O documento apresenta o método das funções geradoras para resolver equações polinomiais com várias variáveis. Em 3 exemplos, é mostrado como construir tabelas que mapeiam expoentes para coeficientes, permitindo enumerar todas as soluções de equações como 2x1 + x2 = n, 4x1 + 2x2 + y3 = m, onde as variáveis assumem valores inteiros não negativos e y3 valores fixos.

1. FUNÇÕES GERADORAS
(continuação – aula de 04.10.2011)
Preste muita atenção para a seguinte demonstração e, sobretudo, no resultado final. Para começarmos, vamos
lembrar que:
( N ) r ! .( N −r )!
r
=
N
!
Desenvolvendo, temos:
N .( N −1) .( N − 2)...( N −r +1)
(N )
r
=
r!
Para chegar no resultado que nos interessa, vamos substituir N =−n para termos o seguinte:
−n = (−n−1) . (−n−2) ...(−n+r −1)
( )
r r!
Colocando (-1) em evidência, obtemos:
( n+1) . ( n+ 2) ... (n−r+1)
(−1)r .
r!
que é igual à seguinte expressão em fatoriais:
( n+1) !
(−1)r .
r ! . (n−1) !
E assim chegamos no importante resultado para o estudo das funções geradoras:
( n+r −1)
r
=(−1) .
r
(−n )
r
Agora, vejamos alguns exemplos:

2. Exemplo 1:
Sendo xi ≥1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação
2x1 + x2 ?
resolução:
Note que para 2x1 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências
(x2 + x4 + x6 + …)
Por sua vez, para x2 = {1, 2, 3,...} teriamos as seguintes potências
(x1 + x2 + x3 + …)
Também, devemos lembrar que
1 = 1 + x + x2 + x3 + ...
1−x
Pois nos permite estender como podemos verificar nos seguintes exemplos:
1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + …
2
1−x
1 = 1 + x3 + x6 + x 9+ ...
3
1−x

3. 1 = 1 + x4 + x8 + x12 + …
4
1−x
Em assim por diante, de maneira que podemos chegar na seguinte expressão geral:
1
p n
(1−x )
= Σ ( n+r−1) x
r
r
.
rp
Por exemplo:
¿
1
(1−x )2
= Σ r =0
( )
−2 . (−1)r . x n
r
E usando o importante resultado obtido inicialmente, temos:
¿
1
a b
(1− x )
= Σ r =0
( )
r (
−b .(−1)r . x a.n = b+r−1
r )
Agora, voltando no exercício 2x1 + x2, temos:
(x2 + x4 + x6 + …).(x1 + x2 + x3 + …)
E para resolver, usamos os resultados que já sabemos:
1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + …
2
1−x

4. Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão:
(x2 + x4 + x6 + …) =
1 -1= x2
2 1−x 2
1−x
Da mesma maneira, fazemos:
( x+ x + x +. ) =
23
x 3. (1+ x) = x 3. (1+x) =
2 2 2 2
(1−x ).(1− x ) (1−x )
¿
= ( x 3+x 4 ) .
)Σ r=0
( −2+r−1 . x 2.r =
r
= 3
(0 ) ( 1) ( 2) ( 3 )
( x +x ) [ 1 + 2 . x + 3 . x + 4 . x ...]
4
.
2 4 6
=
= ( x 3+x 4 ) . (1+2x 2 +3x 4 +4x 6 +5x 8+...)
Agora, note bem na relação dos expoentes de 'x' com os coeficientes do polinômio
obtido:
Expoentes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
Coeficientes 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 ...
A partir desse momento, podemos obter a solução para diversos resultados da
equação dada. Vejamos alguns exemplos:
Para 2x1 + x2 = 11, basta verificar que na tabela ao expoente 11 corresponde o

5. coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da
seguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, e, por último, 10 + 1, totalizando as 5
soluções indicadas pela tabela.
Por sua vez, para 2x1 + x2 = 10, basta verificar que na tabela ao expoente 10
corresponde o coeficiente 4. Portanto, são 4 soluções possíveis, que podemos
enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 8, 4 + 6, 6 + 4 e, finalmente, 8 + 2, totalizando
as 4 soluções indicadas pela tabela.
Agora, vamos resolver outro problema usando o mesmo método das 'funções
geradoras'.
Exemplo 2:
Sendo x1,2 ≥1 e y3 = {0, 2}, quantas soluções existem
na equação 4x1 + 2x2 + y3 ?
resolução:
Note que para 4x1 = {4, 8, 12,...} teriamos as seguintes potências (x4 + x8 + x12 + …) =
x4
4
1− x
Enquanto para 2x2 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) =
1 - 1 = x2
2 2
1−x 1−x
Por fim, para y3 = {0,2} teriamos (1+x 2 ) .
Agora, multiplicando essas três partes, teriamos:

6. 2
x4 . x . (1+x 2 ) = = x6.(1+x2)
(1−x4).(1−x2)
4 2
1− x 1−x
= x 6. (1+x 2 ) = x6 =
2 2 2 2 2
(1−x ).(1+ x ).(1−x ) (1−x )
= x
6
.
1
2 2
(1−x )
= x 6. Σ ( 2+n−1) x
r
r
.
2r
=
( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
= x 6 . [ 1 + 2 . x 2 + 3 . x 4 + 4 . x 6 ...] =
= x 6 . (1+2x 2+3x 4 +4x 6+5x 8+...)
E chegariamos na tabela que relaciona 'expoente' com 'coeficiente' seguinte:
Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...
Coeficientes 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 ...
Assim, para 4x1 + 2x2 + y3 = 10, basta verificarmos a tabela para verificar que para o
expoente 10 o número de soluções são 3, que poderiamos confirmar pela seguinte
enumeração (1,3,0), (1,2,1) e (2,1,0).
E assim resolvemos esse exercício através do método das 'funções geradoras'.
Mais exemplos:
Podemos explorar o mesmo exercício que acabamos de resolver, por exemplo,
fazendo com que y3 ={0,1,2,3}, ao qual corresponderia o polinômio
(1+x+ x 2 +x 3) . Aproveitando a resolução já feita, chegaríamos na

7. seguinte expressão:
x6 . (1+x+ x 2 +x 3) =
4 2
(1−x ).(1− x )
= x6 . [(1+ x 2 )+x.(1+x 2 )] =
4 2
(1−x ).(1− x )
= x6 . (1+x 2 ).(1+x) =
4 2
(1−x ).(1− x )
= x 6. (1+ x 2 ).(1+x) =
2 2 2
(1+x ).(1− x ).(1−x )
= (1+ x ). x6 ,
2 2
(1−x )
Usando alguns resultados do exercício anterior, obtemos a seguinte tabela 'expoente-
coeficiente':
Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...
Coeficientes 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ...
Que nos proporciona diversas soluções, conforme já explicado pela correspondência
entre os expoentes e os coeficientes.
Porém, vamos para mais um exemplo usando o mesmo exercício sendo que agora y3
= {0,1}, que corresponde ao polinônio (1+x ) . Aproveitando os resultado
anteriores, chegaríamos à seguinte expressão:

8. x6 . (1+x ) = x6 =
4 2 4
(1−x ).(1− x ) (1−x ).(1−x)
= x 6 . (1+ x 4 +x 8+x 12 +...). (1+x+ x 2 +x 3+...)
E, mais uma vez, montariamos a tabela de 'expoentes-coeficientes' seguinte:
Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
. . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
. . . . . . . . 1 1 1 1 1 ...
. . . . . . . . . . . . 1 ...
Coeficientes 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 ...
Assim poderiamos ter diversas soluções, por exemplo, para 4x 1+2x2+y3 = 10 teriamos
2 soluções, que seriam (1,2,0) e (2,1,). Já para 4x 1+2x2+y3 = 12, teriamos também 2
soluções, que seriam (1,4,0) e (2,2,0). Por fim, para 4x1+2x2+y3 = 14, teriamos 3
soluções, que seriam (1,5,0), (2,3,0) e (3,1,0) ●
Prof. Dr. Stefano De Leo
Aula de 4 de outubro de 2011
Matemática Discreta – MA 200-Z -IMECC – Unicamp