O documento discute o limite semiclássico da descoerência em sistemas caóticos. Aborda a dinâmica semiclássica de estados gaussianos usando a aproximação de órbitas adjacentes, aplicada a um modelo parabólico cuja solução analítica é comparada com a aproximação WKB. A função de Wigner depende das propriedades geométricas da variedade lagrangeana evoluída.

1. O Limite Semiclássico da Descoerência em Sistemas Caóticos
Raphael N. Púpio Maia
Departamento de Física Teórica, CBPF.

2. Introdução
Função de Wigner:
Quântico vs Semiclássico
WKB + Fase Estacionária
(Local)
Decomposição + AOA
(Global)

3. Plano
1. Estados de Incerteza Mínima
2. Dinâmica Semiclássica
Teoria WKB dependente do tempo
Propagação Semiclássica Uniforme
3. Aplicações
Modelo Parabólico
Oscilador Harmônico Chutado
4. Descoerência no Limite Semiclássico
5. Conclusões & Perpectivas

4. Estados de Incerteza Mínima
Gaussiana padrão: P
1
„
1
« 2σq
Gσ (X) = exp − [σ −1 X]2 .
π 2 W|Z (X)
2σp
Deslocamento do estado do
ˆ
vácuo, |Z = TZ |0 ; Z
Relação de incerteza mínima,
σq σp = /2; 2σp Q
Autoestados do operador de W|0 (X)
aniquilação, a |Z = α ∧ Z |Z .
ˆ 2σq
„ « „ « Função de Wigner de um estado coerente:
P σp 0
X= , σ= .
Q 0 σq W|Z (X) = Gσ (X − Z) .

5. Estados de Incerteza Mínima
2σq
P
W|Z,S (X)
Estado coerente transformado:
2σp
W|Z,S (X) = Gσ (S−1 [X − Z]) .
Z
Deslocamento do estado do
vácuo transformado,
ˆ ˆ 2σp Q
|Z, S = TZ MS |0 ;
W|0 (X)
Relação de incerteza mínima, 2σq
det σ = /2.
Correlações posição-momento:
σ → S σST .

6. Superposições entre Estados de Incerteza Mínima
Superposição quântica:
1
|B = ( a |γ+ + b |γ− ) , P
N 1/2
Função Wigner:
¯
X
|a|2
W|B (X) = Gσ+ (X − Z+ ) Z− ζ
N
|b|2
+ Gσ− (X − Z− )
N Z+
2
Re a b∗ C(X − X) .
¯
ˆ ˜
+
N
Q
Termo cruzado
„ «
1 1 i i ¯
C(X) = exp − X · G X + ζ ∧ X + ζ∧X .
π g 2 2

7. Superposições entre Estados de Incerteza Mínima
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
(a) (b)
8
4
P
0
4
8
8 4 0 4 8 8 4 0 4 8
Q Q
Função de Wigner, π W (X), para = 1.0 e σp = σq = 0.7:
(a) Os estados estão centrados em Z± = (±5, 0);
(b) Os estados estão centrados em Z± = (±5, ±5).

8. Superposições entre Estados de Incerteza Mínima
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
(a) (b)
8
4
P
0
4
8
8 4 0 4 8 8 4 0 4 8
Q Q
Função de Wigner, π W (X), para = 1.0 [Estado comprimido σq = 2.8 e σq = 0.18]:
¯
(a) O centro da hipérbole está localizado em ∆X = (5.7, 0);
¯
(b) O centro da hipérbole está localizado em ∆X = (5.7, −5.7).

9. Superposições entre Estados de Incerteza Mínima
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
(a) (b)
8
4
P
0
4
8
8 4 0 4 8 8 4 0 4 8
Q Q
Função de Wigner, π W (X), para = 1.0 [Estados estão centrados na origem]:
√
(a) |B+ = ( |γ+ + |γ− ) / N+ ;
p
(b) |B− = ( |γ+ − |γ− ) / N− .

10. Dinâmica Semiclássica
Dinâmica quântica: Equação de Wigner-Moyal
„ «
∂ 2 ˛
Wt (X) = sen ∧ X H(X, t) Wt (X )˛
˛
X
∂t 2 X =X
Dinâmica Semiclássica:
Fase estacionária
WKB
Aproximações SC Uniforme (local)
( → 0)
AOA (globalmente uniforme)

11. Teoria WKB dependente do tempo
Estado inicial:
Z q0
ψ0 (q0 ) = A0 (q0 ) eiS0 (q0 )/ ,
SC
S0 (q0 ) = S0 (q ) + p dq
q
Variedade lagrangeana C0 , determinada por p0 (q0 ) = dS0 /dq0
P0
C0
Pt
q0 Q0
q
C
T
Ct
q Qt
q
t

12. Teoria WKB dependente do tempo
Estado final:
˛ ˛−1/2
˛ ∂q
ψt (q) = At (q) eiSt (q)/ ,
SC
˛
At (q) = A0 (q0 ) ˛
˛ ∂q
˛
˛ .
0
Variedade lagrangeana evoluída Ct , em que p(q) = dSt /dq
Z q Z t
St (q) = P dQ − H(q , p , t ) dt + S0 (q )
q 0
Função de Wigner
1
Z ∞
SC
Wt (X) = du At (Q − u) At (Q + u) ei [ St (Q+u)−St (Q−u)−2 P u ]/ .
π −∞
Aproximação de fase estacionária
√ „ «
SC 2 2 A0 (q+ ) A0 (q− ) At (X) π
Wt (X) = √ cos −
π |v+ ∧ v− |1/2 4
Válida no lado côncavo da variedade lagrangeana.

13. Teoria WKB dependente do tempo
A função de Wigner no limite semiclássico depende das propriedades geométricas de uma
variedade clássica evoluída.
Estado estacionário
(sistema integrável e limitado)
P Estado não-estacionário
X−
P
Ct A
ζ
A X
X
Q
ζ q− q+
Q
C X+ M. V. Berry & N. L. Balazs (1979)
M. V. Berry (1977)

14. Teoria WKB dependente do tempo
Descrição semiclássica da evolução de um estado gaussiano
q2
„ «
γ∆q (q0 ) = (2π∆q 2 )−1/4 exp − 0 2
4∆q
D. Huber, E. J. Heller & R. G. Littlejohn (1988);
M. A. M. de Aguiar et al (2005).
Estado comprimido:
√
Incertezas: ∆q ∆p ∼ 2∆q
Variedade lagrangeana: p0 (q0 ) = 0
Estado “redondo”:
√ 2∆q
Incertezas: ∆q = ∆p ∼ 2∆q(t)
Evolui aproximadamente em um estado
Ct
WKB com um suporte Ct

15. Propagação Semiclássica Uniforme
Decomposição unidimensional de um estado gaussiano
Z ∞
|γ = dQ FL,d (Q )|Q .
−∞
O estado |γ tem incertezas ∆q = L e ∆p = /2L
O peso da superposição contínua, FL,d (Q ), é uma gaussiana
Os estados |Q = e−iQ p/ |0 têm incertezas ∆q = d e ∆p = /2d
ˆ
P
L
d
Q

16. Propagação Semiclássica Uniforme
Aproximação de Órbitas Adjacentes (AOA)
ˆ AOA (Z t ) = Ht (Z t ) + Z t ∧ [ˆ − Z t ] + 1 [ˆ − Z t ] · Ht (Z t ) [ˆ − Z t ]
Ht ˙ x x x
2
E. J. Heller (1975); R. G. Littlejohn (1986)
Propagador semiclássico:
Translação para a origem
Transformação metaplética St (Q )
Translação para o ponto Zt (Q )
Fase geométrica Γt (Q )
Ut (Q ) = ei Γt (Q )/
ˆ ˆ ˆ ˆ†
TZt (Q ) MSt (Q ) TZ0

17. Propagação Semiclássica Uniforme
|γ
Decomposição
Z ∞
|γ = dQ FL,d (Q )|Q
−∞
Decomposição + AOA ˆ
Ut |γ
AOA
|γt
Z ∞
ˆ AOA
Ut |γ ≈ |γt = ˆ
dQ FL,d (Q ) Ut (Q ) |Q
−∞
AOA
Wt (X) Wt (X)
Função de Wigner na AOA
Z ∞ Z ∞
WtAOA
(X) = dQ+ dQ− FL,d (Q+ )FL,d (Q− ) Ct (X − Xt ) ei [Γt (Q+ )−Γt (Q− )]/
¯
−∞ −∞

18. Modelo Parabólico
Hamiltoniano cúbico [variedade parabólica: Qt (P ) = ΛtP 2 ],
1
H = Λ p3 .
ˆ ˆ
3
Estado inicial com incertezas ∆p = L e = /2L,
P2 Q2
„ «
1
Wt (X) = exp − 2 − 2 .
π L
Solução analítica
√ ε2
„ «
2
+ε3 /12 [ Q − Qt (P ) ]
π Wt (X) = 2πε e−Q/2ΛtL Ai − ,
4 L2 ε Λt
onde ε = [ /2Λt ]2/3 /L2 .

19. Modelo Parabólico
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −0.5 −0.25 0.0 0.25 0.5
16
(a) (b)
8
P
0 2
0
8 2
2 0 2
16
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
Q Q
Função de Wigner, π Wt (X), para = 1.0 e Λ = 0.03:
(a) Estado comprimido, ∆p = 5.0; [Estado gaussiano circular, σ = 0.7];
(b) Solução analítica para t = 6.

20. Modelo Parabólico (WKB)
16
X+
(a) (b)
8
P
At (X) X
0
8
X−
Ct Ct
16 C0
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
Q Q
Variedade lagrangeana, Ct , para Λ = 0.03:
(a) Variedade inicial, Q0 (P ) = 0, e a sua imagem em t = 6, Qt (P ) = ΛtP 2 ;
(b) Corda ζt (X) = X+ − X− que passa pelo centro X.

21. Modelo Parabólico (WKB)
Corda que passa por X
„ «
2 1
ζt (X) = √ [ Q − Qt (P ) ]1/2 .
Λt 2Λt P
Área entre a corda e a curva Ct
4
At (X) = √ [ Q − Qt (P ) ]3/2 .
3 Λt
Função de Wigner
2
!
SC e−Q/2ΛtL 4 [ Q − Qt (P ) ]3/2 π
Wt (X) = √ cos √ − .
πL ( Λt[Q − Qt (P )] )−1/4 3 Λt 4
Diverge quando Q → Qt (P ).

22. Modelo Parabólico (WKB)
Corda que passa por X
„ «
2 1
ζt (X) = √ [ Q − Qt (P ) ]1/2 .
Λt 2Λt P
Área entre a corda e a curva Ct
4
At (X) = √ [ Q − Qt (P ) ]3/2 .
3 Λt
Função de Wigner
2
!
SC e−Q/2ΛtL 4 [ Q − Qt (P ) ]3/2 π
Wt (X) = √ cos √ − .
πL ( Λt[Q − Qt (P )] )−1/4 3 Λt 4
Diverge quando Q → Qt (P ).
√ ε2
„ «
2
+ε3 /12 [ Q − Qt (P ) ]
π Wt (X) = 2πε e−Q/2ΛtL Ai − .
4 L2 ε Λt

23. Modelo Parabólico (WKB)
(a)
16 0.06
0.03
W6 (5, P )
8
0.00
0
0.03
8 0.06
6 3 0 P 3 6
16 0.12 (b)
0 10 20 30 40
Seções da função de Wigner: 0.06
W6 (Q, 0)
exata (linha) vs WKB (pontos).
0.00
(a) Q = 5;
Diverge nos pontos P ≈ ±5. 0.06
(b) P = 0;
0.12
Diverge no ponto Q ≈ 0. 2 0 2 4 6 8 10
Q

24. Modelo Parabólico (AOA)
Decomposição Z ∞
φ0 (p) = dP FL,d (P ) γd (p − P ) .
−∞
Decomposição + AOA
3
Z ∞ 3
φAOA (p) = e−iΛt p
t
/3
dP FL,d (P ) γd (p − P ) eiΛt (p−P ) /3
.
−∞
Fidelidade da AOA
« –2
β2( )
» „
3
Ft ( ) = 2πβ( ) e β ( )/6
Ai
4
Função de Wigner na AOA
Z ∞
AOA
π Wt (X) = ds e−2is Q/ [φAOA (P + s)]∗ φAOA (P − s) .
t t
−∞

25. Modelo Parabólico (AOA)
Decomposição Z ∞
φ0 (p) = dP FL,d (P ) γd (p − P ) .
−∞
Decomposição + AOA
3
Z ∞ 3
φAOA (p) = e−iΛt p
t
/3
dP FL,d (P ) γd (p − P ) eiΛt (p−P ) /3
.
−∞
Fidelidade da AOA
« –2
β2( )
» „ » –
3 10
Ft ( ) = 2πβ( ) e β ( )/6
Ai =1− (Λt)2 κ3/2 + O( 2
).
4 6
Função de Wigner na AOA
Z ∞
AOA
π Wt (X) = ds e−2is Q/ [φAOA (P + s)]∗ φAOA (P − s) .
t t
−∞

26. Modelo Parabólico (AOA)
(a)
0.06
0.03
W6 (5, P )
Seções da função de Wigner: 0.00
exata (linha) vs AOA (pontos).
0.03
(a) Q = 5;
0.06
(b) P = 0.
6 3 0 P 3 6
Foram usados 100 estados 0.12 (b)
gaussianos com incertezas
∆p = 0.35 na decomposição. 0.06
Fidelidade da aproximação: W6 (Q, 0) 0.00
F = 0.999166.
0.06
0.12
2 0 2 4 6 8 10
Q

27. Oscilador Harmônico Chutado
Consiste de um oscilador harmônico com impulsos periódicos V (ˆ) = cos kq .
q ˆ
Operador hamiltoniano (variáveis adimensionais)
∞
ˆ OHC = ω p2 + q 2 + A cos q
ˆ ˜ X
Ht ˆ ˆ ˆ δ(t − n τ ) .
2 n=0
Constante de Planck efetiva = k2 /mω.
Evolução quântica
Z ∞
ψn+1 (q) = dq Uτ (q, q ) e−iA cos q
OH /
ψn (q )
−∞
Função de Wigner
Z ∞
π Wn (X) = ds e−2i P s/ [ψn (Q − s)]∗ ψn (Q + s)
−∞
F. Toscano, R. L. de Matos Filho & L. Davidovich (2005)

28. Oscilador Harmônico Chutado
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
(a) (b)
2
2
P
Função de Wigner, π Wt (X),
0
0
para = 0.0128, A = 2.0 e −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
ω τ = π/3. 1
0
-2
-2
Estado gaussiano inicial com 1
1 0 1
incerteza ∆q = 0.565685;
(c) (d)
(Estado redondo σ = 0.08)
2
2
Instantes: (a) n = 1, (b) n = 2, P
(c) n = 3 e (d) n = 4. 0
0
-2
-2
-2
-2
0
0 Q 2
2
-2
-2
0
0 Q 2
2

29. Oscilador Harmônico Chutado (WKB)
Mapa clássico (variáveis adimensionais)
qn+1 = cos(ω τ ) qn + sen(ω τ ) [ pn + A sen qn ]
pn+1 = −sen(ω τ ) qn + cos(ω τ ) [ pn + A sen qn ]
Cizalhamento não-linear em p seguido da rotação de um ângulo ω τ
Cáustica da função de Wigner (Cn ):
Vetores tangentes paralelos, v+ ∧ v− = 0;
(1)
Subconjunto Cn : coalescência de cordas nulas, |ζ| → 0;
Aproximação de transição:
2A2 (Q )
„ «
SC n 2(P − P )
Wn (P, Q ) ≈ Ai − .
( P )1/3 ( P )1/3
(2)
Subconjunto Cn : coalescência de cordas de tamanho finito.

30. Oscilador Harmônico Chutado (WKB)
(a) (b)
2
P
0
(a) Variedade lagrangeana.
2
Cn Cn
(b) Cáustica Cn da função de
2 0 2 2 0 2
Wigner SC: Q Q
(c) X = (−2, 0.5) ∈ Cn .
/ (c) X+
(1)
(2) (d)
2 X+
(d) X = (−1.83, 1) ∈ Cn . P
X+
1 X
X
(1)
X− X−
0 (2)
X−
2 1 0 2 1 0
Q Q

31. Oscilador Harmônico Chutado (WKB)
4
(a)
2
2
W2 (−2, P )
1 0
2
0
(b)
2
2 1 0
1
Seções da função de Wigner: W3 (−2, P )
0
exata (linha) vs WKB (pontos)
e vs aproximação de transição 1
(quadrados): [Q = −2]
2
(a) n = 2;
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
P
(b) n = 3;

32. Oscilador Harmônico Chutado (AOA)
Decomposição Z ∞
ψ0 (q) = dQ FL,d (Q ) γd (q − Q )
−∞
Decomposição + AOA
Z ∞
AOA AOA
ψn (q) = dQ FL,d (Q ) ψn (q, Q )
−∞
Propagador semiclássico
Z ∞
AOA AOA AOA
ψn+1 (q, Q ) = dq Uτ (q, q ; Qn ) ψn (q , Q )
−∞
Função de Wigner na AOA
Z ∞
AOA
π Wn (X) = ds e−2i P s/ [ψn (Q − s)]∗ ψn (Q + s)
AOA AOA
−∞

33. Oscilador Harmônico Chutado (AOA)
4
(a)
2
W2 (−2, P )
Seções da função de Wigner:
exata (linha) vs AOA (pontos). 0
[Q = −2]
2
(a) n = 2;
(b) n = 3; Os efeitos não lineares
invalidam a aproximação linear da 2 (b)
dinâmica.
1
W3 (−2, P )
Foram usados 768 estados
gaussianos com incertezas 0
∆q = 0.04 na decomposição.
1
2
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
P

34. Oscilador Harmônico Chutado (AOA)
2
2
1
W3 (−1.83, P )
1
0
−1
0
−2
−3
2 1 0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
P
Seções da função de Wigner:
exata (linha) vs AOA (pontos).
[Q = −1.83, n = 3]

35. Oscilador Harmônico Chutado (AOA)
1.0
0.9
Fn ( )
0.8
100
log10 [1 − Fn ( )]
0.7
1
10
0.6
0 200 400 600
1/
0 200 400 600
1/
Fidelidade da AOA para n = 3.
˛Z ∞
˛2
dq [ψn (q)]∗ ψn (q)˛ .
˛ AOA
˛
Fn ( ) = ˛
˛ ˛
−∞

36. Oscilador Harmônico Chutado (AOA)
100
0.4
log10 Dn ( )
Dn ( )
10−1
102 103
log10 1/
0.2
0.0
0 500 1000 1500 2000 2500
1/
Distância média (no espaço de fase) da AOA para n = 3.
Z ∞
˛ AOA
˛2
Dn ( ) = dX ˛Wn (X) − Wn (X)˛ .
−∞

37. Descoerência no Limite Semiclássico
Sistema ⊕ reservatório
Hipóteses:
Aproximação Markoviana
Limite de fraco acoplamento
Reservatório difusivo (sem perdas de energia)
Equação mestra
L
∂ i h ˆ i 1 Xhˆ hˆ ii
ρ=−
ˆ H, ρ −
ˆ Lj , Lj , ρ
ˆ
∂t 2 j=1
G. Lindblad (1976)
Solução formal e a fórmula de Trotter
ρ(t) = M(t) ρ0 = lim
ˆ ˆ [ M L M H ]N ρ0
ˆ
N →∞

38. Descoerência no Limite Semiclássico
Sistemas Solúveis:
ˆ 1
Operador quadrático, H = x · H x
ˆ ˆ
2
ˆ (j) (j)
Operadores lineares, Lj = λp q − λq p
ˆ ˆ
Função de Wigner
1
Z ∞ 1 X ·[ −J Nt J ]−1 X
Wt (X) = √ dX W0 (S−t [X − X ]) e− 2
2π det Nt −∞
O. Brodier & A. M. Ozorio de Almeida (2004)
Convolução da função de Wigner inicial com uma gaussiana.
M
XZ t
Nt = dτ [J St−τ λj ] [J St−τ λj ]T ≥ 0
j=1 0

39. Descoerência no Limite Semiclássico (AOA)
Dinâmica semiclássica + Reservatório térmico:
Decomposição
ˆ AOA (Zt )
Aproximação de órbitas adjacentes, Ht
ˆ (j) (j)
Operadores lineares, Lj = λp q − λq p
ˆ ˆ
Função de Wigner na AOA
Z ∞ Z ∞
AOA
Wt (X) = dQ+ dQ− FL,d (Q+ ) FL,d (Q− ) ei [Γt (Q+ )−Γt (Q− )]/
−∞ −∞
Z ∞ dX
Z ∞ dξ −i ξ∧[X−X ]/ −D(X,ξ)/2 ¯
e Ct (X − Xt )
−∞ 2π −∞ 2π
Distância D(X, ξ) entre os símbolos de Weyl dos operadores de Lindblad
M
XZ t
D(X, ξ) = dτ [ Lj (X+ ) − Lj (X− ) ]2
j=1 0
W. T. Strunz (1997); A. M. Ozorio de Almeida (2003)

40. Conclusões
Padrão hiperbólico das franjas de interferências de uma superposição entre estados
gaussianos (1D);
Generalização para N graus de liberdade.
Evolução da função de Wigner de um estado gaussiano com a teoria WKB
dependente do tempo;
Aproximação local: Diverge na cáustica da função de Wigner SC;
Estado inicial “redondo”: evolui aproximadamente num estado WKB padrão.
Evolução da função de Wigner de um estado gaussiano com o método de
propagação globalmente uniforme;
Aproximação global: Sensível às distorções dos estados da decomposição.
Propagação globalmente uniforme na aproximação markoviana;
Amortecimento da amplitude depende da distância entre as funções Lj (X± ).

41. Perspectivas
Evolução WKB do estado gaussiano “redondo” (em andamento);
Relação entre as aproximações semiclássicas:
Teoria WKB dependente do tempo vs método de propagação globalmente
uniforme;
Gaussianas congeladas (Frozen gaussians);
E. J. Heller (1981)
Descoerência na abordagem WKB;
A. M. Ozorio de Almeida (2003)
Aplicação: Produção de entropia linear e o expoente de Lyapunov;
D. Monteoliva & J. P. Paz (2000)
Aplicação: Echo de Loschmidt.