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Curso: Variáveis Complexas
Variáveis Complexas 
Ementa: 
• Números Complexos 
• Funções Analíticas 
• Funções Elementares 
• Mapeamento Usando Funções Elementares 
• Integrais 
• Séries de Potências 
• Resíduos e Pólos
Parte 1 
Números Complexos
Introdução 
•O conjunto dos números reais é incompleto. 
•Euler apresentou o símbolo . 
•Gauss denotou números complexos por: 
•Um número complexo na forma cartesiana pode ser descrito por: 
1iiba iyxz xz}Re{yz}Im{
Operações Básicas com Números Complexos. 
•Dado e : 
–Conjugado complexo: 
–Adição: 
–Subtração: 
–Multiplicação: 
–Divisão: 
ibaz1ibaz* 1)()(21dbicazz idcz2)()(21dbicazz )()(21bcadibdaczz 222221dcadbcidcbdaczz      
Plano Complexo ou Plano Z 
•Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano xy, denominado plano z ou plano complexo. 
•Exemplo:
Forma Polar dos Números Complexos 
•A variável complexa pode ser representada por coordenadas polares: 
•Fórmula de Euler: 
•Com isso: 
)(cosisenrz iseneicos ireisenrz)(cos
Forma Polar dos Números Complexos 
•Valor absoluto ou módulo: 
•Fase ou argumento: *22zzyxrz      xy1tan
Propriedades do Módulo dos Números Complexos 
•Se , ,..., são números complexos, então: 
1) 
2). 
3) 
4) 
1z2zmzmmzzzzzz21210,22121zzzzzmmzzzzzz21212121zzzz
•Exemplo: 
–Números Complexos denominados unimodulares . 
–Pontos especiais desta circunferência são: 
Números Complexos 2/ 0  2/ 1r1z1ziz 1ziz
•Exercícios 
Números Complexos
Operações na Forma Polar 
•Multiplicação: 
•Divisão: 
•Seja . Se é um argumento de então é um argumento de . 0zz *z))()(cos()(cos*isenrisenrz
Operações na Forma Polar 
• O módulo e o argumento de são iguais a e 
• O módulo e o argumento de são iguais a e 
1 2 r r 1 2 z z 
1 2   
1 2 z z 1 2 r r 
1 2  
Operações na Forma Polar 
• Em , onde , tem-se a 
rotação do vetor que representa pelo ângulo . 
• Se e representam o módulo e um argumento de , 
então para todo tem-se: 
• Teorema de Moivre: 
z z 0 cos , 0 0 0 0 0 z   isen   
z 0  
r  z 
nN
• Exemplo: Mostre que 
• Solução de equações do tipo: 
• A regra geral para calcular a th raiz do número 
complexo é 
• Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8. 
Raízes de Números Complexos 
n
Parte 2 
Funções de Variáveis Complexas
• Definição: Seja um conjunto de números complexos. A 
função definida sobre é uma regra que atribui para cada . 
um número complexo . 
• O conjunto é denominado domínio de definição. 
• Existem dois tipos básicos de funções complexas: 
– Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor 
de . Exemplo: 
– Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a 
mais de um valor de . Exemplo: 
Funções de Variáveis 
Complexas 
S 
S z 
w 
f 
S 
z 
w 
z 
w
• Entenda que é um número complexo, logo: 
onde e são reais. As partes reais e imaginarias são: 
• Exemplo: 
Transformações ou 
Mapeamentos 
w 
f (z)  z2 
f (z) (x iy) x y i2xy 2 2 2      
2 2 u  x  y   2xy
Transformações ou Mapeamentos 
•Mapeamento da função 
•Mapeamento da função
• Análise de uma função plurívoca 
– Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em 
torno de ponto , tem-se 
– Repetindo o processo, obtém-se 
• Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento 
para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No 
intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo. 
Linhas de Ramificação e 
Superfícies de Riemann 
f (z)  w  z 
z  0 
w
•Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito. 
•A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação. 
Linhas de Ramificação e Superfícies de Riemann
Superfícies de Riemann 
• Imagina-se o plano composto por duas folhas 
sobrepostas. 
• Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se 
a borda inferior da folha de baixo à borda superior da 
folha de cima 
• As duas folhas são denominadas superfície de Riemann 
da função . Cada folha corresponde a um ramo 
da função e em cada folha a função é unívoca. 
z 
f (z)  z
• As definições de limites e continuidade para funções de 
variáveis complexas são similares às de variáveis reais. 
• Condições de existência : 
– A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com 
a possível exceção do próprio ponto. 
– Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente 
pequeno, existe um número real positivo tal que 
• O limite deve ser independente da maneira como se 
aproxima de . 
O Cálculo Diferencial de Funções 
de uma Variável Complexa 
 
 
z 
0 z
Limite de uma Variável Complexa 
•Prove que 
•Encontre, se possível,
•Se e , então: 
– 
– 
– 
Propriedades dos Limites
Continuidade 
•A função é dita contínua em se onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança 
•Portanto, três condições devem ser satisfeitas: 
•O limite deve existir. 
• deve ser finita em . 
•O limite deve ser igual a . 
•Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.
Derivadas de Funções Complexas 
•Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por: desde que esse limite exista de forma independente do modo como . 
•Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica. 
•A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.
•Se uma função . possui derivada no ponto , então ela é necessariamente contínua no ponto. Prova: 
•Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no ponto. Exemplo: . 
•Calcule em , dado que . 
Derivadas de Funções Complexas
Regras de Derivação 
•Se e existem, então 
• . 
• . 
• .
Derivadas de Funções Elementares
•Cauchy e Riemann criaram um método simples para testar a analiticidade de . 
•Dedução: 
Fazendo , obtém-se 
Ao longo do eixo : 
Condições de Cauchy-Riemann
Condições de Cauchy-Riemann 
•Ao longo de eixo : 
•A condição necessária para ser analítica é 
•Condições de Cauchy-Riemann: 
•Fornecendo duas expressões para a derivada
•Condição necessária: Se a função s de seja e e é analítica na região , então e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos de . 
•Condição necessária e suficiente: Se as derivadas parciais são contínuas em , então as equações de Cauchy-Riemann são condições suficientes para que s seja analítica em . 
•Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann para: 
Condições de Cauchy-Riemann
•Uma função é considerada analítica se ela é analítica em todos os pontos da região . 
•Funções analíticas são denominadas holomórficas. 
•A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano 
•A função é considerada singular em , se ela não é diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado ponto singular. 
Funções Analíticas
•Tipos de pontos singulares: 
–Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto singular isolado de se for possível encontrar tal que o círculo circunde apenas o ponto singular . Se não for possível encontrar um , o ponto é denominado ponto singular não isolado. 
–Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o a , então é denominado pólo de ordem . 
–Ponto de Ramificação. 
–Singularidades removíveis. 
–Singularidades essenciais. Exemplo: 
–Singularidades no Infinito. 
Pontos Singulares
Parte 3 
Funções Elementares
•A função exponencial é a base para definição de outras funções. 
•Preserva as principais características de uma função exponencial real: 
1. é unívoca e analítica. 
2. . 
3. reduz-se a quando . 
Função Exponencial
•Dedução: 
–Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função analítica é 
e 
–Para satisfazer (2): 
e 
–A equação será satisfeita se . 
–Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, relembrando: 
então: 
Função Exponencial
•Continuação: 
–Diferenciando com relação a 
segue que finalmente 
–Com isso 
ou 
–A solução desta equação diferencial é da forma 
–Então 
Função Exponencial
•Continuação: 
–E 
–Com isso 
–De acordo com a condição (3) 
logo 
–Finalmente 
Função Exponencial
•Definições: 
– 
– e 
– 
•A função é periódica com período imaginário . 
•Por causa da periodicidade da função, todos os valores possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa infinita é denominada região fundamental da função. 
Função Exponencial
•Exemplo: Prove que 
Função Exponencial
•Fórmula de Euler: 
•Para variável complexa tem-se 
•Outras funções trigonométricas: 
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
•Outras definições: 
, 
, 
, 
•Desde que é analítica para todo , o mesmo é verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde a função é zero, as funções e não são analíticas. 
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
•Desde que a função exponencial é periódica, as funções trigonométricas também são periódicas: 
•Desde que essas funções podem ser escritas na forma retangular: , então 
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
•Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis reais 
similarmente, 
•Caso particular, 
•Existe diferença entre um seno real e um complexo? 
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
•Exemplo: Prove que 
•Exemplo: Prove que 
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
Funções Hiperbólicas Reais
Funções Hiperbólicas Reais
Funções Hiperbólicas Reais
•Logaritmo natural é definido como o inverso da função exponencial . Para o logarítmico complexo, defini-se , o que significa que 
, 
•Se e tem-se 
•Continuado, 
ou e 
•Portanto, 
Função Logarítmica
•Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica, diferenciando , 
•Exemplo: calcule 
•Exemplo: Considere a transformação . Mostre que os círculos com centro na origem do plano z são mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w. 
Função Logarítmica
Função Logarítmica
•Definições: 
•Existem singularidades. 
Função Hiperbólica
Parte 4 
Mapeamento Usando Funções Elementares
Mapeamento Usando Funções Elementares
• Funções Lineares 
– Mapeamento do plano no plano utilizando 
, é uma constante complexa 
– É uma translação por meio do vetor . 
– A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto 
Mapeamento Usando Funções 
Elementares 
w 
w z C C 
C 
(x, y) 
( , ) 1 2 x C y C
•Propriedades do mapeamento definido por onde é complexo. 
e logo 
•Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo o zero) com coordenadas polares dentro de não zero pontos com coordenadas polares 
•Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação linear 
Mapeamento Usando Funções Elementares ibeB BzwB irez)(ibrezz),(r),(brCBzw
• Exemplo: 
Mapeamento Usando Funções 
Elementares 
w (1i)z  2i
•Análise da função 
•O mapeamento pode ser realizado por transformações consecutivas 
•Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do circulo nos pontos interiores do circulo unitário. 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Continuação da Análise da função 
•A segunda transformação é simplesmente a reflexão do eixo real “x”. 
•Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio a 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Continuação da Analise da função 
•Relações: 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Suponha: 
•Mapeamento: 
•Relações: 
•O circulo que não passa pela origem no plano z é transformado num circulo que não passa pela origem no plano w. 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•A linha que não passa pela origem no plano z é transformada num circulo que passa pela origem no plano w. 
•Uma linha que passa pela origem no plano z é transformada numa linha que passa pela origem no plano w. 
•Note que a linha é transformada no circulo: 
•Note que a linha é transformada no circulo: 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Resultados: 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•A metade do plano possui imagem na região 
•A imagem de qualquer ponto da metade do plano está dentro do circulo. 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de 
•Exemplo: mostre que a transformação mapeia metade do plano dentro da metade do plano 
•Encontre a região na qual a metade do plano é mapeada pela transformação 
•Mostre que se , a imagem do plano da transformação é o interior de um circulo. 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto no infinito está envolvido. 
•Se a função é continua no infinito então 
•O número pode ser determinado por 
•Pode-se considerar continua no ponto por . Quando o limite de quando tende a é 0. 
Mapeamento Usando Funções Elementares
•Exemplo: 
•Exemplo: determine e para 
Mapeamento Usando Funções Elementares
Parte 5 
Integrais de Funções Complexas
•A integral de uma função real de uma variável é uma soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo comprimento de um segmento infinitesimal em torno desse ponto. 
•Em alguns casos necessita-se estender a definição do integrando para o conjunto dos números complexos. 
•Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o teorema de resíduos. 
Integrais de Funções Complexas
•A função é integrada ao longo de um caminho no plano complexo. 
Integrais de Funções Complexas
•Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano : 
•A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma ao longo de todos os pontos. 
•Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de 
Integrais de Funções Complexas
•Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada integral de contorno de 
•Importante: Se o caminho é suave e é continua ao longo de , então sempre existe. 
•A integral de linha ao longo pode ser expressa por: 
Integrais de Funções Complexas
•Propriedades: 
– 
– . 
– 
–. 
– 
– 
Integrais de Funções Complexas
•Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta ligando os pontos e . 
•Exemplo: Calcule a integral 
onde circulo de raio centrado em e é um inteiro. 
•Exemplo: calcule para o caminho abaixo. 
Integrais de Funções Complexas Czdz/
•Tipos de curvas: 
–Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado. 
–Curva não simples. 
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
•Tipos de domínios (região): 
–Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente pontos pertencentes a . 
–Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a . 
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
•Se uma função é analítica em todos os pontos de um domínio simplesmente conexo , então para todo contorno simples fechado no interior de . 
•Se a função é analítica em uma região simplesmente conexa , então dois pontos e , contidos em , a integral independe do caminho que liga os pontos. 
Teorema de Cauchy
•Exemplo: Calcule a integral de num caminho que ligue os pontos e . 
•Exemplo: Calcule (centrada em zero) 
Teorema de Cauchy 
2)(zzf 0ziz42 zdz
•Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e que envolvem buracos que podem conter singularidades isoladas ou não. Então: 
Deformação do Contorno de Integração
Deformação do Contorno de Integração
Deformação do Contorno de Integração 
•Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro de
Fórmulas Integrais de Cauchy 
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então: 
•Exemplo: Calcule a integral , sendo a circunferência de raio unitário e com centro em (a) e (b)
Fórmulas Integrais de Cauchy 
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então: 
•Exemplo: Calcule 
Sendo um contorno simples que não passa por . Considere (a) não envolve (b) envolve
Integrais Indefinidas 
•Considere e analíticas na região e . Então é denominado integral indefinida de : 
•Exemplo:
Integral de Algumas Funções
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Seqüência complexa é um conjunto de números complexos. 
•A seqüência pode ser finita ou infinita. 
•Exemplo:
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•A seqüência complexa é dita ser convergente para o número se, dado , pode-se encontrar o número positivo tal que para cada . Pode-se escrever:
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•A seqüência complexa , pode ser expressa pelas partes reais e imaginárias: e 
•Se a parte real converge para e a seqüência da parte imaginária , então a seqüência complexa converge para o valor . 
•Exemplo:
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•Se e , então 
– 
– . 
– . 
–.
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•Suponha seja uma dada seqüência. 
•Forma-se uma nova seqüência definida por 
•A soma infinita é definida por série. 
•Se existe, a série é denominada convergente
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•A condição necessária para série convergir é 
•Exemplo: Prove que se a série converge, então: 
•Prove que
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•As seqüências e séries de constantes são estendidas para seqüências e séries de funções. 
•Considere , uma seqüência de funções de definidas e unívocas em alguma região do plano . 
•Defini-se para 
•A seqüência é convergente para . 
•Região de convergência
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•Soma parcial: 
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•Condição necessária para série convergir é 
•Se a série converge para todos os valores de na região , denomina-se a região de convergência da série. 
•Exemplo: Usando a definição, prove que 
•Exemplo: Prove que a série converge para
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. 
•Se a série converge mas não converge, então a série é condicionalmente convergente. 
•Exemplo: Prove que a série é absolutamente convergente.
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•A seqüência é uniformemente convergente se depende somente de . 
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•Exemplo: a série centrada na origem do plano complexo. 
•Teste da razão:
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•O raio de convergência é definido por:
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•Teorema de Taylor: Seja uma função analítica sobre a região , delimitada pela circunferência centrada em e de raio . Se é um ponto interior a então pode ser expandida em uma série de Taylor centrada em 
•A qual converge para quando
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Exemplo: 
•No caso particular de a série é denominada série de Maclaurin.
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Dedução da série de Taylor:
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao longo dos contornos circulares concêntricos e , de raios e , bem como na região anelar delimitada por e . Então em cada ponto neste região, a função pode ser representada por:
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Parte analítica 
•Parte principal 
•A série Laurent pode ser generalizada
Representação em Séries de Funções Analíticas 
•Encontre a série de Laurent sobre as singularidades indicadas para as funções: 
–. 
–, 
•Encontre a série de Laurent de para:
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o integrando não é analítico. 
•Cada singularidade isolada contribui com um termo ao resultado da integral, sendo este termo proporcional ao resíduo da singularidade.
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•Seja unívoca e analítica no interior e sobre um contorno fechado simples , exceto num ponto , o qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade isolada de , então existe um número real tal que para a função pode ser desenvolvida em termos da série de Laurent
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•Em particular, para obtém-se 
•O número complexo é denominado resíduo de no ponto singular isolado. 
•Notação comum:
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao longo de um contorno simples fechado , exceto em um número finito de pontos singulares isolados localizados no interior de . Se são os resíduos de nestes pontos singulares, então
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•Cálculo de resíduos: 
–Direto da definição 
–Pólos de ordem m em
Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos 
•Exemplo: encontre os resíduos da função 
•Avalie ao redor do circulo

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Variaveis complexas

  • 1. Treinamento em Processamento Digital de Imagens Prof. Wheidima Carneiro de Melo wheidimawcm@gmail.com Curso: Variáveis Complexas
  • 2. Variáveis Complexas Ementa: • Números Complexos • Funções Analíticas • Funções Elementares • Mapeamento Usando Funções Elementares • Integrais • Séries de Potências • Resíduos e Pólos
  • 3. Parte 1 Números Complexos
  • 4. Introdução •O conjunto dos números reais é incompleto. •Euler apresentou o símbolo . •Gauss denotou números complexos por: •Um número complexo na forma cartesiana pode ser descrito por: 1iiba iyxz xz}Re{yz}Im{
  • 5. Operações Básicas com Números Complexos. •Dado e : –Conjugado complexo: –Adição: –Subtração: –Multiplicação: –Divisão: ibaz1ibaz* 1)()(21dbicazz idcz2)()(21dbicazz )()(21bcadibdaczz 222221dcadbcidcbdaczz      
  • 6. Plano Complexo ou Plano Z •Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano xy, denominado plano z ou plano complexo. •Exemplo:
  • 7. Forma Polar dos Números Complexos •A variável complexa pode ser representada por coordenadas polares: •Fórmula de Euler: •Com isso: )(cosisenrz iseneicos ireisenrz)(cos
  • 8. Forma Polar dos Números Complexos •Valor absoluto ou módulo: •Fase ou argumento: *22zzyxrz      xy1tan
  • 9. Propriedades do Módulo dos Números Complexos •Se , ,..., são números complexos, então: 1) 2). 3) 4) 1z2zmzmmzzzzzz21210,22121zzzzzmmzzzzzz21212121zzzz
  • 10. •Exemplo: –Números Complexos denominados unimodulares . –Pontos especiais desta circunferência são: Números Complexos 2/ 0  2/ 1r1z1ziz 1ziz
  • 12. Operações na Forma Polar •Multiplicação: •Divisão: •Seja . Se é um argumento de então é um argumento de . 0zz *z))()(cos()(cos*isenrisenrz
  • 13. Operações na Forma Polar • O módulo e o argumento de são iguais a e • O módulo e o argumento de são iguais a e 1 2 r r 1 2 z z 1 2   1 2 z z 1 2 r r 1 2  
  • 14. Operações na Forma Polar • Em , onde , tem-se a rotação do vetor que representa pelo ângulo . • Se e representam o módulo e um argumento de , então para todo tem-se: • Teorema de Moivre: z z 0 cos , 0 0 0 0 0 z   isen   z 0  r  z nN
  • 15. • Exemplo: Mostre que • Solução de equações do tipo: • A regra geral para calcular a th raiz do número complexo é • Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8. Raízes de Números Complexos n
  • 16. Parte 2 Funções de Variáveis Complexas
  • 17. • Definição: Seja um conjunto de números complexos. A função definida sobre é uma regra que atribui para cada . um número complexo . • O conjunto é denominado domínio de definição. • Existem dois tipos básicos de funções complexas: – Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor de . Exemplo: – Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a mais de um valor de . Exemplo: Funções de Variáveis Complexas S S z w f S z w z w
  • 18. • Entenda que é um número complexo, logo: onde e são reais. As partes reais e imaginarias são: • Exemplo: Transformações ou Mapeamentos w f (z)  z2 f (z) (x iy) x y i2xy 2 2 2      2 2 u  x  y   2xy
  • 19. Transformações ou Mapeamentos •Mapeamento da função •Mapeamento da função
  • 20. • Análise de uma função plurívoca – Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em torno de ponto , tem-se – Repetindo o processo, obtém-se • Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo. Linhas de Ramificação e Superfícies de Riemann f (z)  w  z z  0 w
  • 21. •Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito. •A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação. Linhas de Ramificação e Superfícies de Riemann
  • 22. Superfícies de Riemann • Imagina-se o plano composto por duas folhas sobrepostas. • Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se a borda inferior da folha de baixo à borda superior da folha de cima • As duas folhas são denominadas superfície de Riemann da função . Cada folha corresponde a um ramo da função e em cada folha a função é unívoca. z f (z)  z
  • 23. • As definições de limites e continuidade para funções de variáveis complexas são similares às de variáveis reais. • Condições de existência : – A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com a possível exceção do próprio ponto. – Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente pequeno, existe um número real positivo tal que • O limite deve ser independente da maneira como se aproxima de . O Cálculo Diferencial de Funções de uma Variável Complexa   z 0 z
  • 24. Limite de uma Variável Complexa •Prove que •Encontre, se possível,
  • 25. •Se e , então: – – – Propriedades dos Limites
  • 26. Continuidade •A função é dita contínua em se onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança •Portanto, três condições devem ser satisfeitas: •O limite deve existir. • deve ser finita em . •O limite deve ser igual a . •Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.
  • 27. Derivadas de Funções Complexas •Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por: desde que esse limite exista de forma independente do modo como . •Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica. •A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.
  • 28. •Se uma função . possui derivada no ponto , então ela é necessariamente contínua no ponto. Prova: •Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no ponto. Exemplo: . •Calcule em , dado que . Derivadas de Funções Complexas
  • 29. Regras de Derivação •Se e existem, então • . • . • .
  • 30. Derivadas de Funções Elementares
  • 31. •Cauchy e Riemann criaram um método simples para testar a analiticidade de . •Dedução: Fazendo , obtém-se Ao longo do eixo : Condições de Cauchy-Riemann
  • 32. Condições de Cauchy-Riemann •Ao longo de eixo : •A condição necessária para ser analítica é •Condições de Cauchy-Riemann: •Fornecendo duas expressões para a derivada
  • 33. •Condição necessária: Se a função s de seja e e é analítica na região , então e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos de . •Condição necessária e suficiente: Se as derivadas parciais são contínuas em , então as equações de Cauchy-Riemann são condições suficientes para que s seja analítica em . •Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann para: Condições de Cauchy-Riemann
  • 34. •Uma função é considerada analítica se ela é analítica em todos os pontos da região . •Funções analíticas são denominadas holomórficas. •A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano •A função é considerada singular em , se ela não é diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado ponto singular. Funções Analíticas
  • 35. •Tipos de pontos singulares: –Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto singular isolado de se for possível encontrar tal que o círculo circunde apenas o ponto singular . Se não for possível encontrar um , o ponto é denominado ponto singular não isolado. –Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o a , então é denominado pólo de ordem . –Ponto de Ramificação. –Singularidades removíveis. –Singularidades essenciais. Exemplo: –Singularidades no Infinito. Pontos Singulares
  • 36. Parte 3 Funções Elementares
  • 37. •A função exponencial é a base para definição de outras funções. •Preserva as principais características de uma função exponencial real: 1. é unívoca e analítica. 2. . 3. reduz-se a quando . Função Exponencial
  • 38. •Dedução: –Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função analítica é e –Para satisfazer (2): e –A equação será satisfeita se . –Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, relembrando: então: Função Exponencial
  • 39. •Continuação: –Diferenciando com relação a segue que finalmente –Com isso ou –A solução desta equação diferencial é da forma –Então Função Exponencial
  • 40. •Continuação: –E –Com isso –De acordo com a condição (3) logo –Finalmente Função Exponencial
  • 41. •Definições: – – e – •A função é periódica com período imaginário . •Por causa da periodicidade da função, todos os valores possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa infinita é denominada região fundamental da função. Função Exponencial
  • 42. •Exemplo: Prove que Função Exponencial
  • 43. •Fórmula de Euler: •Para variável complexa tem-se •Outras funções trigonométricas: Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
  • 44. •Outras definições: , , , •Desde que é analítica para todo , o mesmo é verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde a função é zero, as funções e não são analíticas. Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
  • 45. •Desde que a função exponencial é periódica, as funções trigonométricas também são periódicas: •Desde que essas funções podem ser escritas na forma retangular: , então Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
  • 46. •Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis reais similarmente, •Caso particular, •Existe diferença entre um seno real e um complexo? Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
  • 47. •Exemplo: Prove que •Exemplo: Prove que Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
  • 51. •Logaritmo natural é definido como o inverso da função exponencial . Para o logarítmico complexo, defini-se , o que significa que , •Se e tem-se •Continuado, ou e •Portanto, Função Logarítmica
  • 52. •Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica, diferenciando , •Exemplo: calcule •Exemplo: Considere a transformação . Mostre que os círculos com centro na origem do plano z são mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w. Função Logarítmica
  • 55. Parte 4 Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 57. • Funções Lineares – Mapeamento do plano no plano utilizando , é uma constante complexa – É uma translação por meio do vetor . – A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto Mapeamento Usando Funções Elementares w w z C C C (x, y) ( , ) 1 2 x C y C
  • 58. •Propriedades do mapeamento definido por onde é complexo. e logo •Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo o zero) com coordenadas polares dentro de não zero pontos com coordenadas polares •Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação linear Mapeamento Usando Funções Elementares ibeB BzwB irez)(ibrezz),(r),(brCBzw
  • 59. • Exemplo: Mapeamento Usando Funções Elementares w (1i)z  2i
  • 60. •Análise da função •O mapeamento pode ser realizado por transformações consecutivas •Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do circulo nos pontos interiores do circulo unitário. Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 61. •Continuação da Análise da função •A segunda transformação é simplesmente a reflexão do eixo real “x”. •Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio a Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 62. •Continuação da Analise da função •Relações: Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 63. •Suponha: •Mapeamento: •Relações: •O circulo que não passa pela origem no plano z é transformado num circulo que não passa pela origem no plano w. Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 64. •A linha que não passa pela origem no plano z é transformada num circulo que passa pela origem no plano w. •Uma linha que passa pela origem no plano z é transformada numa linha que passa pela origem no plano w. •Note que a linha é transformada no circulo: •Note que a linha é transformada no circulo: Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 65. •Resultados: Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 66. •A metade do plano possui imagem na região •A imagem de qualquer ponto da metade do plano está dentro do circulo. Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 67. •Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de •Exemplo: mostre que a transformação mapeia metade do plano dentro da metade do plano •Encontre a região na qual a metade do plano é mapeada pela transformação •Mostre que se , a imagem do plano da transformação é o interior de um circulo. Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 68. •A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto no infinito está envolvido. •Se a função é continua no infinito então •O número pode ser determinado por •Pode-se considerar continua no ponto por . Quando o limite de quando tende a é 0. Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 69. •Exemplo: •Exemplo: determine e para Mapeamento Usando Funções Elementares
  • 70. Parte 5 Integrais de Funções Complexas
  • 71. •A integral de uma função real de uma variável é uma soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo comprimento de um segmento infinitesimal em torno desse ponto. •Em alguns casos necessita-se estender a definição do integrando para o conjunto dos números complexos. •Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o teorema de resíduos. Integrais de Funções Complexas
  • 72. •A função é integrada ao longo de um caminho no plano complexo. Integrais de Funções Complexas
  • 73. •Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano : •A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma ao longo de todos os pontos. •Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de Integrais de Funções Complexas
  • 74. •Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada integral de contorno de •Importante: Se o caminho é suave e é continua ao longo de , então sempre existe. •A integral de linha ao longo pode ser expressa por: Integrais de Funções Complexas
  • 75. •Propriedades: – – . – –. – – Integrais de Funções Complexas
  • 76. •Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta ligando os pontos e . •Exemplo: Calcule a integral onde circulo de raio centrado em e é um inteiro. •Exemplo: calcule para o caminho abaixo. Integrais de Funções Complexas Czdz/
  • 77. •Tipos de curvas: –Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado. –Curva não simples. Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
  • 78. •Tipos de domínios (região): –Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente pontos pertencentes a . –Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a . Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo
  • 79. •Se uma função é analítica em todos os pontos de um domínio simplesmente conexo , então para todo contorno simples fechado no interior de . •Se a função é analítica em uma região simplesmente conexa , então dois pontos e , contidos em , a integral independe do caminho que liga os pontos. Teorema de Cauchy
  • 80. •Exemplo: Calcule a integral de num caminho que ligue os pontos e . •Exemplo: Calcule (centrada em zero) Teorema de Cauchy 2)(zzf 0ziz42 zdz
  • 81. •Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e que envolvem buracos que podem conter singularidades isoladas ou não. Então: Deformação do Contorno de Integração
  • 82. Deformação do Contorno de Integração
  • 83. Deformação do Contorno de Integração •Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro de
  • 84. Fórmulas Integrais de Cauchy •Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então: •Exemplo: Calcule a integral , sendo a circunferência de raio unitário e com centro em (a) e (b)
  • 85. Fórmulas Integrais de Cauchy •Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então: •Exemplo: Calcule Sendo um contorno simples que não passa por . Considere (a) não envolve (b) envolve
  • 86. Integrais Indefinidas •Considere e analíticas na região e . Então é denominado integral indefinida de : •Exemplo:
  • 87. Integral de Algumas Funções
  • 88. Representação em Séries de Funções Analíticas •Seqüência complexa é um conjunto de números complexos. •A seqüência pode ser finita ou infinita. •Exemplo:
  • 89. Representação em Séries de Funções Analíticas •A seqüência complexa é dita ser convergente para o número se, dado , pode-se encontrar o número positivo tal que para cada . Pode-se escrever:
  • 90. Representação em Séries de Funções Analíticas •Exemplos:
  • 91. Representação em Séries de Funções Analíticas •A seqüência complexa , pode ser expressa pelas partes reais e imaginárias: e •Se a parte real converge para e a seqüência da parte imaginária , então a seqüência complexa converge para o valor . •Exemplo:
  • 92. Representação em Séries de Funções Analíticas •Se e , então – – . – . –.
  • 93. Representação em Séries de Funções Analíticas •Suponha seja uma dada seqüência. •Forma-se uma nova seqüência definida por •A soma infinita é definida por série. •Se existe, a série é denominada convergente
  • 94. Representação em Séries de Funções Analíticas •A condição necessária para série convergir é •Exemplo: Prove que se a série converge, então: •Prove que
  • 95. Representação em Séries de Funções Analíticas •As seqüências e séries de constantes são estendidas para seqüências e séries de funções. •Considere , uma seqüência de funções de definidas e unívocas em alguma região do plano . •Defini-se para •A seqüência é convergente para . •Região de convergência
  • 96. Representação em Séries de Funções Analíticas •Soma parcial: •Série infinita:
  • 97. Representação em Séries de Funções Analíticas •Condição necessária para série convergir é •Se a série converge para todos os valores de na região , denomina-se a região de convergência da série. •Exemplo: Usando a definição, prove que •Exemplo: Prove que a série converge para
  • 98. Representação em Séries de Funções Analíticas •A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. •Se a série converge mas não converge, então a série é condicionalmente convergente. •Exemplo: Prove que a série é absolutamente convergente.
  • 99. Representação em Séries de Funções Analíticas •A seqüência é uniformemente convergente se depende somente de . •O conceito se estende a séries.
  • 100. Representação em Séries de Funções Analíticas •Série de potência em : •Em geral, a série converge para •Diverge para •Pode ou não convergir para •Raio de convergência . Casos especiais: e
  • 101. Representação em Séries de Funções Analíticas •Os testes de convergência determinam uma condição necessária e suficiente para convergência de uma determinada série. •Teste de convergência absoluta: –Teste da razão: Dada a série , a convergência absoluta na região é assegurada se: –Ocorre a divergência para . Não há informação quando
  • 102. Representação em Séries de Funções Analíticas •Exemplo: Mostre que a série complexa converge.
  • 103. Representação em Séries de Funções Analíticas •Séries de potência com raios de convergência não nulos podem representar funções analíticas. •Exemplo: a série centrada na origem do plano complexo. •Teste da razão:
  • 104. Representação em Séries de Funções Analíticas •O raio de convergência é definido por:
  • 105. Representação em Séries de Funções Analíticas •Teorema de Taylor: Seja uma função analítica sobre a região , delimitada pela circunferência centrada em e de raio . Se é um ponto interior a então pode ser expandida em uma série de Taylor centrada em •A qual converge para quando
  • 106. Representação em Séries de Funções Analíticas •Exemplo: •No caso particular de a série é denominada série de Maclaurin.
  • 107. Representação em Séries de Funções Analíticas •Dedução da série de Taylor:
  • 108. Representação em Séries de Funções Analíticas •Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao longo dos contornos circulares concêntricos e , de raios e , bem como na região anelar delimitada por e . Então em cada ponto neste região, a função pode ser representada por:
  • 109. Representação em Séries de Funções Analíticas •Parte analítica •Parte principal •A série Laurent pode ser generalizada
  • 110. Representação em Séries de Funções Analíticas •Encontre a série de Laurent sobre as singularidades indicadas para as funções: –. –, •Encontre a série de Laurent de para:
  • 111. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o integrando não é analítico. •Cada singularidade isolada contribui com um termo ao resultado da integral, sendo este termo proporcional ao resíduo da singularidade.
  • 112. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •Seja unívoca e analítica no interior e sobre um contorno fechado simples , exceto num ponto , o qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade isolada de , então existe um número real tal que para a função pode ser desenvolvida em termos da série de Laurent
  • 113. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •Em particular, para obtém-se •O número complexo é denominado resíduo de no ponto singular isolado. •Notação comum:
  • 114. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao longo de um contorno simples fechado , exceto em um número finito de pontos singulares isolados localizados no interior de . Se são os resíduos de nestes pontos singulares, então
  • 115. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •Cálculo de resíduos: –Direto da definição –Pólos de ordem m em
  • 116. Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos •Exemplo: encontre os resíduos da função •Avalie ao redor do circulo