Propriedade 2. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} s˜ao isomorfos como espa¸cos vetoriais.
  • 7. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 6 Demonstra¸c˜ao. Definimos σ : R → A tal que σ(a) = (a, 0). Tal aplica¸c˜ao ´e injetora e sobrejetora, al´em disso ´e linear σ(a) + σ(b) = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = σ(a + b) σ(ca) = (ca, 0) = c(a, 0) = cσ(a), c ∈ R. Propriedade 3. R e o conjunto A = {(a, 0) ∈ C} s˜ao isomorfos como corpos. Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que a adi¸c˜ao ´e respeitada pela fun¸c˜ao σ, agora vejamos o produto σ(a)σ(b) = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) = σ(a)σ(b). Al´em disso envia unidade de R em unidade de C σ(1) = (1, 0) e neutro da adi¸c˜ao de R em neutro da adi¸c˜ao em C σ(0) = (0, 0). Ent˜ao temos uma aplica¸c˜ao bijetora entre R e um subcorpo de C que preserva adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao. Ent˜ao temos uma imers˜ao natural de R em C. Defini¸c˜ao 4. Associamos a cada n´umero real x o n´umero complexo (x, 0), (x, 0) = x. Propriedade 4. A soma e produto de n´umeros complexos ´e compat´ıvel com a soma e produto de n´umeros reais. Demonstra¸c˜ao. Sejam n´umeros reais x = (x, 0) e y = (y, 0), ent˜ao a soma x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y , logo ´e compat´ıvel. O produto x.y = (x, 0)(y, 0) = (xy − 0, 0.y + x.0) = (xy, 0) = xy. Defini¸c˜ao 5. Definimos i = (0, 1).
  • 8. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 7 Corol´ario 1. Tem-se que (0, 1)(0, 1) = (0 − 1, 1.0 + 0.1) = (−1, 0) da´ı i2 = −1. Corol´ario 2 (Forma alg´ebrica). Um n´umero complexo z = (x, y) pode ser escrito como (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi. Esse modo de escrever pode ser considerado mais pr´atico em se denotar um n´umero complexo e facilitar as opera¸c˜oes. Nos reais n˜ao existe x tal que x2 = −1 nos complexos temos solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao. Corol´ario 3. Vejamos como ficam as opera¸c˜oes usando a forma alg´ebrica. A f´ormula da multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos pode ser escrita como (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 − y1y2 + (x1y2 + x2y1)i podemos efetuar as contas com as propriedades conhecidas de binˆomios reais e subs- tituir i2 = −1. A adi¸c˜ao pode ser feita como a + bi + c + di = a + c + (b + d)i e a igualdade a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d. Exemplo 1. Vale i4p+1 = (i2 )2p i = (−1)2p .i = i. Seja n∑ k=0 ik = in+1 − 1 i − 1 por divis˜ao Euclidiana de n por 4 tem-se n = 4p + r da´ı n∑ k=0 ik = i4p+r+1 − 1 i − 1 = ir+1 − 1 i − 1 = ir+1 − 1 (−2) (i + 1) se r = 0 ent˜ao 4|n e n∑ k=0 ik = 1, se r = 1 tem-se n∑ k=0 ik = i + 1, se r = 2, n∑ k=0 ik = i, finalmente se r = 3 tem-se n∑ k=0 ik = 0.
  • 9. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 8 Propriedade 5. Sejam a e b complexos se a+b e a.b s˜ao reais com a+b < 0 e a.b < 0 ent˜ao a e b s˜ao reais. Demonstra¸c˜ao. Tomando a = x1 + y1i e b = x2 + y2i tem-se a + b = x1 + x2 + i(y1 +y2) como ´e real devemos ter y1 +y2 = 0 e x1 +x2 < 0 pela segunda condi¸c˜ao. Com o produto temos a.b = (x1x2 −y1y2)+i(x2y1 +x1y2) logo x2y1 +x1y2 = 0 e x1x2 −y1y2 < 0. X (2) x1x2 < y1y2, (1) x1 + x2 < 0. X (3) x2y1 + x1y2 = 0 e (4) y1 + y2 = 0. Da rela¸c˜ao (1) temos que x1 ou x2, devem ser negativos, suponha que seja x1. Se x2 = 0 conclu´ımos por (2) que 0 < y1y2, da´ı ambos s˜ao n˜ao nulos e de (3) tem-se x1y2 = 0 o que ´e absurdo. Se x2 < 0 ent˜ao 0 < x1x2 < y1y2 implicando que y1 e y2 tem o mesmo sinal e ent˜ao n˜ao pode valer y1 + y2 = 0. Como n˜ao vale x2 ≤ 0 ent˜ao vale x2 > 0 e x1 < 0, logo x1 e x2 s˜ao distintos. Do sistema (3) , (4) conclu´ımos que ( x1 x2 − 1)y2 = 0, da´ı y2 = 0 pois se n˜ao x1 = x2, de y2 = 0 segue de (4) que y1 = 0, logo ambos n´umeros s˜ao reais. Propriedade 6. Seja A = {   a b −b a   a, b ∈ R} ent˜ao (A, +, ×) onde + e × s˜ao adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de matrizes ´e um corpo isomorfo ao corpo dos complexos (C, + ×). Demonstra¸c˜ao. Por propriedade de matrizes (A, +, ×) ´e um anel comutativo com unidade. Todo elemento n˜ao nulo ´e invert´ıvel pois Det(A) = a2 + b2 ̸= 0 se a ou b ´e zero, ent˜ao todo elemento n˜ao nulo ´e invert´ıvel logo (A, +, ×) ´e um corpo. Definimos a fun¸c˜ao f : C → A tal que para qualquer z = a + bi ∈ C associamos f(z) = ( a b −b a ) tal fun¸c˜ao ´e um isomorfismo de corpos, pois dados z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, tem-se f(z1 + z2) = ( a1 + a2 b1 + b2 −b1 − b2 a1 + a2 ) = ( a1 b1 −b1 a1 ) + ( a2 b2 −b2 a2 ) = f(z1) + f(z2)
  • 10. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 9 logo preserva a adi¸c˜ao. f(z1z2) = ( a1a2 − b1b2 a1b2 + b1a2 −a1b2 − b1a2 a1a2 − b1b2 ) = ( a1 b1 −b1 a1 ) . ( a2 b2 −b2 a2 ) = f(z1)f(z2) logo o produto ´e preservado, seguindo ent˜ao que temos um isomorfismo. Exemplo 2. Seja A =   cos(a) −sen(a) sen(a) cos(a)   pelo resultado anterior ´e isomorfo ao elemento z = cos(a)−isen(a) = cos(−a)+isen(−a) = e−ia , por isso elevando tal n´umero `a k, d´a o mesmo resultado que elevar a matriz, sendo zk = e−ika = cos(−ka) + isen(−ka), que por sua vez d´a o resultado de Ak , Ak =   cos(ka) −sen(ka) sen(ka) cos(ka)   . Exemplo 3. O inverso de um n´umero complexo n˜ao nulo z = x + iy, x, y ∈ R ´e x x2 + y2 − iy x2 + y2 = z−1 . Exemplo 4. Calcule (a + bi)2 . Temos (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 + 2abi − b2 . Exemplo 5. Qual a condi¸c˜ao para que o produto de dois n´umeros complexos (a+bi) e (c + di) seja real? Multiplicando temos (a + bi)(c + di) = ac − bd + i(ad + bc) a parte complexa deve ser nula ent˜ao ad + bc = 0. Exemplo 6. Qual deve ser a condi¸c˜ao para que o n´umero (a+bi)4 seja estritamente negativo, sendo a e b reais.
  • 11. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 10 Expandimos por binˆomio de Newton (a + bi)4 = b4 − 4ab3 i − 6a2 b2 + 4a3 bi + a4 perceba que a nem b podem ser nulos, caso b seja nulo a4 ´e n˜ao negativo o mesmo para a = 0 implica (bi)4 = b4 . Temos que ter a parte complexa nula, logo 4a3 b = 4ab3 ⇒ a2 = b2 ⇒ a = ±b. Agora a parte real deve ser negativa, mas ela ´e realmente negativa pois a4 + a4 − 6a2 a2 < 0 ⇔ 2a4 < 6a4 que vale, onde acima substitu´ımos a = ±b. Ent˜ao os valores s˜ao a ± b, a ̸= 0. Exemplo 7. Quais os poss´ıveis valores o n´umero complexo ( 1 + i 1 − i )n pode assumir? ( n inteiro) . Se n ´e par ele ´e da forma 2t, temos (1+i)2 = 1+2i−1 = 2i e (1−i)2 = 1−2i−1 = −2i, portanto o n´umero ´e da forma ( 1 + i 1 − i )2t = (2i)t (−1)t(2i)t = (−1)t . Se n ´e ´ımpar ele ´e da forma 2t + 1, substituindo tem-se ( 1 + i 1 − i )2t+1 = (−1)t 1 + i 1 − i simplificando 1 + i 1 − i = 1 + i 1 − i 1 + i 1 + i = 2i 2 = i ent˜ao ( 1 + i 1 − i )2t+1 = (−1)t i os valores que ( 1 + i 1 − i )n assumem s˜ao i, −i, 1 e −1 .
  • 12. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 11 1.2 Conjugado e valor absoluto Seja um n´umero complexo z = a + bi. Quando escrevermos dessa forma, geralmente ( a n˜ao ser que citado explicitamente o contr´ario), estaremos considerando a, b ∈ R. Defini¸c˜ao 6 (Parte real). Definimos a parte real de z como Re(z) := a. Defini¸c˜ao 7 (Parte complexa). Definimos a parte imagin´aria de z por Im(z) := b. Tamb´em podemos chamar de parte complexa. Exemplo 8. Calcule a parte real e a parte imagin´aria de 1 z , onde z = x + iy. Sabemos que 1 z = x x2 + y2 − iy x2 + y2 , logo Re( 1 z ) = x x2 + y2 Im( 1 z ) = − y x2 + y2 . Exemplo 9. Calcular a parte real e imagin´aria de z − a z + a , onde a ∈ R e z = x + iy. Escrevemos z − a z + a = 1 − 2a z + a = 1 − 2a ( x + a (x + a)2 + y2 − iy (x + a)2 + y2 ) = 1 + (x + a)(−2a) (x + a)2 + y2 + 2ay (x + a)2 + y2 i logo Re( z − a z + a ) = 1 + (x + a)(−2a) (x + a)2 + y2 Im( z − a z + a ) = 2ay (x + a)2 + y2 .
  • 13. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 12 Exemplo 10. Dado z = x + yi Calcular Re(zn ) e Im(zn ). (x + yi)n = n∑ k=0 ( n k ) (yi)k xn−k separamos os ´ındices em pares e ´ımpares = n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (yi)2k+1 xn−2k−1 + n∑ k=0 ( n 2k ) (yi)2k xn−2k = = i n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y)2k+1 (i)2k xn−2k−1 + n∑ k=0 ( n 2k ) (y)2k (i)2k xn−2k = = i n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y)2k+1 (−1)k xn−2k−1 b∈R + n∑ k=0 ( n 2k ) (y)2k (−1)k xn−2k a∈R = a + bi logo Re(zn ) = n∑ k=0 ( n 2k ) (y)2k (−1)k xn−2k Im(zn ) = n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y)2k+1 (−1)k xn−2k−1 . Como exemplo, para n = 3 temos Re(z3 ) = n∑ k=0 ( 3 2k ) (y)2k (−1)k x3−2k = x3 − 3(y)2 x Im(z3 ) = n∑ k=0 ( 3 2k + 1 ) (y)2k+1 (−1)k x3−2k−1 = 3yx2 − (y)3 . Propriedade 7 (Linearidade de Re e Im). Sejam zk = xk + iyk n´umeros complexos, ent˜ao valem Re ( n∑ k=1 zk ) = n∑ k=1 Re(zk) Im ( n∑ k=1 zk ) = n∑ k=1 Im(zk). Demonstra¸c˜ao. Tomando z = n∑ k=1 zk tem-se z = n∑ k=1 zk = n∑ k=1 (xk + iyk) = n∑ k=1 (xk) a +i n∑ k=1 (yk) b = a + bi
  • 14. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 13 da´ı Re(z) = a, Im(z) = b tem-se tamb´em Re(zk) = xk e Im(zk) = yk logo n∑ k=1 Re(zk) = n∑ k=1 xk = a n∑ k=1 Im(zk) = n∑ k=1 yk = b logo valem Re ( n∑ k=1 zk ) = n∑ k=1 Re(zk) Im ( n∑ k=1 zk ) = n∑ k=1 Im(zk) isto ´e Re e Im comutam com o somat´orio. Exemplo 11. Calcule a parte real e imagin´aria de ( −1 + √ 3i 2 )3 . Escrevemos o n´umero na forma polar −1 + √ 3i 2 = (−1)(cos(− π 3 ) + isen(− π 3 )) elevando ao cubo e usando a f´ormula de Moivre tem-se −(cos(−π) + isen(−π)) = (−1)(−1) = 1. De maneira similar podemos calcular ( −1 − √ 3i 2 )6 = ( 1 + √ 3i 2 )6 = cos(2π) + isen(2π)) = 1. Exemplo 12. Calcule a parte real e imagin´aria de in para n natural. Tomamos a divis˜ao euclidiana de n por 4, n = 4q + r e da´ı in = i4q+r = ir onde r = 0, 1, 2, 3. Temos como exemplos i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i i8 = 1, · · ·
  • 15. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 14 Exemplo 13. Calcular a parte real e complexa de ( 1 √ 2 + i √ 2 )n Escrevemos ( 1 √ 2 + i √ 2 )n = cos( nπ 4 ) + isen( nπ 4 ) logo a parte real ´e cos( nπ 4 ) e a parte complexa ´e sen( nπ 4 ). Defini¸c˜ao 8 (Imagin´ario puro). z ´e imagin´ario puro ⇔ Re(z) = 0, nesse caso temos z = bi. Exemplo 14. O n´umero 0 ´e um imagin´ario puro, pois Re(0) = 0. Alguns autores tomam o n´umero 0 como n˜ao sendo imagin´ario puro, tomando os imagin´arios puros da forma bi, b ̸= 0. Defini¸c˜ao 9 (Real ). z ´e real ⇔ Im(z) = 0, nesse caso temos z = a, nesse caso podemos dizer tamb´em que z ´e real puro . Exemplo 15. 0 ´e o ´unico n´umero que ´e imagin´ario puro e real puro. Se z = a + bi ´e imagin´ario puro ent˜ao a = 0 se ´e real puro ent˜ao b = 0, da´ı z = 0. Exemplo 16. N˜ao vale em geral que Re(a.b) = Re(a)Re(b) o mesmo em geral tamb´em n˜ao vale para parte imagin´aria, pois Re(i2 ) = Re(−1) = −1 ̸= Re(i)Re(i) = 0. Im(i2 ) = Im(−1) = 0 ̸= Im(i)Im(i) = 1. 1.2.1 Condi¸c˜oes para que z w seja real ou imagin´ario puro Exemplo 17. Calcule a parte real e imagin´aria de a + bi x + yi . Escrevemos a + bi x + yi = (a + bi)( x x2 + y2 − yi x2 + y2 ) = = ax + by x2 + y2 + (bx − ay) x2 + y2 i.
  • 16. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 15 Logo temos Re( a + bi x + yi ) = ax + by x2 + y2 , Im( a + bi x + yi ) = (bx − ay) x2 + y2 . Como exemplo num´erico considere z = 3 + 5i 1 + 7i Re(z) = 38 50 , Im(z) = −16 50 . Para que a + bi x + yi seja real temos que terbx−ay = 0 e para ser imagin´ario puro ax+by = 0. Para o produto, temos (a + bi)(c + di) = ac − bd + i(ad + bc) a parte imagin´aria ´e ad + bc e a parte real ac − bd para ser imagin´ario puro ac − bd = 0 e para ser real ad + bc = 0. Exemplo 18. Quais as condi¸c˜oes para que z + 1 z seja real ou imagin´ario puro , respectivamente? Seja z = x + iy ent˜ao z + 1 z = (x2 + y2 + 1)x + iy(x2 + y2 − 1) x2 + y2 para que seja real ´e necess´ario que x2 + y2 = 1 ent˜ao o n´umero complexo possui m´odulo 1. Para que fosse imagin´ario puro seria necess´ario ter x2 + y2 = −1 o que n˜ao ´e poss´ıvel com x, y ∈ R ent˜ao devemos ter x = 0 1.2.2 Conjugado de um n´umero complexo Defini¸c˜ao 10 (Conjugado). Definimos o conjugado de z = a + bi como z = a − bi. Exemplo 19. Se z1, z2 ∈ C e z1 + z2, z1.z2 s˜ao reais ent˜ao z1 = z2 ou z1, z2 ∈ R.
  • 17. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 16 Sendo z1 = x + iy e z2 = a + bi ent˜ao z1 + z2 = a + x + i(y + b), o produto ´e z1z2 = ax − by + i(ax + by) para que ambos sejam reais ´e necess´ario que y + b = 0 e ay + bx = 0, substituindo a primeira na segunda tem-se b(x − a) = 0, temos duas possibilidades b = 0 da´ı y = 0 que implicam z2, z1 ∈ R ou x = a ainda com y + b = 0 nesse caso z1 e z2 s˜ao conjugados. Exemplo 20. Resolver a equa¸c˜ao z = tzi. z = a + bi, ent˜ao a equa¸c˜ao fica como a − bi = ati − bt por isso temos o sistema −bt = a e at = −b, substituindo a primeira na segunda, supondo b ̸= 0 tem-se t2 = 1, por isso t = 1 ou t = −1. Se t = 1, −b = a. Se t = −1, b = a . Caso b = 0 ent˜ao a = 0 e caso a = 0 , b = 0 ent˜ao temos todas solu¸c˜oes. Propriedade 8 (Idempotˆencia). z = z. Demonstra¸c˜ao. Vale que z = a − bi = v da´ı v = a + bi = z, ent˜ao z = z. Propriedade 9. z + z = 2Re(z). Demonstra¸c˜ao. z + z = a + bi + a − bi = 2a = 2Re(z). Propriedade 10. z − z = 2i Im(z). Demonstra¸c˜ao. a + bi − (a − bi) = a + bi − a + bi = 2bi = 2i Im(z).
  • 18. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 17 Propriedade 11. Sejam zk = ak + bki, n´umeros complexos, ent˜ao ( n∑ k=1 zk ) = ( n∑ k=1 zk ) Demonstra¸c˜ao. ( n∑ k=1 zk ) = ( n∑ k=1 ak ) + ( n∑ k=1 bk ) i = ( n∑ k=1 ak ) − ( n∑ k=1 bk ) i = n∑ k=1 (ak−bki) = ( n∑ k=1 zk ) . Propriedade 12. z.w = z.w. Demonstra¸c˜ao. Sejam z = (a+bi) e w = (c+di) ent˜ao z.w = (ac−bd)+(bc+ad)i , da´ı z.w = (ac − bd) − (bc + ad)i , z = (a − bi), w = (c − di), z.w = (ac − bd) − (bc + ad)i ent˜ao vale a igualdade. Propriedade 13. Vale n∏ k=1 zk = n∏ k=1 zk. Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1 vale. Supondo a validade para n n∏ k=1 zk = n∏ k=1 zk vamos provar para n + 1 n+1∏ k=1 zk = n+1∏ k=1 zk. Temos que n+1∏ k=1 zk = ( n∏ k=1 zk ) .zn+1 = n∏ k=1 zk .zn+1 = n∏ k=1 zk zn+1 = n+1∏ k=1 zk .
  • 19. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 18 Corol´ario 4. Sendo n ∈ N , vale zn = zn , pois zn = n∏ k=1 z = n∏ k=1 z = zn . Propriedade 14. z ∈ R ⇔ z = z. Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se z ∈ R ent˜ao z = a + 0i logo z = a − 0i = a. ⇐). Se z = z ent˜ao z − z = 0 = 2iImz da´ı Imz = 0 implicando que z ∈ R. 1.2.3 Condi¸c˜ao de ra´ızes conjugadas Propriedade 15 (Ra´ızes conjugadas). Se um polinˆomio p(z) = n∑ k=0 ckzk tem coefici- entes reais ck e z ∈ C ´e uma raiz, ent˜ao z tamb´em ´e uma raiz de p(z). Se um polinˆomio de coeficientes reais, possui raiz compleza z, ent˜ao o conjugado de z tamb´em ´e raiz. Demonstra¸c˜ao. Se p(z) = n∑ k=0 ckzk = 0 , podemos tomar o conjugado de 0 = 0 n∑ k=0 ckzk = n∑ k=0 ckzk = n∑ k=0 ckzk = n∑ k=0 ckzk = n∑ k=0 ckzk = 0. Propriedade 16. Vale que ( 1 z ) = 1 z Demonstra¸c˜ao. 1 z = x x2 + y2 − y x2 + y2 i ⇒ ( 1 z ) = x x2 + y2 + y x2 + y2 i 1 z = x x2 + y2 + y x2 + y2 i logo temos a igualdade. Propriedade 17. Se P(z) ´e uma fun¸c˜ao racional com coeficientes em R, ent˜ao vale P(z) = P(z).
  • 20. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 19 Demonstra¸c˜ao. P(z) = n∑ k=0 akzk m∑ k=0 bkzk aplicando o conjugado P(z) = n∑ k=0 akzk m∑ k=0 bkzk = n∑ k=0 akzk m∑ k=0 bkzk = P(z). Propriedade 18. z ´e imagin´ario puro ⇔ z = −z. Demonstra¸c˜ao. Se z ´e imagin´ario puro ent˜ao z = bi, logo z = −bi = −z. Se z = −z ent˜ao z + z = 0, logo 2Rez = 0 implicando que Rez = 0 e z imagin´ario puro. 1.2.4 Valor absoluto-m´odulo Defini¸c˜ao 11 (Valor absoluto-m´odulo). Definimos o valor absoluto ou m´odulo de um n´umero complexo z = x + yi como |z| = √ x2 + y2. Corol´ario 5. O m´odulo de n´umeros complexos abrange o de n´umeros reais, pois se z = a + 0.i ent˜ao |z| = √ a2 + 02 = √ a2 = |a| = |z|. Corol´ario 6. Sendo z = a + bi ent˜ao |iz| = |z| pois |i.z| = |ia − b| = √ a2 + (−b)2 = √ a2 + (b)2 = |z|. Vale tamb´em que |−iz| = |z| pois |−i.z| = |−ia+b| = √ (−a)2 + (b)2 = √ a2 + (b)2 = |z|. Em especial |i| = | − i| = 1. Corol´ario 7. Vale tamb´em | − z| = |z| pois z = a + bi, −z = −a − bi e da´ı | − z| = √ (−a)2 + (−b)2 = √ a2 + b2. Propriedade 19 (Idempotˆencia). ||z|| = |z|.
  • 21. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 20 Demonstra¸c˜ao. |z| = √ a2 + b2 e como √ a2 + b2 ´e positivo real, ent˜ao | √ a2 + b2| = √ a2 + b2 | √ a2 + b2| = √ ( √ a2 + b2)2 = √ a2 + b2. Propriedade 20. Valem as propriedades Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|. Seja z = a + bi, valem as desigualdades a2 < b2 + a2 e b2 < a2 + b2 , tomando a raiz de ambos lados segue |a| < √ b2 + a2 e |b| < √ b2 + a2 , ent˜ao Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z| pois Rez = a Imz = b e as desigualdades Rez ≤ |Rez| e Imz ≤ |Imz| s˜ao igualdade conhecidas de m´odulo de um n´umero real. 1.2.5 Uso de conjugado na divis˜ao Propriedade 21. |z|2 = z.z. Corol´ario 8. Se z ̸= 0 ent˜ao 1 z = z |z|2 . Ent˜ao para calcular a divis˜ao de w z basta calcular wz |z|2 . Demonstra¸c˜ao. |z|2 = a2 + b2 e z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 , ent˜ao vale a igualdade. Propriedade 22. |z| = |z|. Demonstra¸c˜ao. z = a + bi ent˜ao |z| = √ a2 + b2 e z = a − bi implica |z| = √ a2 + (−b)2 = √ a2 + b2 .
  • 22. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 21 Propriedade 23. |z.w| = |z| |w| Demonstra¸c˜ao. Sendo z = a + bi, w = x + yi ent˜ao z.w = (ax − by) + (ay + bx)i da´ı |zw| = √ (ax − by)2 + (ay + bx)2 = √ a2x2 − 2axby + b2y2 + a2y2 + 2aybx + b2x2 = √ a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 e |z||w| = √ a2 + b2 √ x2 + y2 = √ (a2 + b2)(x2 + y2) = √ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 logo |z||w| = |zw|. Corol´ario 9. Se z ̸= 0 ent˜ao |1| = 1 = | z z | = |z|.| 1 z | da´ı | 1 z | = 1 |z| . O mesmo valendo para z, essas propriedades implicam que |w| |z| = | w z | w z = w z . Propriedade 24. n∏ k=1 |zk| = | n∏ k=1 zk|. Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamos provar para n + 1. | n∏ k=1 zk| = | ( n∏ k=1 zk)zn+1| = | n∏ k=1 zk||zn+1| = n∏ k=1 |zk|.|zn+1| = | n+1∏ k=1 zk|. Corol´ario 10. wz = wz pois wz = w z = wz. Corol´ario 11. 2Re z.w = z.w + z.w = z.w + wz. Corol´ario 12. |z + w|2 = |z|2 + 2Re z.w + |w|2 pois |z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z.z + z.w + zw + w.w = = |z|2 + 2Re z.w + |w|2 . Corol´ario 13. |z − w|2 = |z|2 − 2Re z.w + |w|2 e |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 |w|2 ).
  • 23. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 22 Corol´ario 14 (Desigualdade triangular). Como Re z.w ≤ |z.w| ent˜ao |z|2 + 2Re z.w + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z.w| + |w|2 = |z|2 + 2|z|.|w| + |w|2 = (|z| + |w|)2 . Ent˜ao tem-se |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2 implicando |z + w| ≤ |z| + |w|. Corol´ario 15. |z − w| ≤ |z| + |w| pois | − w| = |w| da´ı aplicamos a desigualdade triangular. Propriedade 25. Se z = x + yi e w = a + bi ent˜ao z w = ax + by a2 + b2 + i ay − bx a2 + b2 . Demonstra¸c˜ao. z w = z 1 w = z.w |w|2 = ax + by a2 + b2 + i ay − bx a2 + b2 . Propriedade 26. |z| = 0 ⇔ z = 0. Demonstra¸c˜ao. Se z = 0 ent˜ao |z| = √ 0 = 0, se |z| = 0 ent˜ao |z|2 = 0 e da´ı a2 + b2 = 0, que s´o acontece quando a = b = 0. Propriedade 27. Se z = cosx + isenx para algum x ent˜ao |z| = 1. Demonstra¸c˜ao. |z| = cos2 x + sen2 x = 1. Propriedade 28. Vale a desigualdade ||zn| − |z|| ≤ |zn − z|. Demonstra¸c˜ao. Por desigualdade triangular valem as desigualdades |zn| − |z| ≤ |zn − z| e − |zn| + |z| ≤ |zn − z| ent˜ao ||zn| − |z|| ≤ |zn − z|.
  • 24. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 23 Exemplo 21. Se z = reiθ ent˜ao |eiz | = e−rsen(θ) . Vale iz = ir(cos(θ) + isen(θ)) = ircos(θ) − rsen(θ) ent˜ao eiz = eircos(θ) e−rsen(θ) tomando o m´odulo |eiz | = |eircos(θ) | =1 | e−rsen(θ) >0 | = e−rsen(θ) . Exemplo 22. Calcule o valor absoluto e conjugado dos n´umeros −2 + i , −3, (2 + i)(4 + 3i). −2 + i = −2 − i −3 = −3. (2 + i)(4 + 3i) = 5 + 10i = 5 − 10i. | − 2 + i| = √ 4 + 1 = 5 | − 3| = √ 9 = 3. |(2 + i)(4 + 3i)| = |5 + 10i| = 5. √ 5 Exemplo 23 (ITA -quest˜ao 5- 1990- Solu¸c˜ao). Suponha z ∈ C com 1+|z| = |z +1|, z = a + bi, ent˜ao 1 + √ a2 + b2 = √ (a + 1)2 + b2 elevando ao quadrado implica 1 + 2 √ a2 + b2 + a2 + b2 = (a + 1)2 + b2 = a2 + 2a + 1 + b2 ⇒ √ a2 + b2 = a logo a ≥ 0, elevando ao quadrado novamente a2 + b2 = a2 , portanto b = 0. Disso temos que Im(z) = 0 e Re(z) ≥ 0.
  • 25. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 24 1.2.6 Conjugado e valor absoluto da divis˜ao Exemplo 24. Se z = x + yi e w = a + bi ent˜ao z w = ax + by a2 + b2 + i ay − bx a2 + b2 . Com isso, podemos calcular o conjugado e o valor absoluto ( z w ) = ax + by a2 + b2 − i ay − bx a2 + b2 | z w | = √ ( ax + by a2 + b2 )2 + ( ay − bx a2 + b2 )2 = 1 a2 + b2 √ (ax + by)2 + (ay − bx)2. Como exemplo num´erico vamos calcular o valor absoluto e o conjugado dos n´umeros 3 − i √ 2 + 3i e i i + 3 . No primeiro caso z w = 3( √ 2 − 1) 11 + i (9 + √ 2) 11 . | z w | = 1 11 √ (3( √ 2 − 1))2 + (9 + √ 2)2. No segundo caso z w = 1 10 − i 3 10 . | z w | = 1 10 √ 10. Exemplo 25. Se m−1∑ k=0 xkam−1−k = z ̸= 0 e xm − am = t calcule x − a. Temos que m−1∑ k=0 xk am−1−k = z, usamos a identidade (xm − am ) = (x − a) m−1∑ k=0 xk am−1−k logo x − a = t z .
  • 26. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 25 Exemplo 26. Calcule a parte real e imagin´aria de (1 + i)n , temos ( 1 + i √ 2 )n = cos( nπ 4 ) + isen(( nπ 4 )) logo (1 + i)n = √ 2 n cos( nπ 4 ) + √ 2 n isen(( nπ 4 ) portanto a parte real ´e √ 2 n cos( nπ 4 ) e a parte imagin´aria ´e √ 2 n sen(( nπ 4 ). o conjugado do n´umero ´e √ 2 n cos( nπ 4 ) − √ 2 n sen(( nπ 4 )i. O m´odulo do n´umero ´e √ 2 n . Exemplo 27. Calcule o m´odulo e valor absoluto de in para n ∈ N. Temos que in = ir onde r ´e o resto da divis˜ao de n por 4, ent˜ao temos as possibilidades 1, i, −1, −i conforme o resto seja 0, 1, 2 ou 3 respectivamente que implica conjugado 1, −i, −1, i. Agora o valor absoluto ´e 1. Como um exemplo num´erico consideramos i17 , 17 deixa resto 1 na divis˜ao por 4 ent˜ao o n´umero ´e i e seu conjugado ´e −i. 1.2.7 Desigualdade de Cauchy Schwarz Propriedade 29. Vale a desigualdade | n∑ k=1 xkyk| ≤ n∑ k=1 |yk|2 n∑ k=1 |xk|2 para elementos xk, yk ∈ C. Demonstra¸c˜ao. Seja f(t) = n∑ k=1 (|xk| + t|yk|)2 = n∑ k=1 (|xk|2 + t2 n∑ k=1 |xk||yk| + n∑ k=1 t2 |yk|)2 vale f(t) ≥ 0, sendo uma equa¸c˜ao do segundo grau o discriminante ´e sempre negativo, logo podemos chegar em ( n∑ k=1 |xk||yk|)2 ≤ n∑ k=1 |xk|2 n∑ k=1 |yk|2
  • 27. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 26 que implica n∑ k=1 |xk||yk| ≤ n∑ k=1 |yk|2 n∑ k=1 |xk|2 como vale | n∑ k=1 xkyk| ≤ n∑ k=1 |xk| |yk| =|yk| ent˜ao segue a desigualdade | n∑ k=1 xkyk| ≤ n∑ k=1 |yk|2 n∑ k=1 |xk|2. 1.2.8 Distˆancia Defini¸c˜ao 12 (Distˆancia). Definimos a distˆancia entre dois n´umeros complexos z1 e z2 por d(z1, z2) = |z1 − z2|. Propriedade 30. A distˆancia define uma m´etrica em C pois temos as seguintes propriedades: X Simetria d(z1, z2) = d(z2, z1). X Desigualdade triangular d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z3, z2) X Positividade d(z1, z2) ≥ 0, d(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2. Tais propriedades seguem das propriedades de R2 .
  • 28. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 27 Figura 1.1: Plano de Argand-Gauss 1.3 Plano de Argand-Gauss e forma polar Defini¸c˜ao 13 (Forma polar e argumento de um n´umero complexo). Como podemos representar um n´umero complexo z = a + bi pelo ponto P = (a, b) no plano cartesiano, a parte real a representada sobre o eixo x e a parte imagin´aria b representada sobre o eixo y. A distˆancia da origem at´e o ponto P ´e |z| = r = √ a2 + b2. a + bi, pode ser representado por r(cos(θ) + isen(θ) onde sen(θ) = b √ a2 + b2 e cos(θ) = a √ a2 + b2 logo tg(θ) = b a .. o ˆangulo θ se chama argumento do n´umero complexo a + bi e essa representa¸c˜ao se chama forma trigonom´etrica ou polar. Lembrando da rela¸c˜ao cosθ + isenθ = eiθ z = a + bi = r(cosθ + isenθ) = r.eiθ se elevarmos a n temos zn = (a + bi)n = rn (cosθ + isenθ)n = rn einθ como temos einθ = cos(nθ) + isen(nθ) temos assim Propriedade 31. O conjunto dos pontos z tais que |z − z0| = r > 0 ´e uma circun- ferˆencia de raio r e centro em z0. Demonstra¸c˜ao. Denotando z0 = (x0, y0) e z = (zx, zy) |z − z0| = r ⇔ (zx − x0)2 + (zy − y0)2 = r2 que s˜ao exatamente os pontos da circunferˆencia de raio r e centro em z0 = (x0, y0).
  • 29. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 28 Propriedade 32. arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2). Demonstra¸c˜ao. z1 = r1eiθ1 , z2 = r2eiθ2 , multiplicando tem-se z1.z2 = r1.r2ei(θ1+θ2) logo arg(z1.z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2). Propriedade 33. arg( z1 z2 ) = arg(z1) − arg(z2). Demonstra¸c˜ao. z1 = r1eiθ1 , z2 = r2eiθ2 , dividindo tem-se z1 z2 = r1 r2 ei(θ1−θ2) da´ı arg( z1 z2 ) = arg(z1) − arg(z2). Exemplo 28. Determine z ∈ C tal que arg(z + i) = π 4 e |z| = 2. Seja z = a + bi, ent˜ao |z| = √ a2 + b2 = 2 implicando a2 + b2 = 4. z + i = a + (b + 1)i o argumento nos d´a a2 a2 + (b + 1)2 = 1 2 = (b + 1)2 a2 + (b + 1)2 = (b + 1)2 5 + 2b pois a2 + b2 = 4 , segue que a2 = (b + 1)2 e da´ı (b + 1)2 + b2 = 4, de onde tiramos as solu¸c˜oes b = −1 + √ 7 2 e por conseguinte a = 1 + √ 7 2 como uma das solu¸c˜oes z = 1 + √ 7 2 + −1 + √ 7 2 i. Propriedade 34 (Primeira f´ormula de Moivre). Sendo z = (cos(θ) + isen(θ) ent˜ao zn = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)] por´em vamos provar esse resultado por indu¸c˜ao. Demonstra¸c˜ao. Para n = 0 temos (a + bi)0 = 1 = r0 [(cos(0θ) + isen(0θ)] = [1 + i0] = 1 tomando agora o resultado v´alido para n zn = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)]
  • 30. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 29 vamos provar para n + 1 zn+1 = rn+1 [(cos((n + 1)θ) + isen((n + 1)θ)] como zn+1 = zn .z temos zn+1 = rn [(cos(nθ) + isen(nθ)] r [(cos(θ) + isen(θ)] = rn+1 [cosnθ.cosθ − sennθ.senθ + i(senθcosnθ + sennθ.cosθ)] lembrando que cos(n + 1)θ = cos(nθ + θ) = cosnθ.cosθ − sennθ.senθ e sen(n + 1)θ = sen(nθ + θ) = sennθcosθ + senθ.cosnθ substituindo temos = rn+1 [cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ]. Corol´ario 16. Em geral em n∏ k=1 zk com zk = rkeiθk , tem-se n∏ k=1 zk = ( n∏ k=1 rk)( n∏ k=1 eiθk ) = ( n∏ k=1 rk)(e i( n∑ k=1 θk) ). Isso implica que arg( n∏ k=1 zk) = n∑ k=1 arg(zk). Em especial arg( n∏ k=1 z) = arg(zn ) = n∑ k=1 arg(z) = narg(z). Tomando z = reiθ , temos n∏ k=1 z = zn = ( n∏ k=1 r)(e i( n∑ k=1 θ) ) = rn (ei(nθ) ) = rn (cos(nθ) + isen(nθ)) provando a f´ormula de De Moivre. Corol´ario 17. |cosx + iseny| = √ cos2x + sen2x = √ 1 = 1. Exemplo 29. z = 1 + i, tem-se cos(θ) = 1 √ 2 = √ 2 2 = sen(θ), logo arg(z) = π 4 .
  • 31. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 30 Exemplo 30 (ITA 2009- Quest˜ao 4- Solu¸c˜ao). Se a = cos( π 5 ) e b = sen( π 5 ) ent˜ao calcule [cos( π 5 ) + sen( π 5 )]54 . Pela f´ormula de de Moivre, temos [cos( π 5 ) + sen( π 5 )]54 = [cos( 54π 5 ) + sen( 54π 5 )] = = [cos( 55π 5 − π 5 ) + sen( 55π 5 − π 5 )] = = cos(11π) −1 cos( π 5 ) a + sen(11π) 0 sen( π 5 ) + i sen(11π) 0 cos( π 5 ) − icos(11π) sen( π 5 ) b = −a + bi. Propriedade 35. O ponto z ´e a reflex˜ao do ponto z em torno do ponto x. (fazer figura). Demonstra¸c˜ao. 1.4 Ra´ızes Propriedade 36 (Ra´ızes complexas n-´esimas). Todo n´umero complexo z = r(cos(θ) + isen(θ)) ̸= 0 possui exatamente n ra´ızes complexas n-´esimas w, que satisfazem wn = z para cada n´umero natural n ≥ 1, dadas por zk = r 1 n [cos( θ + 2kπ n ) + isen( θ + 2kπ n )] k ∈ [0, n − 1]N . Demonstra¸c˜ao. Queremos determinar os valores de w = p(cos(φ)+isen(φ)) tais que z = wn . Tem-se wn = pn (cos(nφ) + isen(nφ)) = z = r(cos(θ) + isen(θ)) da´ı pn = r, p = r 1 n , cos(nφ) = cos(θ) , sen(nφ) = sen(θ), ⇔ nφ = θ +2kπ, φ = θ + 2kπ n , k ∈ Z. De k = 0 at´e n − 1 temos argumentos distintos e n´umeros complexos distintos , pois os argumentos est˜ao entre [ θ n , θ n + 2π), para outros valores de k se reca´ımos nestes j´a citados pois k = nq + r onde 0 ≤ r < n pela divis˜ao euclidiana θ + 2kπ n = θ + 2rπ n + 2qπ.
  • 32. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 31 Exemplo 31. Em especial temos as ra´ızes da unidade , que s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao zn = 1, dadas por cos( 2kπ n ) + isen( 2kπ n ), k ∈ [0, n − 1]N . Exemplo 32. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z4 − p = 0 onde p > 0. As ra´ızes ser˜ao dadas por zk = 4 √ p(cos (2kπ) 4 + isen (2kπ) 4 ). z0 = 4 √ p z1 = 4 √ p(cos (2π) 4 + isen (2π) 4 ) = i 4 √ p z2 = 4 √ p(cos (4π) 4 + isen (4π) 4 ) = − 4 √ p z3 = 4 √ p(cos (2.3π) 4 + isen (2.3π) 4 ) = −i 4 √ p. Exemplo 33. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z4 − 3 = 0. As ra´ızes ser˜ao dadas por zk = 4 √ 3(cos (2kπ) 4 + isen (2kπ) 4 ). z0 = 4 √ 3 z1 = i 4 √ 3 z2 = − 4 √ 3 z3 = −i 4 √ 3. Exemplo 34. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z8 − 14z4 + 48 = 0. Tomamos w = z4 e da´ı a equa¸c˜ao fica w2 − 14w + 48 = 0 cujas ra´ızes s˜ao w1 = 8 e w2 = 6. As ra´ızes s˜ao z0 = 4 √ 8 z1 = i 4 √ 8 z2 = − 4 √ 8 z3 = −i 4 √ 8 z4 = 4 √ 6
  • 33. CAP´ITULO 1. N ´UMEROS COMPLEXOS 32 z5 = i 4 √ 6 z6 = − 4 √ 6 z7 = −i 4 √ 6. Exemplo 35. Calcule as ra´ızes da equa¸c˜ao z2 + (1 − 2i)z + (1 + 5i) = 0. Temos ∆ = (1 − 2i)2 − 4(1 − 5i) = −3 − 4i − 4 + 20i = −7 + 16i logo os valores s˜ao dados por z = −(1 − 2i) ± √ −7 + 16i 2 . Propriedade 37. Se ez ̸= 0 e α ∈ C tal que ez+α = ez ent˜ao α = 2kπi, ∀ k ∈ Z. Demonstra¸c˜ao. α = a + bi, da´ı ez+α = ez eα = ez ⇒ eα = 1 pois ez ̸= 0 ´e invert´ıvel. Ent˜ao segue ea ebi = 1 como a fun¸c˜ao de lei ex ´e injetora, segue que a = 0, da´ı ebi = cos(b) + isen(b) = 1 implicando que cos(b) = 1 e sen(b) = 0 que implica b = 2kπ, ent˜ao α = 2kπ.i.