Calculo do residuo

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Calculo do residuo

  1. 1. F´ısica Matem´atica I Jorge L. deLyra 06 de Abril de 2010 14: C´alculo de Integrais por Res´ıduos Vamos discutir agora a quest˜ao da determina¸c˜ao da natureza das singularidades e dos cor- respondentes res´ıduos de uma fun¸c˜ao anal´ıtica, bem como o importante teorema de res´ıduos, que nos fornece uma forma poderosa de se calcular certos tipos de integral, incluindo certas integrais reais. Suponha que uma fun¸c˜ao f(z) ´e anal´ıtica em uma determinada regi˜ao, a menos de um n´umero finito de pontos de singularidade. Se o n´umero de pontos singulares ´e finito, ent˜ao estas singularidade s˜ao necessariamente isoladas umas das outras. Portanto, ao redor de cada uma destas singularidades h´a um anel de convergˆencia de uma s´erie de Laurent que representa a fun¸c˜ao, como mostrado no diagrama que segue. Fig. 1: O plano complexo com as singularidades isoladas, cada uma com a sua regi˜ao anelar de convergˆencia. As integrais de f(z) em torno de cada um destes pontos singulares s˜ao os res´ıduos, ou seja, os coeficientes b1 de cada uma das correspondentes s´eries de Laurent, uma em cada regi˜ao anelar, 2πı b1,j = Cj f(z) dz, onde o ´ındice j corre pelo conjunto de pontos de singularidade. Segue que toda fun¸c˜ao anal´ıtica tem um res´ıduo em cada uma das suas singularidades isoladas, res´ıduos estes que podem muitas vezes ser determinados por m´etodos muito simples, sem necessidade de se calcular a integral. Consideremos agora uma integral de f(z) sobre um circuito C que contorna toda a regi˜ao onde est˜ao as singularidades. Podemos decompor esta integral em uma soma de integrais sobre pequenos circuitos, com um destes circuitos em torno de cada uma das singularidades, como mostrado no diagrama que segue. 1
  2. 2. Fig. 2: O plano complexo com as singularidades isoladas, e a decomposi¸c˜ao de integral geral em integrais sobre pequenos circuitos. Escrevendo a integral sobre a curva C em termos das integrais em torno de cada singulari- dades, temos C f(z) dz = j Cj f(z) dz = 2πı j b1,j, ou seja, podemos escrever a integral em termos de uma soma de res´ıduos, um para cada singularidade que est´a dentro do circuito C. Este ´e o teorema de res´ıduos. Desde que possamos determinar os res´ıduos, ele nos fornece uma ferramenta para o c´alculo de integrais. Vimos no in´ıcio deste estudo de fun¸c˜oes anal´ıticas que, quando fazemos integrais ao redor de polos de ordem n dados por z−n, temos zero como resultado exceto no caso em que n = 1. Vemos agora que, de forma muito geral, as contribui¸c˜oes para uma integral de contorno fechado vˆem exclusivamente dos pontos singulares nos quais a expans˜ao de Laurent da fun¸c˜ao que aparece no integrando tem uma componente 1/z, e apenas desta componente de cada uma das expans˜oes. O teorema de res´ıduos efetivamente reduz um problema de integra¸c˜ao definida a um problema de expans˜ao em s´erie, ou antes, de determina¸c˜ao de um ´unico termo de uma expans˜ao em s´erie. Como se trata aqui de manipular uma s´erie de potˆencias, muitas vezes isto reduz o problema de integra¸c˜ao a um problema de diferencia¸c˜ao, ou at´e mesmo a um simples problema alg´ebrico envolvendo s´eries j´a bem conhecidas. `As vezes achar os res´ıduos relevantes ´e de fato muito simples. Por exemplo, considere a integral C e−z (z − 1)2 dz sobre o circuito desenhado abaixo, o c´ırculo de raio 2 centrado na origem. Fig. 3: O plano complexo com o circuito. 2
  3. 3. Podemos usar a s´erie de Taylor de exp(−z) em torno de z0 = 1 para escrever e−z (z − 1)2 = e−1 (z − 1)2 ∞ n=0 (−1)n (z − 1)n n! = e−1 (z − 1)2 − e−1 (z − 1) + e−1 ∞ n=2 (−1)n (z − 1)n−2 n! , concluindo portanto que o res´ıduo na ´unica singularidade, em z = 1, ´e −1/e, de forma que temos C e−z (z − 1)2 dz = − 2πı e . Este ´e um caso em que a fun¸c˜ao tem o que chamamos de um polo, que neste caso ´e de ordem 2, em z = 1. Observe-se entretanto que o res´ıduo n˜ao est´a associado ao termo da s´erie com potˆencia −2, que ´e o termo com a maior potˆencia negativa, e sim com o termo com potˆencia exatamente −1. Um caso um pouco mais complicado ´e o da seguinte integral, no mesmo circuito, C e1/z2 dz. Escrevemos, a partir da s´erie de Maclaurin de exp(z), substituindo vari´aveis, a expans˜ao e1/z2 = 1 + 1 z2 + 1 2! z4 + 1 3! z6 + 1 4! z8 + . . . . Disto vemos que b1 = 0, pois n˜ao h´a termo proporcional a 1/z, e portanto temos para a integral C e1/z2 dz = 0. Este ´e um caso em que dizemos que a fun¸c˜ao tem no ponto z = 0 uma singularidade essencial, pois n˜ao h´a limite para as potˆencias de 1/z que aparecem na expans˜ao. Observe- se que a existˆencia e o c´alculo de res´ıduos n˜ao est˜ao limitados aos casos em que a fun¸c˜ao tem apenas um ou mais polos, sejam quais forem as ordens deles, mas se aplica tamb´em a singularidades essenciais. Como vemos aqui, a dificuldade da t´ecnica de c´alculo de integrais atrav´es do teorema de res´ıduos se reduz ao c´alculo ou `a determina¸c˜ao, de uma forma ou de outra, dos res´ıduos da fun¸c˜ao nas singularidades envolvidas. Em muitos casos isto pode ser feito de forma simples, atrav´es de manipula¸c˜oes alg´ebricas ou de opera¸c˜oes com as s´eries de Maclaurin ou Taylor. Para podermos generalizar um pouco mais esta t´ecnica, ´e preciso primeiro sistematizar a classifica¸c˜ao dos tipos de singularidades isoladas. Se a s´erie de Laurent de uma fun¸c˜ao em torno de um ponto onde ela ´e singular tem um n´umero finito de termos n˜ao-nulos com potˆencias negativas, ent˜ao dizemos que a singularidade ´e um polo e a maior potˆencia negativa m existente na s´erie ´e a ordem do polo. Se m = 1, dizemos que se trata de um polo simples. Por outro lado, se o n´umero de termos com potˆencias negativas for infinito, ent˜ao dizemos que a singularidade n˜ao ´e um polo, e sim uma singularidade essencial. Tomemos uma fun¸c˜ao racional como um exemplo simples. ´E f´acil verificar que z2 − 2z + 3 z − 2 = 3 z − 2 + 2 + (z − 2), 3
  4. 4. de forma que vemos que esta fun¸c˜ao tem um polo simples em z = 2, e que o res´ıduo nele ´e b1 = 3. Observe-se a necessidade de se escrever todos os termos consistentemente em termos de (z − 2), para gerar a s´erie correta. J´a a fun¸c˜ao sinh(z) z4 = 1 z3 + 1 3! z + z 5! + z3 7! + . . . tem um polo de ordem 3 em z = 0, e o res´ıduo nele ´e 1/6. Finalmente, a fun¸c˜ao cosh 1 z = 1 + ∞ n=1 1 (2n)! z2n tem uma singularidade essencial em z = 0, e o res´ıduo nela ´e zero. Se uma fun¸c˜ao f(z) tem um polo de ordem finita m em z0, ´e sempre poss´ıvel definir, a partir dela, uma nova fun¸c˜ao φ(z) que ´e anal´ıtica em todo o dom´ınio de analiticidade de f(z), e que al´em disso ´e tamb´em anal´ıtica em z0. A fun¸c˜ao φ(z) ´e definida da seguinte forma, φ(z) = (z − z0)m f(z), para z = z0, φ(z0) = lim z→z0 (z − z0)m f(z) = bm, de forma que o valor de φ(z) no ponto z0 ´e definido por meio de um crit´erio de continuidade. Observe-se que n˜ao ´e poss´ıvel fazer isto no caso de uma singularidade essencial. Como temos a s´erie de Laurent de f(z), f(z) = bm (z − z0)m + bm−1 (z − z0)m−1 + . . . + b1 (z − z0) + ∞ n=0 an(z − z0)n , verificamos que φ(z0) = bm, e al´em disso temos tamb´em a s´erie de Laurent (de fato, a s´erie de Taylor) de φ(z), φ(z) = bm + bm−1(z − z0) + . . . + b1(z − z0)m−1 + ∞ n=0 an(z − z0)n+m . Como a s´erie de f(z) ´e convergente, segue que a soma infinita que aparece nestas express˜oes ´e convergente. Assim, fica claro que esta s´erie para φ(z) ´e uma s´erie de potˆencias conver- gente, e portanto que φ(z) ´e anal´ıtica, uma vez que foi definida em z0 de forma a ser cont´ınua. Dizemos que a fun¸c˜ao φ(z), definida apenas como o produto (z − z0)mf(z), tem uma singularidade remov´ıvel, uma esp´ecie de simples “furo” em seu dom´ınio, singularidade esta que pode ser removida atrav´es da defini¸c˜ao da fun¸c˜ao por continuidade, no ponto de singularidade, tapando-se assim o “furo”. Podemos agora escrever o res´ıduo b1 de f(z) em termos da fun¸c˜ao φ(z). Como a s´erie convergente de potˆencias positivas de φ(z) tem de ser a sua s´erie de Taylor, temos que b1(z − z0)m−1 = φ(m−1)′(z0) (m − 1!) (z − z0)m−1 , de forma que temos para o res´ıduo b1 = φ(m−1)′(z0) (m − 1!) . 4
  5. 5. Isto pode nos dar, muitas vezes, uma forma simples de calcular o res´ıduo. No caso de termos um polo simples, com m = 1, temos simplesmente que b1 = φ(z0) = lim z→z0 (z − z0)f(z), que ´e a defini¸c˜ao por continuidade de φ(z0). Esta ´e uma forma muito ´util de se calcular o res´ıduo de um polo simples, que vem `a tona com muita frequˆencia. Se a singularidade de f(z) for essencial, ent˜ao n˜ao h´a outra forma de se calcular o res´ıduo al´em de se obter a s´erie de Laurent da fun¸c˜ao. Entretanto, se a singularidade for um polo, ent˜ao e express˜ao do res´ıduo em termos da derivada de φ(z) ´e frequentemente muito ´util. A t´ecnica de integra¸c˜ao por res´ıduos pode ser usada para o c´alculo de certas integrais definidas reais, que de outra forma seriam muito mais dif´ıceis de se fazer. Um exemplo disto s˜ao integrais envolvendo fun¸c˜oes trigonom´etricas, que se estendam pelo per´ıodo destas fun¸c˜oes. De forma geral, s˜ao integrais do tipo 2π 0 F[cos(θ), sin(θ)] dθ. Integrais deste tipo podem ser interpretadas como integrais complexas sobre o c´ırculo unit´ario, num plano complexo descrito pela vari´avel z = ρ exp(ı θ), com ρ = 1 e com θ variando de 0 a 2π. Para escrever a integral desta forma, usamos as transforma¸c˜oes z = eı θ , dz = ı z dθ, cos(θ) = 1 2 z + 1 z , sin(θ) = 1 2ı z − 1 z , o que muitas vezes resulta na integral de uma fun¸c˜ao racional de z sobre o c´ırculo unit´ario. Observe-se que apenas sobre o c´ırculo unit´ario ´e poss´ıvel escrever as fun¸c˜oes cos(θ) e sin(θ) de forma simples em termos de z. Se for poss´ıvel localizar as singularidades da fun¸c˜ao resultante e determinar os seus res´ıduos, ent˜ao ser´a poss´ıvel determinar o valor da integral. Como um exemplo simples de c´alculo deste tipo, consideremos a integral real definida I = 2π 0 dθ 1 5 + 4 cos(θ) . Fazendo as transforma¸c˜oes indicadas acima, obtemos I = 2π 0 ı z dθ 1 ı z 1 5 + 2(z + 1/z) = 2π 0 dz 1 ı 1 5z + 2(z2 + 1) = −ı dz 1 5z + 2z2 + 2 , onde o circuito ´e o c´ırculo unit´ario. ´E preciso agora fatorar o polinˆomio em denominador. Usando-se a f´ormula de B´askara n˜ao ´e dif´ıcil verificar que as duas ra´ızes s˜ao −2 e −1/2, de forma que temos 5
  6. 6. I = −ı dz 1 2z2 + 5z + 2 = −ı dz 1 2(z + 2)(z + 1/2) . Apenas o polo dado por z = −1/2 fica dentro do circuito de integra¸c˜ao, de forma que apenas o seu res´ıduo R ir´a contribuir para a integral. Este res´ıduo pode ser calculado de forma muito simples atrav´es do limite R = lim z→−1/2 (z + 1/2) 2(z + 2)(z + 1/2) = lim z→−1/2 1 2(z + 2) = 1 −1 + 4 = 1 3 . Segue que o valor da integral ´e dado, sem qualquer dificuldade, por I = −ı 2πı R = 2π 3 . Outro tipo de integral real onde o m´etodo de integra¸c˜ao por res´ıduos pode ser usado com grande vantagem s˜ao as integrais assint´oticas, sobre todo o eixo real. Esta ´e uma das aplica¸c˜oes mais comuns e ´uteis nos problemas da f´ısica. Como um exemplo t´ıpico de c´alculo de uma integral deste tipo atrav´es do teorema de res´ıduos, consideremos a inte- gral assint´otica dada por I = 2 ∞ 0 1 x2 + 1 dx. Como o integrando ´e par, podemos escrever para a integral I = ∞ −∞ 1 x2 + 1 dx. Podemos agora estender a fun¸c˜ao para valores complexos, de forma que temos a fun¸c˜ao anal´ıtica f(z) = 1 z2 + 1 = 1 z + ı 1 z − ı , que tem dois polos simples, um em z = ı e outro em z = −ı . Tentamos agora construir uma integral de circuito fechado no plano complexo, que em algum limite reproduza a integral real que queremos calcular. Considere para tal o circuito de integra¸c˜ao ilustrado no diagrama que segue, consistindo do intervalo real [−R, R] e do semic´ırculo CR de raio R, que vai de θ = 0 a θ = π no semiplano superior. Fig. 4: O plano complexo com o circuito formado pelo segmento e pelo semic´ırculo, incluindo o polo relevante. 6
  7. 7. No limite em que R → ∞, a integral sobre o segmento do eixo real reproduz o eixo completo, que ´e o dom´ınio de integra¸c˜ao da integral real original. A quest˜ao ´e saber o que acontece neste limite com a integral sobre o semic´ırculo CR, que temos de somar `a outra para poder fechar o circuito. Como sobre o semic´ırculo temos |dz| = R dθ e |z| = R, podemos escrever para esta integral CR dz z2 + 1 ≤ CR |dz| |z2 + 1| = π 0 R dθ |z2 + 1| . Temos agora de analisar o comportamento do denominador. Partindo de (z2 + 1) − 1 = z2, temos que |(z2 + 1) − 1| = R2. Distribuindo o m´odulo na soma do lado esquerdo desta equa¸c˜ao, podemos escrever a desigualdade R2 = |(z2 + 1) − 1| ≤ |z2 + 1| + | − 1| = |z2 + 1| + 1. Segue disto que |z2 + 1| ≥ R2 − 1. Podemos portanto majorar nossa integral, trocando o fator no denominador por uma quan- tidade menor, R2 − 1. Com isto obtemos para a integral CR dz z2 + 1 ≤ π 0 R dθ |z2 + 1| ≤ π 0 R dθ R2 − 1 = R R2 − 1 π 0 dθ = π R R2 − 1 . Como esta ´ultima forma da integral vai a zero quando R → ∞, segue que a integral sobre o semic´ırculo vai a zero neste limite, de forma que a integral sobre o contorno complexo de fato se torna igual `a integral real original. O contorno complexo, por outro lado, tem um ´unico polo simples no seu interior, o polo da fun¸c˜ao em z = ı . Segue que o res´ıduo neste polo ´e dado por lim z→z0 (z − ı )f(z) = 1 2ı . A integral ´e portanto 2πı vezes este res´ıduo, ou seja, temos que I = π. Vamos terminar comentando sobre uma situa¸c˜ao especial que `as vezes ´e de interesse nas aplica¸c˜oes. Podemos nos perguntar o que acontece se um circuito fechado de integra¸c˜ao passar bem em cima de uma singularidade. ´E claro que este caso n˜ao est´a inclu´ıdo nas hip´oteses de nossos teoremas sobre integrais complexas em circuitos fechados, de forma que em princ´ıpio n˜ao podemos afirmar nada a respeito. A rigor, a integral simplesmente n˜ao est´a bem definida, e isto ´e tudo que podemos dizer. Dependendo da dire¸c˜ao em que atravessamos a singularidade, ou da forma como tomamos limites ao longo da curva, pelos dois lados da singularidade, em dire¸c˜ao a ela, a integral pode assumir muitos valores diferentes. Um caso real an´alogo a isto seria, por exemplo, a integral de 1/x entre −1 e 1, 7
  8. 8. 1 −1 dx 1 x . Como a integral diverge para +∞ pela direita e para −∞ pela esquerda, dependendo de como tomamos os limites pelos dois lados, podemos ajustar as coisas de tal forma que a integral tenha qualquer valor real que quisermos. H´a entretanto um caso especial particularmente simples, pois se tomarmos os limites de forma sim´etrica, o resultado da integral ´e identicamente nulo ao longo do limite, e portanto o limite ´e nulo, lim ǫ→0 −ǫ −1 dx 1 x + 1 ǫ dx 1 x = lim ǫ→0 − ln |x| −ǫ −1 + ln |x| 1 ǫ = lim ǫ→0 [− ln(1) − ln(ǫ) + ln(1) + ln(ǫ)] = lim ǫ→0 0 = 0. Esta forma especial de definir a integral d´a a ela um valor especial, que chamamos de valor principal de Cauchy. Em muitos casos, integrais singulares podem ser tornadas regulares ou regularizadas desta forma, atrav´es desta condi¸c˜ao adicional sobre como se deve tomar o limite, de tal forma que ainda podem ser usadas e manipuladas de forma ´util. Observe que poder´ıamos fazer algo semelhante para integrar esta mesma fun¸c˜ao sobre toda a reta real, apesar de que a integral diverge tanto no zero quando em ±∞, pois temos que lim ǫ→0,L→∞ −ǫ −L dx 1 x + L ǫ dx 1 x = lim ǫ→0,L→∞ − ln |x| −ǫ −L + ln |x| L ǫ = lim ǫ→0,L→∞ [− ln(L) − ln(ǫ) + ln(L) + ln(ǫ)] = lim ǫ→0,L→∞ 0 = 0, n˜ao importando a ordem ou a maneira na qual se toma os dois limites, um em rela¸c˜ao ao outro. Podemos, por exemplo, tornar os limites simultˆaneos escolhendo a rela¸c˜ao L = 1/ǫ entre estes dois parˆametros. Vamos discutir aqui uma vers˜ao desta id´eia que se aplica a integrais sobre contornos fechados no plano complexo. Imaginemos ent˜ao que temos uma integral sobre um circuito fechado que passa exatamente em cima de uma singularidade isolada. Podemos dar uma defini¸c˜ao completa `a integral deformando ligeiramente o contorno, de tal forma que ele passe de um dos dois lados da singularidade. Como a singularidade ´e isolada, podemos fazer isto sem atravessar nenhuma outra singularidade. Observe que a deforma¸c˜ao pode ser arbitrariamente pequena, e de fato at´e infinitesimal, como ilustra o diagrama que segue. Fig. 5: O plano complexo com o circuito de integra¸c˜ao passando sobre uma singularidade, e as duas deforma¸c˜oes que podem ser usadas para evitar o ponto de singularidade. 8
  9. 9. Por outro lado, podemos fazer isto de duas formas diferentes, pois podemos passar de cada um dos dois lados da singularidade, como ilustrado acima. Deforma¸c˜oes adicionais que permane¸cam apenas de um lado da singularidade nada mudam, mas aquelas que atravessam a singularidade mudam de fato a integral, pois passam a incluir na integral, ou deixam de incluir nela, dependendo do lado no qual o circuito de integra¸c˜ao ´e fechado, a contribui¸c˜ao devida ao res´ıduo daquela singularidade. Assim, podemos atribuir um valor especial `a integral singular, de forma muito natural e intuitiva, procedendo da seguinte forma: primeiro deformamos o contorno um pouco para um lado, e calculamos o valor da integral, que passa a estar bem definida; depois deformamos o contorno um pouco para o outro lado, e calculamos de novo a integral; finalmente, levando em considera¸c˜ao que a integra¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao linear, calculamos a m´edia aritm´etica dos dois valores obtidos para a integral. Este ´e o valor principal de Cauchy para esta integral complexa singular. Como em um dos dois casos a singularidade n˜ao contribui o seu res´ıduo `a integral, enquanto no outro ela contribui com 2πı b1, onde b1 ´e o seu res´ıduo, na m´edia teremos como contribui¸c˜ao `a integral, da singularidade que ´e atravessada pelo contorno, o valor πı b1, segundo este crit´erio. Tudo se passa como se tiv´essemos “cortado a singularidade ao meio”. Observe-se en- tretanto que esta divis˜ao do res´ıduo em dois tem um car´ater topol´ogico e n˜ao geom´etrico. O formato da curva que passa em cima do polo n˜ao importa, o que importa ´e apenas que uma das duas curvas que se desvia do polo passe por um lado dele, e a outra pelo outro lado. A curva original pode at´e fazer um ˆangulo, com o v´ertice sobre o polo, e portanto n˜ao ser diferenci´avel naquele ponto, sem que isto mude em nada a situa¸c˜ao. Pode-se verificar que este crit´erio, aplicado `a fun¸c˜ao complexa w(z) = 1/z, ´e equivalente `a id´eia de se tomar limites sim´etricos, que foi discutida acima para a fun¸c˜ao real f(x) = 1/x. Deixaremos um exame mais detalhado diste caso paradigm´atico para os exerc´ıcios. ´E importante manter em mente que n˜ao se trata aqui de um valor inevit´avel para a integral, e sim de uma escolha, se bem que uma escolha muito especial e importante. Como veremos mais tarde, esta escolha nos permite dar um significado preciso e consistente a, e lidar corretamente com integrais que, de outra forma, n˜ao teriam qualquer significado. 9

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