calculo

1. F´ısica Matem´atica I
Jorge L. deLyra
06 de Abril de 2010
14: C´alculo de Integrais por Res´ıduos
Vamos discutir agora a quest˜ao da determina¸c˜ao da natureza das singularidades e dos cor-
respondentes res´ıduos de uma fun¸c˜ao anal´ıtica, bem como o importante teorema de res´ıduos,
que nos fornece uma forma poderosa de se calcular certos tipos de integral, incluindo certas
integrais reais. Suponha que uma fun¸c˜ao f(z) ´e anal´ıtica em uma determinada regi˜ao, a
menos de um n´umero finito de pontos de singularidade. Se o n´umero de pontos singulares
´e finito, ent˜ao estas singularidade s˜ao necessariamente isoladas umas das outras. Portanto,
ao redor de cada uma destas singularidades h´a um anel de convergˆencia de uma s´erie de
Laurent que representa a fun¸c˜ao, como mostrado no diagrama que segue.
Fig. 1: O plano complexo com as singularidades isoladas, cada uma com a sua regi˜ao
anelar de convergˆencia.
As integrais de f(z) em torno de cada um destes pontos singulares s˜ao os res´ıduos, ou seja,
os coeficientes b1 de cada uma das correspondentes s´eries de Laurent, uma em cada regi˜ao
anelar,
2πı b1,j =
Cj
f(z) dz,
onde o ´ındice j corre pelo conjunto de pontos de singularidade. Segue que toda fun¸c˜ao
anal´ıtica tem um res´ıduo em cada uma das suas singularidades isoladas, res´ıduos estes que
podem muitas vezes ser determinados por m´etodos muito simples, sem necessidade de se
calcular a integral. Consideremos agora uma integral de f(z) sobre um circuito C que
contorna toda a regi˜ao onde est˜ao as singularidades. Podemos decompor esta integral em
uma soma de integrais sobre pequenos circuitos, com um destes circuitos em torno de cada
uma das singularidades, como mostrado no diagrama que segue.
1

2. Fig. 2: O plano complexo com as singularidades isoladas, e a decomposi¸c˜ao de integral
geral em integrais sobre pequenos circuitos.
Escrevendo a integral sobre a curva C em termos das integrais em torno de cada singulari-
dades, temos
C
f(z) dz =
j Cj
f(z) dz = 2πı
j
b1,j,
ou seja, podemos escrever a integral em termos de uma soma de res´ıduos, um para cada
singularidade que est´a dentro do circuito C. Este ´e o teorema de res´ıduos. Desde que
possamos determinar os res´ıduos, ele nos fornece uma ferramenta para o c´alculo de integrais.
Vimos no in´ıcio deste estudo de fun¸c˜oes anal´ıticas que, quando fazemos integrais ao
redor de polos de ordem n dados por z−n, temos zero como resultado exceto no caso em
que n = 1. Vemos agora que, de forma muito geral, as contribui¸c˜oes para uma integral
de contorno fechado vˆem exclusivamente dos pontos singulares nos quais a expans˜ao de
Laurent da fun¸c˜ao que aparece no integrando tem uma componente 1/z, e apenas desta
componente de cada uma das expans˜oes.
O teorema de res´ıduos efetivamente reduz um problema de integra¸c˜ao definida a um
problema de expans˜ao em s´erie, ou antes, de determina¸c˜ao de um ´unico termo de uma
expans˜ao em s´erie. Como se trata aqui de manipular uma s´erie de potˆencias, muitas vezes
isto reduz o problema de integra¸c˜ao a um problema de diferencia¸c˜ao, ou at´e mesmo a um
simples problema alg´ebrico envolvendo s´eries j´a bem conhecidas. `As vezes achar os res´ıduos
relevantes ´e de fato muito simples. Por exemplo, considere a integral
C
e−z
(z − 1)2
dz
sobre o circuito desenhado abaixo, o c´ırculo de raio 2 centrado na origem.
Fig. 3: O plano complexo com o circuito.
2

3. Podemos usar a s´erie de Taylor de exp(−z) em torno de z0 = 1 para escrever
e−z
(z − 1)2
=
e−1
(z − 1)2
∞
n=0
(−1)n (z − 1)n
n!
=
e−1
(z − 1)2
−
e−1
(z − 1)
+ e−1
∞
n=2
(−1)n (z − 1)n−2
n!
,
concluindo portanto que o res´ıduo na ´unica singularidade, em z = 1, ´e −1/e, de forma que
temos
C
e−z
(z − 1)2
dz = −
2πı
e
.
Este ´e um caso em que a fun¸c˜ao tem o que chamamos de um polo, que neste caso ´e de
ordem 2, em z = 1. Observe-se entretanto que o res´ıduo n˜ao est´a associado ao termo da
s´erie com potˆencia −2, que ´e o termo com a maior potˆencia negativa, e sim com o termo
com potˆencia exatamente −1. Um caso um pouco mais complicado ´e o da seguinte integral,
no mesmo circuito,
C
e1/z2
dz.
Escrevemos, a partir da s´erie de Maclaurin de exp(z), substituindo vari´aveis, a expans˜ao
e1/z2
= 1 +
1
z2
+
1
2! z4
+
1
3! z6
+
1
4! z8
+ . . . .
Disto vemos que b1 = 0, pois n˜ao h´a termo proporcional a 1/z, e portanto temos para a
integral
C
e1/z2
dz = 0.
Este ´e um caso em que dizemos que a fun¸c˜ao tem no ponto z = 0 uma singularidade
essencial, pois n˜ao h´a limite para as potˆencias de 1/z que aparecem na expans˜ao. Observe-
se que a existˆencia e o c´alculo de res´ıduos n˜ao est˜ao limitados aos casos em que a fun¸c˜ao
tem apenas um ou mais polos, sejam quais forem as ordens deles, mas se aplica tamb´em a
singularidades essenciais.
Como vemos aqui, a dificuldade da t´ecnica de c´alculo de integrais atrav´es do teorema de
res´ıduos se reduz ao c´alculo ou `a determina¸c˜ao, de uma forma ou de outra, dos res´ıduos da
fun¸c˜ao nas singularidades envolvidas. Em muitos casos isto pode ser feito de forma simples,
atrav´es de manipula¸c˜oes alg´ebricas ou de opera¸c˜oes com as s´eries de Maclaurin ou Taylor.
Para podermos generalizar um pouco mais esta t´ecnica, ´e preciso primeiro sistematizar a
classifica¸c˜ao dos tipos de singularidades isoladas. Se a s´erie de Laurent de uma fun¸c˜ao
em torno de um ponto onde ela ´e singular tem um n´umero finito de termos n˜ao-nulos
com potˆencias negativas, ent˜ao dizemos que a singularidade ´e um polo e a maior potˆencia
negativa m existente na s´erie ´e a ordem do polo. Se m = 1, dizemos que se trata de um
polo simples. Por outro lado, se o n´umero de termos com potˆencias negativas for infinito,
ent˜ao dizemos que a singularidade n˜ao ´e um polo, e sim uma singularidade essencial.
Tomemos uma fun¸c˜ao racional como um exemplo simples. ´E f´acil verificar que
z2 − 2z + 3
z − 2
=
3
z − 2
+ 2 + (z − 2),
3

4. de forma que vemos que esta fun¸c˜ao tem um polo simples em z = 2, e que o res´ıduo nele
´e b1 = 3. Observe-se a necessidade de se escrever todos os termos consistentemente em
termos de (z − 2), para gerar a s´erie correta. J´a a fun¸c˜ao
sinh(z)
z4
=
1
z3
+
1
3! z
+
z
5!
+
z3
7!
+ . . .
tem um polo de ordem 3 em z = 0, e o res´ıduo nele ´e 1/6. Finalmente, a fun¸c˜ao
cosh
1
z
= 1 +
∞
n=1
1
(2n)! z2n
tem uma singularidade essencial em z = 0, e o res´ıduo nela ´e zero.
Se uma fun¸c˜ao f(z) tem um polo de ordem finita m em z0, ´e sempre poss´ıvel definir,
a partir dela, uma nova fun¸c˜ao φ(z) que ´e anal´ıtica em todo o dom´ınio de analiticidade
de f(z), e que al´em disso ´e tamb´em anal´ıtica em z0. A fun¸c˜ao φ(z) ´e definida da seguinte
forma,
φ(z) = (z − z0)m
f(z), para z = z0,
φ(z0) = lim
z→z0
(z − z0)m
f(z) = bm,
de forma que o valor de φ(z) no ponto z0 ´e definido por meio de um crit´erio de continuidade.
Observe-se que n˜ao ´e poss´ıvel fazer isto no caso de uma singularidade essencial. Como temos
a s´erie de Laurent de f(z),
f(z) =
bm
(z − z0)m
+
bm−1
(z − z0)m−1
+ . . . +
b1
(z − z0)
+
∞
n=0
an(z − z0)n
,
verificamos que φ(z0) = bm, e al´em disso temos tamb´em a s´erie de Laurent (de fato, a s´erie
de Taylor) de φ(z),
φ(z) = bm + bm−1(z − z0) + . . . + b1(z − z0)m−1
+
∞
n=0
an(z − z0)n+m
.
Como a s´erie de f(z) ´e convergente, segue que a soma infinita que aparece nestas express˜oes
´e convergente. Assim, fica claro que esta s´erie para φ(z) ´e uma s´erie de potˆencias conver-
gente, e portanto que φ(z) ´e anal´ıtica, uma vez que foi definida em z0 de forma a ser
cont´ınua. Dizemos que a fun¸c˜ao φ(z), definida apenas como o produto (z − z0)mf(z), tem
uma singularidade remov´ıvel, uma esp´ecie de simples “furo” em seu dom´ınio, singularidade
esta que pode ser removida atrav´es da defini¸c˜ao da fun¸c˜ao por continuidade, no ponto de
singularidade, tapando-se assim o “furo”.
Podemos agora escrever o res´ıduo b1 de f(z) em termos da fun¸c˜ao φ(z). Como a s´erie
convergente de potˆencias positivas de φ(z) tem de ser a sua s´erie de Taylor, temos que
b1(z − z0)m−1
=
φ(m−1)′(z0)
(m − 1!)
(z − z0)m−1
,
de forma que temos para o res´ıduo
b1 =
φ(m−1)′(z0)
(m − 1!)
.
4

5. Isto pode nos dar, muitas vezes, uma forma simples de calcular o res´ıduo. No caso de
termos um polo simples, com m = 1, temos simplesmente que
b1 = φ(z0) = lim
z→z0
(z − z0)f(z),
que ´e a defini¸c˜ao por continuidade de φ(z0). Esta ´e uma forma muito ´util de se calcular
o res´ıduo de um polo simples, que vem `a tona com muita frequˆencia. Se a singularidade
de f(z) for essencial, ent˜ao n˜ao h´a outra forma de se calcular o res´ıduo al´em de se obter a
s´erie de Laurent da fun¸c˜ao. Entretanto, se a singularidade for um polo, ent˜ao e express˜ao
do res´ıduo em termos da derivada de φ(z) ´e frequentemente muito ´util.
A t´ecnica de integra¸c˜ao por res´ıduos pode ser usada para o c´alculo de certas integrais
definidas reais, que de outra forma seriam muito mais dif´ıceis de se fazer. Um exemplo
disto s˜ao integrais envolvendo fun¸c˜oes trigonom´etricas, que se estendam pelo per´ıodo destas
fun¸c˜oes. De forma geral, s˜ao integrais do tipo
2π
0
F[cos(θ), sin(θ)] dθ.
Integrais deste tipo podem ser interpretadas como integrais complexas sobre o c´ırculo
unit´ario, num plano complexo descrito pela vari´avel z = ρ exp(ı θ), com ρ = 1 e com θ
variando de 0 a 2π. Para escrever a integral desta forma, usamos as transforma¸c˜oes
z = eı θ
,
dz = ı z dθ,
cos(θ) =
1
2
z +
1
z
,
sin(θ) =
1
2ı
z −
1
z
,
o que muitas vezes resulta na integral de uma fun¸c˜ao racional de z sobre o c´ırculo unit´ario.
Observe-se que apenas sobre o c´ırculo unit´ario ´e poss´ıvel escrever as fun¸c˜oes cos(θ) e sin(θ)
de forma simples em termos de z. Se for poss´ıvel localizar as singularidades da fun¸c˜ao
resultante e determinar os seus res´ıduos, ent˜ao ser´a poss´ıvel determinar o valor da integral.
Como um exemplo simples de c´alculo deste tipo, consideremos a integral real definida
I =
2π
0
dθ
1
5 + 4 cos(θ)
.
Fazendo as transforma¸c˜oes indicadas acima, obtemos
I =
2π
0
ı z dθ
1
ı z
1
5 + 2(z + 1/z)
=
2π
0
dz
1
ı
1
5z + 2(z2 + 1)
= −ı dz
1
5z + 2z2 + 2
,
onde o circuito ´e o c´ırculo unit´ario. ´E preciso agora fatorar o polinˆomio em denominador.
Usando-se a f´ormula de B´askara n˜ao ´e dif´ıcil verificar que as duas ra´ızes s˜ao −2 e −1/2, de
forma que temos
5

6. I = −ı dz
1
2z2 + 5z + 2
= −ı dz
1
2(z + 2)(z + 1/2)
.
Apenas o polo dado por z = −1/2 fica dentro do circuito de integra¸c˜ao, de forma que
apenas o seu res´ıduo R ir´a contribuir para a integral. Este res´ıduo pode ser calculado de
forma muito simples atrav´es do limite
R = lim
z→−1/2
(z + 1/2)
2(z + 2)(z + 1/2)
= lim
z→−1/2
1
2(z + 2)
=
1
−1 + 4
=
1
3
.
Segue que o valor da integral ´e dado, sem qualquer dificuldade, por
I = −ı 2πı R =
2π
3
.
Outro tipo de integral real onde o m´etodo de integra¸c˜ao por res´ıduos pode ser usado com
grande vantagem s˜ao as integrais assint´oticas, sobre todo o eixo real. Esta ´e uma das
aplica¸c˜oes mais comuns e ´uteis nos problemas da f´ısica. Como um exemplo t´ıpico de
c´alculo de uma integral deste tipo atrav´es do teorema de res´ıduos, consideremos a inte-
gral assint´otica dada por
I = 2
∞
0
1
x2 + 1
dx.
Como o integrando ´e par, podemos escrever para a integral
I =
∞
−∞
1
x2 + 1
dx.
Podemos agora estender a fun¸c˜ao para valores complexos, de forma que temos a fun¸c˜ao
anal´ıtica
f(z) =
1
z2 + 1
=
1
z + ı
1
z − ı
,
que tem dois polos simples, um em z = ı e outro em z = −ı . Tentamos agora construir
uma integral de circuito fechado no plano complexo, que em algum limite reproduza a
integral real que queremos calcular. Considere para tal o circuito de integra¸c˜ao ilustrado
no diagrama que segue, consistindo do intervalo real [−R, R] e do semic´ırculo CR de raio
R, que vai de θ = 0 a θ = π no semiplano superior.
Fig. 4: O plano complexo com o circuito formado pelo segmento e pelo semic´ırculo,
incluindo o polo relevante.
6

7. No limite em que R → ∞, a integral sobre o segmento do eixo real reproduz o eixo completo,
que ´e o dom´ınio de integra¸c˜ao da integral real original. A quest˜ao ´e saber o que acontece
neste limite com a integral sobre o semic´ırculo CR, que temos de somar `a outra para poder
fechar o circuito. Como sobre o semic´ırculo temos |dz| = R dθ e |z| = R, podemos escrever
para esta integral
CR
dz
z2 + 1
≤
CR
|dz|
|z2 + 1|
=
π
0
R dθ
|z2 + 1|
.
Temos agora de analisar o comportamento do denominador. Partindo de (z2 + 1) − 1 = z2,
temos que |(z2 + 1) − 1| = R2. Distribuindo o m´odulo na soma do lado esquerdo desta
equa¸c˜ao, podemos escrever a desigualdade
R2
= |(z2
+ 1) − 1| ≤ |z2
+ 1| + | − 1| = |z2
+ 1| + 1.
Segue disto que
|z2
+ 1| ≥ R2
− 1.
Podemos portanto majorar nossa integral, trocando o fator no denominador por uma quan-
tidade menor, R2 − 1. Com isto obtemos para a integral
CR
dz
z2 + 1
≤
π
0
R dθ
|z2 + 1|
≤
π
0
R dθ
R2 − 1
=
R
R2 − 1
π
0
dθ
= π
R
R2 − 1
.
Como esta ´ultima forma da integral vai a zero quando R → ∞, segue que a integral sobre
o semic´ırculo vai a zero neste limite, de forma que a integral sobre o contorno complexo de
fato se torna igual `a integral real original. O contorno complexo, por outro lado, tem um
´unico polo simples no seu interior, o polo da fun¸c˜ao em z = ı . Segue que o res´ıduo neste
polo ´e dado por
lim
z→z0
(z − ı )f(z) =
1
2ı
.
A integral ´e portanto 2πı vezes este res´ıduo, ou seja, temos que I = π.
Vamos terminar comentando sobre uma situa¸c˜ao especial que `as vezes ´e de interesse nas
aplica¸c˜oes. Podemos nos perguntar o que acontece se um circuito fechado de integra¸c˜ao
passar bem em cima de uma singularidade. ´E claro que este caso n˜ao est´a inclu´ıdo nas
hip´oteses de nossos teoremas sobre integrais complexas em circuitos fechados, de forma que
em princ´ıpio n˜ao podemos afirmar nada a respeito. A rigor, a integral simplesmente n˜ao est´a
bem definida, e isto ´e tudo que podemos dizer. Dependendo da dire¸c˜ao em que atravessamos
a singularidade, ou da forma como tomamos limites ao longo da curva, pelos dois lados da
singularidade, em dire¸c˜ao a ela, a integral pode assumir muitos valores diferentes. Um caso
real an´alogo a isto seria, por exemplo, a integral de 1/x entre −1 e 1,
7

8. 1
−1
dx
1
x
.
Como a integral diverge para +∞ pela direita e para −∞ pela esquerda, dependendo
de como tomamos os limites pelos dois lados, podemos ajustar as coisas de tal forma
que a integral tenha qualquer valor real que quisermos. H´a entretanto um caso especial
particularmente simples, pois se tomarmos os limites de forma sim´etrica, o resultado da
integral ´e identicamente nulo ao longo do limite, e portanto o limite ´e nulo,
lim
ǫ→0
−ǫ
−1
dx
1
x
+
1
ǫ
dx
1
x
= lim
ǫ→0
− ln |x|
−ǫ
−1
+ ln |x|
1
ǫ
= lim
ǫ→0
[− ln(1) − ln(ǫ) + ln(1) + ln(ǫ)]
= lim
ǫ→0
0
= 0.
Esta forma especial de definir a integral d´a a ela um valor especial, que chamamos de valor
principal de Cauchy. Em muitos casos, integrais singulares podem ser tornadas regulares
ou regularizadas desta forma, atrav´es desta condi¸c˜ao adicional sobre como se deve tomar o
limite, de tal forma que ainda podem ser usadas e manipuladas de forma ´util. Observe que
poder´ıamos fazer algo semelhante para integrar esta mesma fun¸c˜ao sobre toda a reta real,
apesar de que a integral diverge tanto no zero quando em ±∞, pois temos que
lim
ǫ→0,L→∞
−ǫ
−L
dx
1
x
+
L
ǫ
dx
1
x
= lim
ǫ→0,L→∞
− ln |x|
−ǫ
−L
+ ln |x|
L
ǫ
= lim
ǫ→0,L→∞
[− ln(L) − ln(ǫ) + ln(L) + ln(ǫ)]
= lim
ǫ→0,L→∞
0
= 0,
n˜ao importando a ordem ou a maneira na qual se toma os dois limites, um em rela¸c˜ao ao
outro. Podemos, por exemplo, tornar os limites simultˆaneos escolhendo a rela¸c˜ao L = 1/ǫ
entre estes dois parˆametros.
Vamos discutir aqui uma vers˜ao desta id´eia que se aplica a integrais sobre contornos
fechados no plano complexo. Imaginemos ent˜ao que temos uma integral sobre um circuito
fechado que passa exatamente em cima de uma singularidade isolada. Podemos dar uma
defini¸c˜ao completa `a integral deformando ligeiramente o contorno, de tal forma que ele
passe de um dos dois lados da singularidade. Como a singularidade ´e isolada, podemos
fazer isto sem atravessar nenhuma outra singularidade. Observe que a deforma¸c˜ao pode ser
arbitrariamente pequena, e de fato at´e infinitesimal, como ilustra o diagrama que segue.
Fig. 5: O plano complexo com o circuito de integra¸c˜ao passando sobre uma singularidade,
e as duas deforma¸c˜oes que podem ser usadas para evitar o ponto de singularidade.
8

9. Por outro lado, podemos fazer isto de duas formas diferentes, pois podemos passar de cada
um dos dois lados da singularidade, como ilustrado acima. Deforma¸c˜oes adicionais que
permane¸cam apenas de um lado da singularidade nada mudam, mas aquelas que atravessam
a singularidade mudam de fato a integral, pois passam a incluir na integral, ou deixam de
incluir nela, dependendo do lado no qual o circuito de integra¸c˜ao ´e fechado, a contribui¸c˜ao
devida ao res´ıduo daquela singularidade.
Assim, podemos atribuir um valor especial `a integral singular, de forma muito natural
e intuitiva, procedendo da seguinte forma: primeiro deformamos o contorno um pouco
para um lado, e calculamos o valor da integral, que passa a estar bem definida; depois
deformamos o contorno um pouco para o outro lado, e calculamos de novo a integral;
finalmente, levando em considera¸c˜ao que a integra¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao linear, calculamos
a m´edia aritm´etica dos dois valores obtidos para a integral. Este ´e o valor principal de
Cauchy para esta integral complexa singular. Como em um dos dois casos a singularidade
n˜ao contribui o seu res´ıduo `a integral, enquanto no outro ela contribui com 2πı b1, onde
b1 ´e o seu res´ıduo, na m´edia teremos como contribui¸c˜ao `a integral, da singularidade que ´e
atravessada pelo contorno, o valor πı b1, segundo este crit´erio.
Tudo se passa como se tiv´essemos “cortado a singularidade ao meio”. Observe-se en-
tretanto que esta divis˜ao do res´ıduo em dois tem um car´ater topol´ogico e n˜ao geom´etrico.
O formato da curva que passa em cima do polo n˜ao importa, o que importa ´e apenas que
uma das duas curvas que se desvia do polo passe por um lado dele, e a outra pelo outro
lado. A curva original pode at´e fazer um ˆangulo, com o v´ertice sobre o polo, e portanto n˜ao
ser diferenci´avel naquele ponto, sem que isto mude em nada a situa¸c˜ao. Pode-se verificar
que este crit´erio, aplicado `a fun¸c˜ao complexa w(z) = 1/z, ´e equivalente `a id´eia de se tomar
limites sim´etricos, que foi discutida acima para a fun¸c˜ao real f(x) = 1/x. Deixaremos um
exame mais detalhado diste caso paradigm´atico para os exerc´ıcios.
´E importante manter em mente que n˜ao se trata aqui de um valor inevit´avel para a
integral, e sim de uma escolha, se bem que uma escolha muito especial e importante. Como
veremos mais tarde, esta escolha nos permite dar um significado preciso e consistente a, e
lidar corretamente com integrais que, de outra forma, n˜ao teriam qualquer significado.
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