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Aula 10

Derivando fun»~es exponenciais e
             co
logar¶
     ³tmicas

Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das fun»~es f (x) = ax e g(x) = loga x,
                                                   co
sendo a uma constante real, a > 0 e a 61.
                                      =
     O que faz do n¶mero e uma constante t~o especial ? A resposta est¶ no seguinte
                   u                      a                           a
teorema

Teorema 10.1

   1. Se f(x) = ex , ent~o f 0 (x) = ex . Ou seja, a derivada da fun»~o exponencial de
                        a                                           ca
      base e coincide com a pr¶pria fun»~o.
                                o         ca

   2. Se f (x) = ax   (a > 0, a 61), ent~o f 0 (x) = ax ¢ ln a.
                                =       a
Demonstra»~o. Seja f(x) = ex . Ent~o
         ca                       a

                   ¢f         f (x + ¢x) ¡ f (x)          ex+¢x ¡ ex
               lim    = lim                       = lim
              ¢x!0 ¢x   ¢x!0          ¢x             ¢x!0    ¢x
                                   ¢x
                              e ¢e ¡e
                               x         x
                      = lim
                        ¢x!0       ¢x
                                  e¢x ¡ 1
                      = lim ex ¢
                        ¢x!0        ¢x
                                  e¢x ¡ 1
                      = ex ¢ lim           = ex ¢ 1 = ex
                            ¢x!0    ¢x

     Para justi¯car o ultimo passo na dedu»~o acima, nos resta demonstrar:
                      ¶                   ca

Proposi»~o 10.1
       ca
                                       eh ¡ 1
                                    lim       =1
                                   h!0    h


                                          88
Derivando funcoes exponenciais e logar¶
             »~                       ³tmicas                                                89


Demonstra»~o. Faremos o c¶lculo do limite atrav¶s de uma interessante mudan»a de
          ca             a                     e                           c
vari¶vel.
    a
      Fazendo eh ¡ 1 = z, temos eh = 1 + z, e ent~o h = loge (1 + z)
                                                 a
      Assim sendo, h ! 0 se e somente se z ! 0, e ent~o
                                                     a
                      eh ¡ 1             z                    1
                  lim        = lim              = lim
                  h!0    h     z!0 loge (1 + z)   z!0   loge (1 + z)
                                                              z
                                           1             1       1
                              = lim     h           i=        = =1
                                z!0
                                    loge (1 + z)1=z    loge e    1


                                                  ¢f
      Portanto, sendo f(x) = ex , temos lim            = ex .
                                             ¢x!0 ¢x

      Para calcular a derivada de ax , fazemos
                                     x
                         ax = eloge a = ex loge a = ex ln a = e(ln a)x
Pela regra da cadeia, (eu )0 = eu ¢ u0 , logo
                     £       ¤0
            (ax )0 = e(ln a)x = e(ln a)x ¢ ((ln a)x)0 = e(ln a)x ¢ ln a = ax ln a


      Quanto a fun»~es logar¶
                  co        ³tmicas, temos o seguinte
Teorema 10.2
                                1                                  1
                   1. (ln x)0 =                     2. (ln jxj)0 =
                                x                                  x
                              0        1                         0        1
                   3. (loga x) =                    4. (loga jxj) =
                                    x ln a                             x ln a
Demonstra»~o. Se y = ln x, ent~o y = loge x, e portanto x = ey .
         ca                   a
                ca      ³cita em rela»~o a x, temos (x)0 = (ey )0 , logo 1 = ey ¢ y 0 .
      Por deriva»~o impl¶            ca
                     1    1
      Portanto y 0 =   = , ou seja, (ln x)0 = 1=x.
                    ey    x
                              µ      ¶0
                           0    ln x      (ln x)0      1
      Assim sendo, (loga x) =           =         =        .
                                ln a        ln a    x ln a
      Para derivar ln jxj, ou loga jxj, lembremo-nos de que jxj = x quando x > 0, e
jxj = ¡x quando x < 0. Assim, se x > 0, reca¶  ³mos nos itens 1 e 3.
                                                1               ¡1              1
     Se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 =         ¡x
                                                    ¢ (¡x)0 =   x
                                                                     ¢ (¡1) =   x
                                                                                  .   O item 4 ¶
                                                                                               e
deduzido analogamente.
Proposi»~o 10.2 Sendo ® uma constante real, racional ou irracional, e x > 0,
       ca

                                         (x® )0 = ®x®¡1
Derivando funcoes exponenciais e logar¶
             »~                       ³tmicas                                                         90


Demonstra»~o. Se y = x® ent~o ln y = ln x® = ® ln x.
         ca                a
               ca      ³cita, em rela»~o a x, temos (ln y)0 = (® ln x)0 .
     Por deriva»~o impl¶             ca
              1 0     1
     Logo,      ¢y =®¢ .
              y       x
                            1        1
     Portanto, y 0 = y ¢ ® ¢  = ®x® ¢ = ®x®¡1 .
                            x        x
      No exemplo seguinte, fazemos uso da fun»~o ln para derivar uma fun»~o exponen-
                                             ca                         ca
cial de base e expoente vari¶veis.
                            a

Exemplo 10.1 (Uma fun»~o exponencial de base e expoente vari¶veis) Calcular
                          ca                                a
a derivada de f (x) = x .
                       x



Solu»~o. Sendo y = xx , temos ln y = ln xx = x ¢ ln x.
    ca
     Derivando ambos os membros em rela»~o a x, temos
                                       ca
     (ln y)0 = (x ¢ ln x)0
     1 0
        ¢ y = ln x + x ¢ (ln x)0
     y
            µ              ¶
      0                  1
     y = y ln x + x ¢         = xx (1 + ln x).
                         x
     Portanto (xx )0 = xx (1 + ln x).


10.1        Problemas
  1. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
                                           c~
                                                                2                  2
       (a) y = e¡3x         (b) y = e4x+5            (c) y = ax      (d) y = 7x +2x
                                     x
       (e) y = ex (1 ¡ x2 ) (f) y = ex ¡1
                                    e +1
                                                     (g) y = x1=x    (h) y = x¼ ¼ x
     Respostas.
                                               2                    2 +2x
     (a) ¡3e¡3x (b) 4e4x+5 (c) 2xax ln a (d) 2(x + 1)7x                     ln 7   (e) ex (1 ¡ 2x ¡ x2 )
           2ex
     (f) (ex +1)2 (g) x1=x ¢ 1¡ln x (h) ¼x¼¡1 ¼ x + x¼ ¼ x ln ¼
                               x2

  2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
                                           c~
                                                                            x
       (a) y = ln jax + bj (b) y = loga (x2 + 1) (c) y = ln 1+ex e
                       2
       (d) y = ln 1+x2      (e) y = ln jx2 + 2xj (f) y = log10 (3x2 + 2)5
                  1¡x                                              p
       (g) y = x ln x       (h) y = (ln x)3          (i) y = ln(x + x2 + ¸) (¸ 60)
                                                                               =
                                          ¯ a+x ¯
                                     1    ¯
       (j) y = log10 (ln x) (k) y = 2a ln a¡x   ¯ (a 60)
                                                     =
                              a              2x             1       4x       2x+1
     Respostas. (a)         ax+b   (b)  (x2 +1) ln a
                                                      (c) 1+ex (d) 1¡x4 (e) x2 +x
                                                        2
     (f)        30x
           (3x2 +2) ln 10
                            (g) 1 +   ln x (h) 3(ln x) (i) px1+¸ (j) x ln x ln 10
                                                     x          2
                                                                           1
                                                                                       (k)      1
                                                                                             a2 ¡x2
Derivando funcoes exponenciais e logar¶
             »~                       ³tmicas                                                                                    91


  3. Calcule y 0 , calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades
     de logaritmos, e ent~o derivando implicitamente.
                            a
              q 2
                                        (x+1)2                2
     (a) y = 3 x(x +1) (b) y = (x+2)3 (x+3)4 (c) y = x(1+x 2)
                    (x¡1)2
                                                          p
                                                           1¡x
              q             p
     (d) y = (3x2 + 2) 6x ¡ 7
                               q                       ³             ´                2 +14x+5)
                                        x(x2 +1)
     Respostas. (a)        1
                           3
                               3
                                         (x¡1)2
                                                   ¢       1
                                                           x   +  2
                                                              ¡ x¡1x2 +1
                                                                        (b) ¡ (x+1)(5x (x+3)5
                                                                       2x
                                                                                (x+2)4
             2 ¡2x4
                                    ³                        ´q          p
     (c) 1+3x
          p                (d)             3x
                                         3x2 +2
                                                        3
                                                   + 2(6x¡7)    (3x2 + 2) 6x ¡ 7
           (1¡x2 )3

  4. Calcule dy=dx, se y = f (x) ¶ de¯nida implicitamente pela equa»~o
                                 e                                 ca
     (a) 3y ¡ x2 + ln(xy) = 2 (b) x ln y ¡ y ln x = 1 (c) exy ¡ x3 + 3y 2 = 11
                                          (2x2 ¡1)y                                  y2 ¡xy ln y                  3x2 ¡yexy
     Respostas. (a)        dy
                           dx
                                   =       x(3y+1)
                                                               (b)      dy
                                                                        dx
                                                                                 =   x2 ¡xy ln x
                                                                                                   (c)   dy
                                                                                                         dx
                                                                                                              =    xexy +6y

  5. Determine a equa»~o da reta tangente µ curva y = x2 + ln(2x ¡ 5) no ponto dessa
                      ca                  a
     curva de abcissa 3. Resposta. y = 8x ¡ 15

  6. Mostre que a fun»~o y = C1 e¡x + C2 e¡2x ¶ solu»~o da equa»~o diferencial
                     ca                       e     ca         ca
      00    0
     y + 3y + 2y = 0.

  7. A posi»~o s de um ponto m¶vel P sobre um eixo horizontal s ¶ dada por s(t) =
            ca                     o                                 e
     t2 ¡ 4 ln(1 + t), t ¸ 0, sendo s dado em cent¶³metros e t em segundos. Determine
     a velocidade e a acelera»~o do ponto P em um instante t qualquer. Determine
                               ca
     os intervalos de tempo em que o ponto P se move (a) para a esquerda, isto ¶,     e
                                                                             2(t2 +t¡2)
     em dire»~o contr¶ria µ do eixo s, e (b) para a direita. Resposta. v(t) = t+1 ,
             ca        a a
                    4
     a(t) = 2 + (t+1)2 . (a) 0 · t < 1, (b) t > 1.

  8. Esboce o gr¶¯co de f (x) = e1=x , analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas e
                  a                                    ca         e
     c¶lculos de limites apropriados.
      a
     Resposta.
                                                                                             A reta x = 0 (eixo y) ¶ ass¶
                                                                                                                     e    ³ntota ver-
                                           y
                                                                                             tical do gr¶¯co (somente para x > 0).
                                                                                                         a
                                                                                             A reta y = 1 ¶ ass¶
                                                                                                             e   ³ntota horizontal do
                                           6                                                 gr¶¯co.
                                                                                                 a
                                                                                             f 0 (x) = ¡e1=x =x2
                                           4                                                 f 00 (x) = e1=x (2x + 1)=x4


                                           2




                      -2           -1          0       1           2         3         x




                                    2
  9. Esboce o gr¶¯co de f(x) = 1+e1=x ¡ 1, analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas
                 a                                         ca         e
     e c¶lculos de limites apropriados.
        a
Derivando funcoes exponenciais e logar¶
             »~                       ³tmicas                                             92


     Resposta.
                                                    E util saber que f ¶ uma fun»~o¶
                                                    ¶¶                  e         ca ³mpar, ou
                          y
                                                    seja, f (¡x) = ¡f (x), para cada x 60 =
                               1
                                                    (veri¯que).
                                   1    2     3 x                  2e1=x
                                                    f 0 (x) = 2
       -3    -2     -1    0                                    x (1 + e1=x )2
                                                               ¡2e1=x [e1=x (2x ¡ 1) + 2x + 1]
                          -1                        f 00 (x) =
                                                                        (1 + e1=x )3 x4
                                                    Dado num¶rico. Ra¶ de f 00 : ¼ §0; 4.
                                                                e         ³zes
                     ca ³mpar, temos que f 0 ¶ uma fun»~o par (f 0 (¡x) = f 0 (x)), e f 00 ¶
     Sendo f uma fun»~o ¶                    e        ca                                   e
     tamb¶m fun»~o ¶
         e     ca ³mpar (veja problema 9, aula 3).

 10. (a) Qual n¶mero real ¶ maior, (0; 1)0;1 ou (0; 2)0;2 ?
               u          e
      (b) Qual ¶ o menor valor de xx, sendo x real e positivo?
               e
     Respostas. (a) (0; 1)0;1 > (0; 2)0;2 (b) (1=e)1=e . Sugest~o para ambos os itens.
                                                               a
     Veri¯que os intervalos de crescimento e de decrescimento de f (x) = xx.

 11. Mostre que ¼ e < e¼ , sem o uso de m¶quinas de calcular.
                                           a
                                   ln x
     Sugest~o. Considere f (x) =
           a                            . Mostre que f ¶ crescente no intervalo ]0; e] e
                                                       e
                                    x
     decrescente no intervalo [e; +1[. Use ent~o o fato de que ¼ > e.
                                                a

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  • 1. Aula 10 Derivando fun»~es exponenciais e co logar¶ ³tmicas Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das fun»~es f (x) = ax e g(x) = loga x, co sendo a uma constante real, a > 0 e a 61. = O que faz do n¶mero e uma constante t~o especial ? A resposta est¶ no seguinte u a a teorema Teorema 10.1 1. Se f(x) = ex , ent~o f 0 (x) = ex . Ou seja, a derivada da fun»~o exponencial de a ca base e coincide com a pr¶pria fun»~o. o ca 2. Se f (x) = ax (a > 0, a 61), ent~o f 0 (x) = ax ¢ ln a. = a Demonstra»~o. Seja f(x) = ex . Ent~o ca a ¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) ex+¢x ¡ ex lim = lim = lim ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x e ¢e ¡e x x = lim ¢x!0 ¢x e¢x ¡ 1 = lim ex ¢ ¢x!0 ¢x e¢x ¡ 1 = ex ¢ lim = ex ¢ 1 = ex ¢x!0 ¢x Para justi¯car o ultimo passo na dedu»~o acima, nos resta demonstrar: ¶ ca Proposi»~o 10.1 ca eh ¡ 1 lim =1 h!0 h 88
  • 2. Derivando funcoes exponenciais e logar¶ »~ ³tmicas 89 Demonstra»~o. Faremos o c¶lculo do limite atrav¶s de uma interessante mudan»a de ca a e c vari¶vel. a Fazendo eh ¡ 1 = z, temos eh = 1 + z, e ent~o h = loge (1 + z) a Assim sendo, h ! 0 se e somente se z ! 0, e ent~o a eh ¡ 1 z 1 lim = lim = lim h!0 h z!0 loge (1 + z) z!0 loge (1 + z) z 1 1 1 = lim h i= = =1 z!0 loge (1 + z)1=z loge e 1 ¢f Portanto, sendo f(x) = ex , temos lim = ex . ¢x!0 ¢x Para calcular a derivada de ax , fazemos x ax = eloge a = ex loge a = ex ln a = e(ln a)x Pela regra da cadeia, (eu )0 = eu ¢ u0 , logo £ ¤0 (ax )0 = e(ln a)x = e(ln a)x ¢ ((ln a)x)0 = e(ln a)x ¢ ln a = ax ln a Quanto a fun»~es logar¶ co ³tmicas, temos o seguinte Teorema 10.2 1 1 1. (ln x)0 = 2. (ln jxj)0 = x x 0 1 0 1 3. (loga x) = 4. (loga jxj) = x ln a x ln a Demonstra»~o. Se y = ln x, ent~o y = loge x, e portanto x = ey . ca a ca ³cita em rela»~o a x, temos (x)0 = (ey )0 , logo 1 = ey ¢ y 0 . Por deriva»~o impl¶ ca 1 1 Portanto y 0 = = , ou seja, (ln x)0 = 1=x. ey x µ ¶0 0 ln x (ln x)0 1 Assim sendo, (loga x) = = = . ln a ln a x ln a Para derivar ln jxj, ou loga jxj, lembremo-nos de que jxj = x quando x > 0, e jxj = ¡x quando x < 0. Assim, se x > 0, reca¶ ³mos nos itens 1 e 3. 1 ¡1 1 Se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = ¡x ¢ (¡x)0 = x ¢ (¡1) = x . O item 4 ¶ e deduzido analogamente. Proposi»~o 10.2 Sendo ® uma constante real, racional ou irracional, e x > 0, ca (x® )0 = ®x®¡1
  • 3. Derivando funcoes exponenciais e logar¶ »~ ³tmicas 90 Demonstra»~o. Se y = x® ent~o ln y = ln x® = ® ln x. ca a ca ³cita, em rela»~o a x, temos (ln y)0 = (® ln x)0 . Por deriva»~o impl¶ ca 1 0 1 Logo, ¢y =®¢ . y x 1 1 Portanto, y 0 = y ¢ ® ¢ = ®x® ¢ = ®x®¡1 . x x No exemplo seguinte, fazemos uso da fun»~o ln para derivar uma fun»~o exponen- ca ca cial de base e expoente vari¶veis. a Exemplo 10.1 (Uma fun»~o exponencial de base e expoente vari¶veis) Calcular ca a a derivada de f (x) = x . x Solu»~o. Sendo y = xx , temos ln y = ln xx = x ¢ ln x. ca Derivando ambos os membros em rela»~o a x, temos ca (ln y)0 = (x ¢ ln x)0 1 0 ¢ y = ln x + x ¢ (ln x)0 y µ ¶ 0 1 y = y ln x + x ¢ = xx (1 + ln x). x Portanto (xx )0 = xx (1 + ln x). 10.1 Problemas 1. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~ 2 2 (a) y = e¡3x (b) y = e4x+5 (c) y = ax (d) y = 7x +2x x (e) y = ex (1 ¡ x2 ) (f) y = ex ¡1 e +1 (g) y = x1=x (h) y = x¼ ¼ x Respostas. 2 2 +2x (a) ¡3e¡3x (b) 4e4x+5 (c) 2xax ln a (d) 2(x + 1)7x ln 7 (e) ex (1 ¡ 2x ¡ x2 ) 2ex (f) (ex +1)2 (g) x1=x ¢ 1¡ln x (h) ¼x¼¡1 ¼ x + x¼ ¼ x ln ¼ x2 2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~ x (a) y = ln jax + bj (b) y = loga (x2 + 1) (c) y = ln 1+ex e 2 (d) y = ln 1+x2 (e) y = ln jx2 + 2xj (f) y = log10 (3x2 + 2)5 1¡x p (g) y = x ln x (h) y = (ln x)3 (i) y = ln(x + x2 + ¸) (¸ 60) = ¯ a+x ¯ 1 ¯ (j) y = log10 (ln x) (k) y = 2a ln a¡x ¯ (a 60) = a 2x 1 4x 2x+1 Respostas. (a) ax+b (b) (x2 +1) ln a (c) 1+ex (d) 1¡x4 (e) x2 +x 2 (f) 30x (3x2 +2) ln 10 (g) 1 + ln x (h) 3(ln x) (i) px1+¸ (j) x ln x ln 10 x 2 1 (k) 1 a2 ¡x2
  • 4. Derivando funcoes exponenciais e logar¶ »~ ³tmicas 91 3. Calcule y 0 , calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades de logaritmos, e ent~o derivando implicitamente. a q 2 (x+1)2 2 (a) y = 3 x(x +1) (b) y = (x+2)3 (x+3)4 (c) y = x(1+x 2) (x¡1)2 p 1¡x q p (d) y = (3x2 + 2) 6x ¡ 7 q ³ ´ 2 +14x+5) x(x2 +1) Respostas. (a) 1 3 3 (x¡1)2 ¢ 1 x + 2 ¡ x¡1x2 +1 (b) ¡ (x+1)(5x (x+3)5 2x (x+2)4 2 ¡2x4 ³ ´q p (c) 1+3x p (d) 3x 3x2 +2 3 + 2(6x¡7) (3x2 + 2) 6x ¡ 7 (1¡x2 )3 4. Calcule dy=dx, se y = f (x) ¶ de¯nida implicitamente pela equa»~o e ca (a) 3y ¡ x2 + ln(xy) = 2 (b) x ln y ¡ y ln x = 1 (c) exy ¡ x3 + 3y 2 = 11 (2x2 ¡1)y y2 ¡xy ln y 3x2 ¡yexy Respostas. (a) dy dx = x(3y+1) (b) dy dx = x2 ¡xy ln x (c) dy dx = xexy +6y 5. Determine a equa»~o da reta tangente µ curva y = x2 + ln(2x ¡ 5) no ponto dessa ca a curva de abcissa 3. Resposta. y = 8x ¡ 15 6. Mostre que a fun»~o y = C1 e¡x + C2 e¡2x ¶ solu»~o da equa»~o diferencial ca e ca ca 00 0 y + 3y + 2y = 0. 7. A posi»~o s de um ponto m¶vel P sobre um eixo horizontal s ¶ dada por s(t) = ca o e t2 ¡ 4 ln(1 + t), t ¸ 0, sendo s dado em cent¶³metros e t em segundos. Determine a velocidade e a acelera»~o do ponto P em um instante t qualquer. Determine ca os intervalos de tempo em que o ponto P se move (a) para a esquerda, isto ¶, e 2(t2 +t¡2) em dire»~o contr¶ria µ do eixo s, e (b) para a direita. Resposta. v(t) = t+1 , ca a a 4 a(t) = 2 + (t+1)2 . (a) 0 · t < 1, (b) t > 1. 8. Esboce o gr¶¯co de f (x) = e1=x , analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas e a ca e c¶lculos de limites apropriados. a Resposta. A reta x = 0 (eixo y) ¶ ass¶ e ³ntota ver- y tical do gr¶¯co (somente para x > 0). a A reta y = 1 ¶ ass¶ e ³ntota horizontal do 6 gr¶¯co. a f 0 (x) = ¡e1=x =x2 4 f 00 (x) = e1=x (2x + 1)=x4 2 -2 -1 0 1 2 3 x 2 9. Esboce o gr¶¯co de f(x) = 1+e1=x ¡ 1, analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas a ca e e c¶lculos de limites apropriados. a
  • 5. Derivando funcoes exponenciais e logar¶ »~ ³tmicas 92 Resposta. E util saber que f ¶ uma fun»~o¶ ¶¶ e ca ³mpar, ou y seja, f (¡x) = ¡f (x), para cada x 60 = 1 (veri¯que). 1 2 3 x 2e1=x f 0 (x) = 2 -3 -2 -1 0 x (1 + e1=x )2 ¡2e1=x [e1=x (2x ¡ 1) + 2x + 1] -1 f 00 (x) = (1 + e1=x )3 x4 Dado num¶rico. Ra¶ de f 00 : ¼ §0; 4. e ³zes ca ³mpar, temos que f 0 ¶ uma fun»~o par (f 0 (¡x) = f 0 (x)), e f 00 ¶ Sendo f uma fun»~o ¶ e ca e tamb¶m fun»~o ¶ e ca ³mpar (veja problema 9, aula 3). 10. (a) Qual n¶mero real ¶ maior, (0; 1)0;1 ou (0; 2)0;2 ? u e (b) Qual ¶ o menor valor de xx, sendo x real e positivo? e Respostas. (a) (0; 1)0;1 > (0; 2)0;2 (b) (1=e)1=e . Sugest~o para ambos os itens. a Veri¯que os intervalos de crescimento e de decrescimento de f (x) = xx. 11. Mostre que ¼ e < e¼ , sem o uso de m¶quinas de calcular. a ln x Sugest~o. Considere f (x) = a . Mostre que f ¶ crescente no intervalo ]0; e] e e x decrescente no intervalo [e; +1[. Use ent~o o fato de que ¼ > e. a