$              ¸˜          FUNCOES GERADORAS    BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 3              Newton Jos´ Vieira        ...
$Matem´tica Discreta     a                                                         Cap´                                   ...
$       ¸˜    FUNCOES GERADORAS&                       %
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$                              ¸˜MODELAGEM DE PROBLEMAS COM FUNCOES GERADORAS&                                            ...
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$         ¸˜                        ¸˜    EXTRACAO DE COEFICIENTES DE FUNCOES GERADORAS                        ´          ...
$Matem´tica Discreta     a                                     ||                                            ⇐   ⇒||      ...
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$Matem´tica Discreta     a                              ||                                     ⇐   ⇒||                    ...
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$                          ¸˜    EXEMPLOS DE USO DE FUNCOES GERADORAS&                                          %
$Matem´tica Discreta     a                                    ||                                           ⇐   ⇒||        ...
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Funçoes geradoras matematica discreta

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Funçoes geradoras matematica discreta

  1. 1. $ ¸˜ FUNCOES GERADORAS BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 3 Newton Jos´ Vieira e UFMG 22 de outubro de 2007& %
  2. 2. $Matem´tica Discreta a Cap´ ıtulo 3 ´ SUMARIO • Fun¸˜es Geradoras co • Modelagem de Problemas com Fun¸˜es Geradoras co • Extra¸˜o de Coeficientes de Fun¸˜es Geradoras Ordin´rias Simples ca co a • Exemplos de Uso de Fun¸˜es Geradoras Ordin´rias co aUFMG 1& %
  3. 3. $ ¸˜ FUNCOES GERADORAS& %
  4. 4. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Um exemploDuas maneiras de determinar o n´mero de solu¸˜es inteiras para u co x1 + x2 = r, com 0 ≤ x1 ≤ 1 e 1 ≤ x2 ≤ 2: 1. Enumera¸˜o expl´ ca ıcita: x1 x2 r 0 1 1 x1 ∈ {0, 1}, x2 ∈ {1, 2} 0 2 2 1 1 2 1 2 3UFMG 3& %
  5. 5. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Um exemploDuas maneiras de determinar o n´mero de solu¸˜es inteiras para u co x1 + x2 = r, com 0 ≤ x1 ≤ 1 e 1 ≤ x2 ≤ 2: 2. Multiplica¸˜o de polinˆmios: ca o (x0 + x1)(x1 + x2) = x0 x 1 + x0 x2 + x 1 x1 + x 1 x 2 = x1 + x2 + x 2 + x3 = 1x1 + 2x2 + 1x3 =⇒ coeficiente de xi: n´mero de solu¸˜es para r = i. u coUFMG 4& %
  6. 6. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Outro exemploDeterminar o n´mero de solu¸˜es inteiras para u co x1 + x2 = r, com x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0: • Enumera¸˜o expl´ ca ıcita: x1 x2 r 0 r r x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 1 r−1 r . . r 0 r =⇒ N´mero de solu¸˜es: r + 1. u coUFMG 5& %
  7. 7. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Racioc´ ınio polinomial: (x0 +x1 +· · ·)(x0 +x1 +· · ·) = x0x0 +x0x1 +· · ·+x1x0 +x1x1 +· · · =⇒ N´mero de solu¸˜es: coeficiente de xr . u co • Determinando o coeficiente de xr : x0xr + x1xr−1 + · · · + xr x0 = (r + 1)xrUFMG 6& %
  8. 8. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 S´rie de potˆncias e e • Uma s´rie de potˆncias ´ uma s´rie infinita da forma e e e e a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · · sendo cada ai um n´mero real e x uma vari´vel. u a • Multiplica¸˜o: o coeficiente de xr em ca (a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · ·)(b0x0 + b1x1 + b2x2 + · · ·) ´ a0br + a1br−1 + · · · + ar b0 e • Adi¸˜o: o coeficiente de xr em ca (a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · ·) + (b0x0 + b1x1 + b2x2 + · · ·) ´ ar + br . eUFMG 7& %
  9. 9. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Um exemplo • (x0 + x1)(x0 + x1 + x2 + · · ·) = x0 + 2x1 + 2x2 + 2x3 + · · ·UFMG 8& %
  10. 10. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Defini¸˜o ca • A fun¸˜o geradora ordin´ria para um problema combinat´rio de ca a o solu¸˜o ar ´ ca e g(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · ·UFMG 9& %
  11. 11. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • N´mero de solu¸˜es inteiras para u co x1 + x2 = r, com 0 ≤ x1 ≤ 1 e 1 ≤ x2 ≤ 2: – a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, e para r > 3 ar = 0. – Portanto, a fun¸˜o geradora ´ ca e 0x0 + 1x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + · · · + 0xr + · · · = x + 2x2 + x3.UFMG 10& %
  12. 12. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para o n´mero de subconjuntos de tamanho r, ca u tomados de um conjunto de tamanho n: C(n, 0)x0 + C(n, 1)x1 + C(n, 2)x2 + · · · + C(n, n)xn que ´ (1 + x)n, pelo Teorema Binomial. eUFMG 11& %
  13. 13. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Estrat´gia eEstrat´gia para resolver problemas usando fun¸˜o geradora: e ca 1. Encontrar uma fun¸˜o geradora para o problema geral. ca 2. Extrair o coeficiente apropriado.UFMG 12& %
  14. 14. $ ¸˜MODELAGEM DE PROBLEMAS COM FUNCOES GERADORAS& %
  15. 15. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Abordagem 1. Reformular o problema como um problema de encontrar o n´mero u de solu¸˜es inteiras para: co x1 + x2 + · · · + xn = r, com xi ∈ {vi,1, vi,2, . . .}. 2. O n´mero de solu¸˜es ´ o coeficiente de xr em: u co e (xv1,1 + xv1,2 + · · ·)(xv2,1 + xv2,2 + · · ·) · · · (xvn,1 + xvn,2 + · · ·).UFMG 14& %
  16. 16. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para o problema de encontrar o n´mero de ca u solu¸˜es inteiras de: co x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = r, com xi ≥ 0: 1. Reformula¸˜o do problema: encontrar o n´mero de solu¸˜es ca u co inteiras para: y1 + y2 + y3 + y4 = r, com yi ∈ {0, i, 2i, 3i, . . .}. 2. A fun¸˜o geradora ´, portanto: ca e (x0 + x1 + x2 + · · ·)(x0 + x2 + x4 + · · ·)(x0 + x3 + x6 + · · ·) (x0 + x4 + x8 + · · ·). 3. Solu¸˜o: coeficiente de xr . caUFMG 15& %
  17. 17. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para o problema de encontrar o n´mero de ca u distribui¸˜es de 10 bolas idˆnticas em 3 caixas distintas, com um co e n´mero par de bolas em cada caixa: u 1. Reformula¸˜o do problema: encontrar o n´mero de solu¸˜es ca u co inteiras para: x1 + x2 + x3 = r, com xi ∈ {0, 2, 4, . . .}. 2. A fun¸˜o geradora ´, portanto: ca e (x0 + x2 + x4 + · · ·)3. 3. Solu¸˜o: coeficiente de x10. caUFMG 16& %
  18. 18. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para o problema dos dados de Galileu: ca 1. Reformula¸˜o do problema: encontrar o n´mero de solu¸˜es ca u co inteiras para: x1 + x2 + x3 = r, com 1 ≤ xi ≤ 6. 2. A fun¸˜o geradora ´, portanto: ca e (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3. 3. Solu¸˜o: coeficiente de x10. caUFMG 17& %
  19. 19. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para o problema de encontrar o n´mero de ca u solu¸˜es inteiras de: co x1 + x2 + · · · + xn ≤ r, com 1 ≤ xi ≤ 3: 1. Reformula¸˜o do problema: encontrar o n´mero de solu¸˜es ca u co inteiras para: x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 = r, com 1 ≤ xi ≤ 3, para 1 ≤ i ≤ n, e xn+1 ≥ 0. 2. A fun¸˜o geradora ´, portanto: ca e (x1 + x2 + x3)n(x0 + x1 + x2 + x3 + · · ·). 3. Solu¸˜o: coeficiente de xr . caUFMG 18& %
  20. 20. $ ¸˜ ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES DE FUNCOES GERADORAS ´ ORDINARIAS SIMPLES& %
  21. 21. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Identidades uteis para a extra¸˜o de coeficientes ´ ca(a) (1 + x + x2 + · · ·)n = C(n − 1 + 0, 0) + C(n − 1 + 1, 1)x + · · · + C(n − 1 + r, r)xr + · · · Prova: (1 + x + x2 + · · ·)n ´ a fun¸˜o geradora para o n´mero de e ca u solu¸˜es inteiras de co x1 + x2 + · · · + xn = r, com xi ≥ 0.UFMG 20& %
  22. 22. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Identidades uteis para a extra¸˜o de coeficientes ´ ca(b) (1 + x + x2 + · · · + xm−1)n = (1 − xm)n(1 + x + x2 + · · ·)n Prova: 1 + x + · · · + xm−1 = (1 − xm)(1 + x + x2 + · · ·)UFMG 21& %
  23. 23. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Identidades uteis para a extra¸˜o de coeficientes ´ ca(c) (1 − xm)n = C(n, 0) − C(n, 1)xm + C(n, 2)x2m + · · · + (−1)nC(n, n)xnm Prova: No Teorema Binomial, substitua x por −xm.UFMG 22& %
  24. 24. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Identidades uteis para a extra¸˜o de coeficientes ´ ca(d) 1/(1 − x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · Prova: (1 − x)(1 + x + x2 + x3 + · · ·) = 1.UFMG 23& %
  25. 25. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Defini¸˜es e identidades importantes co(1) O coeficiente de xr em (a0 + a1x + a2x2 + · · ·)(b0 + b1x + b2x2 + · · ·) ´ a0br + a1br−1 + · · · + ar b0 e(2) (Teorema Binomial) (1 + x)n = C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x2 + · · · + C(n, n)xn(3) (1 + x + x2 + · · ·)n = C(n − 1 + 0, 0) + C(n − 1 + 1, 1)x + · · · + C(n − 1 + r, r)xr + · · ·UFMG 24& %
  26. 26. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Defini¸˜es e identidades importantes co(4) (1 + x + x2 + · · · + xm−1)n = (1 − xm)n(1 + x + x2 + · · ·)n(5) (1 − xm)n = C(n, 0) − C(n, 1)xm + C(n, 2)x2m + · · · + (−1)nC(n, n)xnm(6) 1/(1 − x) = 1 + x + x2 + x3 + · · ·UFMG 25& %
  27. 27. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES: Exemplo • Coeficiente de x20 na fun¸˜o geradora (x3 + x4 + · · ·)3: ca (x3 + x4 + · · ·)3 = [x3(1 + x + x2 + · · ·)]3 = x9(1 + x + x2 + · · ·)3 = x9[C(3 − 1 + 0, 0) + C(3 − 1 + 1, 1)x + · · ·], por (3) Logo, o coeficiente de x20 ´ C(3 − 1 + 11, 11). eUFMG 26& %
  28. 28. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES: Exemplo • Coeficiente de x9 em (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)4: (1 + x + · · · + x5)4 = (1 − x6)4(1 + x + x2 + · · ·)4, por (4) = (C(4, 0) − C(4, 1)x6 + · · · + C(4, 4)x24) (C(4 − 1 + 0, 0) + C(4 − 1 + 1, 1)x + · · ·), por (5) e (3) Logo, o coeficiente de x9 ´ e C(4, 0)C(4 − 1 + 9, 9) − C(4, 1)C(4 − 1 + 3, 3).UFMG 27& %
  29. 29. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTESOs resultados a seguir s˜o uteis para: a ´ • Construir uma fun¸˜o geradora para um an espec´ ca ıfico. • Utilizar fun¸˜o geradora para resolver somat´rias. ca oUFMG 28& %
  30. 30. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTESSejam g(x) a fun¸˜o geradora para an, e h(x) a fun¸˜o geradora para ca cabn. Ent˜o: a(a) g(x)/(1 − x) ´ a fun¸˜o geradora para a0 + a1 + · · · + an. e ca Prova: g(x)/(1 − x) = (a0 + a1x + a2x2 + · · ·)/(1 − x) = (a0 + a1x + a2x2 + · · ·)(1 + x + x2 + · · ·), por (6) = a0 + (a0 + a1)x + · · · + (a0 + a1 + · · · + an)xn + · · ·UFMG 29& %
  31. 31. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICICIENTES(b) C1g(x) + C2h(x) ´ a fun¸˜o geradora para C1an + C2bn, onde C1 e ca e C2 s˜o constantes. a Prova: C1g(x) + C2h(x) = C1(a0 + a1x + a2x2 + · · ·) + C2(b0 + b1x + b2x2 + · · ·) = (C1a0 + C2b0) + (C1a1 + C2b1)x + · · · + (C1an + C2bn)xn + · · ·UFMG 30& %
  32. 32. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES(c) (1 − x)g(x) ´ a fun¸˜o geradora para an − an−1. e ca Prova: (1 − x)g(x) = (1 − x)(a0 + a1x + a2x2 + · · ·) = (a0 + a1x + a2x2 + · · ·) − (a0x + a1x2 + a2x3 + · · ·) = a0 + (a1 − a0)x + (a2 − a1)x2 + · · · + (an − an−1)xn + · · ·UFMG 31& %
  33. 33. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES(d) xg (x) ´ a fun¸˜o geradora para nan. e ca Prova: xg (x) = x(a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · ·) = a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + · · · + nanxn + · · ·UFMG 32& %
  34. 34. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 ¸˜ EXTRACAO DE COEFICIENTES(e) h(x)g(x) ´ a fun¸˜o geradora para a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0. e ca Prova: segue de (1).UFMG 33& %
  35. 35. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para an = 2n + 3: ca Fun¸˜o geradora para 1: 1/(1 − x), por (6). ca Logo, a fun¸˜o geradora para n ´: x[1/(1 − x)] = x/(1 − x)2, por ca e (d). Assim, a fun¸˜o geradora para 2n + 3 ´: 2x/(1 − x)2 + 3/(1 − x). ca eUFMG 34& %
  36. 36. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Fun¸˜o geradora para an = n2: ca Fun¸˜o geradora para n: x/(1 − x)2, pelo exemplo acima. ca Fun¸˜o geradora para n2: x[x/(1 − x)2] = (x + x2)/(1 − x)3, por ca (d).UFMG 35& %
  37. 37. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Avalia¸˜o de 12 + 22 + · · · + n2: ca Fun¸˜o geradora para n2: (x + x2)/(1 − x)3, pelo exemplo acima. ca Fun¸˜o geradora para n k2: (x + x2)/(1 − x)4, por (a). ca k=1 (x + x2)/(1 − x)4 = (x + x2)(1 + x + x2 + · · ·)4, por (6) = (x + x2)(1 + C(4 − 1 + 1, 1)x + C(4 − 1 + 2, 2)x2 + · · ·), por (3) Coeficiente de xn: C(4 − 1 + (n − 1), (n − 1)) + C(4 − 1 + (n − 2), (n − 2)). Portanto, n k 2 = n(n + 1)(2n + 1) . k=1 6UFMG 36& %
  38. 38. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Avalia¸˜o de n k2k : ca k=0 Fun¸˜o geradora para 2n: 1/(1 − 2x), por (6), x/2x. ca Fun¸˜o geradora para n2n: x[1/(1 − 2x)] = 2x/(1 − 2x)2, por (d). ca Fun¸˜o geradora para n k2k : 2x/(1 − 2x)2(1 − x), por (a). ca k=0 2x/(1 − 2x)2(1 − x) = 2/(1 − x) − 4/(1 − 2x) + 2/(1 − 2x)2, pelo m´todo das e fra¸˜es parciais coUFMG 37& %
  39. 39. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • Avalia¸˜o de n k2k : ca k=0 Como – 2/(1 − x) = 2(1 + x + x2 + · · ·), por (6) – 4/(1 − 2x) = 4(1 + 2x + 4x2 + · · · + (2x)n + · · ·), por (6) – 2/(1 − 2x)2 = 2(1 + C(2 − 1 + 1, 1)2x + · · · + C(2 − 1 + n, n)(2x)n + · · ·), por (6) e (3) o coeficiente de xn ´: e 2 − 4 × 2n + 2C(2 − 1 + n, n) × 2n. Portanto, n k2k = 2 + (2n − 2)2n. k=0UFMG 38& %
  40. 40. $ ¸˜ EXEMPLOS DE USO DE FUNCOES GERADORAS& %
  41. 41. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo de uso de Fun¸˜es Geradoras Ordin´rias co a • O problema dos dados de Galileu: Soma 10: coeficiente de x10 na fun¸˜o geradora ca (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3. (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3 = x3(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)3 = x3(1 − x6)3(1 + x + x2 + · · ·)3, por (4) = x3(C(3, 0) − C(3, 1)x6 + C(3, 2)x12 − C(3, 3)x18) (C(3 − 1 + 0, 0) + C(3 − 1 + 1, 1)x + · · ·), por (5) e (3) O coeficiente de x10 ´, portanto, e C(3, 0)C(3 − 1 + 7, 7) − C(3, 1)C(3 − 1 + 1, 1) = 36 − 9 = 27.UFMG 40& %
  42. 42. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo • N´mero de maneiras de distribuir r bolas idˆnticas em n caixas u e distintas com, no m´ximo, 3 bolas em cada caixa: a Reformula¸˜o: n´mero de solu¸˜es inteiras para ca u co x1 + x2 + · · · + xn = r, com 0 ≤ xi ≤ 3 Fun¸˜o geradora: ca (1 + x + x2 + x3)n (1 + x + x2 + x3)n = (1 − x4)n(1 + x + x2 + · · ·)n, por (4) = (C(n, 0) − C(n, 1)x4 + · · · + (−1)nC(n, n)x4n) (C(n − 1 + 0, 0) + C(n − 1 + 1, 1)x + · · ·), por (5) e (3) O coeficiente de xr ´, portanto, e C(n, 0)C(n − 1 + r, r) − C(n, 1)C(n − 1 + r − 4, r − 4) + · · · .UFMG 41& %
  43. 43. $Matem´tica Discreta a || ⇐ ⇒|| Cap´ ıtulo 3 Exemplo de uso de func˜o geradora para mostrar identidade a combinat´ria o • n C(n, k)2 =? k=0 Lembrando que: h(x)g(x) ´ a fun¸˜o geradora para a0bn + · · · + anb0, e ca o coeficiente de xn em (1 + x)n(1 + x)n ´: e n n C(n, k)C(n, n − k) = C(n, k)2. k=0 k=0 Mas, pelo Teorema Binomial, o coeficiente de xn em (1 + x)2n ´: e C(2n, n). Logo, n C(n, k)2 = C(2n, n). k=0UFMG 42& %
  44. 44. $Matem´tica Discreta a Cap´ ıtulo 3 FIMUFMG 43& %

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