Explorando o Tapete de Sierp´nski
Sara Cruz e Ingra Dantas
Licenciatura em Matem´atica
Universidade Federal do Par´a
Resum...
2 Aspectos matem´aticos
Defini¸c˜ao 2.1 Dizemos que a transforma¸c˜ao f : R2
→ R2
´e uma “transforma¸c˜ao
similar” com raio...
Exemplo 2.1 Considere um triˆangulo equil´atero ∆ de lado igual a 1 e a trans-
forma¸c˜ao que reduz ∆ de tal modo que cada...
metade das coordenadas dos pontos originais (veja figura 2). Se queremos transladar
Q duas unidades a direita da sua posi¸c...
Figura 3:
f3


x
y

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
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3 Atividade de ensino
Nesta sec¸c˜ao nosso objetiv...
3.2 Objetivos
3.3 Meteriais necess´arios
3.4 Descri¸c˜ao da atividade
Referˆencias
[1] K. Falconer, Fractal Geometry - Mat...
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Autossimilaridade

  1. 1. Explorando o Tapete de Sierp´nski Sara Cruz e Ingra Dantas Licenciatura em Matem´atica Universidade Federal do Par´a Resumo: 1 Introdu¸c˜ao A autossemelhan¸ca ou autossimilaridade ´e uma ideia antiga e uma propriedade geom´etrica simples. ´E a “simetria atrav´es das escalas”, ou seja, um objecto possui autossemelhan¸ca se apresenta a mesma forma a qualquer escala em que seja observado. Naturalmente, nem todos os objetos geom´etricos tˆem esta propriedade. Por exemplo, um c´ırculo numa escala muito grande n˜ao ´e nada mais do que uma reta. Por outro lado, um quadrado ´e um conjunto autossimilar do plano, pois pode ser formado por quatro c´opias deles mesmo reduzidas por um fator 1 2 . Autossimilaridade ´e um conceito muito associado com a geometria fractal, pois um fractal ´e um conjunto que possui infinitas pequenas c´opias dele pr´oprio, ou seja, ´e um objeto autossimilar. Matematicamente, a propriedade de autossimilaridade ´e descrita por transforma¸c˜oes cujas imagens dos objetos sejam “c´opias reduzidas” do mesmo e que “reconstituam” integralmente o mesmo objeto. Tais transforma¸c˜oes s˜ao chamadas transforma¸c˜oes similares. Neste trabalho, 1
  2. 2. 2 Aspectos matem´aticos Defini¸c˜ao 2.1 Dizemos que a transforma¸c˜ao f : R2 → R2 ´e uma “transforma¸c˜ao similar” com raio r se existe um n´umero real r > 0 tal que ||f(x) − f(y) = r||x − y||, ∀x, y ∈ R2 com ||x − y|| = |x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 e x = (x1, y1) e y = (x2, y2) Se r < 1, f ´e chamada uma “contra¸c˜ao”. Geometricamente, transforma¸c˜oes similares incluem uma homotetia, uma isome- tria e suas composi¸c˜oes. Defini¸c˜ao 2.2 Dois conjuntos s˜ao similares se um ´e a imagem do outro por uma transforma¸c˜ao similar. Um conjunto E ´e “autossimilar”’ se ´e a uni˜ao de imagens similares de sim mesmo, ou seja, E = m k=1 fk(E). (2.1) Um conjunto autossimilar ´e chamado “conjunto invariante” ou “atrator” de um sistema de fun¸c˜oes iteradas- IFS dado por {f1, f2, . . . , fm} com fk transforma¸c˜oes similares. com raio rk, respectivamente. A teoria da Geometria fractal garante que se estamos trabalhando com espa¸cos m´etricos completos e todas as transforma¸c˜oes fk s˜ao contra¸c˜oes ent˜ao existe um ´unico conjunto compacto E que satisfaz (2.1) (para mais detalhes consulte [1].) Um conceito bastante relacionado com autossimilaridade ´e o conceito de auto afinidade. Para um conjunto auto afim temos que as transforma¸c˜oes fk s˜ao trans- forma¸c˜oes afins. Uma transforma¸c˜ao afim ´e formada por uma transforma¸c˜ao linear e uma transla¸c˜ao. Seus raios podem ser diferentes em diferentes dire¸c˜oes. Trans- forma¸c˜oes autossimilares s˜ao casos particulares de transforma¸c˜oes afins. As trans- forma¸c˜oes afins s˜ao dadas por f   x y   =   a b c d     x y   +   e f   . 2
  3. 3. Exemplo 2.1 Considere um triˆangulo equil´atero ∆ de lado igual a 1 e a trans- forma¸c˜ao que reduz ∆ de tal modo que cada lado seja a metade do anterior. Ent˜ao, f : ∆ → R2 ´e dada por f(x, y) = 1 2 (x, y). Observe que, se aplicarmos a transforma¸c˜ao f infinitamente temos que os triˆangulos ser˜ao reduzidos de modo que seus lados ser˜ao cada vez menores, ou seja, a sequˆencia de triˆangulos tender´a a um ´unico ponto. Figura 1: Redu¸c˜ao Podemos construir um objeto autossimilar reduzindo (ou ampliando), rodando e/ou transladando este objeto. Por exemplo, considere um quadrado Q unit´ario, se queremos reduzir este quadrado a metade (fator de redu¸c˜ao 1/2) devemos “transfor- mar” todos os pontos deste quadrado em novos pontos cujas coordenadas ser˜ao a 3
  4. 4. metade das coordenadas dos pontos originais (veja figura 2). Se queremos transladar Q duas unidades a direita da sua posi¸c˜ao inicial devemos “transformar” todos os pontos de Q em novos pontos cujas coordenadas ser˜ao as coordenadas originais mais duas unidades. No que segue, descreveremos estas transforma¸c˜oes. Figura 2: Por exemplo, se P = (x, y) ´e um ponto de Q, para reduzirmos Q a metade transformaremos P = (x, y) no ponto P1 = (x1, y1) tal que x1 = x 2 e y1 = y 2 . Podemos representar esta transforma¸c˜ao do seguinte modo: f1(x, y) = x 2 , y 2 . O mesmo vale para a transla¸c˜ao. Transformaremos o ponto P = (x, y) no ponto P1 = (x1, y1) tal que x1 = x + 2 e y1 = y. Esta transforma¸c˜ao tem a seguinte representa¸c˜ao: f2(x, y) = (x + 2, y). Agora, se quisermos rodar Q um ˆangulo θ◦ no sentido anti-hor´ario, cada ponto P = (x, y) de Q deve ser transformado no ponto P1 = (x1, y1) tal que x1 = x cos θ−y senθ e y1 = x senθ+y cos θ (veja figura 3). Esta transforma¸c˜ao tem a seguinte representa¸c˜ao: f3(x, y) = (x cos θ − y senθ, x senθ + y cos θ). Observe que estas transforma¸c˜oes acima s˜ao transforma¸c˜oes afins. De fato, f1   x y   =    1 2 0 0 1 2      x y   , f2   x y   =   1 0 0 1     x y   +   2 0   , 4
  5. 5. Figura 3: f3   x y   =   cos θ −senθ senθ cos θ     x y   . 3 Atividade de ensino Nesta sec¸c˜ao nosso objetivo ´e apresentar uma atividade que consiste na abordagem do conceito de autossimilaridade no Tapete de Sierpinski. 3.1 Apresenta¸c˜ao Figura 4: 5
  6. 6. 3.2 Objetivos 3.3 Meteriais necess´arios 3.4 Descri¸c˜ao da atividade Referˆencias [1] K. Falconer, Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications, Jonh Wiley and Sons, Chichester, 2003. [2] C. Vaz, Explorando a geometria fractal, Notas de aula, 2009. 6

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