4. Introdução
•O conjunto dos números reais é incompleto.
•Euler apresentou o símbolo .
•Gauss denotou números complexos por:
•Um número complexo na forma cartesiana pode ser descrito por:
1iiba iyxz xz}Re{yz}Im{
6. Plano Complexo ou Plano Z
•Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano xy, denominado plano z ou plano complexo.
•Exemplo:
7. Forma Polar dos Números Complexos
•A variável complexa pode ser representada por coordenadas polares:
•Fórmula de Euler:
•Com isso:
)(cosisenrz iseneicos ireisenrz)(cos
8. Forma Polar dos Números Complexos
•Valor absoluto ou módulo:
•Fase ou argumento: *22zzyxrz xy1tan
9. Propriedades do Módulo dos Números Complexos
•Se , ,..., são números complexos, então:
1)
2).
3)
4)
1z2zmzmmzzzzzz21210,22121zzzzzmmzzzzzz21212121zzzz
12. Operações na Forma Polar
•Multiplicação:
•Divisão:
•Seja . Se é um argumento de então é um argumento de . 0zz *z))()(cos()(cos*isenrisenrz
13. Operações na Forma Polar
• O módulo e o argumento de são iguais a e
• O módulo e o argumento de são iguais a e
1 2 r r 1 2 z z
1 2
1 2 z z 1 2 r r
1 2
14. Operações na Forma Polar
• Em , onde , tem-se a
rotação do vetor que representa pelo ângulo .
• Se e representam o módulo e um argumento de ,
então para todo tem-se:
• Teorema de Moivre:
z z 0 cos , 0 0 0 0 0 z isen
z 0
r z
nN
15. • Exemplo: Mostre que
• Solução de equações do tipo:
• A regra geral para calcular a th raiz do número
complexo é
• Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8.
Raízes de Números Complexos
n
17. • Definição: Seja um conjunto de números complexos. A
função definida sobre é uma regra que atribui para cada .
um número complexo .
• O conjunto é denominado domínio de definição.
• Existem dois tipos básicos de funções complexas:
– Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor
de . Exemplo:
– Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a
mais de um valor de . Exemplo:
Funções de Variáveis
Complexas
S
S z
w
f
S
z
w
z
w
18. • Entenda que é um número complexo, logo:
onde e são reais. As partes reais e imaginarias são:
• Exemplo:
Transformações ou
Mapeamentos
w
f (z) z2
f (z) (x iy) x y i2xy 2 2 2
2 2 u x y 2xy
20. • Análise de uma função plurívoca
– Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em
torno de ponto , tem-se
– Repetindo o processo, obtém-se
• Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento
para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No
intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo.
Linhas de Ramificação e
Superfícies de Riemann
f (z) w z
z 0
w
21. •Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito.
•A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação.
Linhas de Ramificação e Superfícies de Riemann
22. Superfícies de Riemann
• Imagina-se o plano composto por duas folhas
sobrepostas.
• Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se
a borda inferior da folha de baixo à borda superior da
folha de cima
• As duas folhas são denominadas superfície de Riemann
da função . Cada folha corresponde a um ramo
da função e em cada folha a função é unívoca.
z
f (z) z
23. • As definições de limites e continuidade para funções de
variáveis complexas são similares às de variáveis reais.
• Condições de existência :
– A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com
a possível exceção do próprio ponto.
– Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente
pequeno, existe um número real positivo tal que
• O limite deve ser independente da maneira como se
aproxima de .
O Cálculo Diferencial de Funções
de uma Variável Complexa
z
0 z
24. Limite de uma Variável Complexa
•Prove que
•Encontre, se possível,
26. Continuidade
•A função é dita contínua em se onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança
•Portanto, três condições devem ser satisfeitas:
•O limite deve existir.
• deve ser finita em .
•O limite deve ser igual a .
•Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.
27. Derivadas de Funções Complexas
•Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por: desde que esse limite exista de forma independente do modo como .
•Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica.
•A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.
28. •Se uma função . possui derivada no ponto , então ela é necessariamente contínua no ponto. Prova:
•Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no ponto. Exemplo: .
•Calcule em , dado que .
Derivadas de Funções Complexas
31. •Cauchy e Riemann criaram um método simples para testar a analiticidade de .
•Dedução:
Fazendo , obtém-se
Ao longo do eixo :
Condições de Cauchy-Riemann
32. Condições de Cauchy-Riemann
•Ao longo de eixo :
•A condição necessária para ser analítica é
•Condições de Cauchy-Riemann:
•Fornecendo duas expressões para a derivada
33. •Condição necessária: Se a função s de seja e e é analítica na região , então e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos de .
•Condição necessária e suficiente: Se as derivadas parciais são contínuas em , então as equações de Cauchy-Riemann são condições suficientes para que s seja analítica em .
•Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann para:
Condições de Cauchy-Riemann
34. •Uma função é considerada analítica se ela é analítica em todos os pontos da região .
•Funções analíticas são denominadas holomórficas.
•A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano
•A função é considerada singular em , se ela não é diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado ponto singular.
Funções Analíticas
35. •Tipos de pontos singulares:
–Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto singular isolado de se for possível encontrar tal que o círculo circunde apenas o ponto singular . Se não for possível encontrar um , o ponto é denominado ponto singular não isolado.
–Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o a , então é denominado pólo de ordem .
–Ponto de Ramificação.
–Singularidades removíveis.
–Singularidades essenciais. Exemplo:
–Singularidades no Infinito.
Pontos Singulares
37. •A função exponencial é a base para definição de outras funções.
•Preserva as principais características de uma função exponencial real:
1. é unívoca e analítica.
2. .
3. reduz-se a quando .
Função Exponencial
38. •Dedução:
–Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função analítica é
e
–Para satisfazer (2):
e
–A equação será satisfeita se .
–Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, relembrando:
então:
Função Exponencial
39. •Continuação:
–Diferenciando com relação a
segue que finalmente
–Com isso
ou
–A solução desta equação diferencial é da forma
–Então
Função Exponencial
40. •Continuação:
–E
–Com isso
–De acordo com a condição (3)
logo
–Finalmente
Função Exponencial
41. •Definições:
–
– e
–
•A função é periódica com período imaginário .
•Por causa da periodicidade da função, todos os valores possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa infinita é denominada região fundamental da função.
Função Exponencial
43. •Fórmula de Euler:
•Para variável complexa tem-se
•Outras funções trigonométricas:
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
44. •Outras definições:
,
,
,
•Desde que é analítica para todo , o mesmo é verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde a função é zero, as funções e não são analíticas.
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
45. •Desde que a função exponencial é periódica, as funções trigonométricas também são periódicas:
•Desde que essas funções podem ser escritas na forma retangular: , então
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
46. •Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis reais
similarmente,
•Caso particular,
•Existe diferença entre um seno real e um complexo?
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
47. •Exemplo: Prove que
•Exemplo: Prove que
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
51. •Logaritmo natural é definido como o inverso da função exponencial . Para o logarítmico complexo, defini-se , o que significa que
,
•Se e tem-se
•Continuado,
ou e
•Portanto,
Função Logarítmica
52. •Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica, diferenciando ,
•Exemplo: calcule
•Exemplo: Considere a transformação . Mostre que os círculos com centro na origem do plano z são mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w.
Função Logarítmica
57. • Funções Lineares
– Mapeamento do plano no plano utilizando
, é uma constante complexa
– É uma translação por meio do vetor .
– A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto
Mapeamento Usando Funções
Elementares
w
w z C C
C
(x, y)
( , ) 1 2 x C y C
58. •Propriedades do mapeamento definido por onde é complexo.
e logo
•Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo o zero) com coordenadas polares dentro de não zero pontos com coordenadas polares
•Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação linear
Mapeamento Usando Funções Elementares ibeB BzwB irez)(ibrezz),(r),(brCBzw
60. •Análise da função
•O mapeamento pode ser realizado por transformações consecutivas
•Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do circulo nos pontos interiores do circulo unitário.
Mapeamento Usando Funções Elementares
61. •Continuação da Análise da função
•A segunda transformação é simplesmente a reflexão do eixo real “x”.
•Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio a
Mapeamento Usando Funções Elementares
63. •Suponha:
•Mapeamento:
•Relações:
•O circulo que não passa pela origem no plano z é transformado num circulo que não passa pela origem no plano w.
Mapeamento Usando Funções Elementares
64. •A linha que não passa pela origem no plano z é transformada num circulo que passa pela origem no plano w.
•Uma linha que passa pela origem no plano z é transformada numa linha que passa pela origem no plano w.
•Note que a linha é transformada no circulo:
•Note que a linha é transformada no circulo:
Mapeamento Usando Funções Elementares
66. •A metade do plano possui imagem na região
•A imagem de qualquer ponto da metade do plano está dentro do circulo.
Mapeamento Usando Funções Elementares
67. •Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de
•Exemplo: mostre que a transformação mapeia metade do plano dentro da metade do plano
•Encontre a região na qual a metade do plano é mapeada pela transformação
•Mostre que se , a imagem do plano da transformação é o interior de um circulo.
Mapeamento Usando Funções Elementares
68. •A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto no infinito está envolvido.
•Se a função é continua no infinito então
•O número pode ser determinado por
•Pode-se considerar continua no ponto por . Quando o limite de quando tende a é 0.
Mapeamento Usando Funções Elementares
71. •A integral de uma função real de uma variável é uma soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo comprimento de um segmento infinitesimal em torno desse ponto.
•Em alguns casos necessita-se estender a definição do integrando para o conjunto dos números complexos.
•Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o teorema de resíduos.
Integrais de Funções Complexas
72. •A função é integrada ao longo de um caminho no plano complexo.
Integrais de Funções Complexas
73. •Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano :
•A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma ao longo de todos os pontos.
•Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de
Integrais de Funções Complexas
74. •Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada integral de contorno de
•Importante: Se o caminho é suave e é continua ao longo de , então sempre existe.
•A integral de linha ao longo pode ser expressa por:
Integrais de Funções Complexas
76. •Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta ligando os pontos e .
•Exemplo: Calcule a integral
onde circulo de raio centrado em e é um inteiro.
•Exemplo: calcule para o caminho abaixo.
Integrais de Funções Complexas Czdz/
77. •Tipos de curvas:
–Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado.
–Curva não simples.
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
78. •Tipos de domínios (região):
–Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente pontos pertencentes a .
–Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a .
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
79. •Se uma função é analítica em todos os pontos de um domínio simplesmente conexo , então para todo contorno simples fechado no interior de .
•Se a função é analítica em uma região simplesmente conexa , então dois pontos e , contidos em , a integral independe do caminho que liga os pontos.
Teorema de Cauchy
80. •Exemplo: Calcule a integral de num caminho que ligue os pontos e .
•Exemplo: Calcule (centrada em zero)
Teorema de Cauchy
2)(zzf 0ziz42 zdz
81. •Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e que envolvem buracos que podem conter singularidades isoladas ou não. Então:
Deformação do Contorno de Integração
83. Deformação do Contorno de Integração
•Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro de
84. Fórmulas Integrais de Cauchy
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
•Exemplo: Calcule a integral , sendo a circunferência de raio unitário e com centro em (a) e (b)
85. Fórmulas Integrais de Cauchy
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
•Exemplo: Calcule
Sendo um contorno simples que não passa por . Considere (a) não envolve (b) envolve
88. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Seqüência complexa é um conjunto de números complexos.
•A seqüência pode ser finita ou infinita.
•Exemplo:
89. Representação em Séries de Funções Analíticas
•A seqüência complexa é dita ser convergente para o número se, dado , pode-se encontrar o número positivo tal que para cada . Pode-se escrever:
91. Representação em Séries de Funções Analíticas
•A seqüência complexa , pode ser expressa pelas partes reais e imaginárias: e
•Se a parte real converge para e a seqüência da parte imaginária , então a seqüência complexa converge para o valor .
•Exemplo:
93. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Suponha seja uma dada seqüência.
•Forma-se uma nova seqüência definida por
•A soma infinita é definida por série.
•Se existe, a série é denominada convergente
94. Representação em Séries de Funções Analíticas
•A condição necessária para série convergir é
•Exemplo: Prove que se a série converge, então:
•Prove que
95. Representação em Séries de Funções Analíticas
•As seqüências e séries de constantes são estendidas para seqüências e séries de funções.
•Considere , uma seqüência de funções de definidas e unívocas em alguma região do plano .
•Defini-se para
•A seqüência é convergente para .
•Região de convergência
97. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Condição necessária para série convergir é
•Se a série converge para todos os valores de na região , denomina-se a região de convergência da série.
•Exemplo: Usando a definição, prove que
•Exemplo: Prove que a série converge para
98. Representação em Séries de Funções Analíticas
•A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
•Se a série converge mas não converge, então a série é condicionalmente convergente.
•Exemplo: Prove que a série é absolutamente convergente.
99. Representação em Séries de Funções Analíticas
•A seqüência é uniformemente convergente se depende somente de .
•O conceito se estende a séries.
100. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Série de potência em :
•Em geral, a série converge para
•Diverge para
•Pode ou não convergir para
•Raio de convergência . Casos especiais: e
101. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Os testes de convergência determinam uma condição necessária e suficiente para convergência de uma determinada série.
•Teste de convergência absoluta:
–Teste da razão: Dada a série , a convergência absoluta na região é assegurada se:
–Ocorre a divergência para . Não há informação quando
102. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Exemplo: Mostre que a série complexa converge.
103. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Séries de potência com raios de convergência não nulos podem representar funções analíticas.
•Exemplo: a série centrada na origem do plano complexo.
•Teste da razão:
105. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Teorema de Taylor: Seja uma função analítica sobre a região , delimitada pela circunferência centrada em e de raio . Se é um ponto interior a então pode ser expandida em uma série de Taylor centrada em
•A qual converge para quando
106. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Exemplo:
•No caso particular de a série é denominada série de Maclaurin.
108. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao longo dos contornos circulares concêntricos e , de raios e , bem como na região anelar delimitada por e . Então em cada ponto neste região, a função pode ser representada por:
109. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Parte analítica
•Parte principal
•A série Laurent pode ser generalizada
110. Representação em Séries de Funções Analíticas
•Encontre a série de Laurent sobre as singularidades indicadas para as funções:
–.
–,
•Encontre a série de Laurent de para:
111. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o integrando não é analítico.
•Cada singularidade isolada contribui com um termo ao resultado da integral, sendo este termo proporcional ao resíduo da singularidade.
112. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•Seja unívoca e analítica no interior e sobre um contorno fechado simples , exceto num ponto , o qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade isolada de , então existe um número real tal que para a função pode ser desenvolvida em termos da série de Laurent
113. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•Em particular, para obtém-se
•O número complexo é denominado resíduo de no ponto singular isolado.
•Notação comum:
114. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao longo de um contorno simples fechado , exceto em um número finito de pontos singulares isolados localizados no interior de . Se são os resíduos de nestes pontos singulares, então
115. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•Cálculo de resíduos:
–Direto da definição
–Pólos de ordem m em
116. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•Exemplo: encontre os resíduos da função
•Avalie ao redor do circulo